Правила преобразования уравнений и неравенств

п.1. Понятие равносильных уравнений

Равносильными называют уравнения, имеющие одни и те же корни.

Равносильными считаются также уравнения, каждое из которых не имеет корней.

Каждое из уравнений имеет один и тот же корень x=1

$implies$ уравнения равносильны

$x_1 = 3 и x_2 = -2$

Первое уравнение имеет два корня, а второе – только один корень

$implies$ уравнения неравносильны

Оба уравнения не имеют решений

$implies$ уравнения равносильны

п.2. Правила преобразования уравнений

При решении уравнения его стараются заменить более простым равносильным уравнением. При этом используют следующие правила.

Правила преобразования уравнений

• 1. В любой части уравнения можно раскрывать скобки и приводить подобные.
• 2. Любое слагаемое в уравнении можно перенести из одной части в другую, изменив его знак.
• 3. Обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, отличное от нуля.

В результате этих преобразований всегда получаем уравнение, равносильное данному.

п.3. Примеры

Пример 1. Решите уравнение $ frac x = 12 — 7x$

$ frac x = 12 — 7x iff frac x + 7x = 12 iff 7 frac x = 12 iff x = 12:7 frac iff$

$ x = 12 cdot frac = frac =1 frac $

Пример 2. Решите уравнение $ frac — frac = 10$

$ frac — frac = 10 | times 14 iff 6x — x = 140 iff 5x = 140 iff x = 140 : 5 = 28$

Пример 3. Решите уравнение $7x — frac =frac 15 (3x+14)$

$7x — frac 25 = frac 15 (3x + 14) | times 5 iff 35x — 2 = 3x + 14 iff 35x — 3x = 14 + 2 iff$

$ iff 32x = 16 iff x = frac = frac 12$

Ответ: x = frac 12

Пример 4. Решите уравнение $frac — frac = frac $

$frac — frac = frac | times 8 iff 4(5x-1)-(3x+4)=2(x-3) iff $

$ iff 15x=2 iff x= frac $

Пример 5. При каких значениях a равносильны уравнения

Найдём корень первого уравнения

$3(x-1)=5-x iff 3x-3=5-x iff 3x+x=5+3 iff 4x=8 iff x=2$

Подставим во второе

$a cdot 2=2+a iff 2a-a=2 iff a=2$

При a=2 оба уравнения имеют один корень x=2.

Решение линейных неравенств

О чем эта статья:

Основные понятия

Алгебра не всем дается легко с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и по чуть-чуть. Сегодня узнаем, как решать линейные неравенства.

Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, , ≤, ≥.

Линейные неравенства — это неравенства вида:

где a и b — любые числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как решаются неравенства рассмотрим далее в статье.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти все значения переменной, при которой неравенство верное.

Типы неравенств

1. Строгие — используют только больше (>) или меньше ( b — это значит, что a больше, чем b.
2. a > b и b > и

Линейные неравенства: свойства и правила

Вспомним свойства числовых неравенств:

1. Если а > b , то b а.
2. Если а > b и b > c, то а > c. И также если а b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c).

Если же а b и c > d, то а + c > b + d.

Если а 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.

Если а d, то а – c b, m — положительное число, то mа > mb и

Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).

Если же а > b, n — отрицательное число, то nа

Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак неравенства поменять на противоположный.

1. Если а > b и c > d, где а, b, c, d > 0, то аc > bd.

Если а 0, то аc b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а b, где а, b > 0, то
b» height=»45″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/MuRDPQeqxIZvVG_mHVaktFp6nlIEEbz8zdRs1ZW8CZbZacJrS4aKzrDyhKxXpJvc35TSAgiRpqr-63sGzL9_sPU80vFhR0ZDAmSmRFZtwEldDkWRttfSGuaJJIb7xWxZDugU3xTt»>

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое трансформирует его в верное числовое неравенство.

Чтобы упростить процесс нахождения корней неравенства, нужно провести равносильные преобразования — то заменить данное неравенство более простым. При этом все решения должны быть сохранены без возникновения посторонних корней.

Свойства выше помогут нам использовать следующие правила.

Правила линейных неравенств

1. Любой член можно перенести из одной части в другую с противоположным знаком. Знак неравенства при этом не меняется.

