Разделы: Математика
При изучении темы “Касательная к графику функции” можно выделить 5 типов задач.
I. Задачи на составление уравнения касательной к графику функции в точке, принадлежащей графику
Обучение решению задач на касательную осуществляется при помощи алгоритма.
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке х
: y = f(х
) + f ‘(х
)(x – х)
Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x):
1. Обозначить х абсциссу точки касания.
2. Найти f(х)
3. Найти f ‘(x) и f ‘(х) 4. Подставить найденные числа х, f(х), f ‘(х) в общее уравнение касательной
Задача. Составьте уравнение касательной к графику функции
в точке с абсциссой х=3.
1. х = 3 – абсцисса точки касания.
3. f ‘(x) = x 2 – 4, f ‘(3) = 5. 4.Подставив в уравнение касательной значения х=3, f(х)=-2, f ‘(х
)=5, получим y = – 2 + 5(x – 3), т.е. y = 5x – 17. Это и есть искомое уравнение касательной. Ответ: y = 5x-17.
Найти уравнение касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой х.
1. f(x)=-x -4x+2, х=-1. | 1) y=-2x-3; | 2) y=2x-1; | 3) y=-2x+3; | 4) y=2x+3. |
| 2. f(x)=-x+6x+8, х=-2. | 1) y=2x-6; | 2 )y=10x+12; | 3) y=4x+8; | 4) y=-10x+8. |
3. f(x)=x +5x+5, х=-1. | 1) y=7x+8; | 2) y=8x+7; | 3) y=9x+8; | 4) y=8x+6. |
4. f(x)=2cosx, х=  | 1) y= | 2) y= | 3) y= | 4) y= |
5. f(x)=tgx, х=  1) y=x; | 2) y=x+ | 3) y=x- | 4) y=x-1. | |
| 6. f(x)=1-sin2x, х=0. | 1) y=1-2x; | 2) y=2x; | 3) y = -2x; | 4) y=2x+1. |
7. f(x)=  х=-2. | 1) y = -x+1; 2) y = x+1; | 3) y = -x-1; | 4) y = -x-2. |
8. Уравнение касательной, проведённой к графику функции y=lnx в точке его пересечения с осью абсцисс, имеет вид. 1) y = 2x-2; 2) y = x-1; 3) y = x+1; 4) y = x.
9. Уравнение касательной, проведённой к графику функции y=e
-1 в точке его пересечения с осью абсцисс, имеет вид. 1) y = 2x; 2) y = 3x-1; 3) y = x-1; 4) y = x.
10. Уравнение касательной, проведённой к графику функции y=sin(x-
)+1 в точке его пересечения с осью ординат, имеет вид. 1) y = x+1; 2) y = x-1; 3) y =- x-1; 4) y =1- x.
Ответы к упражнениям
Задание 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Номер ответа 3 2 2 2 3 1 3 2 4 4
II. Проведение касательной параллельно заданной прямой
Задача 1. В каких точках касательные к кривой у=
— х
— х+1 параллельны прямой y=2x-1?
Решение. Так как касательные параллельны прямой у=2х-1 то их угловые коэффициенты совпадают. Т. е. угловой коэффициент касательной в этой точке есть к = 2 .
Находим у’ = х-2х-1; к= у'(х)= х-2х-1=2.
Решив уравнение х-2х-1=2; х-2х-3=0, получим (х)
=3, (х)
=-1, откуда (у)= -2, (у)
= 
. Итак, искомыми точками касания являются А(3;-2) и В(-1;
)
Ответ: (3;-2) и (-1;).
Задача 2. Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(x) = 2x-lnx, параллельна прямой у = х.
Решение. Пусть х
— абсцисса точки касания. Угловой коэффициент касательной в этой точке есть к=1. Находим f ‘(x)=2-
. К= f ‘ (х)=2-
=1.
Решив уравнение 2-
=1, получим х=1.
Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у(х).
