Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Видео:определители 2-го и 3-го порядка. метод Крамера для решения систем линейных уравненийСкачать

определители 2-го и 3-го порядка. метод Крамера для решения систем линейных уравнений

Метод Крамера – теорема, примеры решений

Метод Крамера часто применяется для систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Этот способ решения один из самых простых. Как правило, данный метод применяется только для тех систем, где по количеству неизвестных столько же, сколько и уравнений. Чтобы получилось решить уравнение, главный определитель матрицы не должен равняться нулю.

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Габриель Крамер – математик, создатель одноименного метода решения систем линейных уравнений

Габриель Крамер – известный математик, который родился 31 июля 1704 года. Ещё в детстве Габриель поражал своими интеллектуальными способностями, особенно в области математики. Когда Крамеру было 20 лет, он устроился в Женевский университет штатным преподавателем.

Во время путешествия по Европе Габриель познакомился с математиком Иоганном Бернулли, который и стал его наставником. Только благодаря Иоганну, Крамер написал много статей по геометрии, истории математики и философии. А в свободное от работы время изучал математику всё больше и больше.

Наконец-то наступил тот день, когда Крамер нашёл способ, при помощи которого можно было бы легко решать не только лёгкие, но и сложные системы линейных уравнений.

В 1740 году у Крамера были опубликованы несколько работ, где доступно изложено решение квадратных матриц и описан алгоритм, как находить обратную матрицу. Далее математик описывал нахождения линейных уравнений разной сложности, где можно применить его формулы. Поэтому тему так и назвали: «Решение систем линейных уравнений методом Крамера».

Учёный умер в возрасте 48 лет (в 1752 году). У него было ещё много планов, но, к сожалению, он так и не успел их осуществить.

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера 2x2Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера 2x2

Вывод формулы Крамера

Пусть дана система линейных уравнений такого вида:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

где Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков– неизвестные переменные, Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков– это числовые коэффициенты, в Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков– свободные члены.

Решением СЛАУ (систем линейных алгебраических уравнение) называются такие неизвестные значения Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядковпри которых все уравнения данной системы преобразовываются в тождества.

Если записать систему в матричном виде, тогда получается Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, где

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

В данной главной матрице находятся элементы, коэффициенты которых при неизвестных переменных,

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Это матрица-столбец свободных членов, но есть ещё матрица-столбец неизвестных переменных:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

После того, когда найдутся неизвестные переменные, матрица Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядкови будет решением системы уравнений, а наше равенство Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядковпреобразовывается в тождество. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков. Если умножить Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, тогда Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков. Получается: Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков.

Если матрица Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков– невырожденная, то есть, её определитель не равняется нулю, тогда у СЛАУ есть только одно единственное решение, которое находится при помощи метода Крамера.

Как правило, для решения систем линейных уравнений методом Крамера, нужно обращать внимания на два свойства, на которых и основан данный метод:

1. Определитель квадратной матрицы Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядковравняется сумме произведений элементов любой из строк (столбца) на их алгебраические дополнения:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, здесь Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков– 1, 2, …, n; Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков– 1, 2, 3, …, n.

2. Сумма произведений элементов данной матрицы любой строки или любого столбца на алгебраические дополнения определённых элементов второй строки (столбца) равняется нулю:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков,

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков,

где Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков– 1, 2, …, n; Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков– 1, 2, 3, …, n. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков.

Итак, теперь можно найти первое неизвестное Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков. Для этого необходимо умножить обе части первого уравнения системы на Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, части со второго уравнения на Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, обе части третьего уравнения на Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядкови т. д. То есть, каждое уравнение одной системы нужно умножать на определённые алгебраические дополнения первого столбца матрицы Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Теперь прибавим все левые части уравнения, сгруппируем слагаемые, учитывая неизвестные переменные Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядкови приравняем эту же сумму к сумме правых частей системы уравнения:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков.

Можно обратиться к вышеописанным свойствам определителей и тогда получим:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

И предыдущее равенство уже выглядит так:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Откуда и получается Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков.

Аналогично находим Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков. Для этого надо умножить обе части уравнений на алгебраические дополнения, которые находятся во втором столбце матрицы Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков.

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Теперь нужно сложить все уравнения системы и сгруппировать слагаемые при неизвестных переменных. Для этого вспомним свойства определителя:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Откуда получается Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков.

Аналогично находятся все остальные неизвестные переменные.

