Дорогой друг! Если ты никогда не решал задач с параметрами – прочитай статьи «Что такое параметр» и «Графический способ решения задач с параметрами». Квадратные уравнения, а тем более неравенства с параметрами только на первый взгляд кажутся простыми. Чтобы уверенно решать их, надо знать определенные приемы. О некоторых мы расскажем.
Разберем сначала подготовительные задачи. А в конце – реальную задачу ЕГЭ.
1. Найдите все значения a, при которых уравнение не имеет действительных корней.
Всегда ли это уравнение является квадратным относительно переменной х? – Нет, не всегда. В случае, когда коэффициент при равен нулю, оно станет линейным.
Рассмотрим два случая – когда это уравнение квадратное и когда оно линейное.
Тогда уравнение примет вид 2 = 0. Такое уравнение не имеет действительных корней, что удовлетворяет условию задачи.
Уравнение будет квадратным. Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда его дискриминант отрицательный.
Если и – корни квадратного уравнения
, то по теореме Виета:
Решим первое неравенство системы
Квадратный трехчлен в левой части не имеет корней, так как дискриминант равен -32, то есть отрицателен. Поэтому неравенство будет выполняться для всех действительных значений .
Возведем второе уравнение системы в квадрат:
Из этих двух уравнений выразим сумму квадратов и .
Значит, сумму квадратов корней уравнения можно выразить через параметр
График функции — парабола, ее ветви направлены вверх, минимум будет достигаться в ее вершине. Найдем вершину параболы:
3) Найдите все значения , при каждом из которых все решения уравнения
Как и в первой задаче, уравнение является квадратным, кроме случая, когда . Рассмотрим этот случай отдельно
1) . Получим линейное уравнение
У него единственный корень, причем положительный. Это удовлетворяет условию задачи.
2) При уравнение будет квадратным. Нам надо, чтобы решения существовали, причем были положительными. Раз решения есть, то .
Покажем один из приемов решения квадратичных уравнений и неравенств с параметрами. Он основан на следующих простых утверждениях:
— Оба корня квадратного уравнения и положительны тогда и только тогда, когда их сумма положительна и произведение положительно.
Очевидно, что сумма и произведение двух положительных чисел также положительны. И наоборот – если сумма и произведение двух чисел положительны, то и сами числа положительны.
— Оба корня квадратного уравнения и отрицательны тогда и только тогда, когда их сумма отрицательна, а произведение положительно.
Корни квадратного уравнения и имеют разные знаки тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно.
Сумма и произведение корней входят в формулировку теоремы Виета, которой мы и воспользуемся. Получим
Второе и третье неравенства имеют одинаковое решение . Решение первого неравенства:
.
С учетом пункта 1 получим ответ
4. При каких значениях параметра a уравнение
имеет единственное решение?
Уравнение является показательным, причем однородным. Мы умеем решать такие уравнения! Разделим обе части на .
Сделаем замену 
Для того, чтобы исходное уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы уравнение относительно t имело ровно один положительный корень.
1) В случае уравнение будет линейным
Значит, подходит. В этом случае уравнение имеет единственный положительный корень.
2) Если , уравнение будет квадратным.
Дискриминант является полным квадратом и поэтому всегда неотрицателен. Уравнение имеет либо один, либо два корня. В этом случае несложно найти корни в явном виде.
Один корень получился не зависящим от параметра, причем положительным. Это упрощает задачу.
Для того, чтобы уравнение имело единственный положительный корень, нужно, чтобы либо второй был отрицательным, либо равным нулю, либо чтобы корни совпадали. Рассмотрим все случаи.
Объединив все случаи, получим ответ.
И наконец – реальная задача ЕГЭ.
5. При каких значениях a система имеет единственное решение?
Решением квадратного неравенства может быть:
В каких случаях система двух квадратных неравенств имеет единственное решение:
1) единственная общая точка двух лучей-решений ( или интервалов-решений)
2) одно из неравенств имеет решение – точку, которая является решением второго неравенства
Рассмотрим первый случай.
Если является решением 1 и 2 уравнений, то является решением уравнения (вытекает из второго первое) ⇒ или
Если , при этом система примет вид:
Второй корень первого уравнения:
Второй корень второго первого:
Если , при этом система примет вид:
– бесконечно много решений, не подходит.
Рассмотрим второй случай.
– решением является точка, если – является решением второго неравенства.
– решением является точка, если – не является решением первого неравенства.
Видео:896 Алгебра 8 класс При каких значениях а уравнение Квадратное имеет 2 корня принадлежащиеСкачать
Задачи с параметром. Взаимное расположение корней квадратного уравнения
Разделы: Математика
I. Рассмотрим задачи, связанные с расположением корней квадратного уравнения относительно некоторых характерных точек.
| № | Условия на корни |
| 1 | x1 A, x2 > A |
| 4 | A B A B |
Во многих случаях нахождение корней уравнения и решение иррациональных неравенств приводит к громоздким преобразованиям.
