Преобразовать уравнение перейдя к новым независимым переменным u и v если

7.167. Преобразовать уравнение $$3left(fracright)^2-fracfrac-fracleft(fracright)^2=0,$$ приняв $y$ за аргумент.

Решение.

Выразим производные от $y$ по $x$ через производные от $x$ по $y:$ $$frac=frac<frac>,$$

Подставим полученные выражения производных в заданное уравнение. Получаем

Таким образом, получили ответ.

7.168. Преобразовать уравнение $$(xy’-y)^2=2xy(1+y’^2),$$ перейдя к полярным координатам.

Решение.

$$dx=cosvarphi dr-rsinvarphi dvarphi,qquad dy=sinvarphi dr+rcosvarphi dvarphi,$$

$$r^4 dvarphi^2=r^2sin2varphi dr^2+r^4sin 2varphi dvarphi^2Rightarrow$$

$$sin2varphi dr^2=(1-sin 2varphi)r^2 dvarphi^2 Rightarrowleft(fracright)^2=frac r^2Rightarrow$$

7.170. Преобразовать уравнение $$(x+y)frac-(x-y)frac=0,$$ перейдя к новым независимым переменным $u$ и $v,$ если $u=lnsqrt,,, v=arctgfrac.$

Решение.

Выразим частные производные от $z$ по $x$ и $y$ через частные производные от $z$ по $u$ и $v.$

Подставим найденные выражения производных в заданное уравнение:

7.174. Преобразовать уравнение $$(xy+z)frac+(1-y^2)frac=x+yz,$$ приняв за новые независимые переменные $u=yz-x,,, v=xz-y$ и за новую функцию $w=xy-z.$

Решение.

$$ ydx+xdy-dz =fraccdot left(-dx+zdy+ydzright) +fraccdot left(zdx+xdz-dy right)Rightarrow$$

Подставим найденные выражения $frac$ и

$frac$ в заданное уравнение. Получим

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Переход к новым переменным в дифференциальном уравнении

Видео:Могилевский И. Е. - Математический анализ II - Замена независимых переменныхСкачать

Математический портал

Видео:Дифференциальные уравнения с разделенными переменными. 11 класс.Скачать

Nav view search

Navigation

Search

• Вы здесь:
• Home
• Математический анализ
• Замена переменных в дифференциальных выражениях.

Видео:Математика без Ху!ни. Частные производные функции нескольких переменных. Градиент.Скачать

Замена переменных в дифференциальных выражениях.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Часто в дифференциальных выражениях входящие в них производные по одним переменным необходимо выразить через производные по новым переменным.

Примеры.

7.165. Преобразовать уравнение $$x^4frac +2x^3frac -y=0,$$ полагая $x=frac .$

Решение.

Подставим найденные значения производных и выражение $x=frac $ в заданное уравнение.

Ответ: $frac -y=0.$

7.167. Преобразовать уравнение $$3left(frac right)^2-frac frac -frac left(frac right)^2=0,$$ приняв $y$ за аргумент.

Решение.

Выразим производные от $y$ по $x$ через производные от $x$ по $y:$ $$frac =frac >,$$

Подставим полученные выражения производных в заданное уравнение. Получаем

Таким образом, получили ответ.

7.168. Преобразовать уравнение $$(xy’-y)^2=2xy(1+y’^2),$$ перейдя к полярным координатам.

Решение.

$$dx=cosvarphi dr-rsinvarphi dvarphi,qquad dy=sinvarphi dr+rcosvarphi dvarphi,$$

$$r^4 dvarphi^2=r^2sin2varphi dr^2+r^4sin 2varphi dvarphi^2Rightarrow$$

$$sin2varphi dr^2=(1-sin 2varphi)r^2 dvarphi^2 Rightarrowleft(frac right)^2=frac r^2Rightarrow$$

7.170. Преобразовать уравнение $$(x+y)frac -(x-y)frac =0,$$ перейдя к новым независимым переменным $u$ и $v,$ если $u=lnsqrt ,,, v=arctgfrac .$

Решение.

Выразим частные производные от $z$ по $x$ и $y$ через частные производные от $z$ по $u$ и $v.$

Подставим найденные выражения производных в заданное уравнение:

7.174. Преобразовать уравнение $$(xy+z)frac +(1-y^2)frac =x+yz,$$ приняв за новые независимые переменные $u=yz-x,,, v=xz-y$ и за новую функцию $w=xy-z.$

Решение.

$$ ydx+xdy-dz =frac cdot left(-dx+zdy+ydzright) +frac cdot left(zdx+xdz-dy right)Rightarrow$$

Подставим найденные выражения $frac $ и

$frac $ в заданное уравнение. Получим

Видео:12. Интегрирующий множитель. Уравнения в полных дифференциалахСкачать

Замена переменных

Выражения, содержащие различные функции и их производные, постоянно встречаются в математике и ее приложениях. Целесообразность перехода к новым независимым переменным, а иногда и к новым функциям, основана как на особой роли новых переменных в изучаемом вопросе, так и на упрощениях, к которым приводит выбранная замена переменных.
Техника замены переменных основана на правилах дифференцирования сложных функций и функций, заданных неявно при помощи уравнений. Такая техника будет продемонстрирована на нескольких достаточно содержательных примерах. Обоснование всех условий, при выполнении которых замена переменных будет законной, в большинстве примеров не представляет труда и поэтому не обсуждается.

В уравнении (displaystyle x^2+frac +xfrac +y=0) сделать замену независимой переменной (x=e^t).

(triangle) Если (z(t) = y(e^t)), то, применяя правило нахождения производной сложной функции, получаем
$$
frac =e^tfrac =xfrac ,nonumber
$$
откуда (displaystyle frac =xfrac ).

Заметим, что уравнение (displaystyle frac +z=0) является уравнением гармонических колебаний, а его решением является (z=C_ sin t + C_2cos t). Поэтому при (x > 0) решение исходного уравнения имеет следующий вид: (y= C_1 sin (ln x) + C_2cos (ln x)). Так как уравнение не изменяет своего вида при замене (x) на (-x), то при любом (xin R, xneq 0), решение имеет следующий вид:
$$
y(x)=C_1sin(ln |x|) + C_2cos(ln |x|).qquadblacktrianglenonumber
$$

(triangle) Умножим первое уравнение на (x), второе на (y) и сложим. Аналогично умножим первое уравнение на (y) и вычтем из него второе уравнение, умноженное на (x). Получим новую систему уравнений, при (x^2+y^2 > 0) эквивалентную исходной системе уравнений,
$$
left displaystyle xfrac +yfrac =-2k(x^2+y^2)^2,\displaystyle yfrac -xfrac =y^2+x^2.endright.label
$$

Заметим, что система eqref легко решается. Получаем решение в виде:
$$
r=frac >,quad varphi=varphi_0+tquad (-t_0 Пример 3.

Преобразовать уравнение (y’y»’-3(y»)^2=x), принимая (y) за независимую переменную, а (x) — за неизвестную функцию.

Таким образом, при (y’neq 0) уравнение преобразуется к виду (x»’+x(x’)^5=0). Это частный случай уравнения общего вида (x»’=Phi(y,x,x’,x»)) с непрерывно дифференцируемой в (R^4) функцией (Phi(y,u,v,w)). Уравнения такого типа хорошо изучены в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Исходное уравнение не имело стандартного вида. (blacktriangle)

Преобразовать выражение (omega=displaystyle frac +frac ) к полярным координатам, полагая (x=rcosvarphi, y=rsinvarphi). Найти решение уравнения Лапласа (displaystyle frac +frac =0), зависящее только от полярного радиуса (r).

Пусть (u=v(r)) есть решение уравнения Лапласа, зависящее только от (r). Тогда функция (v(r)) должна быть решением дифференциального уравнения
$$
frac +frac1rfrac =0quadLongleftrightarrowquadfrac left(rfrac right)=0nonumber
$$
$$
rfrac =C,quadLongrightarrowquad v=C_1ln r+C_2,label
$$
где (C_1) и (C_2) — произвольные постоянные. (blacktriangle)

Сделать в уравнении колебаний струны
$$
frac -a^2frac =0,quad a > 0,quad -infty Решение.

Решение уравнения (displaystylefrac =0) легко находится. Так как (displaystylefracpartial left(frac right)=0), то (displaystylefrac =varphi(eta)), где (varphi(eta)) — произвольная непрерывная функция (eta).

Пусть (Phi(eta)) есть ее первообразная на (R). Тогда, интегрируя уравнение (omega_ =varphi(eta)), получаем, что (omega=Phi(eta)+Psi(xi)), где (Psi(xi)) — произвольная функция.

Если считать, что функции (Phi(eta)) и (Psi(xi)) есть непрерывно дифференцируемые функции, то общее решение уравнения eqref имеет следующий вид:
$$
u(x,t)=Psi(x-at)+Phi(x+at).quadblacktrianglenonumber
$$

Видео:Решение системы неравенств с двумя переменными. 9 класс.Скачать

Замена переменных

Очень часто в выражениях, содержащих производные, приходится переходить к новым переменным.

