Практическая работа системы уравнений и неравенств (5 видео)

Содержание

«Решение линейных уравнений, систем уравнений и неравенств»
Содержимое разработки
Практическая работа по алгебре на тему «Линейные и квадратные уравнения и системы уравнений»
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Способы решения неполных квадратных уравнений:
Теорема Виета
Задания для практического занятия
Методическая разработка «Уравнения и неравенства»
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Дистанционные курсы для педагогов
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
Другие материалы
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Автор материала
Дистанционные курсы для педагогов
Подарочные сертификаты
🎥 Видео

Видео:Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

«Решение линейных уравнений, систем уравнений и неравенств»

Разработка содержит практическую работу по теме «Решение линейных уравнений,систем уравнений и неравенств» для обучающихся СПО и НПО.Проводится при повторении основного материала.

Содержимое разработки

Практическая работа по теме: «Решение линейных уравнений, систем уравнений и неравенств»

Повторить знания обучающихся в теме: « Решение линейных уравнений, систем уравнений и неравенств».

Закрепить умения и навыки решения линейных уравнений, систем уравнений и неравенств .

Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности обучающихся.

Оборудование: рабочие тетради и тетради для практических работ, ручка, калькулятор.

Продолжительность: 1 час

Ознакомиться с теоретическим материалом и решением примеров .

Сделать краткий конспект теоретического материала в рабочих тетрадях (основные понятия, определения, формулы, примеры).

В тетрадях для практических работ выполнить практическую работу .

Линейные уравнения.
Уравнение вида ax+ b=0, где a и b — некоторые постоянные, называется линейным уравнением.
Если a  0, то линейное уравнение имеет единственный корень: x = .
Если a=0; b  0, то линейное уравнение решений не имеет.
Если a=0; b = 0, то, переписав исходное уравнение в виде ax = -b, легко видеть, что любое x является решением линейного уравнения.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
При решении уравнений используются следующие свойства:
Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получите уравнение, равносильные данному.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Примеры решения уравнений

2x – 3 + 4(x – 1) = 5

Пос Последовательно раскроем скобки, приведём

подобные члены и найдём x:

2x – 3 + 4x – 4 = 5

2x + 4x = 5 + 4 + 3,
6x = 12

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, перенесем все слагаемые с х в левую часть уравнения, а слагаемые, не содержащие х, в правую часть, получим:
16х-15х=88-40-12

2x – 3 + 2(x – 1) = 4(x – 1) – 7

2x + 2x – 4x = 3 +2 – 4 – 7

2x + 3 – 6(x – 1) = 4(x – 1)+ 5

2x – 6x + 3 + 6 = 4 – 4x + 5
– 4x + 9 = 9 – 4x
-4x + 4x = 9 – 9
0x = 0 Ответ: Любое число.

Системы уравнений с двумя переменными
Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что их нет.
При решении линейных систем используют метод подстановки и метод сложения.

Примеры решения систем уравнений

Для решения этой системы применим метод подстановки . Выразим из первого уравнения х и подставим это значение во второе уравнение системы, получим :

Ответ: (2; 3).

Для решения этой системы применим метод сложения уравнений . 8х=16, х=2. Подставим значение х=2 в первое уравнение, получим 10-у=9, у=1.
Ответ: (2; 1).

Эта система равносильна одному уравнению 2х+у=5, т.к. второе уравнение получается из первого умножением на 3. Следовательно, ей удовлетворяет любая пара чисел (х; 5-2х). Система имеет бесконечное множество решений.
Ответ: (х; 5-2х), х–любое.

Умножим первое уравнение на –2 и сложим

С со вторым уравнением, получим 0×х+0×у=-6. Этому у уравнению не удовлетворяет ни одна пара чисел. Сл Следовательно, эта система не имеет решений.
Ответ: система не имеет решений.

Линейные неравенства с одной переменной .