• 2x − 3 > 6 ⇒ 2x > 6 + 3 ⇒ 2x > 9.

1. Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число. Знак неравенства при этом не меняется.

• Умножим обе части на пять 2x > 9 ⇒ 10x > 45.

1. Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число. Знак неравенства при этом меняется на противоположный.

• Разделим обе части на минус два 2x > 9 ⇒ 2x : (–2) > 9 : (–2) ⇒ x
  

  Решение линейных неравенств

  Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:

  где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.

  Равносильные преобразования

  Для решения ax + b , ≥) нужно применить равносильные преобразования неравенства. Рассмотрим два случая: когда коэффициент равен и не равен нулю.

  Алгоритм решения ax + b , ≥) является верным, когда исходное имеет решение при любом значении. Неверно тогда, когда исходное не имеет решений.

  Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.

  Как решаем:

  • Данное неравенство 0 * x + 5 > 0 может принимать любое значение x.
  • Получается верное числовое неравенство 5 > 0. Значит его решением может быть любое число.

  Метод интервалов

  Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.

  Метод интервалов заключается в следующем:

  • вводим функцию y = ax + b;
  • ищем нули для разбиения области определения на промежутки;
  • отмечаем полученные корни на координатной прямой;
  • определяем знаки и отмечаем их на интервалах.

  Алгоритм решения ax + b , ≥) при a ≠ 0 с использованием метода интервалов:

  • найдем нули функции y = ax + b для решения уравнения ax + b = 0.

  Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;

  • начертим координатную прямую с изображением точки с координатой х₀, при строгом неравенстве точку рисуем выколотой, при нестрогом — закрашенной;
  • определим знаки функции y = ax + b на промежутках.

  Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;

  если решение неравенства со знаками > или ≥ — добавляем штриховку над положительным промежутком на координатной прямой, если 0.

  Как решаем:

  В соответствии с алгоритмом, сначала найдем корень уравнения − 6x + 12 = 0,

  Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.

  

  Определим знаки на промежутках.

  Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.

  Определяем знак на промежутке (2, + ∞) , тогда подставляем значение х = 3. Получится, что −6 * 3 + 12 = − 6, − 6

  Графический способ

  Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.

  Алгоритм решения y = ax + b графическим способом

  • во время решения ax + b 0 определить промежуток, где график изображается выше Ох;
  • во время решения ax + b ≥ 0 определить промежуток, где график находится выше оси Ох или совпадает.

  Рассмотрим пример: −5 * x − √3 > 0.

  Как решаем

  • Так как коэффициент при x отрицательный, данная прямая является убывающей.
  • Координаты точки пересечения с Ох равны (−√3 : 5; 0).
  • Неравенство имеет знак >, значит нужно обратить внимание на промежуток выше оси Ох.
  • Поэтому открытый числовой луч (−∞, −√3 : 5) будет решением.

  Ответ: (−∞, −√3 : 5) или x

  Равносильные неравенства, преобразование неравенств

  В процессе решения неравенств зачастую происходит переход от заданного неравенства к неравенствам иного вида, имеющим то же решение, но определяемое проще. Иными словами, в результате преобразований заданное неравенство возможно заменить равносильным ему, облегчающим поиск решения. Данная статья посвящена способам равносильных преобразований. Сформулируем определение, рассмотрим основные виды преобразований.

  Равносильные неравенства: определение, примеры

  Равносильные неравенства – неравенства, имеющие одни и те же решения. В частном случае, неравенства, не имеющие решений, тоже называются равносильными.

  Иными словами, если неравенства равносильны и имеют решения, то любое решение первого будет являться и решением второго. Ни одно из равносильных неравенств не имеет решений, не являющихся решениями других, равносильных ему неравенств.

  Даны три равносильных неравенства: x > 2 , 2 · x : 2 > 2 и x > 3 — 1 . В самом деле, множества решений этих неравенств одинаковые, решение каждого их них – числовой промежуток ( 2 , + ∞ ) .

  Неравенства х 6 ≥ — 2 и | х + 7 | 0 являются равносильными, поскольку оба не имеют решений.

  Неравенства х > 3 и х ≥ 3 – не равносильные: х = 3 служит решением второго из этих равенств, но не служит решением первого.

  Отметим, что указанное определение относится к неравенствам как с одной переменной, так и с двумя, тремя и более.