В то же время использование свойств квадратичной функции позволяет существенно упростить решение, свести его к решению рациональных неравенств.
В математике, пожалуй, самое интересное – это задачи. Вместе с тем это и самое трудное. «Решение задач – практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано. Научиться ему можно, подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь. Помните: если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!» (Д. Пойа)
II. Основное внимание – наглядности – график квадратного трехчлена
Обоснование утверждений существенно опирается на чертеж. Логичен и оправдан переход:
1) Вербальная модель (словесное описание задачи)
2) Геометрическая модель, соответствующая условиям задачи (график квадратного трехчлена)
3) Аналитическая модель (описание геометрической модели системой неравенств)
III. Решение задач
№ 1. При каких m уравнение x 2 – (2m + 1)x + 3m – 4 = 0 имеет два корня, один из которых больше 2, а другой меньше 2?
1) Рассмотрим функцию f(x) = x 2 – (2m + 1)x + 3m – 4. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
4) Т.о. получаем неравенство:
Ответ: при m > – 2 уравнение имеет два корня, один из которых больше 2, а другой меньше 2.
№ 2. При каких m уравнение mx 2 + (3m – 2)x + m – 3 = 0 имеет корни разных знаков?
1) m = 0 – контрольное значение параметра.
При m = 0 данное уравнение примет вид: – 2х – 3 = 0
х = – 1,5, что не удовлетворяет условиям задачи.
2) При m =/= 0 рассмотрим уравнение в виде 
.
3) Рассмотрим функцию 
. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
1) Рассмотрим функцию f(x) = x 2 – 3(m + 1)x + 12m – 4. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
Расшифруем эти условия:
7) Т.о. получаем смешанную систему: 
U 
8) Объединяя полученные значения параметра, получим ответ.
Ответ: при 
квадратный трехчлен имеет только один корень больше 3.
№ 4 Определить все значения действительного параметра а, при которых корни квадратного трехчлена ax 2 + ax + 1 различны и лежат на [0; 2].
1) Рассмотрим функцию f(x) = ax 2 + ax + 1. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
2) Т.к. 0 0; 2) f(0) > 0; 3) f(2) > 0; 4) 0 2 2 + ax + 1 различны и лежат на [0; 2].
№ 5 При каких m уравнение (m + 1) x 2 – 2mx + 2m – 2 = 0 имеет два различных корня одного знака?
Решение (1 способ)
1) m = – 1 – контрольное значение параметра.
При m = – 1 данное уравнение примет вид: 2х – 4 = 0
х = 2, что не удовлетворяет условиям задачи.
2) При m =/= – 1 рассмотрим уравнение в виде 
.
3) Рассмотрим функцию 
. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
4) Т.к. x1 0; x2 > 0, то придется построить две геометрические модели, соответствующие условиям задачи.
Практически придется решить две задачи и объединить полученные значения параметра. Очень большой объем работы.
Решение (2 способ)
1) – 2) – аналогично (см. 1 способ)
3) Квадратное уравнение имеет два различных корня, если D > 0.
4) Расшифруем эти условия:
Согласно теореме Виета, x1 · x2 = 
.
5) Т.о. получаем систему неравенств:
Ответ: при 
уравнение (m + 1) x 2 – 2mx + 2m – 2 = 0 имеет два различных корня одного знака.
О расположении корней квадратного трехчлена, коэффициенты которого зависят от параметра.
При решении таких задач удобнее всего использовать геометрическую модель, соответствующую условию задачи, и выполнить аналитическое описание этой модели.
x1 и x2 – корни многочлена f(x) = ax 2 + bx + c (a 0), D = b 2 – 4ac, 
Видео:Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать
При каких а уравнение имеет два корня разных знаков
КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III
§ 53. Исследование знаков корней квадратного уравнения по его коэффициентам
Используя теорему Виета, можно, не решая уравнения x 2 + px + q = 0. определить, какими будут его корни: положительными или отрицательными. Но при этом, конечно, нужно быть уверенным в том, что рассматриваемое уравнение имеет корни. Если же корней нет, то говорить о знаках корней не имеет смысла. Поэтому на протяжении всего этого параграфа мы будем предполагать, что рассматриваемое приведенное квадратное уравнение x 2 + px + q = 0 имеет корни, то есть дискриминант его неотрицателен.
1) Пусть q > 0; тогда оба корня имеют одинаковые знаки, поскольку x1 • х2= q > 0.