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

тогда получаются формулы, благодаря которым находятся неизвестные переменные методом Крамера:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков.

Замечание.

Тривиальное решение Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядковпри Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядковможет быть только в том случае, если система уравнений является однородной Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков. И действительно, если все свободные члены нулевые, тогда и определители равняются нулю, так как в них содержится столбец с нулевыми элементами. Конечно же, тогда формулы Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядковдадут Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvy

Метод Крамера – теоремы

Прежде чем решать уравнение , необходимо знать:

  1. теорему аннулирования;
  2. теорему замещения.

Теорема замещения

Сумма произведений алгебраических дополнений любого столбца (строки) на произвольные числа Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядковравняется новому определителю, в котором этими числами заменены соответствующие элементы изначального определителя, что отвечают данным алгебраическим дополнениям.

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков= Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

где Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков– алгебраические дополнения элементов Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядковпервого столбца изначального определителя:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Теорема аннулирования

Сумма произведений элементов одной строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равняется нулю.

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Видео:6. Вычисление определителя 2 и 3 порядка.Скачать

6. Вычисление определителя 2 и 3 порядка.

Алгоритм решения уравнений методом Крамера

Метод Крамера – простой способ решения систем линейных алгебраических уравнений. Такой вариант применяется исключительно к СЛАУ, у которых совпадает количество уравнений с количеством неизвестных, а определитель отличен от нуля.

Итак, когда выучили все этапы, можно переходить к самому алгоритму решения уравнений методом Крамера. Запишем его последовательно:

Шаг 1. Вычисляем главный определитель матрицы

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

и необходимо убедиться, что определитель отличен от нуля (не равен нулю).

Шаг 2. Находим определители

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Это и есть определители матриц, которые получались из матрицы Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядковпри замене столбцов на свободные члены.

Шаг 3. Вычисляем неизвестные переменные

Теперь вспоминаем формулы Крамера, по которым вычисляем корни (неизвестные переменные):

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков.

Шаг 4. Выполняем проверку

Выполняем проверку решения при помощи подстановки Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядковв исходную СЛАУ. Абсолютно все уравнения в системе должны быть превращены в тождества. Также можно высчитать произведение матриц Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков. Если в итоге получилась матрица, которая равняется Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, тогда система решена правильно. Если же не равняется Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, скорей всего в одном из уравнений есть ошибка.

Давайте для начала рассмотрим систему двух линейных уравнений, так как она более простая и поможет понять, как правильно использовать правило Крамера. Если вы поймёте простые и короткие уравнения, тогда сможете решить более сложные системы трёх уравнений с тремя неизвестными.

Кроме всего прочего, есть системы уравнений с двумя переменными, которые решаются исключительно благодаря правилу Крамеру.

Итак, дана система двух линейных уравнений:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Для начала вычисляем главный определитель (определитель системы):

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Значит, если Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, тогда у системы или много решений, или система не имеет решений. В этом случае пользоваться правилом Крамера нет смысла, так как решения не получится и нужно вспоминать метод Гаусса, при помощи которого данный пример решается быстро и легко.

В случае, если Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, тогда у система есть всего одно решение, но для этого необходимо вычислить ещё два определителя и найти корни системы.

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Часто на практике определители могут обозначаться не только Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, но и латинской буквой Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, что тоже будет правильно.

Корни уравнения найти просто, так как главное, знать формулы:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Так как мы смогли решить систему двух линейных уравнений, теперь без проблем решим и систему трёх линейных уравнений, а для этого рассмотрим систему:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Здесь алгебраические дополнения элементов – первый столбец Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков. Во время решения не забывайте о дополнительных элементах. Итак, в системе линейных уравнений нужно найти три неизвестных – Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядковпри известных других элементах.

Создадим определитель системы из коэффициентов при неизвестных:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Умножим почленно каждое уравнение соответственно на Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков– алгебраические дополнения элементов первого столбца (коэффициентов при Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков) и прибавим все три уравнения. Получаем:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Согласно теореме про раскладывание, коэффициент при Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядковравняется Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков. Коэффициенты при Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядкови Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядковбудут равняться нулю по теореме аннулирования. Правая часть равенства по теореме замещения даёт новый определитель, который называется вспомогательным и обозначается

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

После этого можно записать равенство:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Для нахождения Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядкови Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядковперемножим каждое из уравнений изначальной системы в первом случае соответственно на Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, во втором – на Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядкови прибавим. Впоследствии преобразований получаем:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков,

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Если Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, тогда в результате получаем формулы Крамера:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков= Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков= Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков= Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Видео:Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.Скачать

Решение систем линейных алгебраических уравнений  методом Крамера.

Порядок решения однородной системы уравнений

Отдельный случай – это однородные системы:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Среди решений однородной системы могут быть, как нулевые решения Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, так и решения отличны от нуля.

Если определитель Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядководнородной системы (3) отличен от нуля Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, тогда у такой системы может быть только одно решение.

Действительно, вспомогательные определители Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, как такие у которых есть нулевой столбец и поэтому, за формулами Крамера Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Если у однородной системы есть отличное от нуля решение, тогда её определитель Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядковравняется нулю Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Действительно, пусть одно из неизвестных , например, Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, отличное от нуля. Согласно с однородностью Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядковРавенство (2) запишется: Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков. Откуда выплывает, что Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера.

Примеры решения методом Крамера

Рассмотрим на примере решение методом Крамера и вы увидите, что сложного ничего нет, но будьте предельно внимательно, так как частые ошибки в знаках приводят к неверному ответу.

Задача

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решение

Первое, что надо сделать – вычислить определитель матрицы:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Как видим, Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, поэтому по теореме Крамера система имеет единственное решение (система совместна). Далее нужно вычислять вспомогательные определители. Для этого заменяем первый столбец из определителя Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядковна столбец свободных коэффициентов. Получается:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Аналогично находим остальные определители:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков,

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков.

Ответ

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков.

Задача

Решить систему уравнений методом Крамера:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решение

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Ответ

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков= Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков= Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков= Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков= Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядковПравило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков= Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков= Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Проверка

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков* Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков= Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков* Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков= Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков= Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков* Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков= Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков* Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков= Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков= Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков* Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков= Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков* Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков= Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков= Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Уравнение имеет единственное решение.

Ответ

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков= Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков= Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков= Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Задача

Решить систему методом Крамера

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решение

Как вы понимаете, сначала находим главный определитель:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Как мы видим, главный определитель не равняется нулю и поэтому система имеет единственное решение. Теперь можно вычислить остальные определители:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

При помощи формул Крамера находим корни уравнения:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков.

Чтобы убедиться в правильности решения, необходимо сделать проверку:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Как видим, подставив в уравнение решённые корни, у нас ответ получился тот же, что и в начале задачи, что говорит о правильном решении уравнений.

Ответ

Система уравнений имеет единственное решение: Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков.

Есть примеры, когда уравнение решений не имеет. Это может быть в том случае, когда определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных неравны нулю. В таком случае говорят, что система несовместна, то есть не имеет решений. Посмотрим на следующем примере, как такое может быть.

Задача

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решение

Как и в предыдущих примерах находим главный определитель системы:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

В этой системе определитель равняется нулю, соответственно, система несовместна и определенна или же несовместна и не имеет решений. Чтобы уточнить, надо найти определители при неизвестных так, как мы делали ранее:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Мы нашли определители при неизвестных и увидели, что все они не равны нулю. Поэтому система несовместна и не имеет решений.

Ответ

Система не имеет решений.

Часто в задачах на системы линейных уравнений встречаются такие уравнения, где есть не одинаковые буквы, то есть, кроме букв, которые обозначают переменные, есть ещё и другие буквы и они обозначают некоторое действительное число. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных – буквы. Давайте и рассмотрим такой пример.

Задача

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решение

В этом примере Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков– некоторое вещественное число. Находим главный определитель:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Находим определители при неизвестных:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Используя формулы Крамера, находим:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков.

Ответ

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков,

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков.

И наконец, мы перешли к самой сложной системе уравнений с четырьмя неизвестными. Принцип решения такой же, как и в предыдущих примерах, но в связи с большой системой можно запутаться. Поэтому рассмотрим такое уравнение на примере.

Задача

Найти систему линейных уравнений методом Крамера:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Здесь действуют система определителей матрицы высших порядков, поэтому вычисления и формулы рассмотрены в этой теме, а мы сейчас просто посчитаем систему уравнений с четырьмя неизвестными.

Решение

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

В изначальном определители из элементов второй строки мы отнимали элементы четвёртой строки, а из элементов третьей строки отнимались элементы четвёртой строки, которые умножались на 2. Также отнимали из элементов четвёртой строки элементы первой строки, умноженной на два. Преобразования первоначальных определителей при трёх первых неизвестных произведены по такой же схеме. Теперь можно находить определители при неизвестных:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Для преобразований определителя при четвёртом неизвестном из элементов первой строки мы вычитали элементы четвёртой строки.

Теперь по формулам Крамера нужно найти:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков,

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков,

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков,

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков.

Ответ

Итак, мы нашли корни системы линейного уравнения:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков,

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков,

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков,

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков.

Видео:Решение системы трех уравнений по формулам КрамераСкачать

Решение системы трех уравнений по формулам Крамера

Подведём итоги

При помощи метода Крамера можно решать системы линейных алгебраических уравнений в том случае, если определитель не равен нулю. Такой метод позволяет находить определители матриц такого порядка, как Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядковна Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядковблагодаря формулам Крамера, когда нужно найти неизвестные переменные. Если все свободные члены нулевые, тогда их определители равны нулю, так как в них содержится столбец с нулевыми элементами. И конечно же, если определители равняются нулю, лучше решать систему методом Гаусса, а не Крамера, только тогда ответ будет верный.

Рекомендуем почитать для общего развития

Решение методом Крамера в Excel

Видео:10. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.Скачать

10. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.

Определители второго порядка и правило Крамера

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Ме́тод Крамера (правило Крамера) — способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем матрицы коэффициентов системы (причём для таких уравнений решение существует и единственно).

Просмотр содержимого документа
«Определители второго порядка и правило Крамера»

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ПРАВИЛО КРАМЕРА

Определители второго порядка

Понятие определителя возникло также в связи с задачей решения систем линейных уравнений. Определитель(илидетерминант) есть число, характеризующее квадратную матрицуAи обозначается обычно символами:detA,|A|.или Если матрица задана явно, в виде таблицы, то определитель обозначают, заключая таблицу в вертикальные линии.

Определитель матрицы второго порядка находится следующим образом:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков(2.1)Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Он равен произведению элементов главной диагонали матрицы минус произведение элементов второй диагонали.

Например, Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Следует еще раз подчеркнуть, что матрица есть таблица чисел, тогда как определитель есть число, определяемое через элементы квадратной матрицы.

Рассмотрим теперь систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Используя понятие определителя 2-го порядка, решение этой системы можно записать в виде:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков(2.2)

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Это есть правило Крамерарешения системы двух линейных уравнений 0.с двумя неизвестными при условии, что

Пример 2.1.Решить систему линейных уравнений, используя правило Крамера:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Историческая справка.Идея понятия«определителя»могла бы принадлежатьГ. Лейбницу(1646-1716), если бы он развил и опубликовал свои идеи относительно определителей, к которым он пришел в 1693 г. Поэтому приоритет в разработке метода определителей решения систем линейных уравнений принадлежитГ. Крамеру(1704-1752), который опубликовал свои исследования по этой теме в 1750 г. Однако Крамер не построил полноценной теории определителей, к тому же ему не доставало удобного обозначения. Первое обширное исследование, посвященное определителям, былоА. Вандермондом(1735-1796) в 1772 г. Он дал логическое изложение теории определителей и ввел правило разложения определителя с помощью миноров. Полное изложение теории определителей было дано лишь в 1812 г.
Ж. Бине(1786-1856) иО. Коши(1789-1858). Термин«определитель»(«детерминант») в современном его значении был введен Коши (ранее этот термин использовался К. Гауссом для обозначения дискриминанта квадратичной формы).

Определители третьего порядка

Определительматрицы 3-го порядка находится следующим образом

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков(2.3)

Естественно, что запомнить эту формулу довольно трудно. Однако есть правила, которые облегчают выписывание выражения для определителя 3-го порядка.

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Правило треугольников:три слагаемых, входящих в исходное выражение со знаком плюс, есть произведения элементов главной диагонали или треугольников, основания которых параллельны этой диагонали. Остальные три слагаемых, входящих со знаком минус, находятся таким же образом, но относительно второй диагонали.

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Правило Саррюса: припишем к матрице справа первый, а затем второй столбец. Тогда «положительные» слагаемые будут находиться на линиях параллельных главной диагонали, а «отрицательные» на линиях, параллельных второй диагонали.

Пример 2.2.Вычислить определитель

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т.е.