  Равносильные преобразования неравенств

  Возможно совершить некоторые действия с правой и левой частью неравенств, что даст возможность получать новые неравенства, имеющие решения, как и у исходного.

  Равносильное преобразование неравенства – это замена исходного неравенства равносильным ему, т.е. таким, которое имеет то же множество решений. Сами действия-преобразования, приводящие к равносильному неравенству, тоже называют равносильными преобразованиями.

  Равносильные преобразования дают возможность находить решения неравенств, преобразуя заданное неравенство в равносильное ему, но более простое и удобное для решения.

  Рассмотрим основные виды равносильных преобразований: по сути без них не обходится решение ни одного неравенства. Отметим также, что равносильные преобразования неравенств очень похожи на равносильные преобразования уравнений. Схожи и принципы доказательства, только, конечно, в данном случае доказательства будут строиться на основе свойств числовых неравенств.

  Итак, перечислим основные виды равносильных преобразований неравенств:

  1. Замена выражений в обоих частях неравенства тождественно равными выражениями на области допустимых значений (ОДЗ) переменных заданного неравенства есть равносильное преобразование неравенства.

  Доказательство 1

  Докажем утверждение. Пусть дано неравенство с одной переменной A ( x ) B ( x ) , где A ( x ) и B ( x ) — некие выражения с переменной x . Допустим, выражение C ( x ) является тождественно равным выражению A ( x ) , а выражение D ( x ) является тождественно равным B ( x ) на ОДЗ заданного неравенства. Найдем доказательство, что неравенство C ( x ) D ( x ) служит равносильным неравенству A ( x ) B ( x ) . С этой целью нам нужно продемонстрировать тот факт, что любое решение q заданного неравенства будет также решением неравенства C ( x ) D ( x ) , и наоборот: любое решение неравенства C ( x ) D ( x ) будет решением заданного неравенства A ( x ) B ( x ) .

  Мы приняли, что q – решение неравенства A ( x ) B ( x ) , тогда верным будет числовое неравенство A ( q ) B ( q ) . Отсюда по разностному определению неравенства выводим, что A ( q ) − B ( q ) 0 .

  Выражение A ( q ) − B ( q ) можно записать в виде A ( q ) + ( C ( q ) − C ( q ) ) − B ( q ) + ( D ( q ) − D ( q ) ) , что является тем же самым, ( A ( q ) − C ( q ) ) + C ( q ) − ( B ( q ) − D ( q ) ) − D ( q ) . Выражения A ( x ) и C ( x ) , B ( x ) и D ( x ) по условию тождественно равны, тогда: A ( q ) = C ( q ) и B ( q ) = D ( q ) , откуда A ( q ) − C ( q ) = 0 и B ( q ) − D ( q ) = 0 . Таким образом, ( A ( q ) − C ( q ) ) + C ( q ) − ( B ( q ) − D ( q ) ) − D ( q ) = 0 + C ( q ) − 0 − D ( q ) = C ( q ) − D ( q ) . Мы продемонстрировали, что значение выражения A ( q ) − B ( q ) равно значению выражения C ( q ) − D ( q ) , а поскольку A ( q ) − B ( q ) 0 , то и C ( q ) − D ( q ) 0 . Отсюда делаем вывод, что C ( q ) D ( q ) . И крайнее неравенство означает, что q – решение неравенства C ( x ) D ( x ) .

  Таким же образом доказывается, что любое решение неравенства C ( x ) D ( x ) будет решением и неравенства A ( x ) B ( x ) , тем самым будет доказано и исходное утверждение.

  Подобные преобразования не должны сужать ОДЗ заданного неравенства, тогда возможно совершать тождественные преобразования обеих сторон неравенства.

  Покажем пример использования.

  Рассмотрим неравенство x > 2 + 6 . В правой части возможно заменить сумму значением так, чтобы получилось равносильное неравенство x > 8 .

  В неравенстве 3 · ( x + 1 ) − 2 · x + 11 ≤ 2 · y + 3 · ( y + 1 ) + x , в обоих его частях мы раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получив в итоге равносильное неравенство x + 14 ≤ 5 · y + 3 + x . Если детально разобрать наши действия, то мы заменили левую часть данного неравенства тождественно равным ей выражением x + 14 , а правую часть – тождественно равным ей выражением 5 · y + 3 + x на области допустимых значений переменных x и y заданного неравенства.

  Еще раз особенно укажем, как важен учет ОДЗ (область допустимых значений) при совершении замены частей неравенства тождественными выражениями. В случае, когда ОДЗ нового неравенства будет отлична от ОДЗ исходного, неравенство не может считаться равносильным. Это крайне важный аспект, пренебрежение им приводит к неверным ответам при решении неравенств.

  1. Прибавление или вычитание из обеих частей неравенства одного и того же числа является равносильным преобразованием.

  Доказательство 2

  Приведем обоснование указанного утверждения. Допустим, задано неравенство A ( x ) B ( x ) и некое число c . Необходимо доказать, что заданному равносильно неравенство A ( x ) + c B ( x ) + c , которое мы получим, прибавив к обеим частям исходного неравенства число c . Продемонстрируем, что любое решение q заданного неравенства будет также и решением неравенства A ( x ) + c B ( x ) + c , и наоборот.

  Мы приняли, что q – решение неравенства A ( x ) B ( x ) , тогда верно следующее: A ( q ) B ( q ) . Из свойств числовых неравенств следует, что к обеим частям верного числового неравенства можно прибавить любое число. Мы прибавим число c к обеим частям крайнего неравенства, получим A ( q ) + c B ( q ) + c , и это означает, что q служит решением неравенства A ( x ) + c B ( x ) + c .

  Подобным же образом можно доказать, что любое решение неравенства A ( x ) + c B ( x ) + c будет являться и решением неравенства A ( x ) B ( x ) . Мы приняли, что q — решение неравенства A ( x ) + c B ( x ) + c , тогда A ( q ) + c B ( q ) + c , из обеих частей вычтем число c , получим A ( q ) B ( q ) , где q – решение неравенства A ( x ) B ( x ) .

  Таким образом, неравенства A ( x ) B ( x ) и A ( x ) + c B ( x ) + c являются равносильными. Для наглядности укажем пример: x > 2 и x − 5 > 2 − 5 – равносильные неравенства, а, учитывая рассматриваемое выше утверждение, равносильным им является и неравенство x − 5 > − 3 .

  1. Свойство, которое мы доказали выше, возможно расширить: прибавив к левой и правой частям неравенства одно и то же выражение с учетом соблюдения ОДЗ данного неравенства, получим равносильное неравенство.

  Пример 3

  Исходному неравенству x 7 будет равносильно неравенство x + ( 12 · x − 1 ) 7 + ( 12 · x − 1 ) .

  1. Указанные выше равносильные преобразования дают как следствие еще одно действие, пожалуй, основное в процессе преобразования неравенств: перенос любого слагаемого из одной части неравенства в другую с противоположным знаком служит равносильным преобразованием.

  Пример 4

  Исходному неравенству 3 · x − 5 · y > 12 равносильно неравенство 3 · x > 12 + 5 · y .

  1. Равносильным преобразованием также является умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число. И, умножив (или разделив) обе части неравенства на одно и то же отрицательное число, поменяв при этом знак неравенства на противоположный ( на > , > на , ≤ на ≥ , а ≥ на ≤ ), получим равносильное неравенство.

  Доказательство 3

  Докажем сначала первую часть утверждения. Допустим, задано неравенство A ( x ) B ( x ) и c – некое положительное число. Приведем доказательство, что A ( x ) B ( x ) и A ( x ) · c B ( x ) · c — равносильные неравенства. Примем q как решение заданного неравенства, в таком случае верным будет числовое неравенство A ( q ) B ( q ) . Опираясь на свойства числовых неравенств, можем утверждать, что, умножив обе части верного числового неравенства на положительное число, получим верное числовое неравенство. Производим умножение на заданное число c , что дает нам A ( q ) · c B ( q ) · c . Это значит, что q — решение неравенства A ( x ) · c B ( x ) · c .

  Теперь в обратную сторону: примем q как решение неравенства A ( x ) · c B ( x ) · c , в таком случае: A ( q ) · c B ( q ) · c . Разделим обе части этого числового неравенства на положительное число c (опираясь на свойства числовых неравенств), что даст нам верное числовое неравенство A ( q ) B ( q ) . Отсюда можно сделать вывод, что q — решение неравенства A ( x ) B ( x ) . Так, мы доказали, что при положительном числе c неравенства A ( x ) B ( x ) и A ( x ) · c B ( x ) · c являются равносильными.

