Правила преобразования уравнений и неравенств

п.1. Понятие равносильных уравнений

Равносильными называют уравнения, имеющие одни и те же корни.

Равносильными считаются также уравнения, каждое из которых не имеет корней.

Каждое из уравнений имеет один и тот же корень x=1

$implies$ уравнения равносильны

$x_1 = 3 и x_2 = -2$

Первое уравнение имеет два корня, а второе – только один корень

$implies$ уравнения неравносильны

Оба уравнения не имеют решений

$implies$ уравнения равносильны

п.2. Правила преобразования уравнений

При решении уравнения его стараются заменить более простым равносильным уравнением. При этом используют следующие правила.

Правила преобразования уравнений

• 1. В любой части уравнения можно раскрывать скобки и приводить подобные.
• 2. Любое слагаемое в уравнении можно перенести из одной части в другую, изменив его знак.
• 3. Обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, отличное от нуля.

В результате этих преобразований всегда получаем уравнение, равносильное данному.

п.3. Примеры

Пример 1. Решите уравнение $ frac x = 12 — 7x$

$ frac x = 12 — 7x iff frac x + 7x = 12 iff 7 frac x = 12 iff x = 12:7 frac iff$

$ x = 12 cdot frac = frac =1 frac $

Пример 2. Решите уравнение $ frac — frac = 10$

$ frac — frac = 10 | times 14 iff 6x — x = 140 iff 5x = 140 iff x = 140 : 5 = 28$

Пример 3. Решите уравнение $7x — frac =frac 15 (3x+14)$

$7x — frac 25 = frac 15 (3x + 14) | times 5 iff 35x — 2 = 3x + 14 iff 35x — 3x = 14 + 2 iff$

$ iff 32x = 16 iff x = frac = frac 12$

Ответ: x = frac 12

Пример 4. Решите уравнение $frac — frac = frac $

$frac — frac = frac | times 8 iff 4(5x-1)-(3x+4)=2(x-3) iff $

$ iff 15x=2 iff x= frac $

Пример 5. При каких значениях a равносильны уравнения

Найдём корень первого уравнения

$3(x-1)=5-x iff 3x-3=5-x iff 3x+x=5+3 iff 4x=8 iff x=2$

Подставим во второе

$a cdot 2=2+a iff 2a-a=2 iff a=2$

При a=2 оба уравнения имеют один корень x=2.

Видео:Равносильность уравнений и неравенств. Видеоурок 7. Алгебра 10 классСкачать

Решение линейных неравенств

О чем эта статья:

Видео:Как решать уравнения и неравенства? | Ботай со мной #072 | Борис Трушин |Скачать

Основные понятия

Алгебра не всем дается легко с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и по чуть-чуть. Сегодня узнаем, как решать линейные неравенства.

Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, , ≤, ≥.

Линейные неравенства — это неравенства вида:

где a и b — любые числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как решаются неравенства рассмотрим далее в статье.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти все значения переменной, при которой неравенство верное.

Видео:СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные УравненияСкачать

Типы неравенств

1. Строгие — используют только больше (>) или меньше ( b — это значит, что a больше, чем b.
2. a > b и b > и

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Линейные неравенства: свойства и правила

Вспомним свойства числовых неравенств:

1. Если а > b , то b а.
2. Если а > b и b > c, то а > c. И также если а b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c).

Если же а b и c > d, то а + c > b + d.

Если а 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.

Если а d, то а – c b, m — положительное число, то mа > mb и

Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).

Если же а > b, n — отрицательное число, то nа

Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак неравенства поменять на противоположный.

1. Если а > b и c > d, где а, b, c, d > 0, то аc > bd.

Если а 0, то аc b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а b, где а, b > 0, то
b» height=»45″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/MuRDPQeqxIZvVG_mHVaktFp6nlIEEbz8zdRs1ZW8CZbZacJrS4aKzrDyhKxXpJvc35TSAgiRpqr-63sGzL9_sPU80vFhR0ZDAmSmRFZtwEldDkWRttfSGuaJJIb7xWxZDugU3xTt»>

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое трансформирует его в верное числовое неравенство.

Чтобы упростить процесс нахождения корней неравенства, нужно провести равносильные преобразования — то заменить данное неравенство более простым. При этом все решения должны быть сохранены без возникновения посторонних корней.

Свойства выше помогут нам использовать следующие правила.

Видео:Решение неравенства методом интерваловСкачать

Правила линейных неравенств

1. Любой член можно перенести из одной части в другую с противоположным знаком. Знак неравенства при этом не меняется.

• 2x − 3 > 6 ⇒ 2x > 6 + 3 ⇒ 2x > 9.

1. Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число. Знак неравенства при этом не меняется.

• Умножим обе части на пять 2x > 9 ⇒ 10x > 45.

1. Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число. Знак неравенства при этом меняется на противоположный.

• Разделим обе части на минус два 2x > 9 ⇒ 2x : (–2) > 9 : (–2) ⇒ x
  

  Видео:11 класс, 26 урок, Равносильность уравненийСкачать

  

  Решение линейных неравенств

  Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:

  где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.

  Видео:Алгебра 10 класс (Урок№19 - Равносильные уравнения и неравенства.)Скачать

  

  Равносильные преобразования

  Для решения ax + b , ≥) нужно применить равносильные преобразования неравенства. Рассмотрим два случая: когда коэффициент равен и не равен нулю.

  Алгоритм решения ax + b , ≥) является верным, когда исходное имеет решение при любом значении. Неверно тогда, когда исходное не имеет решений.

  Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.

  Как решаем:

  • Данное неравенство 0 * x + 5 > 0 может принимать любое значение x.
  • Получается верное числовое неравенство 5 > 0. Значит его решением может быть любое число.

  Видео:Алгебра 10 класс (Урок№20 - Иррациональные уравнения и неравенства.)Скачать

  

  Метод интервалов

  Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.

  Метод интервалов заключается в следующем:

  • вводим функцию y = ax + b;
  • ищем нули для разбиения области определения на промежутки;
  • отмечаем полученные корни на координатной прямой;
  • определяем знаки и отмечаем их на интервалах.

  Алгоритм решения ax + b , ≥) при a ≠ 0 с использованием метода интервалов:

  • найдем нули функции y = ax + b для решения уравнения ax + b = 0.

  Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;

  • начертим координатную прямую с изображением точки с координатой х₀, при строгом неравенстве точку рисуем выколотой, при нестрогом — закрашенной;
  • определим знаки функции y = ax + b на промежутках.

  Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;

  если решение неравенства со знаками > или ≥ — добавляем штриховку над положительным промежутком на координатной прямой, если 0.

  Как решаем:

  В соответствии с алгоритмом, сначала найдем корень уравнения − 6x + 12 = 0,

  Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.

  

  Определим знаки на промежутках.

  Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.

  Определяем знак на промежутке (2, + ∞) , тогда подставляем значение х = 3. Получится, что −6 * 3 + 12 = − 6, − 6

  Видео:Преобразование формул по физике. Как выразить неизвестное?Скачать

  

  Графический способ

  Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.

  Алгоритм решения y = ax + b графическим способом

  • во время решения ax + b 0 определить промежуток, где график изображается выше Ох;
  • во время решения ax + b ≥ 0 определить промежуток, где график находится выше оси Ох или совпадает.

  Рассмотрим пример: −5 * x − √3 > 0.

  Как решаем

  • Так как коэффициент при x отрицательный, данная прямая является убывающей.
  • Координаты точки пересечения с Ох равны (−√3 : 5; 0).
  • Неравенство имеет знак >, значит нужно обратить внимание на промежуток выше оси Ох.
  • Поэтому открытый числовой луч (−∞, −√3 : 5) будет решением.

  Ответ: (−∞, −√3 : 5) или x

  Видео:Подготовка к ОГЭ . Рациональные неравенства | Математика | TutorOnlineСкачать

  

  Равносильные неравенства, преобразование неравенств

  В процессе решения неравенств зачастую происходит переход от заданного неравенства к неравенствам иного вида, имеющим то же решение, но определяемое проще. Иными словами, в результате преобразований заданное неравенство возможно заменить равносильным ему, облегчающим поиск решения. Данная статья посвящена способам равносильных преобразований. Сформулируем определение, рассмотрим основные виды преобразований.

  Видео:11 класс, 28 урок, Равносильность неравенствСкачать

  

  Равносильные неравенства: определение, примеры

  Равносильные неравенства – неравенства, имеющие одни и те же решения. В частном случае, неравенства, не имеющие решений, тоже называются равносильными.

  Иными словами, если неравенства равносильны и имеют решения, то любое решение первого будет являться и решением второго. Ни одно из равносильных неравенств не имеет решений, не являющихся решениями других, равносильных ему неравенств.

  Даны три равносильных неравенства: x > 2 , 2 · x : 2 > 2 и x > 3 — 1 . В самом деле, множества решений этих неравенств одинаковые, решение каждого их них – числовой промежуток ( 2 , + ∞ ) .

  Неравенства х 6 ≥ — 2 и | х + 7 | 0 являются равносильными, поскольку оба не имеют решений.

  Неравенства х > 3 и х ≥ 3 – не равносильные: х = 3 служит решением второго из этих равенств, но не служит решением первого.

  Отметим, что указанное определение относится к неравенствам как с одной переменной, так и с двумя, тремя и более.

  Видео:Как понять неравенства? Квадратные неравенства. Линейные и сложные неравенства | TutorOnlineСкачать

  

  Равносильные преобразования неравенств

  Возможно совершить некоторые действия с правой и левой частью неравенств, что даст возможность получать новые неравенства, имеющие решения, как и у исходного.

  Равносильное преобразование неравенства – это замена исходного неравенства равносильным ему, т.е. таким, которое имеет то же множество решений. Сами действия-преобразования, приводящие к равносильному неравенству, тоже называют равносильными преобразованиями.

  Равносильные преобразования дают возможность находить решения неравенств, преобразуя заданное неравенство в равносильное ему, но более простое и удобное для решения.

  Рассмотрим основные виды равносильных преобразований: по сути без них не обходится решение ни одного неравенства. Отметим также, что равносильные преобразования неравенств очень похожи на равносильные преобразования уравнений. Схожи и принципы доказательства, только, конечно, в данном случае доказательства будут строиться на основе свойств числовых неравенств.

  Итак, перечислим основные виды равносильных преобразований неравенств:

  1. Замена выражений в обоих частях неравенства тождественно равными выражениями на области допустимых значений (ОДЗ) переменных заданного неравенства есть равносильное преобразование неравенства.

  Доказательство 1

  Докажем утверждение. Пусть дано неравенство с одной переменной A ( x ) B ( x ) , где A ( x ) и B ( x ) — некие выражения с переменной x . Допустим, выражение C ( x ) является тождественно равным выражению A ( x ) , а выражение D ( x ) является тождественно равным B ( x ) на ОДЗ заданного неравенства. Найдем доказательство, что неравенство C ( x ) D ( x ) служит равносильным неравенству A ( x ) B ( x ) . С этой целью нам нужно продемонстрировать тот факт, что любое решение q заданного неравенства будет также решением неравенства C ( x ) D ( x ) , и наоборот: любое решение неравенства C ( x ) D ( x ) будет решением заданного неравенства A ( x ) B ( x ) .

  Мы приняли, что q – решение неравенства A ( x ) B ( x ) , тогда верным будет числовое неравенство A ( q ) B ( q ) . Отсюда по разностному определению неравенства выводим, что A ( q ) − B ( q ) 0 .

  Выражение A ( q ) − B ( q ) можно записать в виде A ( q ) + ( C ( q ) − C ( q ) ) − B ( q ) + ( D ( q ) − D ( q ) ) , что является тем же самым, ( A ( q ) − C ( q ) ) + C ( q ) − ( B ( q ) − D ( q ) ) − D ( q ) . Выражения A ( x ) и C ( x ) , B ( x ) и D ( x ) по условию тождественно равны, тогда: A ( q ) = C ( q ) и B ( q ) = D ( q ) , откуда A ( q ) − C ( q ) = 0 и B ( q ) − D ( q ) = 0 . Таким образом, ( A ( q ) − C ( q ) ) + C ( q ) − ( B ( q ) − D ( q ) ) − D ( q ) = 0 + C ( q ) − 0 − D ( q ) = C ( q ) − D ( q ) . Мы продемонстрировали, что значение выражения A ( q ) − B ( q ) равно значению выражения C ( q ) − D ( q ) , а поскольку A ( q ) − B ( q ) 0 , то и C ( q ) − D ( q ) 0 . Отсюда делаем вывод, что C ( q ) D ( q ) . И крайнее неравенство означает, что q – решение неравенства C ( x ) D ( x ) .

  Таким же образом доказывается, что любое решение неравенства C ( x ) D ( x ) будет решением и неравенства A ( x ) B ( x ) , тем самым будет доказано и исходное утверждение.

  Подобные преобразования не должны сужать ОДЗ заданного неравенства, тогда возможно совершать тождественные преобразования обеих сторон неравенства.

  Покажем пример использования.

  Рассмотрим неравенство x > 2 + 6 . В правой части возможно заменить сумму значением так, чтобы получилось равносильное неравенство x > 8 .

  В неравенстве 3 · ( x + 1 ) − 2 · x + 11 ≤ 2 · y + 3 · ( y + 1 ) + x , в обоих его частях мы раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получив в итоге равносильное неравенство x + 14 ≤ 5 · y + 3 + x . Если детально разобрать наши действия, то мы заменили левую часть данного неравенства тождественно равным ей выражением x + 14 , а правую часть – тождественно равным ей выражением 5 · y + 3 + x на области допустимых значений переменных x и y заданного неравенства.

  Еще раз особенно укажем, как важен учет ОДЗ (область допустимых значений) при совершении замены частей неравенства тождественными выражениями. В случае, когда ОДЗ нового неравенства будет отлична от ОДЗ исходного, неравенство не может считаться равносильным. Это крайне важный аспект, пренебрежение им приводит к неверным ответам при решении неравенств.

  1. Прибавление или вычитание из обеих частей неравенства одного и того же числа является равносильным преобразованием.

  Доказательство 2

  Приведем обоснование указанного утверждения. Допустим, задано неравенство A ( x ) B ( x ) и некое число c . Необходимо доказать, что заданному равносильно неравенство A ( x ) + c B ( x ) + c , которое мы получим, прибавив к обеим частям исходного неравенства число c . Продемонстрируем, что любое решение q заданного неравенства будет также и решением неравенства A ( x ) + c B ( x ) + c , и наоборот.

  Мы приняли, что q – решение неравенства A ( x ) B ( x ) , тогда верно следующее: A ( q ) B ( q ) . Из свойств числовых неравенств следует, что к обеим частям верного числового неравенства можно прибавить любое число. Мы прибавим число c к обеим частям крайнего неравенства, получим A ( q ) + c B ( q ) + c , и это означает, что q служит решением неравенства A ( x ) + c B ( x ) + c .

  Подобным же образом можно доказать, что любое решение неравенства A ( x ) + c B ( x ) + c будет являться и решением неравенства A ( x ) B ( x ) . Мы приняли, что q — решение неравенства A ( x ) + c B ( x ) + c , тогда A ( q ) + c B ( q ) + c , из обеих частей вычтем число c , получим A ( q ) B ( q ) , где q – решение неравенства A ( x ) B ( x ) .

  Таким образом, неравенства A ( x ) B ( x ) и A ( x ) + c B ( x ) + c являются равносильными. Для наглядности укажем пример: x > 2 и x − 5 > 2 − 5 – равносильные неравенства, а, учитывая рассматриваемое выше утверждение, равносильным им является и неравенство x − 5 > − 3 .

  1. Свойство, которое мы доказали выше, возможно расширить: прибавив к левой и правой частям неравенства одно и то же выражение с учетом соблюдения ОДЗ данного неравенства, получим равносильное неравенство.

  Пример 3

  Исходному неравенству x 7 будет равносильно неравенство x + ( 12 · x − 1 ) 7 + ( 12 · x − 1 ) .

  1. Указанные выше равносильные преобразования дают как следствие еще одно действие, пожалуй, основное в процессе преобразования неравенств: перенос любого слагаемого из одной части неравенства в другую с противоположным знаком служит равносильным преобразованием.

  Пример 4

  Исходному неравенству 3 · x − 5 · y > 12 равносильно неравенство 3 · x > 12 + 5 · y .

  1. Равносильным преобразованием также является умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число. И, умножив (или разделив) обе части неравенства на одно и то же отрицательное число, поменяв при этом знак неравенства на противоположный ( на > , > на , ≤ на ≥ , а ≥ на ≤ ), получим равносильное неравенство.

  Доказательство 3

  Докажем сначала первую часть утверждения. Допустим, задано неравенство A ( x ) B ( x ) и c – некое положительное число. Приведем доказательство, что A ( x ) B ( x ) и A ( x ) · c B ( x ) · c — равносильные неравенства. Примем q как решение заданного неравенства, в таком случае верным будет числовое неравенство A ( q ) B ( q ) . Опираясь на свойства числовых неравенств, можем утверждать, что, умножив обе части верного числового неравенства на положительное число, получим верное числовое неравенство. Производим умножение на заданное число c , что дает нам A ( q ) · c B ( q ) · c . Это значит, что q — решение неравенства A ( x ) · c B ( x ) · c .

  Теперь в обратную сторону: примем q как решение неравенства A ( x ) · c B ( x ) · c , в таком случае: A ( q ) · c B ( q ) · c . Разделим обе части этого числового неравенства на положительное число c (опираясь на свойства числовых неравенств), что даст нам верное числовое неравенство A ( q ) B ( q ) . Отсюда можно сделать вывод, что q — решение неравенства A ( x ) B ( x ) . Так, мы доказали, что при положительном числе c неравенства A ( x ) B ( x ) и A ( x ) · c B ( x ) · c являются равносильными.

  Таким же образом приводится доказательство второй части утверждения. Здесь можно опереться на свойство умножения и деления числовых неравенств на отрицательное число при смене знака неравенства на противоположный.

  Задано неравенство 2 · x ≤ 5 . Умножим его левую и правую части на положительное число 3 , что даст нам равносильное неравенство 6 · x ≤ 15 .

  Задано неравенство — 2 3 · z 1 . Разделим левую и правую его части на отрицательное число — 2 3 , сменив знак неравенства. Получим z > — 1 1 2 — неравенство, равносильное заданному.

  Расширим и это свойство неравенств:

  • умножив обе части заданного неравенства на одно и то же выражение, положительное при любых значениях переменных из ОДЗ заданного неравенства, не изменяющее ОДЗ, получим равносильное неравенство;
  • умножив обе части неравенства на одно и то же выражение, отрицательное при любых значениях переменных из ОДЗ заданного неравенства и не изменяющее ОДЗ, а также изменив знак равенства на противоположный, получим равносильное неравенство.

  Пример 7

  Задано неравенство x > 1 . Умножим его правую и левую части на выражение x 2 + 1 , положительное на всей ОДЗ, и получим равносильное неравенство x · ( x 2 + 1 ) > 1 · ( x 2 + 1 ) .

  В целом, есть и другие равносильные преобразования, однако, они не так распространены и скорее имеют отношение к конкретному виду неравенств, например, к логарифмическим неравенствам. Познакомиться с ними можно подробнее в соответствующей теме.

  Видео:18+ Математика без Ху!ни. Формулы ПриведенияСкачать

  

  Результат неравносильных преобразований неравенств

  Сколь уж существуют равносильные преобразования, имеют место и неравносильные. Такие действия приводят к искажению заданного неравенства и дают в итоге решение, не являющееся истинным для исходного неравенства. Случается, что и при неравносильных преобразованиях получается верный ответ, но это не более чем случайность.

  Собственно, вывод очевиден: решая неравенства, производить только равносильные преобразования.

  Разберем примеры для лучшего понимания теории.

  Пусть заданы неравенства x > − 2 и 1 x — 1 x + x > — 2 . Решением первого будет числовой промежуток ( − 2 , + ∞ ) , а второго – множество — 2 , 0 ∪ 0 , + ∞ .

  Пусть необходимо решить второе неравенство.

  Конечно, сазу приходит мысль об упрощении левой части приведением слагаемых, произведя замену просто на х, что даст переход к простому неравенству x > − 2 . Однако мы намеренно не учтем, что переход надо осуществить на ОДЗ переменной х ( х ≠ 0 ) , тогда предложенное выше преобразование даст нам неравносильное неравенство x > − 2 , а следовательно – неверный ответ ( − 2 , + ∞ ) взамен нужного — 2 , 0 ∪ 0 , + ∞ .

  Посмотрим с другой стороны:

  Мы решим неравенство x > − 2 . При этом нам захотелось заменить его якобы равносильным неравенством 1 x — 1 x + x > — 2 . Однако оно не является таковым: нуль не служит его решением, однако служит решением исходного неравенства. Суть в том, что выражение в его левой части тождественно равно не на всей области допустимых значений исходного неравенства: когда х = 0 , неравенство не равно x (при х = 0 оно не определено). Совершенные действия приведут нас к неверному ответу — 2 , 0 ∪ 0 , + ∞ взамен правильного ( − 2 , + ∞ ) .

  Признак вероятного неравносильного преобразования – сужение области допустимых значений. Вновь обратимся к примеру выше: когда мы производили переход от неравенства x > − 2 к неравенству 1 x — 1 x + x > — 2 , произошло сужение ОДЗ со всего множества действительных чисел до множества без нуля. Такое положение вещей точно указывает на то, что полученное в итоге неравенство никак не будет равносильным исходному, т.е. такой переход не приведет к необходимому верному результату.

  Неравносильные преобразования чаще всего происходят при невнимательном использовании свойств корней, логарифмов и модуля. Эти моменты будут детально рассмотрены в темах о решении неравенств соответствующих видов.

  🔍 Видео

  Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачиСкачать

  

  Как решать неравенства? Часть 1| МатематикаСкачать

  

  11 класс, 30 урок, Уравнения и неравенства со знаком радикалаСкачать

  

  ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА неравенства с корнемСкачать

  

  ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

  

  Иррациональные уравнения и их системы. 11 класс.Скачать

  

  8 класс, 40 урок, Решение линейных неравенствСкачать