При каких а сумма квадратов действительных корней уравнения равна их произведению (7 видео)

Квадратные уравнения и квадратичные неравенства с параметрами

Дорогой друг! Если ты никогда не решал задач с параметрами – прочитай статьи «Что такое параметр» и «Графический способ решения задач с параметрами». Квадратные уравнения, а тем более неравенства с параметрами только на первый взгляд кажутся простыми. Чтобы уверенно решать их, надо знать определенные приемы. О некоторых мы расскажем.

Разберем сначала подготовительные задачи. А в конце – реальную задачу ЕГЭ.

1. Найдите все значения a, при которых уравнение не имеет действительных корней.

Всегда ли это уравнение является квадратным относительно переменной х? – Нет, не всегда. В случае, когда коэффициент при равен нулю, оно станет линейным.

Рассмотрим два случая – когда это уравнение квадратное и когда оно линейное.

Тогда уравнение примет вид 2 = 0. Такое уравнение не имеет действительных корней, что удовлетворяет условию задачи.

Уравнение будет квадратным. Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда его дискриминант отрицательный.

Если и – корни квадратного уравнения
, то по теореме Виета:

Решим первое неравенство системы

Квадратный трехчлен в левой части не имеет корней, так как дискриминант равен -32, то есть отрицателен. Поэтому неравенство будет выполняться для всех действительных значений .

Возведем второе уравнение системы в квадрат:

Из этих двух уравнений выразим сумму квадратов и .

Значит, сумму квадратов корней уравнения можно выразить через параметр

График функции — парабола, ее ветви направлены вверх, минимум будет достигаться в ее вершине. Найдем вершину параболы:

3) Найдите все значения , при каждом из которых все решения уравнения

Как и в первой задаче, уравнение является квадратным, кроме случая, когда . Рассмотрим этот случай отдельно

1) . Получим линейное уравнение

У него единственный корень, причем положительный. Это удовлетворяет условию задачи.

2) При уравнение будет квадратным. Нам надо, чтобы решения существовали, причем были положительными. Раз решения есть, то .

Покажем один из приемов решения квадратичных уравнений и неравенств с параметрами. Он основан на следующих простых утверждениях:

— Оба корня квадратного уравнения и положительны тогда и только тогда, когда их сумма положительна и произведение положительно.

Очевидно, что сумма и произведение двух положительных чисел также положительны. И наоборот – если сумма и произведение двух чисел положительны, то и сами числа положительны.

— Оба корня квадратного уравнения и отрицательны тогда и только тогда, когда их сумма отрицательна, а произведение положительно.

Корни квадратного уравнения и имеют разные знаки тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно.

Сумма и произведение корней входят в формулировку теоремы Виета, которой мы и воспользуемся. Получим

Второе и третье неравенства имеют одинаковое решение . Решение первого неравенства:
.

С учетом пункта 1 получим ответ

4. При каких значениях параметра a уравнение

имеет единственное решение?

Уравнение является показательным, причем однородным. Мы умеем решать такие уравнения! Разделим обе части на .

Сделаем замену

Для того, чтобы исходное уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы уравнение относительно t имело ровно один положительный корень.

1) В случае уравнение будет линейным

Значит, подходит. В этом случае уравнение имеет единственный положительный корень.

2) Если , уравнение будет квадратным.

Дискриминант является полным квадратом и поэтому всегда неотрицателен. Уравнение имеет либо один, либо два корня. В этом случае несложно найти корни в явном виде.

Один корень получился не зависящим от параметра, причем положительным. Это упрощает задачу.

Для того, чтобы уравнение имело единственный положительный корень, нужно, чтобы либо второй был отрицательным, либо равным нулю, либо чтобы корни совпадали. Рассмотрим все случаи.

Объединив все случаи, получим ответ.

И наконец – реальная задача ЕГЭ.

5. При каких значениях a система имеет единственное решение?

Решением квадратного неравенства может быть:

В каких случаях система двух квадратных неравенств имеет единственное решение:

1) единственная общая точка двух лучей-решений ( или интервалов-решений)

2) одно из неравенств имеет решение – точку, которая является решением второго неравенства

Рассмотрим первый случай.

Если является решением 1 и 2 уравнений, то является решением уравнения (вытекает из второго первое) ⇒ или

Если , при этом система примет вид:

Второй корень первого уравнения:

Второй корень второго первого:

Если , при этом система примет вид:

– бесконечно много решений, не подходит.

Рассмотрим второй случай.

– решением является точка, если – является решением второго неравенства.

– решением является точка, если – не является решением первого неравенства.

Видео:Найти значение суммы и произведения корней квадратного уравненияСкачать

8.2.4. Применение теоремы Виета

Часто требуется найти сумму квадратов (x₁ 2 +x₂ 2 ) или сумму кубов (x₁ 3 +x₂ 3 ) корней квадратного уравнения, реже — сумму обратных значений квадратов корней или сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения:

Помочь в этом может теорема Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 +px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Выразим через p и q:

1) сумму квадратов корней уравнения x 2 +px+q=0;

2) сумму кубов корней уравнения x 2 +px+q=0.

Решение.

1) Выражение x₁ 2 +x₂ 2 получится, если взвести в квадрат обе части равенства x₁+x₂=-p;

(x₁+x₂) 2 =(-p) 2 ; раскрываем скобки: x₁ 2 +2x₁x₂+ x₂ 2 =p 2 ; выражаем искомую сумму: x₁ 2 +x₂ 2 =p 2 -2x₁x₂=p 2 -2q. Мы получили полезное равенство: x₁ 2 +x₂ 2 =p 2 -2q.

2) Выражение x₁ 3 +x₂ 3 представим по формуле суммы кубов в виде:

Еще одно полезное равенство: x₁ 3 +x₂ 3 =-p·(p 2 -3q).

Примеры.

3) x 2 -3x-4=0. Не решая уравнение, вычислите значение выражения x₁ 2 +x₂ 2 .

Решение.

По теореме Виета сумма корней этого приведенного квадратного уравнения

x₁+x₂=-p=3, а произведение x₁∙x₂=q=-4. Применим полученное нами (в примере 1) равенство:

x₁ 2 +x₂ 2 =p 2 -2q. У нас -p=x₁+x₂=3 → p 2 =3 2 =9; q=x₁x₂=-4. Тогда x₁ 2 +x₂ 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

4) x 2 -2x-4=0. Вычислить: x₁ 3 +x₂ 3 .

Решение.

По теореме Виета сумма корней этого приведенного квадратного уравнения x₁+x₂=-p=2, а произведение x₁∙x₂=q=-4. Применим полученное нами (в примере 2) равенство: x₁ 3 +x₂ 3 =-p·(p 2 -3q)=2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

Ответ: x₁ 3 +x₂ 3 =32.

Вопрос: а если нам дано не приведенное квадратное уравнение? Ответ: его всегда можно «привести», разделив почленно на первый коэффициент.

5) 2x 2 -5x-7=0. Не решая, вычислить: x₁ 2 +x₂ 2 .

Решение. Нам дано полное квадратное уравнение. Разделим обе части равенства на 2 (первый коэффициент) и получим приведенное квадратное уравнение: x 2 -2,5x-3,5=0.

По теореме Виета сумма корней равна 2,5; произведение корней равно -3,5.

Решаем так же, как пример 3), используя равенство: x₁ 2 +x₂ 2 =p 2 -2q.

x₁ 2 +x₂ 2 =p 2 -2q=2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Ответ: x₁ 2 +x₂ 2 =13,25.

6) x 2 -5x-2=0. Найти:

Преобразуем это равенство и, заменив по теореме Виета сумму корней через -p, а произведение корней через q, получим еще одну полезную формулу. При выводе формулы использовали равенство 1): x₁ 2 +x₂ 2 =p 2 -2q.

В нашем примере x₁+x₂=-p=5; x₁∙x₂=q=-2. Подставляем эти значения в полученную формулу:

7) x 2 -13x+36=0. Найти:

Преобразуем эту сумму и получим формулу, по которой можно будет находить сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения.

У нас x₁+x₂=-p=13; x₁∙x₂=q=36. Подставляем эти значения в выведенную формулу:

Совет: всегда проверяйте возможность нахождения корней квадратного уравнения по подходящему способу, ведь 4 рассмотренные полезные формулы позволяют быстро выполнить задание, прежде всего, в тех случаях, когда дискриминант — «неудобное» число. Во всех простых случаях находите корни и оперируйте ими. Например, в последнем примере подберем корни по теореме Виета: сумма корней должна быть равна 13, а произведение корней 36. Что это за числа? Конечно, 4 и 9. А теперь считайте сумму квадратных корней из этих чисел: 2+3=5. Вот так то!

Видео:#67. Сумма квадратов корней в уравнении с параметром!Скачать

Параметр в квадратном уравнении

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Решение квадратных уравнений с параметрами

Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение — параметрическим.

Научиться решать любые задачи с параметрами, используя какой-то алгоритм или формулы, нельзя. Надо использовать соображения, рассматривать их как задачи исследовательские.

Уравнение вида ах 2 + bх + с = 0 , а ≠ 0, где коэффициенты а, b, с – любые действительные числа, называется квадратным.

Выражение b 2 – 4ас называют дискриминантом квадратного уравнения.

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет единственный действительный корень (или говорят, что это уравнение имеет два кратных корня ).

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня .

а ≠ 0, то сумма корней равна , а их произведение равно .

Обратное утверждение: Если числа х ₁ , х ₂ таковы, что

, , то эти числа – корни уравнения ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0 .

Значения параметра, при которых или при переходе через которые происходит качественное изменение уравнения, можно назвать контрольными или особыми. Очень важно уметь находить их.

При решении квадратного уравнения с параметрами контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х 2 обращается в нуль.

Если этот коэффициент равен нулю, то уравнение превращается в линейное;

если же этот коэффициент отличен от нуля, то имеем квадратное уравнение (в этом и состоит качественное изменение уравнения).

Понятие квадратного трехчлена и его свойства.

Квадратным трехчленом называется выражение вида ax ²+ bx + c , где a ≠0. Графиком соответствующей квадратичной функции является парабола.

При a a >0 ветви направлены вверх.

Выражение x ²+ px + q называется приведенным квадратным трехчленом.

В зависимости от величины дискриминанта D = b ²- 4 ac возможны следующие случаи расположения графика квадратного трехчлена:

при D >0 существуют две различные точки пересечения параболы с осью Ох (два различных корня трехчлена);

при D =0 эти две точки сливаются в одну, то есть парабола касается оси Ох (один корень трехчлена);

В последнем случае при а>0 парабола лежит целиком выше оси Ох,

«Белое пятнышко» в теме «Квадратный трёхчлен и квадратичная функция» может привести к появлению «мёртвых зон» и провалов в наших знаниях элементарной математики. Кстати, преподаватели мехмата МГУ О. Черкасова и А. Якушева утверждают: « Во многих так называемых задачах повышенной сложности «торчат уши квадратного трехчлена».

. Расположение параболы по отношению к оси абсцисс

в зависимости от коэффициента а и дискриминанта.

Теоремы о знаках корней квадратного трехчлена.

Теорема 1. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношений:

а оба корня будут отрицательны, если x 1+ x 2= — b / a

Теорема 2. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена имели разные знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношения x 1• x 2= c / a

В данном случае нет необходимости проверять знак дискриминанта, поскольку при выполнении условия c / a c • a D = b ²-4 ac >0.

Расположение корней квадратного трехчлена

Рассмотрим теперь особенности расположения корней квадратного трехчлена с заданными свойствами на координатной плоскости.

Решение задач, для которых характерны следующие формулировки : при каких значениях параметра корни ( только один корень) больше (меньше, не больше, не меньше) заданного числа р; корни расположены между числами p и q и т.д.; опирается на утверждения о расположении корней квадратичной функции.

При решении многих задач требуется знание следующих теорем и следствий.

Пусть f(х) = ах 2 + bx + с имеет действительные корни х₁, х₂ (которые могут быть кратными), а М, N – какие-нибудь действительные числа, причем М

Теорема 1. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число М (то есть лежали на числовой оси левее, чем точка М), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

или

Теорема 2. Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число М, а другой больше, чем М (то есть точка М лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

или

Эти две системы можно заменить формулой .

Теорема 3. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число М (то есть лежали на числовой оси правее, чем точка М), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

или

Следствие 1. Для того , чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число М, но меньше, чем число N (то есть лежали в интервале между М и N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

или

Следствие 2. Для того чтобы больший корень квадратного трехчлена лежал в интервале между М и N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

или

Следствие 3. Для того чтобы только меньший корень квадратного трехчлена лежал в интервале между М и N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

или

Следствие 4. Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число М, но меньше, а другой больше, чем число N (то есть отрезок МN лежал внутри интервала между корнями), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

или

Акцентировать внимание надо на то, что здесь контрольными являются: направление ветвей параболы, знаки значений f(M), f(N), расположение вершины параболы..

Задача 1. При каких значениях параметра а уравнение х 2 +2∙(а+1)х+9=0 имеет два различных положительных корня?

Решение. Так как по условию корни различны, то D >0. Воспользуемся теоремой 1(о знаках корней квадратного трехчлена). Составим систему :

D= (a+1) 2 — 9 >0, (a-2)∙(a+4)>0,

Решив последнюю систему, получим , что -∞ a a

Задача 2. При каких значениях параметра а уравнение х 2 -4х + (4-а 2 )=0

имеет два корня разных знаков?

Решение. Воспользуемся теоремой 2 ( о знаках корней квадратного трехчлена). Запишем условие:

4-а 2 2 > 4 │а│> 2 => а 2. Ответ: а 2 .

Задача 3. При каких значениях параметра а уравнение х 2 – 2ах + а 2 – а- 6 =0 имеет два разных отрицательных корня?

Решение. Воспользуемся теоремой 1 (о расположении корней квадратного трехчлена) и запишем систему :

D >0 , а+6>0,

f (0)>0 ; a 2 — a -6>0.

Решив последнюю систему, получим -6 a a

Задача 4. При каких значениях параметра а число 2 находится между корнями квадратного уравнения х 2 + (4а+5)∙х + 3-2а =0.

Решение. Пусть х₁ и х₂ корни квадратного трехчлена, причем х₁

D= 16a 2 +48 a +13 >0,

F (2)= 2 2 + (4 a +5)∙2 +3- 2 a

Задача 5. При каких значениях параметра а корни уравнения

4х 2 – 2х + а =0 находятся между числами -1 и 1?

Решение. Так как корни находятся между числами -1 и 1,

Следствием 1 и составим систему :

-1 0 ,

Решив систему, получим -2

Теорема Виета и задачи с параметрами.

Задача 6 . При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения равна ?

Решение. Найдем дискриминант . Уравнение имеет два корня при любом a. Используя теорему Виета, найдем

+ =(+)²-2=(3 a )²-2 a ²

Поскольку , то , a =0,5; -0,5. Ответ: a =0,5; -0,5.

Задача7 . При каком значении m сумма квадратов корней уравнения

Задача 8. Найти все значения параметра а, при которых модуль разности корней уравнения x 2 -6 x +12+ a 2 -4 a =0 принимает наибольшее значение.

, — корни уравнения, тогда | — |

-расстояние между корнями, и оно, по условию, должно быть наибольшим.

Уравнение запишем в виде: -6 x +12=- a ²+4 a

и решим его графически.

= 3, y _в =3

-прямая, параллельная оси ОХ.

Чем выше она пройдет, тем больше расстояние между корнями ,т.е. надо узнать, при каком значении а функция у= y ( a )= a ²+4 a

принимает наибольшее значение .

Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз.

Функция достигает наибольшего значения при =2.

Графический способ определения числа корней уравнения с параметром.

Рациональность любого верного решения опирается на условия задачи и напрямую зависит от них. Иногда графический метод помогает быстрее и удобнее решить задачу.

Остановимся на нахождении числа решений уравнений с параметрами, в которых под знаком модуля находится квадратный трёхчлен.

Задача 9. Найдите число решений уравнения

Решение: Построим график функции — 2 x – 3 | .

Выделим полный квадрат:

(1; -4) -координаты вершины параболы

Уравнение = a имеет столько решений, сколько

раз прямая у = а пересекает график функции

если , то графики не имеют общих точек, т.е. нет решения;

если , то графики имеют две общие точки , т.е. два решения;

если , то графики имеют четыре общие точки — четыре решения;

если , то графики имеют три общие точки , т.е. три решения;

если , то графики имеют две общие точки , т.е. два решения.

y = a (

4 y = a (

y = a (

Задача 10 . Для каждого значения параметра а определите число решений

уравнения .

Решение: Здесь в отличие от предыдущего уравнения параметр а входит в выражение, как стоящее под знаком модуля, так и находящееся вне его. Преобразуем левую часть данного уравнения:

Строим схематически график левой части данного уравнения с учётом того, что дискриминант квадратного трёхчлена всегда положителен: .

Проводим горизонтальные прямые – графики функции у = а + 3

При различных значениях параметра а.

Если , т.е. , то графики и

не пересекаются, и значит, нет решений.

Если а + 3 = 0, т.е. а = -3, то графики пересекаются в двух точках

-уравнение имеет два решения.

Если , то графики имеют четыре общие точки ,

а уравнение – четыре решения.

Найдём, при каких значениях а уравнение будет иметь четыре решения. Для этого решим двойное неравенство

, или

Значит, при и уравнение имеет четыре решения. Если = -1 и а = 2, то графики имеют три

Общие точки . Значит, уравнение имеет три решения.

Если же то графики пересекаются в двух точках , т.е. уравнение имеет два решения.

y = a +3

y = a +3 (

y = a + 3 (

Графический метод не дает в большинстве случаев точного решения уравнения, однако, часто оказывается более эффективным, чем аналитический, т.к. он может быть полезен для наглядной иллюстрации

рассуждений. Но не стоит забывать о его «подводных рифах», так как иногда не все решения можно увидеть . В силу ограниченности наших графических возможностей абсолютно точный график в принципе построить нельзя, поэтому слепо доверять рисунку может быть просто опасно. Более того, часто случается, что при решении задач подобным способом не обойтись без аналитических формул и вычислений.