Внимание!
Если необходимо выполнить замену переменных в дифференциальном выражении, I в Maple в пакете PDEtools есть процедура dchange(). Первым параметром этой процедуры указывают равенство (или множество, состоящее из равенств), определяющее переход от старых переменных к новым, а вторым параметром — выражение, в котором следует выполнить эту замену. Кроме того, может использоваться ряд опций, информация о которых есть в справочной системе Maple. Ниже приведен пример использования процедуры dchange().

Сначала подключаем пакет.

Новая переменная вводится согласно соотношению х =ехр(/)

После упрощения получаем следующее

Замену переменных можно выполнить и в том случае, если переменных несколько. Рассмотрим выражение

В этом выражении перейдем к новым переменным и и v согласно соотношениям х = uv и у = (и1 -v2)/2 , и после упрощения получим следующее.

Процедура dchange() полезна во многих случаях. Однако желательно уметь обходиться и без нее. Рассмотрим, как без специальных команд приведения выражений к новым переменным выполнить подобные замены.

Преобразовать к полярным координатам уравнение у'(х) =x+y/x-y

Опишем процедуру, посредством которой в дальнейшем будет осуществляться переход к новым координатам. Параметрами процедуры будут новая переменная t, новая функция u(t) и две функции f и g, посредством которых выполняется переход от старых переменной и функции к новым.

Тело процедуры состоит из одного выражения, определяющего производную от старой функции по старой переменной в терминах новой функции и новой переменной.

Определим функции перехода от декартовой системы координат к полярной.

Теперь запишем декартовы координаты через полярные (это понадобится в дальнейшем).

Новая процедура позволяет выразить производную в полярных координатах.

Исходное уравнение будет записано следующим образом.

Поскольку предварительно декартовы координаты были выражены через полярные, правая часть равенства будет представлена тоже в полярной системе координат.

В полученном уравнении выделим производную. Для этого решим уравнение относительно этой производной.

Таким образом, можем записать окончательный результат.

В последней команде левая часть уравнения нужна для формального отображения символа производной. Однако следует иметь в виду, что вычислительным ядром Maple левая часть уравнения как производная не интерпретируется. Чтобы равенство можно было в дальнейшем трактовать как дифференциальное уравнение, следует воспользоваться процедурой Diff().

Перейти к новым переменным и , v, w в уравнении

В отличие от предьщущего случая, здесь выражение содержит частные производные, а функции (старая и новая) являются функциями двух переменных.

Определим уравнение, которое следует преобразовать.

Теперь у процедуры три параметра-функции, определяющие правила перехода от старых переменных и функции к новым.

В соответствии с правилами перехода к новым переменным, определяем юцедуру, аргументами которой выступают законы перехода F, G и Н к новым параметрам u, v и w.

Уравнения Eql i1 E(J2 связывают старые производные с новыми. Система этих уравнений решает относительно производных от функции z (команда solve()). мее задаем закон61 перехода от старых переменных и функции к новым.

Переменной S присваиваем в качестве значения результат выполнения процедуры преобразования производных. > S:=VarChange(F,G,H,u,v,w);

После этого в уравнении Eq производные от z по х и у, а также сами пере-Гменные и функцию следует выразить через новые параметры. Выполняется такая замена с помощью процедуры subs().

На заметку
Ссылки rhs (S [ 1 ]) и rhs (S [ 2 ]) возвращают выражения для частных производных функции z — это правые части первого и второго равенств, являющихся элементами множества S.

Видео:11. Уравнения в полных дифференциалахСкачать

Замена переменных

Выражения, содержащие различные функции и их производные, постоянно встречаются в математике и ее приложениях. Целесообразность перехода к новым независимым переменным, а иногда и к новым функциям, основана как на особой роли новых переменных в изучаемом вопросе, так и на упрощениях, к которым приводит выбранная замена переменных.
Техника замены переменных основана на правилах дифференцирования сложных функций и функций, заданных неявно при помощи уравнений. Такая техника будет продемонстрирована на нескольких достаточно содержательных примерах. Обоснование всех условий, при выполнении которых замена переменных будет законной, в большинстве примеров не представляет труда и поэтому не обсуждается.

В уравнении (displaystyle x^2+frac+xfrac+y=0) сделать замену независимой переменной (x=e^t).

(triangle) Если (z(t) = y(e^t)), то, применяя правило нахождения производной сложной функции, получаем
$$
frac=e^tfrac=xfrac,nonumber
$$
откуда (displaystyle frac=xfrac).

Заметим, что уравнение (displaystyle frac+z=0) является уравнением гармонических колебаний, а его решением является (z=C_sin t + C_2cos t). Поэтому при (x > 0) решение исходного уравнения имеет следующий вид: (y= C_1 sin (ln x) + C_2cos (ln x)). Так как уравнение не изменяет своего вида при замене (x) на (-x), то при любом (xin R, xneq 0), решение имеет следующий вид:
$$
y(x)=C_1sin(ln |x|) + C_2cos(ln |x|).qquadblacktrianglenonumber
$$

В системе уравнений:
$$
left<begindisplaystylefrac=y-2kx(x^2+y^2),\displaystylefrac=-x-2kx(x^2+y^2),\displaystyle k > 0,endright.nonumber
$$
перейти к полярным координатам.

(triangle) Умножим первое уравнение на (x), второе на (y) и сложим. Аналогично умножим первое уравнение на (y) и вычтем из него второе уравнение, умноженное на (x). Получим новую систему уравнений, при (x^2+y^2 > 0) эквивалентную исходной системе уравнений,
$$
left<begindisplaystyle xfrac+yfrac=-2k(x^2+y^2)^2,\displaystyle yfrac-xfrac=y^2+x^2.endright.label
$$

Но (x^2+y^2=r^2), (x=rcosvarphi), (y=rsinvarphi). Поэтому систему eqref можно записать в виде:
$$
left<begindisplaystyle rfrac=-2kr^4,\displaystylefrac=1.endright.Longleftrightarrowleft<begindisplaystylefrac=-2kr^3,\displaystylefrac=1.endright.label
$$

Заметим, что система eqref легко решается. Получаем решение в виде:
$$
r=frac<sqrt>,quad varphi=varphi_0+tquad (-t_0 Пример 3.

Преобразовать уравнение (y’y»’-3(y»)^2=x), принимая (y) за независимую переменную, а (x) — за неизвестную функцию.

Таким образом, при (y’neq 0) уравнение преобразуется к виду (x»’+x(x’)^5=0). Это частный случай уравнения общего вида (x»’=Phi(y,x,x’,x»)) с непрерывно дифференцируемой в (R^4) функцией (Phi(y,u,v,w)). Уравнения такого типа хорошо изучены в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Исходное уравнение не имело стандартного вида. (blacktriangle)

Преобразовать выражение (omega=displaystyle frac+frac) к полярным координатам, полагая (x=rcosvarphi, y=rsinvarphi). Найти решение уравнения Лапласа (displaystyle frac+frac=0), зависящее только от полярного радиуса (r).

Пусть (u=v(r)) есть решение уравнения Лапласа, зависящее только от (r). Тогда функция (v(r)) должна быть решением дифференциального уравнения
$$
frac+frac1rfrac=0quadLongleftrightarrowquadfracleft(rfracright)=0nonumber
$$
$$
rfrac=C,quadLongrightarrowquad v=C_1ln r+C_2,label
$$
где (C_1) и (C_2) — произвольные постоянные. (blacktriangle)

Сделать в уравнении колебаний струны
$$
frac-a^2frac=0,quad a > 0,quad -infty Решение.

Решение уравнения (displaystylefrac=0) легко находится. Так как (displaystylefracpartialleft(fracright)=0), то (displaystylefrac=varphi(eta)), где (varphi(eta)) — произвольная непрерывная функция (eta).

Пусть (Phi(eta)) есть ее первообразная на (R). Тогда, интегрируя уравнение (omega_=varphi(eta)), получаем, что (omega=Phi(eta)+Psi(xi)), где (Psi(xi)) — произвольная функция.

Если считать, что функции (Phi(eta)) и (Psi(xi)) есть непрерывно дифференцируемые функции, то общее решение уравнения eqref имеет следующий вид:
$$
u(x,t)=Psi(x-at)+Phi(x+at).quadblacktrianglenonumber
$$

💡 Видео

Решение дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.Скачать

11. Производная неявной функции примерыСкачать

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

Математический анализ, 42 урок, Замена переменных в двойном интегралеСкачать

Дифференциальные уравнения, 8 урок, Линейные дифференциальные уравнения с const коэф-ами 2 порядкаСкачать

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать

Замена переменных в дифференциальных уравнениях.Скачать

27. Дифференцирование неявной функции двух переменныхСкачать

13.10.2023 Практика 8. Замена переменных в уравнениях в частных производныхСкачать

ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать