Данный калькулятор предназначен для решения тригонометрических уравнений. Тригонометрические уравнения – это уравнения, которые содержат в себе тригонометрические функции неизвестного аргумента. Под тригонометрическими функциями понимают математические функции от величины угла. Как правило, тригонометрические функции определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника или длины определенных отрезков в единичной окружности.
К основным видам тригонометрических уравнений относят простейшие уравнения, содержащие модуль, с параметрами, с целой и дробной частью, со сложными аргументами, с обратными тригонометрическими функциями.
С помощью калькулятора можно вычислить корни тригонометрического уравнения. Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.
Любое тригонометрическое уравнение нужно стремиться свести к одному из видов:
где (t) – выражение с иксом, (a) – число. Такие тригонометрические уравнения называются простейшими. Их легко решать с помощью числовой окружности ( тригонометрического круга ) или специальных формул:
Решим уравнение с помощью числовой окружности. Для этого: 1) Построим оси. 2) Построим окружность. 3) На оси синусов (оси (y)) отметим точку (-) (frac) . 4) Проведем перпендикуляр к оси синусов через эту точку. 5) Отметим точки пересечения перпендикуляра и окружности. 6)Подпишем значения этих точек: (-) (frac) ,(-) (frac) . 7) Запишем все значения соответствующие этим точкам с помощью формулы (x=t+2πk), (k∈Z): (x=-) (frac) (+2πk), (k∈Z); (x=-) (frac) (+2πn), (n∈Z)
Что означает каждый символ в формуле корней тригонометрических уравнений смотри в видео .
Внимание! Уравнения (sinx=a) и (cosx=a) не имеют решений, если (a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)). Потому что синус и косинус при любых икс больше или равны (-1) и меньше или равны (1):
Пример. Решить уравнение (cosx=-1,1). Решение: (-1,1 (frac) , (frac) 7) Запишем все значения этих точек. Так как они находятся друг от друга на расстоянии ровно в (π), то все значения можно записать одной формулой:
Опять воспользуемся числовой окружностью. 1) Построим окружность, оси (x) и (y). 2) На оси косинусов (ось (x)) отметим (0). 3) Проведем перпендикуляр к оси косинусов через эту точку. 4) Отметим точки пересечения перпендикуляра и окружности. 5) Подпишем значения этих точек: (-) (frac),(frac) . 6)Выпишем все значение этих точек и приравняем их к аргументу косинуса (к тому что внутри косинуса).
7) Дальше решать в таком виде несколько трудновато, разобьем уравнение на два.
8) Как обычно в уравнениях будем выражать (x). Не забывайте относиться к числам с (π), так же к (1), (2), (frac) и т.п. Это такие же числа, как и все остальные. Никакой числовой дискриминации!
Сводить тригонометрические уравнения к простейшим – задача творческая, тут нужно использовать и тригонометрические формулы , и особые методы решений уравнений: — Метод введения новой переменной (самый популярный в ЕГЭ). — Метод разложения на множители . — Метод вспомогательных аргументов.
Рассмотрим пример решения квадратно-тригонометрического уравнения
Наше уравнение превратилось в типичное квадратное . Можно его решить с помощью дискриминанта .
(D=25-4 cdot 2 cdot 2=25-16=9)
Делаем обратную замену.
Первое уравнение решаем с помощью числовой окружности. Второе уравнение не имеет решений т.к. (cosx∈[-1;1]) и двум быть равен не может ни при каких иксах.
Запишем все числа, лежащие на числовой окружности в этих точках.
Ответ: (x=±) (frac) (+2πk), (k∈Z).
Пример решения тригонометрического уравнения с исследованием ОДЗ:
Видео:Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать
Калькулятор онлайн. Решение тригонометрических уравнений.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое уравнение. Программа для решения тригонометрического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы. Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >>С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите тригонометрическое уравнение Решить уравнение
Видео:Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачиСкачать
Видео:10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать
Уравнение cos(х) = а
Из определения косинуса следует, что ( -1 leqslant cos alpha leqslant 1 ). Поэтому если |a| > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos х = -1,5 не имеет корней.
Уравнение cos x = а, где ( |a| leqslant 1 ), имеет на отрезке ( 0 leqslant x leqslant pi ) только один корень. Если ( a geqslant 0 ), то корень заключён в промежутке ( left[ 0; ; frac right] ); если a
Видео:График функции y=sinx и ее свойства. 10 класс.Скачать
Уравнение sin(х) = а
Из определения синуса следует, что ( -1 leqslant sin alpha leqslant 1 ). Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin x = а не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.
Уравнение sin х = а, где ( |a| leqslant 1 ), на отрезке ( left[ -frac; ; frac right] ) имеет только один корень. Если ( a geqslant 0 ), то корень заключён в промежутке ( left[ 0; ; frac right] ); если а
Видео:10 класс, 16 урок, Функции y=sinx, y=cosx, их свойства и графикиСкачать
Уравнение tg(х) = а
Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а.
Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале ( left( -frac; ; frac right) ) только один корень. Если ( |a| geqslant 0 ), то корень заключён в промежутке ( left[ 0; ; frac right) ); если а
Видео:Как решать уравнение с модулем Уравнение с модулями как решать Как раскрыть модуль в уравненииСкачать
Решение тригонометрических уравнений
Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin(x) = a, cos(x) = а, tg(x) = а. К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.
Видео:10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функцииСкачать
Уравнения, сводящиеся к квадратным
Решить уравнение 2 cos 2 (х) — 5 sin(х) + 1 = 0
Заменяя cos 2 (х) на 1 — sin 2 (х), получаем 2 (1 — sin 2 (х)) — 5 sin(х) + 1 = 0, или 2 sin 2 (х) + 5 sin(х) — 3 = 0. Обозначая sin(х) = у, получаем 2у 2 + 5y — 3 = 0, откуда y1 = -3, y2 = 0,5 1) sin(х) = — 3 — уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1; 2) sin(х) = 0,5; ( x = (-1)^n text(0,5) + pi n = (-1)^n frac + pi n, ; n in mathbb ) Ответ ( x = (-1)^n frac + pi n, ; n in mathbb )
В общем случае уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c, при условиях ( a neq 0, ; b neq 0, ; c neq 0, ; c^2 leqslant b^2+c^2 ) можно решить методом введения вспомогательного угла. Разделим обе части этого уравнения на ( sqrt ):