1. f(x)= х+е , у(х)= -х. | 1) — ; 2) 0; 3)  ; 4) 1. |
2. f(x)=2 +х, у(х)= 2х. | 1) 1; 2) 4; 3) 0; 4)  . |
3. f(x)=х -5х, у(х)= -х. | 1) -2; 2) 3; 3) -3; 4) 2. |
| 4. f(x)=2lnх-x, у(х)= 0. | 1) -2; 2) 0; 3) 2; 4) 1. |
5. f(x)=-х-е , у(х)= 4-2х. | 1) 3; 2) 2; 3) 0; 4) –2. |
6. Найти сумму абсцисс точек, в которых касательные к графику функции у=х
— 3х+1 параллельны оси абсцисс. 1) 0; 2) 2; 3) 1; 4) –2.
7. Найти сумму абсцисс точек в которых касательные к кривой у= 
параллельны прямой у=х+5. 1) –2; 2) 4; 3) 2; 4) –4.
8. К графику функции у = 
проведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой х= -1. Найдите абсциссу точки, в которой другая касательная касается графика данной функции. 1) –2; 2) 2; 3) 1; 4) –3.
9. К графику функции у =- 
проведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой х= 1. Найдите абсциссу точки, в которой другая касательная касается графика данной функции. 1) –1; 2) 5; 3) 2; 4) –3.
10. На графике функции у = х (х-4) указать точки, в которых касательные параллельны оси абсцисс. Найти сумму абсцисс данных точек. 1) 5; 2) 4; 3) 3; 4) – 27.
Ответы к упражнениям
Задание 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Номер ответа 2 1 4 2 2 1 4 3 2 1
III. Задачи на касательную, связанные с ее угловым коэффициентом
Задача 1. К графику функции f(x) = 3x+5x-15 в точке с абсциссой x= 
проведена касательная. Найти тангенс угла наклона касательной к оси Ох.
f'(x) является угловым коэффициентом касательной к графику функции у =f(x) в точке x. Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла, образованного этой прямой с положительным направлением оси Ох.
k= f ‘(x)=tg
, где x— абсцисса точки касания, а — угол наклона касательной к оси Ох.
f ‘(x)= f ‘(
)=6. tg=6.
Задача 2. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = 0,5x 2 – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой y = 0.
Решение. f ‘(x)= x-3. Из условия f ‘(x) = tg 45° найдем x: x – 3 = 1, x= 4.
1. x= 4 – абсцисса точки касания.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
4. y = – 3 + 1(x – 4). y = x – 7 – уравнение касательной
Задача 3. Под каким углом к оси Ох наклонена касательная к графику функции f(x)=xlnx в точке x=1.
Решение. k= f'(x)=tg.
Находим f ‘(x)= 2xlnx+x
=2xlnx+x=x(2lnx+1).
При x=1 получим f ‘(1)=1, откуда tg
=1 и, значит, =
.
Ответ: .
К графику функции f(x) в точке с абсциссой x проведена касательная. Найти тангенс угла наклона касательной к оси Ох если:
1. f(x)= 2+x-2x , x=1. | 1) -1; 2) –7; 3) 3; 4) 0. |
2. f(x)=  , x=8. | 1) 1; 2) 32; 3) 8; 4) 16. |
| 3. f(x)= 5x-3x-7, x=-1. | 1) 21; 2) 14; 3) 9; 4) -21. |
| 4. f(x)= 3x-2lnx, x=2. | 1) 10; 2) 8; 3) 11; 4) 11,5. |
5. f(x)=  -x+14, x=1. | 1) -51; 2) –65; 3) 63; 4) 77. |
Найти угловой коэффициент касательной проведённой к графику функции f(x) в точке x
| 6. f(x)=e-x, x=1. | 1) e-2; 2) –1; 3) e-1; 4) –2. |
| 7. f(x)=2sinx+2, x=0. | 1) -2; 2) 0; 3) 4; 4) 2. |
8. f(x)=4cosx-1, x= . | 1) 4; 2) 2; 3) -2; 4) 1. |
| 9. f(x)=2+3, x=4. | 1) 3,5; 2) 0,5; 3) 7; 4) 2,5. |
10. Под каким углом к оси Ох наклонена касательная к графику функции f(x)=3lnx — x, в точке x=1. 1) 
2) 
3) arctg2; 4) 
Ответы к упражнениям
Задание 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Номер ответа 2 3 1 3 2 1 4 3 2 4
IV. Нахождение касательной проходящей через точку, внешнюю по отношению к заданному графику
Задача 1. Составить уравнения касательных к кривой y = x— 4x+3, проходящих через точку М(2;-5).
При х =2, находим у = 4-8+3=-1
-5, то есть точка М не лежит на кривой y = x-4x+3 и не является точкой касания.
Пусть (х
) – точка касания.
у ‘ =2х-4, k = 2x— 4. Составим уравнение касательной, проходящей через точку М:
у=-5-(2х-4)(2-х). Поскольку точка (х) лежит на кривой, получим y = x
-4x+3.
Решим уравнение x-4x+3 = -5-(2х-4)(2-х);
x
-4x+3=2x-8x+3, x— 4x=0, (х)=0, (х)= 4.
Таким образом, получили две точки касания А(0;3) и В(4;3). Итак, существуют две касательные к данной кривой; одна из них имеет угловой коэффициент k= -4 (при х=0) и уравнение у = -4х+3, а другая – угловой коэффициент k
=4 (при х=4) и уравнение у=4х-13.
Ответ: у =-4х+3, у = 4х-13.
Через точку М(х;у) проведены две касательные к графику функции f(x). Найти сумму абсцисс точек касания.
| 1. f(x)=4х-8х-2, М(3;-90). | 1) 4; 2) 6; 3) 5; 4) 3. |
2. f(x)=7х -2х-5, М(2;-93). | 1) 4; 2) 6; 3) 5; 4) 3. |
3. f(x)=6х -4х-1, М(1;-23). | 1) 1; 2) 5; 3) 2; 4) 3. |
| 4. f(x)=х-8х-2, М(1,5;-54). | 1) 2; 2) 4; 3) 5; 4) 3. |
| 5. f(x)=х-9х-5, М(-1,5;4,5). | 1) -2; 2) -5; 3) 2; 4) — 3. |
| 6. f(x)=7х-7х-1, М(2;-50). | 1) 4; 2) 6; 3) 5; 4) 3. |
7. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)= х— 4х + 5, если эта касательная проходит через точку А(0;4) и абсцисса точки касания положительна.
1) у = 2х+4; 2) у = -2х+4; 3) у = -4х+4; 4) у = 4х-3.
8. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)= х+ 3х + 5, если эта касательная проходит через точку А(0;1) и абсцисса точки касания отрицательна.
1) у = 2х+1; 2) у = х+1; 3) у = -х+1; 4) у = -2х-5.
9. Напишите уравнения касательных к графику функции f(x)= -0,5 х+3, если эта касательные проходят через точку на оси Оу и образуют между собой угол 90 o ?.
1) у = х+3,5 и у = х-3,5 ; 2) у = -х+3,5 и у = х+3,5; 3) у = -х+4 и у =х+4; 4) у = -х+3 и у =х+3.
10. Через точку В(-2;3) проходят касательные к графику функции у=
. Найти уравнения этих касательных.
1) у = 2х+2 и у = -22х+2; 2) у =-х+3 и у = х-3; 3)у =-0,5х+2 и у =х+4; 4)у =-0,5х+2 и у =-0,1х+2,8.
Ответы к упражнениям
Задание 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Номер ответа 2 1 3 4 4 1 2 4 2 4
V. Нестандартные задачи, связанные с касательной
1. Напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции y = 2x 2 – 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x + 3. Ответ: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.
2. При каких значениях a касательная, проведенная к графику функции y = x 2 – ax в точке графика с абсциссой x0 = 1, проходит через точку M(2; 3)? Ответ: a = 0,5.
3. При каких значениях p прямая y = px – 5 касается кривой y = 3x 2 – 4x – 2? Ответ: p1 = – 10, p2 = 2.
4. Найдите все общие точки графика функции y = 3x – x 3 и касательной, проведенной к этому графику через точку P(0; 16). Ответ: A(2; – 2), B(– 4; 52).
5. На кривой y = x 2 – x + 1 найдите точку, в которой касательная к графику параллельна прямой y – 3x + 1 = 0. Ответ: M(2; 3).
6. Напишите уравнение касательной к графику функции y = x 2 + 2x – | 4x |, которая касается его в двух точках. Сделайте чертеж. Ответ: y = 2x – 4.
7. На параболе y = x 2 взяты две точки с абсциссами x1 = 1, x2 = 3. Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей? Напишите уравнения секущей и касательной.
Ответ: y = 4x – 3 – уравнение секущей; y = 4x – 4 – уравнение касательной.
8. Найдите угол 
между касательными к графику функции y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1, проведенными в точках с абсциссами 0 и 1. Ответ: 
= 45°.
9. Напишите уравнение всех общих касательных к графикам функций y = x 2 – x + 1 и y = 2x 2 – x + 0,5. Ответ: y = – 3x и y = x.
10. Определите, под какими углами парабола y = x 2 + 2x – 8 пересекает ось абсцисс.
Ответ: 1 = arctg 6, 2 = arctg (– 6).
11. Прямая y = 2x + 7 и парабола y = x 2 – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите точку K пересечения прямых, касающихся параболы в точках M и N. Ответ: K(1; – 9).
12. При каких значениях b прямая y = 9x + b является касательной к графику функции y = x 3 – 3x + 15? Ответ: – 1; 31.
13. При каких значениях k прямая y = kx – 10 имеет только одну общую точку с графиком функции y = 2x 2 + 3x – 2? Для найденных значений k определите координаты точки.
14. При каких значениях b касательная, проведенная к графику функции y = bx 3 – 2x 2 – 4 в точке с абсциссой x0 = 2, проходит через точку M(1; 8)?
Видео:Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 2ч. 10 класс.Скачать
Практическое занятие «Касательная к графику функции» (для студентов СПО)
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Практическая работа №15 (естественно-научный профиль)
Тема: «Касательная к графику функции»
Цели: научиться находить угловой коэффициент касательной к графику функции в заданной точке; составлять уравнения касательных к графику функции по заданным условиям.
Краткая теоретическая справка.
Строгое определение касательной:
Касательная к графику функции f , дифференцируемой в точке x о , — это прямая, проходящая через точку ( x о ; f ( x о )) и имеющая угловой коэффициент f ′( x о ).
Угловой коэффициент имеет прямая вида y = kx + b . Коэффициент k и является угловым коэффициентом этой прямой.
Угловой коэффициент равен тангенсу острого угла, образуемого этой прямой с осью абсцисс:
Здесь угол α – это угол между прямой y = kx + b и положительным (то есть против часовой стрелки) направлением оси абсцисс. Он называется углом наклона прямой.
Если угол наклона прямой y = kx + b острый, то угловой коэффициент является положительным числом. График возрастает (рис.1).
Если угол наклона прямой y = kx + b тупой, то угловой коэффициент является отрицательным числом. График убывает (рис.2).
Если прямая параллельна оси абсцисс, то угол наклона прямой равен нулю. В этом случае угловой коэффициент прямой тоже равен нулю (так как тангенс нуля есть ноль). Уравнение прямой будет иметь вид y = b (рис.3).
Если угол наклона прямой равен 90º (π/2), то есть она перпендикулярна оси абсцисс, то прямая задается равенством x = c , где c – некоторое действительное число (рис.4).
Порядок выполнения работы.
Внимательно изучите теоретическую справку по теме.
Решите следующие задания.
Пример1. Найдем уравнение касательной к графику функции f ( x ) = x 3 – 2 x 2 + 1 в точке с абсциссой 2.
f ( x о ) = f (2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1
2) Находим f ′( x ). Для этого применяем формулы дифференцирования, изложенные в предыдущем разделе. Согласно этим формулам, х 2 = 2 х , а х 3 = 3 х 2 . Значит:
3) Итак, у нас есть все необходимые данные: x о = 2, f ( x о ) = 1, f ′( x о ) = 4. Подставляем эти числа в уравнение касательной и находим окончательное решение:
Пример 2. На рисунке изображены график функции y = f ( x ) и касательная к нему в точке с абcцисcой x 0 . Найдите значение производной функции в точке x 0 .
Значение производной функции y = f ( x ) в точке x 0 равно тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ОХ. Чтобы его найти, выделим прямоугольный треугольник, гипотенуза которого лежит на касательной, а катеты параллельны осям координат. Обозначим точки с целыми координатами буквами А и В — эти точки выделены на касательной:
Проведем через точку А прямую параллельно оси ОХ, а через точку В — параллельно оси OY. Получим прямоугольный треугольник ABC. Угол А треугольника АВС равен углу между касательной и положительным направлением оси ОХ.
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Длины катетов считаем по количеству клеточек
Пример 3. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции
в точке с абсциссой х0=1.
Тогда при x 0 =1 значение производной равно 
Отсюда получаем, что угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой х 0 =1 равен
Пример 4. Прямая y = 8 x -5 параллельна касательной к графику функции y = x 2 +7 x +7 . Найдите абсциссу точки касания.
Решение. Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов, следовательно k =8 . Угловой коэффициент касательной – это есть значение производной функции в точке x 0 . f ´( x 0 ) = 2 x 0 +7 =8, 2 x 0 = -1, x 0 = -0,5.
Выполните самостоятельную работу по вариантам.
Видео:Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать
Практическая работа по математике по теме: «Касательная к графику функции»
Инструкционная карта по выполнению практической работы по теме: «Касательная к графику функции».
Просмотр содержимого документа
«Практическая работа по математике по теме: «Касательная к графику функции»»
Тема: Касательная к графику функции.
— познакомиться с понятием касательной к графику функции, геометрическим смыслом касательной, формулой уравнения касательной;
— научиться проводить касательные к графику функции в данной точке, выводить уравнение касательной к данной функции в данной точке.
Норма времени: 2 часа
Оборудование: инструкционная карта
1. Познакомьтесь с основными вопросами темы и рассмотрите пример:
Прямую, проходящую через точку (х0;f(x0)), с отрезком которой практически сливается график функции f при значениях х, близких к х0, называют касательной к графику функции f в точке (х0;f(x0)).
Геометрический смысл производной: Существование производной функции f в точке х0 эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (х0;f(x0)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен
Касательная к графику дифференцируемой в точке х0 функции f – это прямая, проходящая через точку (х0;f(x0)) и имеющая угловой коэффициент
Выведем уравнение касательной к графику функции f в точке А(х 0;f(x0)).
Уравнение прямой с угловым коэффициентом f ‘(x0)
имеет вид: y=f ‘(x0)х+b (y=kx+b-уравнение прямой, к=f ‘(x0)).
Так как касательная проходит через точку А:
f (x0)=f ‘(x0)х+b, откуда b=f(x0)-f ‘(x0)х0.
Таким образом уравнение касательной таково:
y=f ‘(x0)х-f ‘(x0)х0+f (x0)
или
y=f ‘(x0)х-f ‘(x0)(х-х0)
Найдём уравнение касательной к графику функции f(x)=x3–2×2+1 в точке с абсциссой х0
В этом примере х0=2,
f(x0)= f(2)=23 -2 22 +1=1,
f ‘(x0)= f ‘(2)=322 -4 2 =4,
Подставляя числа в уравнение касательной, получаем уравнение:
2. Проведите касательные к графикам в данных точках:
3. Выполните задание: Напишите уравнение касательной к графику функции f в точке с абсциссой х0
1) f (х) = 
, х0=1 2) f (х) = х 2 +1, х0 = -3
3) f (х) = х 3 + 1, х0 = 2 4) f (х) = х 3 + 1, х0 =2
5) f (х) = х 2 – 2х, х0 = -2
1) f (х) = 
, х0 = -1 2) f (х) = 2х 2 — 1, х0 = -2
3) f (х) = х 3 – 1, х0 = 1 4) f (х) = — х 2 + 1, х0 = -3
💡 Видео
10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функцииСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать
Уравнение касательнойСкачать
Касательная к графику функции в точке. 10 класс.Скачать
Уравнение касательной к графику функции | Алгебра 10 класс #45 | ИнфоурокСкачать
Уравнение касательной к графику функции в заданной точкеСкачать
Производная: касательная к графику.Скачать
Как составить уравнение касательной и нормали к графику функцииСкачать
Уравнение касательной к графику функции. Алгебра 10 классСкачать
Алгебра и начала анализа. 10 класс. Уравнение касательной к графику функции /01.02.2021/Скачать
Уравнение касательной к графику функции в задачах. Часть 1. Алгебра 10 классСкачать
Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать
Как написать уравнения касательной и нормали | МатематикаСкачать
Геометрический смысл производной. Уравнение касательнойСкачать
Уравнение касательной к графику функции в задачах. Часть 4. Алгебра 10 классСкачать
Уравнение касательной к графику функции в задачах. Часть 5. Алгебра 10 классСкачать
Касательная к графику функции. Простое объяснение формулыСкачать
Уравнение касательной к графику функцииСкачать