Если к тому же р 0, значит, оба корня положительны.
Если р > 0, то x1 + х2 = — р 0, то x1 + х2 = — р 0. Это возможно только тогда, когда положительный корень больше абсолютной величины отрицательного корня.
При р = 0 x1 + х2 = 0, откуда x1= — х2 в этом случае корни равны по абсолютной величине и противоположны по знаку.
3) Осталось рассмотреть случай, когда q = 0. Тогда x1 • х2 = 0, поэтому хотя бы один из корней равен нулю.
Пусть для определенности x1 = 0, тогда другой корень найдется из условия x1 + х2 = — р, откуда х2 = — р. Значит, в этом случае один корень равен нулю, а другой представляет собой число, противоположное коэффициенту р.
Если же и р = 0, то уравнение имеет , два равных корня: x1= х2 = 0.
Полученные результаты исследования знаков корней представлены в таблице .
Еще раз отметим, что приведенные здесь рассуждения верны лишь в предположении, что исследуемое уравнение имеет действительные корни, то есть его дискриминант неотрицателен.
Рассмотрим несколько примеров на исследование знаков корней квадратных уравнений.
1) x 2 — 8х — 9 = 0. Дискриминант этого уравнения равен D = 64 + 36 = 100 > 0. Поэтому уравнение имеет два различных действительных корня.
Вследствие того, что x1 • х2 = — 9, корни должны иметь разные знаки,
а так как x1 + х2 = 8, то абсолютная величина отрицательного корня меньше положительного корня.
2) x 2 + 7х + 10 = 0. Дискриминант этого уравнения равен D = 49 — 40 = 9 > 0. Поэтому уравнение имеет два различных действительных корня.
Так как x1 • х2 = 10 > 0, то корни имеют одинаковые знаки.
Кроме того, x1 + х2 = —7, значит, оба корня отрицательны.
3) x 2 — х + 1 = 0. Для данного уравнения
D = (—1) 2 — 4 = — 3 2 + bx + c = 0 . Для этого сначала нужно посредством деления на а привести данное уравнение к приведенному квадратному уравнению x 2 + b /a х + c /a = 0, а затем для этого уравнения провести описанные выше рассуждения.
Пусть, например, нужно исследовать знаки корней уравнения —3x 2 + 5х — 2 == 0. Дискриминант этого уравнения равен D = 25 — 24 = 1 > 0. Поэтому оно имеет два различных действительных корня.
Разделив обе части уравнения на — 3, получим: x 2 — 5 /3х + 2 /3 = 0. Отсюда видно, что корни данного уравнения имеют одинаковые знаки, так как x1 • х2 = 2 /3 > 0. Кроме того, x1 + х2 = 5 /3 > 0. Следовательно, оба корня положительны.
Не решая данных уравнений (№ 391—400), определить знаки их корней:
Проверить себя, да и вообще исследовать квадратные уравнения полные и приведенные можно, с помощью соответствующих алгоритмов в программе EXCEL. Алгоритм можно усовершенствовать для отображения промежуточных результатов вычислений.
401. При каких значениях а корни уравнения
имеют одинаковые знаки и при каких — разные?
402. При каких значениях а корни уравнения
имеют одинаковые знаки и при каких — разные?
📽️ Видео
#118 Урок 43 Квадратные уравнения. Параметры. При каком значении параметра уравнение имеет 1 корень.Скачать
310 Алгебра 9 класс. При каких значениях в Уравнение имеет 2 корня.Скачать
Задача Олимпиады ОММО При каких значениях параметра a уравнение имеет два различных корня суммаСкачать
961 Алгебра 8 класс . При каких значениях уравнение имеет два корня принадлежащие интервалуСкачать
5. ПРИ КАКИХ ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРА УРАВНЕНИЕ ИМЕЕТ КОРЕНЬ, РАВНЫЙ ЧИСЛУ ... ?Скачать
Самая сложная тема из ЕГЭ. Задание с ПАРАМЕТРОМ | Математика TutorOnlineСкачать
При каких значениях параметра уравнение имеет единственный кореньСкачать
СЛОЖИТЕ ДВА КОРНЯСкачать
Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать
Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать
Решите уравнение ➜ 2x^(2x)=1 ➜ Откуда 2 корня?Скачать
Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСССкачать
Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать
✓ Параметры с нуля и до ЕГЭ | Задание 17. Профильный уровень | #ТрушинLive #041 | Борис ТрушинСкачать
Алгебра 8 класс (Урок№19 - Уравнение х² = а.)Скачать
897 Алгебра 8 класс При каких значениях уравнение имеет два отрицательных корня Квадратные уравненияСкачать
ЕГЭ математика параметр 18#5.18🔴Скачать
Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать