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков(2.4)

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Это есть правило Крамерарешения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Пример 2.3.Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решение.Находим определитель основной матрицы системы

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Следовательно, решение найдено правильно. 

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера.Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы системы 0)( имеет одно и только одно решение и это решение вычисляется по формулам

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков(2.5)

где–определитель основной матрицы,iопределитель матрицы,полученной из основной, заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

=0,Отметим, что если то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений.

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

Определители n-го порядка

Дополнительным миноромMijэлементаaijназывается определитель, получаемый из данного путем вычеркиванияi-й строки иj-го столбца.Алгебраическим дополнениемAijэлементаaijназывается минор этого элемента, взятого со знаком (–1) i+j , т.е.Aij= (–1) i+j Mij.

Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a23иa31определителя

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Используя понятие алгебраического дополнения можно сформулировать теорему о разложении определителя n-го порядка по строке или столбцу.

Видео:Доказательство формул Крамера для системы двух уравненийСкачать

Доказательство формул Крамера для системы двух уравнений

Урок по математике «Определители 2го и 3го порядков. Свойства определителей. Решение систем двух (трех) уравнений по формулам Крамера.»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Тема урока Определители 2 го и 3 го порядков. Свойства определителей. Решение систем двух (трех) уравнений по формулам Крамера.

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ: ознакомить с определителями квадратных матриц 2-го, 3-го порядка; ознакомить с определением систем линейных уравнений и научить решать системы линейных уравнений методом Крамера .

РАЗВИВАЮЩИЕ: развивать навыки умения вычислять определители 2-го, 3-го порядка, развивать интерес к предмету, активизировать мыслительную деятельность;

ВОСПИТАТЕЛЬНЫЕ: развитие умения применять полученные знания в профессиональной деятельности;

Тип урока теоретическое занятие

Методы обучения словесные

1. Организационный момент:

а) взаимное приветствие;

б) фиксирование присутствия студентов;

в) постановка цели занятия перед студентами;

г) готовность и настрой студентов на работу в течение урока.

2. Проверка домашнего задания.

3. Изложение нового материала

4. Закрепление и совершенствование знаний.

6. Домашнее задание.

Проверка домашнего задания.

Фронтальная проверка домашнего задания.

(задания вызвавшие затруднения вынести на доску и разобрать.)

Изложения нового материала:

1. Понятие определителей.

2. Методы вычисления определителей 2-го,3-го порядка

3. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Закрепление и совершенствование знаний

1. Решение задач. [ 2]- №№ 1.32-1.36, [ 5]- №№ — 3-10,[ 2]- №№ 72-76

2. Самостоятельная работа .

Итоги урока Оценка работы группы и отдельных студентов. Аргументация выставленных отметок, замечания по уроку.

Домашнее задание: [ 2]- № 1.29-1.31, [ 5]- №№ — 17-20. [ 2]- 2.10, 2.11, 2.14, 2.16

Теоретический материал к уроку

Тема: Определители 2 го и 3 го порядков. Свойства определителей.

Решение систем двух (трех) уравнений по формулам Крамера.

Первые упоминания об определителях относятся к концу 17-го века, когда немецкий математик Лейбниц изучал линейные уравнения с многими неизвестными. Далее в конце 18-го века швейцарский математик Крамер указал общий закон составления определителей и привел формулы для решения систем линейных уравнений с n неизвестными с помощью определителей.

В настоящее время нет почти ни одной отрасли математики, в которой не имели бы приложений определители. Они встречаются в алгебре, в аналитической геометрии, в механике, в теории функций, в линейном программирования и т.д.

Определитель n -го порядка представляет собой квадратную таблицу, состоящую из n строк и n столбцов, и обозначается символом:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

числа Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков— элементы определителя, Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков– номер строки, Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков–номер столбца, n — порядок определителя.

Диагональ определителя, состоящая из элементов с одинаковыми индексами, называется главной, а вторая называется побочной.

Определителем n -го порядка называется число, являющееся алгебраической суммой n ! членов, каждый из которых есть произведение n элементов, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца, причем знак всякого члена определяется входящими в его состав элементами.

Определение 1 . Определителем первого порядка называется элемент Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Определение 2. Определителем 2-го порядка называется число, которое вычисляется по формуле: Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Определение 3. Определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется по формуле:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Для запоминания формулы используется правило Сарруса (правило «треугольников»):

Пример 1. Вычислить определитель:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Пример 2. Вычислить определитель:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Составим определитель из коэффициентов при неизвестных системы (1), который называется определителем системы или главным определителем:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков(2)

Если главный определитель Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, то система (1) имеет единственное решение, которое определяется по формулам Крамера:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков(3)

где Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядковполучаются из Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядковпри замене столбца Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядковстолбцом свободных членов.

Пример 1. Решить систему по правилу Крамера.

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков.

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков, значит, система имеет единственное решение.

Вычислим Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков.

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков.

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков.

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков.

Тогда по формулам Крамера:

Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Ответ: Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков.

Задачи для решения к уроку

Вычислить определители третьего порядка:

1.32. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков. 1.33. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков. 1.34. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков.

1.35. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков. 1.36. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Вычислите следующие определители:

№ 3. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков№ 4. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков№ 5. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков№ 6. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

№ 7. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков№ 8. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков№ 9. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков№ 10. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решить системы уравнений, методом Крамера.

№ 72. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков№ 73. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

№ 74. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков№ 75. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков№ 76. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Домашнее задание к уроку №

Вычислить определители второго порядка :

1.29. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков; 1.30. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков; 1.31. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков;

Вычислить определители третьего порядка:

№ 17. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков№ 18. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков№ 19. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков№ 20. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решить системы уравнений методом Крамера .

2.10 Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков2.11 Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

2.14 Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков2.16 Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Самостоятельная работа к уроку

Решить систему уравнений :

1 . Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков 2. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решить систему уравнений :

1. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков2. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решить систему уравнений :

1. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков2. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решить систему уравнений :

1. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков 2. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решить систему уравнений :

1. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков 2. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решить систему уравнений :

1. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков 2. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решить систему уравнений :

1. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков 2. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решить систему уравнений :

1. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков 2. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решить систему уравнений :

1. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков 2. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решить систему уравнений :

1. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков2. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решить систему уравнений :

1. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков 2. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решить систему уравнений :

1. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков 2. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решить систему уравнений :

1. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков 2. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решить систему уравнений :

1. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков 2. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решить систему уравнений :

1. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков 2. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решите систему уравнений :

1. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков2. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решите систему уравнений :

1. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков2. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решите систему уравнений :

1. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков2. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решите систему уравнений :

1. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков2. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решите систему уравнений :

1. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков2. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решите систему уравнений :

1. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков2. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решите систему уравнений :

1. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков2. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решите систему уравнений :

1. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков2. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решите систему уравнений :

1. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков2. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решите систему уравнений :

1. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков2. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решите систему уравнений :

1. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков2. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решите систему уравнений :

1. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков2. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решите систему уравнений :

1. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков2. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решите систему уравнений :

1. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков2. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

Решите систему уравнений :

1. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков2. Правило крамера для систем линейных уравнений 2 го и 3 го порядков

🎬 Видео

Формулы КРАМЕРАСкачать

Формулы КРАМЕРА

2 минуты на формулы Крамера ➜ Решение систем уравнений методом КрамераСкачать

2 минуты на формулы Крамера ➜ Решение систем уравнений методом Крамера

Линейная алгебра: матрицы, определители, метод Крамера. Высшая математикаСкачать

Линейная алгебра: матрицы, определители, метод Крамера. Высшая математика

Решение системы уравнений методом Крамера 4x4Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера 4x4

Математика Без Ху!ни. Система линейных уравнений. Метод Крамера.Скачать

Математика Без Ху!ни. Система линейных уравнений. Метод Крамера.

Формулы Крамера для системы двух линейных уравненийСкачать

Формулы Крамера для системы двух линейных уравнений

Семинар №1 "Матрицы. Определители 2-го и 3-го порядка. Системы линейных уравнений. Правило Крамера."Скачать

Семинар №1 "Матрицы. Определители 2-го и 3-го порядка. Системы линейных уравнений. Правило Крамера."

Определитель второго порядка и его свойстваСкачать

Определитель второго порядка и его свойства

Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса

Вычисление определителей 2 и 3 порядковСкачать

Вычисление определителей 2 и 3 порядков

Решение СЛАУ методом Крамера. Линейная алгебраСкачать

Решение СЛАУ методом Крамера. Линейная алгебра
Поделиться или сохранить к себе: