При каких значениях a сумма квадратов корней уравнения x2 2ax

Условие

Найдите все а, при которых сумма квадратов корней уравнения x^2-2ax+a+6=0 принимает наименьшее значение, и укажите это наименьшее значение.

Все решения

По теореме Виета
x_(1)+x_(2)=2a
x_(1)*x_(2)=[green]a+6[/green]

4a^2-2a-12 — квадратный трехчлен.

Принимает наименьшее значение при a=2/8=1/4

4*(1/4)^2-2*(1/4)-12 =? и есть наименьшее значение

Видео:№3 Решение задачи с параметром x^2-2a(x-1)-1=0 (2 способа) ЕГЭ по математике.Скачать

При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения x ^ 2 + 2ax + 2a ^ 2 + 4a + 3 = 0 является наибольшей?

При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения x ^ 2 + 2ax + 2a ^ 2 + 4a + 3 = 0 является наибольшей?

Чему равна сумма?

Можно с объяснением?

При а = — 3 сумма = 18.

D ≥ 0 = > — 3 ≤ a ≤ — 1

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² — 2x₁x₂ = (2a)² — 2(2a² + 4a + 3) = — 8a — 6 ≤ 18.

Видео:Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать

Чему равна сумма квадратов корней уравнения ?

Чему равна сумма квадратов корней уравнения .

Помогите с решением.

Видео:#67. Сумма квадратов корней в уравнении с параметром!Скачать

Задание №1?

Найдите наименьшее значение параметра

, при котором сумма

квадратов корней уравнения

Видео:№18 ЕГЭ математика профиль (параметр)Скачать

При каком значении а сумма квадратов корней уравнения x ^ 2 + ax + a — 2 = 0 является наименьшей?

При каком значении а сумма квадратов корней уравнения x ^ 2 + ax + a — 2 = 0 является наименьшей?

Чему равна сумма?

Видео:Алгебра 8 класс (Урок№19 - Уравнение х² = а.)Скачать

Помогите решить пожалуйста?

Помогите решить пожалуйста.

Дано уравнение : х квадрат — (2 p квадрат — p — 6)х + (8p — 1) = 0 известно что сумма его корней равна — 5 Найдите значения параметра p и корни уравнения.

Видео:Найти значение суммы и произведения корней квадратного уравненияСкачать

Помогите решить пожалуйста?

Помогите решить пожалуйста.

Дано уравнение : х квадрат — (2 p квадрат — p — 6)х + (8p — 1) = 0 известно что сумма его корней равна — 5 Найдите значения параметра p и корни уравнения.

Видео:Свойства квадратного корня. Уравнение х2=а, 8 классСкачать

Чему равна сумма квадратов корней уравнения 17x ^ 2 + x ^ 2(5 — 17x) = 125 ?

Чему равна сумма квадратов корней уравнения 17x ^ 2 + x ^ 2(5 — 17x) = 125 ?

Видео:Параметры 3. Расположение корней квадратного уравнения. ЕГЭ №18Скачать

Чему равна сумма корней уравнения x² — 3x — 14 = 0?

Чему равна сумма корней уравнения x² — 3x — 14 = 0.

Видео:9 класс. Алгебра. Задания с параметром.Скачать

Найдите значения параметра m при которых сумма квадратов действительных корней уравнения x ^ 2 + (m — 3)x + m ^ 2 — 6m — 9?

Найдите значения параметра m при которых сумма квадратов действительных корней уравнения x ^ 2 + (m — 3)x + m ^ 2 — 6m — 9.

75 = 0 будет наименьшей.

В ответ запишите наибольшее значение m.

Видео:При каких значениях параметра уравнение имеет единственный кореньСкачать

Про два неотрицательных числа известно, что их сумма равна 100?

Про два неотрицательных числа известно, что их сумма равна 100.

Найдите наибольшее и наименьшее значение суммы квадратов этих чисел.

Видео:Квадратные уравнения c параметромСкачать

При каком наибольшем значении параметра a корни уравнения действительны и равны?

При каком наибольшем значении параметра a корни уравнения действительны и равны?

Если вам необходимо получить ответ на вопрос При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения x ^ 2 + 2ax + 2a ^ 2 + 4a + 3 = 0 является наибольшей?, относящийся к уровню подготовки учащихся студенческий, вы открыли нужную страницу. В категории Алгебра вы также найдете ответы на похожие вопросы по интересующей теме, с помощью автоматического «умного» поиска. Если после ознакомления со всеми вариантами ответа у вас остались сомнения, или полученная информация не полностью освещает тематику, создайте свой вопрос с помощью кнопки, которая находится вверху страницы, или обсудите вопрос с посетителями этой страницы.

На координатной плоскости хОу постройте график уравнения : 2х — у + 5 = 0 прямая, y = 2x + 5 проходит через точки, например, A( 0 ; 5)и B(1 ; 7) на координатной плоскости изображаемA( 0 ; 5)иB(1 ; 7), проводим через них прямую при помощи линейки.

(4х + 2) / 3 = (5х + 1) / 6 8х + 4 = 5х + 1 8х — 5х = 1 — 4 3х = — 3 х = — 3 : 3 х = — 1.

Решается путём замены. На примере Б. Разница будет только в замене. Предположим, что один из корней сокрыт в одном из делителей свободного члена (свойство Бинома Ньютона) : Предположим, что это число 3. Тогда, если подставить это число в выраже..

S (проекции Δ) = S(Δ)·cos45° = 18·√2 / 2 = 9√2 (см²).

7) 96% — 1152р 100% — хр х = 100×1152÷96 = 1200р Ответ : 1200р.

4 ответ скорее всего мб ошибся.

12 — 12 это отрицательное число следовательно + 12 обратное положительное число.

Здесь № 2 а) наверно формула a ^ 3 — b ^ 3 = (a + b)(a ^ 2 — ab + b ^ 2) Первую дробь умножаем на х ^ 2 + 3х + 2 . А вторую дробь умножаем на х + 1 и числитель знаменатель.

1) 0 , 9 — 1 , 3 = — 0, 4 2) — 0, 4 / 2, 4 = — 0, 16.

(0, 9 — 1, 3) : 2, 4 — 0, 4 : 2, 4 = — 0, 16.

Видео:#118 Урок 43 Квадратные уравнения. Параметры. При каком значении параметра уравнение имеет 1 корень.Скачать

Квадратные трехчлены и параметры

Задачи с параметрами относятся к наиболее трудным заданиям, предлагаемым на вступительных экзаменах. Это связано с тем, что они требуют хорошего понимания «глубинных» свойств функций, и их решение носит творческий характер. Однако знание некоторых простых правил и алгоритмов решения необходимо.

Вводные замечания и простейшие примеры

Пример 1. При каких значениях a уравнение ax 2 + 2x + 1 = 0 имеет два различных корня?

Решение.

Данное уравнение является квадратным относительно переменной x при a № 0 и имеет различные корни, когда его дискриминант

т. е. при a

Кроме того, при a = 0 получается уравнение 2x + 1 = 0, имеющее один корень.

Таким образом, a О (– Ґ ; 0) И (0; 1).

Правило 1. Если коэффициент при x 2 многочлена второй степени содержит параметр, необходимо разбирать случай, когда он обращается в нуль.

Пример 2. Уравнение ax 2 + 8x + c = 0 имеет единственный корень, равный 1. Чему равны a и c?

Решение. Начнем решение задачи с особого случая a = 0, уравнение имеет вид 8x + c = 0. Это линейное уравнение имеет решение x₀ = 1 при c = – 8.

При a № 0 квадратное уравнение имеет единственный корень, если

Кроме того, подставив корень x₀ = 1 в уравнение, получим a + 8 + c = 0.

Решая систему двух линейных уравнений, найдем a = c = – 4.

Теорема 1.

Для приведенного квадратного трехчлена y = x 2 + px + q (при условии p 2 і 4q)
сумма корней x₁ + x₂ = – p, произведение корней x₁x₂ = q, разность корней равна
а сумма квадратов корней x₁ 2 + x₂ 2 = p 2 – 2q.

Теорема 2.

Для квадратного трехчлена y = ax 2 + bx + c с двумя корнями x₁ и x₂ имеет место
разложение ax 2 + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂), для трехчлена с одним корнем x₀ – разложение
ax 2 + bx + c = a(x – x₀) 2 .

Замечание. Часто про квадратные уравнения с дискриминантом, равным нулю и имеющим, соответственно, один корень, говорят, что оно имеет два совпадающих корня (?). Это связано с разложением многочлена на множители, приведенным в теореме 2. (Правильно говорить и понимать в этом случае нужно «один корень кратности два». – Прим. ред.)

Будем обращать внимание на эту тонкость и выделять случай единственного корня кратности 2.

Пример 3. В уравнении x 2 + ax + 12 = 0 определить a таким образом, чтобы разность корней уравнения равнялась единице.

Решение. Разность корней
откуда a = ± 7.

Пример 4. При каких a сумма квадратов корней уравнения 2x 2 + 4x + a = 0 равна 6?

Решение. Запишем уравнение в виде
откуда x₁ 2 + x₂ 2 = 4 – a = 6 и a = – 2.

Пример 5. При всех a решить уравнение ax 2 – 2x + 4 = 0.

Решение. Если a = 0, то x = 2. Если a № 0, то уравнение становится квадратным. Его дискриминант
равен D = 4 – 16a. Если D ,
уравнение решений не имеет. Если D = 0, т. е. a = ,
x = 4. Если D > 0, т. е. a

Расположение корней квадратного трехчлена

Графиком квадратного уравнения является парабола, а решениями квадратного уравнения – абсциссы точек пересечения этой параболы с осью Ox. Основой решения всех задач этого параграфа является изучение особенностей расположения парабол с заданными свойствами на координатной плоскости.

Пример 6. При каких a корни уравнения x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 = 0 имеют разные знаки?

Решение (рис. 1).

Квадратное уравнение либо не имеет решений (график – парабола вида D), либо имеет один или два положительных корня (парабола C), либо имеет один иди два отрицательных корня (парабола A), либо имеет корни разных знаков (парабола B).

Легко сообразить, что последний тип парабол, в отличие от прочих, характеризуется тем, что f(0) 2 – a – 6

Данное решение допускает обобщение, которое мы сформулируем как следующее правило.

Правило 2. Для того чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0

имело два разных корня x₁ и x₂ таких, что x₁

Пример 7. При каких a уравнение x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 = 0 имеет два разных корня одного знака?

Решение. Нас интересуют параболы типа A и C (см. рис. 1). Они характеризуются тем, что

откуда a О (– 6; – 2) И (3; + Ґ ).

Пример 8. При каких a уравнение x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 = 0 имеет два разных положительных корня?

Решение. Нас интересуют параболы типа C на рис. 1.

Чтобы уравнение имело корни, потребуем

Так как оба корня уравнения по условию должны быть положительными, то и абсцисса вершины параболы, лежащая между корнями, положительна: x₀ = a > 0.

Ордината вершины f(x₀) 0, то в силу непрерывности исследуемой функции найдется точка x₁ О (0; x₀) такая, что f(x₁) = 0. Очевидно, что это меньший корень уравнения.

Итак, f(0) = a 2 – a – 6 > 0, и, собирая все условия вместе, получим систему

с решением a О (3; + Ґ ).

Пример 9. При каких a уравнение x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 имеет два разных отрицательных корня?

Решение. Изучив параболы типа A на рис. 1, получим систему

откуда a О (– 6; – 2).

Обобщим решение предыдущих задач в виде следующего правила.

Правило 3. Для того чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 имело два разных корня x₁ и x₂, каждый из которых больше (меньше) M, необходимо и достаточно, чтобы

Пример 10. Функция f(x) задается формулой

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение f(x) = 0 имеет хотя бы одно решение.

Решение. Все возможные решения данного уравнения получаются как решения квадратного уравнения

x 2 – (4a + 14)x + 4a 2 + 33a + 59 = 0

с дополнительным условием, что хотя бы один (очевидно, больший) корень x₂ і a.

Естественно, чтобы уравнение имело корни, должно быть = – 5(a + 2) і 0,
откуда a Ј – 2.

Графиком левой части выделенного уравнения является парабола, абсцисса вершины которой равна x₀ = 2a + 7. Решение задачи дают два типа парабол (рис. 2).

A: x₀ і a, откуда a і – 7. В этом случае больший корень многочлена x₂ і x₀ і a.

B: x₀ Ј 0, откуда .
В этом случае также больший корень многочлена x₂ і a.

Окончательно .

Три решения одного неравенства

Пример 11. Найти все значения параметра a, при которых неравенство x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 > 0

выполняется:

1) при всех значениях x;
2) при всех положительных значениях x;
3) при всех значениях x О [– 1; 1].

Решение.

Первый способ.

1) Очевидно данное неравенство выполняется при всех x, когда дискриминант отрицателен, т. е.

= a 2 – (a 2 + 2a – 3) = – 2a + 3

откуда a >.

2) Чтобы лучше понять то, что требуется в условии задачи, применим простой прием: на координатной плоскости нарисуем какие-нибудь параболы, а потом возьмем и закроем левую относительно оси Oy полуплоскость. Та часть параболы, которая останется видимой, должна быть выше оси Ox.

Условие задачи выполняется в двух случаях (см. рис. 3):

A: график функции y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 лежит выше оси Ox, т. е. D ;

B: оба корня (может быть, один, но двукратный) уравнения x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 = 0 находятся левее начала координат. По правилу 3 это условие эквивалентно системе неравенств D і 0, x₀ Ј 0 и f(0) і 0.

Однако при решении данной системы первое неравенство можно опустить, так как если даже какое-то значение a не удовлетворяет условию D і 0, то оно автоматически попадает в решение пункта A. Таким образом, решаем систему

откуда a Ј – 3.

Объединяя решения пунктов A и B, получим

ответ:

3) Условие задачи выполняется в трех случаях (см. рис. 4):

A: график функции y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 лежит выше оси Ox, т. е. D ;

B: оба корня (может быть, один кратности 2) уравнения x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 = 0 находятся левее – 1. Это условие эквивалентно, как мы знаем из правила 3, системе неравенств D і 0, x₀ 0;

C: оба корня уравнения x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 = 0 находятся правее 1.
Это условие эквивалентно D і 0, x₀ > 1, f(1) > 0.

Однако в пунктах B и C, также как и в решении предыдущей задачи, неравенство, связанное с дискриминантом, можно опустить.

Соответственно получаем две системы неравенств

Рассмотрев все случаи, получим результат: a >
в пункте
в C.
Ответ задачи – объединение этих трех множеств.

Второй способ. Для того чтобы выполнялось условие каждого из трех пунктов задачи, наименьшее значение функции
y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 на каждом из соответствующих промежутков должно быть положительно.

1) Вершина параболы y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 находится в точке (a; 2a – 3), поэтому наименьшее значение функции на всей числовой прямой равно 2a – 3, и a > .

2) на полуоси x і 0 наименьшее значение функции равно f(0) = a 2 + 2a – 3, если a і 0. Разбирая оба случая, получим

3) Наименьшее на отрезке [– 1; 1] значение функции равно

Поскольку наименьшее значение должно быть положительно, получаем системы неравенств

Решение этих трех систем – множество

Третий способ. 1) Вершина параболы y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3

находится в точке (a; 2a – 3). Нарисуем на координатной плоскости множество, которое образуют вершины всех парабол при различных a (рис. 5).

Это – прямая y = 2x – 3. Напомним, что каждой точке этой прямой соответствует свое значение параметра, и из каждой точки этой прямой «выходит» парабола, соответствующая данному значению параметра. Параболы, целиком находящиеся над осью Ox, характеризуются условием 2a – 3 > 0.

2) Решениями этого пункта являются все решения первого пункта, и, кроме того, параболы, для которых a – отрицательны, и f(0) = a 2 + 2a – 3 і 0.

3) Из рис. 5 видно, что нас интересуют параболы, для которых либо a отрицательно и f(– 1) = a 2 + 4a – 2 > 0,
либо a положительно и f(1) = a 2 – 2 > 0.

Уравнения и неравенства, сводящиеся к квадратным

Пример 12. При каких значениях a уравнение 2x 4 – 2ax 2 + a 2 – 2 = 0 не имеет решений?

Решение. Сделав замену y = x 2 , получим квадратное уравнение f(y) = 2y 2 – 2ay + a 2 – 2 = 0.

Полученное уравнение не имеет решения, когда D

Эти условия могут быть записаны в виде совокупности

откуда

Пример 13. При каждом значении параметра a решить уравнение cos x sin 2x = asin 3x.

Решение. Так как 2cos x sin 2x = sin x + sin 3x и sin 3x = 3sin x – 4sin 3 x,

то уравнение запишется в виде sin x (sin 2 x (4a – 2) – (3a – 2)) = 0.

Отсюда получаем решения x = p n, n О Z при любом a. Уравнение

имеет решения

не совпадающие с решениями первого уравнения, только при условии

Последние ограничения эквивалентны

Ответ: x = p n, n О Z при любом a; кроме того,

Пример 14. Найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство
a 2 + 2a – sin 2 x – 2acos x > 2 выполняется для любого числа x.

Решение. Преобразуем неравенство к виду cos 2 x – 2acos x + a 2 + 2a – 3 > 0

и сделаем замену t = cos x. Важно заметить, что параметр t пробегает значения от – 1 до 1, поэтому задача переформулируется в таком виде: найти все a такие, что

t 2 – 2at + a 2 + 2a – 3 > 0

выполняется при всех t О [– 1; 1]. Эту задачу мы уже решили ранее.

Пример 15. Определить, при каких значениях a уравнение log₃ (9 x + 9a 3 ) = x имеет решения, и найти их.

Решение. Преобразуем уравнение к виду 9 x – 3 x + 9a 3 = 0

и, сделав замену y = 3 x , получим y 2 – y + 9a 3 = 0.

В случае, когда дискриминант отрицательный, уравнение решений не имеет. Когда дискриминант

D = 1 – 36a 3 = 0, уравнение имеет единственный корень ,
и x = – log₃ 2. Наконец, когда дискриминант положительный, т. е. ,
исходное уравнение имеет один корень ,
а если, кроме того, выражение 1 – положительно,
то уравнение имеет еще второй корень .

Итак, окончательно получаем

,

решений нет при остальных a.

Пример 16. Для каждого значения параметра a решить уравнение sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x + a = 0.

Решение. Так как
уравнение перепишем в виде sin 2 x – 2sin x – 2a – 2 = 0.
Пусть y = sin 2x, тогда y 2 – 2y – 2a – 2 = 0 (| y | Ј 1).

График функции, стоящей в левой части уравнения, – парабола с вершиной, абсцисса которой y₀ = 1; значение функции в точке y = – 1 равно 1 – 2a; дискриминант уравнения равен 8a + 12. Это означает, что больший корень y₂ уравнения y 2 – 2y – 2a – 2 = 0, даже если он существует, больше 1, и соответствующее уравнение sin 2x = y₂ решений не имеет.

Случай 1. если дискриминант отрицательный, т. е. a

Случай 2. Если дискриминант равен
получаем уравнение

Случай 3. Если дискриминант больше 0, т. е.
и, кроме того, f(– 1) > 0, то уравнение y 2 – 2y – 2a – 2 = 0 имеет корень
лежащий между – 1 и 1. Соответствующее уравнение – имеет решения.

Случай 4. Если f(– 1) = 0, т. е. получаем уравнение

Случай 5. Если дискриминант больше 0, т. е. и, кроме того, f(– 1) 2 – 2y – 2a – 2 = 0 имеет корни
а уравнения не имеют решений.

Ответ: если то решений нет;

если

если

если

(Случаи отдельно выделять не следует:

описывает все возможные решения. – Прим. ред.)

Задачи для самостоятельного решения

1. При каких значениях a уравнение ax 2 – 4x + 5 = 0 не имеет корней?
2. При каких значениях a уравнение x 2 – 2ax – 1 = 0 имеет два различных корня?
3. При каких значениях a уравнение 2x 2 + (3a + 1)x + a 2 + a + 2 = 0 имеет хотя бы один корень?
4. Уравнение ax 2 + bx + 5 = 0 имеет единственный корень, равный 1. Чему равны a и b?
5. При каких значениях параметра a корни квадратного уравнения 5x 2 – 7x + a = 0 относятся как 2 к 5?
6. В уравнении ax 2 + 8x + 3 = 0 определить a таким образом, чтобы разность корней уравнения равнялась единице.
7. При каких a сумма квадратов корней уравнения x 2 – 2ax + 2(a + 1) = 0 равна 20?
8. При каких b и c уравнение c + bx – 2x 2 = 0 имеет один положительный и один отрицательный корень?
9. Найти все значения параметра a, при которых один корень уравнения x 2 – (a + 1)x + 2 = 0 больше a, а другой меньше a.
10. Найти все значения параметра a, при которых уравнение x 2 + (a + 1)x + 2 = 0 имеет два разных корня одного знака.
11. При каких значениях a все получающиеся корни уравнения (a – 3)x 2 – 2ax + 6a = 0 положительны?
12. При каких a все получающиеся корни уравнения (1 + a)x 2 – 3ax + 4a = 0 больше 1?
13. Найти все значения параметра a, для которых оба разных корня уравнения x 2 + x + a = 0 будут больше, чем a.
14. При каких значениях a оба корня уравнения 4x 2 – 2x + a = 0 заключены между – 1 и 1?
15. При каких значениях a уравнение x 2 + 2(a – 1)x + a + 5 = 0 имеет хотя бы один положительный корень?
16. Функция f(x) задается формулой

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение f(x) = 0 имеет хотя бы одно решение.
17. При каких a неравенство (a 2 – 1)x 2 + 2(a – 1)x + 2 > 0 верно для всех x?
18. При каких значениях параметра a неравенство ax 2 + 2x > 1 – 3a справедливо для всех положительных x?
19. При каких значениях a уравнение x 4 + (1 – 2a)x 2 + a 2 – 1 = 0 не имеет решений?
20. При каких значениях параметра a уравнение 2x 4 – 2ax 2 + a2 – 2 = 0 имеет одно или два решения?
21. При каждом значении a решить уравнение acos x cos 2x = cos 3x.
22. Найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство cos 2 x + 2asin x – 2a 2 – 4 выполняется для любого числа x.
23. При всех a решить уравнение log₂ (4 x + a) = x.
24. При каждом значении параметра a решить уравнение sin 2 x + asin 2 2x = sin .

🔥 Видео

Задание 18 (#3)Скачать

Алгебра 8 класс (Урок№20 - Нахождение приближённых значений квадратного корня.)Скачать

Прокофьев Параметры 010Скачать

✓ Параметры с нуля и до ЕГЭ | Задание 17. Профильный уровень | #ТрушинLive​​ #041 | Борис ТрушинСкачать

Не решая квадратное уравнение, найдите сумму кубов его корнейСкачать

Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Параметры, Легко Решаемые Графически | ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

Параметры 2. Теорема Виета. ЕГЭ №18Скачать