Правило оценки устойчивости без решения характеристического уравнения системы (4 видео)

Алгебраические критерии устойчивости САР

Содержание

Алгебраические критерии устойчивости САР
Алгебраические критерии устойчивости
Правило оценки устойчивости без решения характеристического уравнения системы
🎬 Видео

Видео:Теория автоматического управления. Лекция 10. Критерий МихайловаСкачать

Алгебраические критерии устойчивости САР

Вопросом определения устойчивости систем автоматического регулирования, не решая исходных дифференциальных или характеристических уравнений, занимались многие ученые. В результате были сформулированы условия устойчивости в виде так называемых критериев устойчивости, каждый из которых применяют в зависимости от того, какими исходными характеристиками и данными располагаем. Существуют различные формы критериев устойчивости, но математически эти формы критериев устойчивости эквивалентны, так как все они определяют условия, при которых корни характеристического уравнения лежат в левой части комплексной плоскости.

Расположение корней для устойчивой и неустойчивой автоматических систем

Если известны исходные дифференциальные уравнения автоматической системы, то чаще всего применяюталгебраические критерии устойчивости.

Было установлено, что необходимым, но недостаточным условием устойчивости автоматической системы является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения

Это значит, что при положительности всех коэффициентов характеристического уравнения автоматическая система может быть устойчивой, но не исключена возможность того, что данная автоматическая система будет неустойчивой. Если же не все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то автоматическая система является неустойчивой и никаких дополнительных исследований устойчивости не требуется.

Заметим, что возможны случаи, когда вместо того, чтобы быть положительными, все коэффициенты характеристического уравнения могут быть отрицательными. Тогда умножая все члены характеристического уравнения на минус единицу, формально можно сделать их положительными и, казалось бы указанное выше условие выполняется, хотя на самом деле автоматическая система неустойчива.

Критерий Вышнеградского. Расположение корней характеристического уравнения системы третьего порядка на комплексной плоскости положено в основу метода . Исследуя систему третьего порядка

ввел новую переменную

и получил новое уравнение

Постоянные А и В выражены через коэффициенты характеристического уравнения следующим образом:

Исходя из этого определил условия устойчивости для систем третьего порядка:

1. Автоматическая система будет устойчивой еслиА·В > 1;
2. Автоматическая система будет неустойчивой еслиА·В а0 а3;
2. Автоматическая система будет неустойчивой если а1а2 а3 2а0;
2. Автоматическая система будет неустойчивой если а1( а3 а2 —а4 а1)

Видео:Теория автоматического управления. Лекция 8. Дискретные САУ. Аналог критерия устойчивости МихайловаСкачать

Алгебраические критерии устойчивости

Для оценки устойчивости необходимо вычислить корни уравнения n-го порядка. Формулы для вычисления корней существуют только для 3-го порядка. Далее используются численные методы определения корней.

Для оценки устойчивости достаточно знать не сами корни, а лишь их расположение.

Правила, позволяющие оценить расположение корней без решения характеристического уравнения, называются критериями устойчивости.

Если оценка проводится с использованием коэффициентов характеристического уравнения, то критерии называются алгебраическими.

Необходимые условия устойчивости

Предположим, что система устойчива. Все корни расположены в левой полуплоскости.

Характеристическое уравнения запишем в виде произведения сомножителей:

1. Соответствующих вещественным корням:

;

2. Соответствующихкомплексным корням:

После перемножения сомножителей с положительными коэффициентами и приведения подобных получим уравнение:

, у которого все коэффициенты положительны .

Таким образом, необходимым условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.

В случае невыполнения необходимых условий система является неустойчивой без дополнительного анализа.

Примечание:

Для системы 1-го и 2-го порядка необходимые условия одновременно являются достаточными.

, корень вещественный и отрицательный;

;

, два вещественных отрицательных корня;

, комплексно-сопряженные корни с отрицательной вещественной частью.

Для уравнений 3-го порядка и выше необходимые условия не являются достаточными и нужны дополнительные правила.

Эти правила определяются критерием Гурвица.

Критерий Гурвица

Система будет устойчива, если все диагональные миноры матрицы Гурвица будут положительны.

1. Задано характеристическое уравнение и необходимое условие выполнено

2. Составление матрицы Гурвица по следующему алгоритму:

· на диагональ коэффициенты, начиная с ;

· вниз от диагонали – коэффициенты с увеличением номера;

· вверх от диагонали – коэффициенты с уменьшением номера;

· составляются определители (диагональные миноры);

a_n-₁	a_n-₃	…
a_n	a_n-₂
…
a₂
…	a₁
a₀	a₀

3. Для устойчивости системы необходимо, чтобы все n диагональных миноров были положительны .

Пример:

Оценить устойчивость системы, имеющей следующую передаточную функцию в разомкнутом виде:

a) устойчивость разомкнутой системы

характеристическое уравнение системы: , s₁=0, s₂=s₃=-0,5 .

Один нулевой корень и два “левых”, отсюда следует, что разомкнутая система на границе устойчивости.

b) устойчивость замкнутой системы

характеристическое уравнение замкнутой системы

– необходимое условие выполнено, n = 3

произведение средних членов должно быть больше чем произведение крайних.

Видео:Теория автоматического управления. Лекция 9. Критерий ГурвицаСкачать

Правило оценки устойчивости без решения характеристического уравнения системы

8.1. Понятие устойчивости системы

Под устойчивостью системы понимается способность ее возвращаться к состоянию установившегося равновесия после снятия возмущения, нарушившего это равновесие. Неустойчивая система непрерывно удаляется от равновесного состояния или совершает вокруг него колебания с возрастающей амплитудой.

Устойчивость линейной системы определяется не характером возмущения, а структурой самой системы (рис.61). Говорят, что система устойчива «в малом» , если определен факт наличия устойчивости, но не определены ее границы. Система устойчива «в большом» , когда определены границы устойчивости и то, что реальные отклонения не выходят за эти границы.

В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения ищется в виде:

y(t) = y вын (t) + y св (t).

Здесь yсв(t) — общее решение однородного дифференциального уравнения , то есть уравнения с нулевой правой частью:

a o y (n) + a 1 y (n-1) + . + a _(n-1) y’ + a _(n) y = 0.

Физически это означает, что все внешние воздействия сняты и система абсолютно свободна, ее движения определяются лишь собственной структурой. Поэтому решение данного уравнения называется свободной составляющей общего решения. y вын (t) — частное решение неоднородного дифференциального уравнения , под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью. Физически это означает, что к системе приложено внешнее воздействие u(t) . Поэтому вторая составляющая общего решения называется вынужденный . Она определяет вынужденный установившийся режим работы системы после окончания переходного процесса.

Можно провести аналогию между САУ и пружиной, колебания которой описываются аналогичным дифференциальным уравнением (рис.62). Оттянем пружину, а затем отпустим, предоставив ее самой себе. Пружина будет колебаться в соответствии со свободной составляющей решения уравнения, то есть характер колебаний будет определяться только структурой самой пружины. Если в момент времени t = 0 подвесить к пружине груз, то на свободные колебания наложится внешняя сила Р . После затухания колебаний, описываемых только свободной составляющей общего решения, система перейдет в новый установившийся режим, характеризуемый вынужденной составляющей y вын = y(t ) . Если внешнее воздействие само будет изменяться по синусоидальному закону P = P _o sin(t + ) , то после затухания переходного процесса система будет совершать вынужденные колебания с той же частотой, что и вынуждающая сила, то есть y вын = y _max sin(t + y).

Каждая составляющая общего решения уравнения динамики ищется отдельно. Вынужденная составляющая ищется на основе решения уравнения статики для данной системы для времени t . Свободная составляющая представляет собой сумму из n отдельных составляющих: , где p _i корни характеристического уравнения D(p) = a ₀ p _n + a 1 p _n -1 + a 2 p _n -2 + . + a n = 0 . Корни могут быть либо вещественными p _i = a _i , либо попарно комплексно сопряженными p _i = a _i ± ji . Постоянные интегрирования А _i определяются исходя из начальных и конечных условий, подставляя в общее решение значения u, y и их производные в моменты времени t = 0 и t .

Каждому отрицательному вещественному корню соответствует экспоненциально затухающая во времени составляющая y св (t) _i , каждому положительному — экспоненциально расходящаяся, каждому нулевому корню соответствует y св (t) i = const (рис.63). Пара комплексно сопряженных корней с отрицательной вещественной частью определяет затухающие колебания с частотой i , при положительной вещественной части — расходящиеся колебания, при нулевой — незатухающие (рис.64).

Так как после снятия возмущения y вын (t) = 0 , то устойчивость системы определяется только характером свободной составляющей y св (t) . zПоэтому условие устойчивости систем по Ляпунову формулируется так: в устойчивой системе свободная составляющая решения уравнения динамики, записанному в отклонениях, должна стремиться к нулю, то есть затухать.

Исходя из расположения на комплексной плоскости корни с отрицательными вещественными частями называются левыми , с положительными — правыми (рис.65).

Поэтому условие устойчивости линейной САУ можно сформулировать следующим образом: для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми. Если хотя бы один корень правый, то система неустойчива. Если один из корней равен нулю (в системах, где a n = 0 ), а остальные левые, то система находится на границе апериодической устойчивости . Если равны нулю вещественные части одной или нескольких пар комплексно сопряженных корней, то система находится на границе колебательной устойчивости .

Правила, позволяющие судить о знаках корней характеристического уравнения без его решения, называются критериями устойчивости . Их можно разделить на алгебраические (основаны на составлении по данному характеристическому уравнению по определенным правилам алгебраических выражений, по которым можно судить об устойчивости САУ) и частотные (основаны на исследовании частотных характеристик).

8.2. Алгебраические критерии устойчивости

8.2.1. Необходимое условие устойчивости

Характеристическое уравнение системы с помощью теоремы Виета может быть записано в виде

D(p) = a o p n + a 1 p n-1 + a 2 p n-2 + . + a _n = a o (p-p ₁ )(p-p ₂ ). (p-p _n ) = 0,

где p ₁ , p ₂ , . p _n — корни этого уравнения. Если система устойчива, значит все корни левые, то есть вещественные части всех корней

отрицательны, что можно записать как a _i = -|a _i | . Подставим их в уравнение:

a ₀ (p + |a 1 |)(p + |a 2 | — j2)(p + |a 2 | + j2). = 0.

Перемножая комплексно сопряженные выражения, получим:

a ₀ (p + |a 1 |)((p + |a 2 |)2 + (2)2). = 0.

После раскрытия скобок должно получиться выражение

a ₀ p n + a 1 p n-1 + a 2 p n-2 + . + a n = 0.

Так как в скобках нет ни одного отрицательного числа, то ни один из коэффициентов a ₀ ,a 1 . a n не будет отрицательным. Поэтому необходимым условием устойчивости САУ является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения: a ₀ > 0, a 1 > 0, . , a n > 0 . В дальнейшем будем рассматривать только уравнения, где a ₀ > 0 . В противном случае уравнение домножается на -1.

Рассмотренное условие является необходиным, но не достаточным условием. Необходимые и достаточные условия дают алгебраические критерии Рауса и Гурвица.

8.2.1. Критерий Рауса

Раус предложил критерий устойчивости САУ в виде алгоритма, по которому заполняется специальная таблица с использованием коэффициентов характеристического уравнения:

1) в первой строке записываются коэффициенты уравнения с четными индексами в порядке их возрастания;

2) во второй строке — с нечетными;

3) остальные элементы таблицы определяется по формуле: c _k,i = c _{k+ 1,i — 2} — ric _{k + 1,i — 1} , где ri = c _{1,i — 2} /c _{1,i — 1} , i 3 — номер строки, k — номер столбца.