Преобразуйте уравнение чтобы оно стало приведенным 2х2 8х 4 0 (4 видео)

Содержание

Решение задач по математике онлайн
Калькулятор онлайн. Решение показательных уравнений.
Немного теории.
Показательная функция, её свойства и график
Показательные уравнения
Общие методы преобразования уравнений
2x²-2x-4=0 (2 умножить на x в квадрате минус 2 умножить на x минус 4 равно 0) решить через дискриминант и по теореме Виета, найти корни.
Калькулятор квадратных уравнений
Введите данные:
Округление:
Уравнение:
Дискриминант:
Корни квадратного уравнения:
Решение по теореме Виета
Преобразование в приведённый вид
Разложение на множители
🔍 Видео

Видео:Алгебра 8 класс (Урок№19 - Уравнение х² = а.)Скачать

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Калькулятор онлайн.
Решение показательных уравнений.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить показательное уравнение. Программа для решения показательного уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите показательное уравнение
Решить уравнение

Видео:Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Немного теории.

Видео:Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать

Показательная функция, её свойства и график

Напомним основные свойства степени. Пусть а > 0, b > 0, n, m — любые действительные числа. Тогда
1) a n a m = a n+m

4) (ab) n = a n b n

7) a n > 1, если a > 1, n > 0

8) a n m , если a > 1, n n > a m , если 0 x , где a — заданное положительное число, x — переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.

Определение. Показательной функцией называется функция вида y = a x , где а — заданное число, a > 0, ( a neq 1)

Показательная функция обладает следующими свойствами

1) Область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.
Это свойство следует из того, что степень a x где a > 0, определена для всех действительных чисел x.

2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.
Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение a x = b, где а > 0, ( a neq 1), не имеет корней, если ( b leqslant 0), и имеет корень при любом b > 0.

3) Показательная функция у = a x является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 x при a > 0 и при 0 x при a > 0 проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Oх.
Если х x при a > 0.
Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.

График функции у = a x при 0 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика.
Если х

Видео:Математика| Разложение квадратного трехчлена на множители.Скачать

Показательные уравнения

Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения a x = a b где а > 0, ( a neq 1), х — неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0, ( a neq 1) равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

Решить уравнение 2 3x • 3 x = 576
Так как 2 3x = (2 3 ) x = 8 x , 576 = 24 2 , то уравнение можно записать в виде 8 x • 3 x = 24 2 , или в виде 24 x = 24 2 , откуда х = 2.
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 х + 1 — 2 • 3 x — 2 = 25
Вынося в левой части за скобки общий множитель 3 х — 2 , получаем 3 х — 2 (3 3 — 2) = 25, 3 х — 2 • 25 = 25,
откуда 3 х — 2 = 1, x — 2 = 0, x = 2
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 х = 7 х
Так как ( 7^x neq 0 ) , то уравнение можно записать в виде ( frac = 1 ), откуда ( left( frac right) ^x = 1 ), х = 0
Ответ х = 0

Решить уравнение 9 х — 4 • 3 х — 45 = 0
Заменой 3 х = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t 2 — 4t — 45 = 0. Решая это уравнение, находим его корни: t₁ = 9, t₂ = -5, откуда 3 х = 9, 3 х = -5.
Уравнение 3 х = 9 имеет корень х = 2, а уравнение 3 х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 • 2 х + 1 + 2 • 5 x — 2 = 5 х + 2 х — 2
Запишем уравнение в виде
3 • 2 х + 1 — 2 x — 2 = 5 х — 2 • 5 х — 2 , откуда
2 х — 2 (3 • 2 3 — 1) = 5 х — 2 ( 5 2 — 2 )
2 х — 2 • 23 = 5 х — 2 • 23
( left( frac right) ^ = 1 )
x — 2 = 0
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 |х — 1| = 3 |х + 3|
Так как 3 > 0, ( 3 neq 1), то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|
Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х — 1) 2 = (х + 3) 2 , откуда
х 2 — 2х + 1 = х 2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1
Проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения.
Ответ х = -1

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Общие методы преобразования уравнений

Разделы: Математика

Цели и задачи урока:

обобщить и углубить знания по теме;
сформировать представление о методах и способах решения алгебраических уравнений на уровне, превышающем уровень государственных образовательных стандартов;
формирование навыков умственного труда;
развивать качества мышления: гибкость, рациональность, критичность;
развитие внимания, логического мышления, аргументированной математической речи, самостоятельности, познавательной активности;
воспитание ответственности, воли, упорства в достижении поставленной цели, умение контролировать внимание на всех этапах урока.

Оборудование: кодоскоп, слайды, доклады-сообщения учащихся.

Тип урока: урок формирования знаний, умений и навыков.

Формы обучения: общеклассная, групповая, индивидуальная.

Методы обучения: словесный, наглядный, практические задания, самостоятельная деятельность, проблемно-поисковый.

I. Организационный момент

Мотивационная беседа с учащимися пропедевтической направленности через осознание ими практической значимости изучаемых и применяемых знаний, умений и навыков.

Эпиграф урока: «Час, затраченный на понимание, экономит год жизни». (В. Босс)

II. Актуализация опорных знаний учащихся

1. Работа по основным определениям, понятиям, относящимся к уравнениям (вопросы, составленные на основе курса лекций 1-4 «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики» автора П.В. Чулкова, М. Шабунин «Уравнения» – библиотека приложения к газете 1 сентября, дополнительные главы по курсу математики 10 под редакцией З.А. Скопеца);

2. Ответить на вопросы:

– Верно ли, что 5х = 10 х 2 = 8 на множестве действительных чисел, на множестве рациональных чисел?
– Верно ли, что 2х = 10 5х = х 2 ?

3. Алгоритм решения уравнения или как мы решаем уравнения?

III. Решение уравнений

Рассмотрим наиболее часто встречаемые преобразования уравнений.

а) разложение на множители (или расщепление уравнений):

1. х 3 – 4х 2 – 16х + 64 = 0
(х 3 – 4х 2 ) – (16х – 64) = 0
х 2 (х – 4) – 16(х – 4) = 0
(х – 4)(х 2 – 16) = 0
(х – 4) 2 (х + 4) = 0
х₁ = 4 или х₂ = – 4

2. х 3 + х – 10 = 0 (заслушать предлагаемые учащимися способы)
х 3 + х – 8 – 2 = 0
(х 3 – 8) + (х – 2) = 0
(х – 2)(х 2 + 2х + 4) + (х – 2) = 0
(х – 2)( х 2 + 2х + 5) = 0
(х – 2) = 0 или х 2 + 2х + 5= 0
х₁ = 2 т.к. D = –16 2 + х + 1)(х 2 + х + 2) = 12 (Заслушать предлагаемые учащимися способы. Очевидно, что ученики предложат выполнить умножение многочлена на многочлен)

– А какова степень уравнения? А нет ли более рационального способа решения? Посмотрите, как «звучит» способ в заголовке? Что вы заметили?

Возможны варианты: x 2 + x = t или x 2 + x + 1 = t

Пусть x 2 + x + 1 = t
Тогда t (t + 1) = 12
t 2 + t – 12 = 0, получаем t₁ = – 4; t₂ = 3.
Отсюда: х 2 + х + 1 = – 4 или х 2 + х + 1 = 3
х 2 + х + 5 = 0 х 2 + х – 2 = 0
т.к. D = –19 0 корней нет.
Т.к. сумма коэффициентов a + b + c = 0, то х₁ = 1; х₂ = c/a х₂ = – 2

2. Используйте этот приём для решения следующего уравнения:

; ОДЗ: х =/= 0, х =/= – 4, х =/= – 2.
Запишем уравнение иначе:
Пусть x 2 + 4x = t, тогда
Получим: 1 . 5(t + 4) – 1 . t . 5 = 4 . t . (t + 4)
5t + 20 – 5t = 4t 2 + 16t
4t 2 + 16t – 20 = 0
t 2 + 4t – 5 = 0 D = 36 > 0 2 корня. По сумме коэффициентов: 1 + 4 – 5 = 0 имеем: t₁ = 1; t₂ = c/a t₂ = – 5. Оба корня принадлежат ОДЗ уравнения с переменной t.
Отсюда: x 2 + 4x = 1 или x 2 + 4x = – 5
x 2 + 4x – 1 = 0 x 2 + 4x + 5 = 0
D = 20 > 0 2 корня т.к. D = – 4 2 + 3х + 3)(х 2 – 2х + 3) = 24х 2

(Посмотреть на реакцию учащихся)
Для введения новой переменной «мешает» х 2 в правой части, нет никакого смысла применять замену х 2 = t. Как же преобразовать уравнение? Причём так преобразовать, чтобы правая часть не содержала х 2 . (как в уравнении 1) этого метода) Выслушать мнение учащихся. Достаточно разделить почленно уравнение на х 2 , т.к. х = 0 не является корнем данного уравнения!

(х 2 + 3х + 3)(х 2 – 2х + 3) = 24х 2 х 2 =/= 0

Вот теперь пусть , тогда (t + 3)(t – 2) = 24
t 2 + t – 30 = 0, получаем: t₁ = – 6; t₂ = 5.
Отсюда: = – 6 или = 5
х 2 + 6х + 3 = 0 или х 2 – 5х + 3 = 0
D = 24 > 0 2 корня D = 13 > 0 2 корня

Ответ: ; .

4. А вот ещё одно очень интересное уравнение:

–1 и + 3 можно представить в виде сумм, одно из слагаемых которых будет 1 : – 1 = – 2 + 1 и 3 = 2 + 1.
Тогда х – 1 = х – 2 + 1 = (х + 1) – 2
х + 3 = х + 2 + 1 = (х + 1) + 2, получим уравнение:
((х +1) – 2) 4 + ((х +1) + 2) 4 = 82, пусть х + 1 = t,
Тогда (t – 2) 4 + (t + 2) 4 = 82.

На первый взгляд, новое уравнение не отличается принципиально от данного: мы получили четвёртую степень двучлена, но вторые слагаемые двучлена отличаются только знаками, что намного упрощает конечный вид и преобразования полученного уравнения.

В результате преобразований получается биквадратное уравнение относительно переменной t: t 4 + 24 t 2 – 25 = 0; пусть t 2 = y, тогда y 2 + 24y – 25 = 0

Корни этого уравнения 1 и – 25.
Отсюда: t 2 = 1 или t 2 = – 25
t_1,2 = ± ( n + a₁x n – 1 + a₂x n – 2 + …+ a₂x 2 + a₁x + a₀ = 0, где коэффициенты членов, равноотстоящих от концов, равны между собой, называют симметрическими уравнениями.

Свойства симметрических уравнений:

а) если дано уравнение нечётной степени, то х = – 1 – корень уравнения;
б) уравнение чётной степени 2n с помощью подстановки v = x + 1/x сводится к уравнению степени n.

Рассмотрим решение на конкретном уравнении:

2х 5 + 5х 4 – 13х 3 – 13х 2 + 5х + 2 = 0 да, по определению это симметрическое уравнение нечётной степени. Значит х = – 1 – корень исходного уравнения; разложим его на множители:
(х + 1)(2х 4 + 3х 3 – 16х 2 + 3х + 2) = 0;
работаем со вторым множителем:
2х 4 + 3х 3 – 16х 2 + 3х + 2 = 0 ¦: х₂ =/= 0 2х 2 + 3х – 16 + 3 . 1/х + 2 . 1/х 2 = 0.
Группируем: 2(х 2 + 1/х 2 ) + 3(х + 1/х) – 16 = 0. Пусть х + 1/х =, тогда х 2 + 1/х 2 = t 2 – 2,
отсюда: 2(t 2 – 2) + 3t – 16 = 0 и далее 2t 2 + 3t – 20 = 0,
решая это уравнение, получим: t₁= – 4 и t₂ = – 5/2; откуда х + 1/х = – 4 или х + 1/х = – 5/2.
Решая эти уравнения, получим: х_1,2 = – 2 ± , х₃ = 2, х₄ = 1/2.

Ответ: – 1, – 2 ± , 2, 1/2.

2. Определение. Уравнение вида a₀(u(x)) n + a₁(u(x)) n – 1 v(x) + a₂(u(x)) n – 2 (v(x)) 2 +…+ a_k(u(x)) n – k (v(x)) k +…+ a₀(v(x)) n = 0 называют однородным уравнением степени n относительно u(x) иv(x).

Решите уравнение: (х – 2) 2 (х + 1) 2 – (х – 2)(х 2 – 1) – (х – 1) 2 = 0
Пусть u = (х – 2)(х + 1) и v = х – 1, получаем: u 2 – uv – 2v 2 = 0.
Рассмотрим все возможные случаи:

а) v = 0, тогда х = 1, но 1 не является корнем исходного уравнения (была проверка!);
б) v =/= 0, тогда заменой p = u/v получаем уравнение: p 2 – p – 2 = 0, откуда p₁ = –1, p₂ = 2. т.е.
Решаем эти уравнения, получаем: х₁ = 0; х₂ = 3; х_3,4 = + .

Ответ: 0; 3; + .

VI. Итог урока

Рефлексия: беседа с учащимися о занятии, что необходимо школьнику, чтобы заметить тот или иной приём, рациональный в данном конкретном случае, что было трудно, какой приём требуется ещё повторить?

VII. Домашнее задание:

Решите уравнения:

х 4 + (1 – х) 4 = 1/8;
(х + 2)(х – 3)(х – 1)(х + 6) = 40х 2
х 2 (х – 1) 2 + х(х 2 – 1) = 2(х + 1) 2 .

Проверочная работа.

1) Равносильны ли уравнения

2) Какое из двух уравнений является следствием другого: х 2 = 9 или х = 3?

3) Решите уравнения:

х 3 – 6х 2 + 11х – 6 = 0;
х 6 – 9х 3 + 8 = 0;
(х 2 – 6х) 2 – 2(х – 3) 2 = 81;
х(х + 3)(х + 5)(х + 8) = 10;
х 4 – 4х 3 + 5х 2 – 4х + 1 = 0;
;
(х 2 + х + 4) 2 + 8х(х 2 + х + 4) + 15х 2 = 0;
.

1) нет,
2) первое,
3)

1; 2; 3,
1; 2,
3; 3 + 2,
– 4 +,
,
0,
– 2; – 3 +,
7 +.

Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

2x²-2x-4=0 (2 умножить на x в квадрате минус 2 умножить на x минус 4 равно 0) решить через дискриминант и по теореме Виета, найти корни.

Видео:Решение квадратных неравенств | МатематикаСкачать

Калькулятор квадратных уравнений

Введите данные:

Округление:

Уравнение:

(a * x^ + b * x + c) = (2 * x^ — 2 * x — 4) = 0

Дискриминант:

(D = b^ — 4 * a * c) = ((-2)^ — 4 * 2 *(-4)) = (4 +32) = 36

Корни квадратного уравнения:

Видео:Решение неравенства методом интерваловСкачать

Решение по теореме Виета

Преобразование в приведённый вид

Преобразуем квадратное уравнение в приведенное (разделим все части нашего уравнения на коэффициент a):
(fracx^+frac*x+frac) = (x^+frac*x+frac) = (x^ -1 * x -2)

Итого, имеем приведенное уравнение:
(x^ -1 * x -2 = 0)

Теорема Виета выглядит следующим образом:
(x_*x_=c)
(x_+x_=-b)

Мы получаем следующую систему уравнений:
(x_*x_=-2)
(x_+x_=1)

Методом подбора получаем:
(x_ = 2)
(x_ = -1)

Видео:Как решать любое квадратное уравнение Полное Неполное квадр ур x^2+2x-3=0 5x^2-2x=0 2x^2-2=0 3x^2=0Скачать