  Таким же образом приводится доказательство второй части утверждения. Здесь можно опереться на свойство умножения и деления числовых неравенств на отрицательное число при смене знака неравенства на противоположный.

  Задано неравенство 2 · x ≤ 5 . Умножим его левую и правую части на положительное число 3 , что даст нам равносильное неравенство 6 · x ≤ 15 .

  Задано неравенство — 2 3 · z 1 . Разделим левую и правую его части на отрицательное число — 2 3 , сменив знак неравенства. Получим z > — 1 1 2 — неравенство, равносильное заданному.

  Расширим и это свойство неравенств:

  • умножив обе части заданного неравенства на одно и то же выражение, положительное при любых значениях переменных из ОДЗ заданного неравенства, не изменяющее ОДЗ, получим равносильное неравенство;
  • умножив обе части неравенства на одно и то же выражение, отрицательное при любых значениях переменных из ОДЗ заданного неравенства и не изменяющее ОДЗ, а также изменив знак равенства на противоположный, получим равносильное неравенство.

  Пример 7

  Задано неравенство x > 1 . Умножим его правую и левую части на выражение x 2 + 1 , положительное на всей ОДЗ, и получим равносильное неравенство x · ( x 2 + 1 ) > 1 · ( x 2 + 1 ) .

  В целом, есть и другие равносильные преобразования, однако, они не так распространены и скорее имеют отношение к конкретному виду неравенств, например, к логарифмическим неравенствам. Познакомиться с ними можно подробнее в соответствующей теме.

  Результат неравносильных преобразований неравенств

  Сколь уж существуют равносильные преобразования, имеют место и неравносильные. Такие действия приводят к искажению заданного неравенства и дают в итоге решение, не являющееся истинным для исходного неравенства. Случается, что и при неравносильных преобразованиях получается верный ответ, но это не более чем случайность.

  Собственно, вывод очевиден: решая неравенства, производить только равносильные преобразования.

  Разберем примеры для лучшего понимания теории.

  Пусть заданы неравенства x > − 2 и 1 x — 1 x + x > — 2 . Решением первого будет числовой промежуток ( − 2 , + ∞ ) , а второго – множество — 2 , 0 ∪ 0 , + ∞ .

  Пусть необходимо решить второе неравенство.

  Конечно, сазу приходит мысль об упрощении левой части приведением слагаемых, произведя замену просто на х, что даст переход к простому неравенству x > − 2 . Однако мы намеренно не учтем, что переход надо осуществить на ОДЗ переменной х ( х ≠ 0 ) , тогда предложенное выше преобразование даст нам неравносильное неравенство x > − 2 , а следовательно – неверный ответ ( − 2 , + ∞ ) взамен нужного — 2 , 0 ∪ 0 , + ∞ .

  Посмотрим с другой стороны:

  Мы решим неравенство x > − 2 . При этом нам захотелось заменить его якобы равносильным неравенством 1 x — 1 x + x > — 2 . Однако оно не является таковым: нуль не служит его решением, однако служит решением исходного неравенства. Суть в том, что выражение в его левой части тождественно равно не на всей области допустимых значений исходного неравенства: когда х = 0 , неравенство не равно x (при х = 0 оно не определено). Совершенные действия приведут нас к неверному ответу — 2 , 0 ∪ 0 , + ∞ взамен правильного ( − 2 , + ∞ ) .

  Признак вероятного неравносильного преобразования – сужение области допустимых значений. Вновь обратимся к примеру выше: когда мы производили переход от неравенства x > − 2 к неравенству 1 x — 1 x + x > — 2 , произошло сужение ОДЗ со всего множества действительных чисел до множества без нуля. Такое положение вещей точно указывает на то, что полученное в итоге неравенство никак не будет равносильным исходному, т.е. такой переход не приведет к необходимому верному результату.

  Неравносильные преобразования чаще всего происходят при невнимательном использовании свойств корней, логарифмов и модуля. Эти моменты будут детально рассмотрены в темах о решении неравенств соответствующих видов.