Расположение корней квадратного уравнения в зависимости от параметра.
Уметь применять следующие теоремы и следствия:
Пусть f(x) = ax2 + bc + c имеет действительные корни x1, x2 (которые могут быть кратными), а M, N – какие-нибудь действительные числа, причем M 1.
Пример 2. При каких значениях k один из коней уравнения (k2+k+1)x2+(2k-3)x+k-5=0 больше 1, а другой меньше 1?
Задачи с параметрами, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратного уравнения
Разделы: Математика
- Постановка цели урока:
Рассмотрим, как при решении задач с параметрами используются свойства квадратной функции. Задачи разнообразные по форме и содержанию, но объединены обшей идеей — в основе их решения лежат свойства функции: у=ах 2 +bх+с
Дискриминант, старший коэффициент а и хо=(-b/2а) абсцисса вершины параболы конструируют основу, на которой строится теория решения задач, связанных с квадратичной функцией.
- При каких значениях параметра а корни уравнения ах 2 -(2а+1)х+За-1=0 больше 1?
Очевидно, что задача равносильна следующей: “при каких значениях параметра, а корни квадратного трехчлена f(х)=ах -(2а+1)х+За-1 больше 1?
Переход от одной формулировки задач к другой дает возможность использовать основную идею решения, которая связана с описанием свойств квадратного трехчлена и с их геометрической интерпретацией.
В частности, чтобы корни квадратного трехчлена f(х)=ах +bх+с (а≠0) были больше числа d (х1; х2 > d) необходимо и достаточно выполнение условий:
Скажите, а как можно от совокупности двух систем перейти к одной системе
Мы получим условие того, что корни квадратного трехчлена больше данного числа d. Неплохо бы помнить данное утверждение, однако заучивать его не надо, гораздо важнее понять механизм возникновения необходимости неравенств и научиться его применить при решении конкретных неравенств и научиться его применить при решении конкретных задач. Вернемся к нашей задаче:
- а=0
=> х=-1 не удовлетворяет условию задачи
Остается только решить эту систему неравенств (1) при а (1; 
)
Скажите, а есть ли другой способ задач? (Этот же результат мы получим, решая неравенство x1>1, где x1 — меньший корень уравнения.)
- При каких значениях а корни уравнения х 2 -2(а-1)х+2а+1=0 имеют разные знаки и оба по абсолютной величине меньше 4?
- Как можно перефразировать данное задание? (Например, корни квадратичного трехчлена принадлежат промежутку (-4;4)
- Как можно заменить два последних неравенства в данной конкретной задаче, учитывая, что ветви параболы направлены вверх?
Развиваем I — ключевую задачу:
- При каких значениях параметра а оба корня уравнения х 2 -ах+2=0 удовлетворяет условию 1 -2 очень сложно.
- Найти а, при которых число -1 лежит между корнями уравнения х 2 +2ах+4а 2 -а-2=0 Мы варьируем условие! Во второй задаче корень лежит между числами, а в третьей число лежит между корнями.
Вернемся ко второй задаче: обязательно ли условие D≥0?
Развиваем III ключевую задачу:
3sinх+(4-2а)sinх+1 -а =0 имеем корни разного знака? Sinх=1; |t| ≤ 1
3t 2 — (4 — 2а)t +1 — а 2 = 0
 | f(-1)>0 f(1)>0 (0)>0 |  | | a 2 +2a-8 2 -2a 2 -1>0 | | | (a+4)(a-2) 0 |
Ответ: а 
(1,2)
- При каких а, уравнение соs 2 х-(а-2)соsх+4а+1=0 не имеет корней? cosх=t |t| 2 -4(4a+1) 2 -12a 0
f(-1) б х+cos б х+a*sinхсоsх≥0
sin 4 х-sin 2 хсоs 2 х+соs 4 х+аsinхсоsх≥0
1-3sin 2 хсоs 2 х+аsinхсоsх≥0
Ответ: 
7. При каких а корни уравнения х 2 -2х-а +1=0 лежат между корнями уравнения
При каких значениях а оба корня уравнения больше 3
Пример 2.2. Найти все значения параметр а, квадратное уравнение
(a – 2 )x 2 – 2 ax + 2 a – 3 = 0
имеет два различных положительных корня.
Решение : Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена ax 2 + bx + c были больше 0 (т.е. лежали на числовой оси правее 0 ), необходимо и достаточно выполнение условий:
В данном случае эти условия имеют вид (с учетом того, что D > 0 , когда a или a > 6 )
Откуда получаем:
Самостоятельно разберите ситуации когда:
оба корня отрицательны
один отрицательный, а другой положительный