Линейным называется неравенство вида ax+b0 (соответственно ax+b 0, ax+b 0), где а и b – действительные числа, причем а0.
Неравенства решаются на основе следующих утверждений.
Теорема 1. Если какой-либо член неравенства с одной переменной перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 2. Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 3. Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Примеры решения неравенств

2(х-3)+5(1-х) 3(2х-5)

Раскрыв скобки, получим 2х-6+5-5х6х-15
-3х-1 6х-15

-9х -14

Ответ: .

Освободимся от знаменателей, для чего умножим обе части неравенства на положительное число 6, оставив без изменения знак неравенства:

Далее последовательно получаем:

Последнее неравенство верно при любом значении х, так как при любом значении переменной получается истинное

высказывание 0-55. Поэтому множеством его решений служит вся числовая прямая.
Ответ:

Система неравенств
Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют систему, если ставится задача найти множество общих решений заданных неравенств.
Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы неравенств.
Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений неравенств, образующих систему. Неравенства, образующие систему, объединяются фигурной скобкой.

Пример решения систем неравенств

С помощью числовой прямой находим, что пересечением этих множеств служит интервал . Ответ:

Видео:Система уравнений VS Система неравенств. ОГЭ по математике №9, 13| Математика TutorOnlineСкачать

Практическая работа по алгебре на тему «Линейные и квадратные уравнения и системы уравнений»

Раздел: уравнения и неравенства.

Учебная цель:

восполнить некоторые содержательные пробелы основного курса;
создать в совокупности с основными разделами курса базу для развития способностей обучающихся, помочь осознать степень своего интереса к предмету.

Учебные задачи:

сформировать понятия: квадратное уравнение, приведенное квадратное уравнение, полное квадратное уравнение, неполное квадратное уравнение;
научить различать виды неполных квадратных уравнений и решать эти уравнения;
развивать навыки творческой, познавательной, мыслительной деятельности, логическое мышление;
развивать интерес к математике, самостоятельность, прививать аккуратность и трудолюбие.

Образовательные результаты, заявленные в ФГОС:

решать линейные и квадратные уравнения;
распознавать квадратные уравнения, приводить примеры;
распознавать неполные квадратные уравнения, приводить примеры, решать данные уравнения;
находить дискриминант;
определять число корней квадратного уравнения в зависимости от дискриминанта;
находить корни квадратного уравнения по формуле;
составлять квадратное уравнение по известным корням;
распознавать приведенные квадратные уравнения, приводить примеры;
определять способы решения систем линейных уравнений, решать системы способом подстановки;
решать системы линейных уравнений способом сложения, подстановки.

определение квадратного уравнения;
какое уравнение называется неполным квадратным уравнением; способы решения неполных квадратных уравнений;
что называется дискриминантом квадратного уравнения, формулу дискриминанта;
как зависит число корней от дискриминанта;
формулу корней квадратного уравнения;
теорему Виета и обратную теореме Виета;
какие уравнения называются приведенными квадратными уравнениями;
алгоритм решения систем линейных уравнений способом подстановки;
алгоритм решения систем уравнений способом сложения;
способы решения уравнений высших степеней.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Определение

Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a, b, c — действительные числа, причем a ≠ 0, называют квадратным уравнением.
Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если a ≠ 1, то неприведенным.

Числа a, b, c носят следующие названия: a — первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Корни уравнения ax 2 + bx + c = 0 находят по формуле:

Выражение D = b 2 — 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.

если D 0, то уравнение имеет два действительных корня.

В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным

Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения — проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.

Способы решения неполных квадратных уравнений:

1. c = 0, то уравнение примет вид ax 2 + bx = 0.
x(ax + b) = 0, x = 0 или ax + b = 0, x = -b : a.

2. b = 0, то уравнение примет вид ax 2 + c = 0,
x 2 = -c / a,
x_1,2 = ±√(-c / a).

3. b = 0 и c = 0 , то уравнение примет вид ax 2 = 0, x = 0

Теорема Виета

Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения выражает теорема Виета. Пусть х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0, тогда х₁ + х₂ = – b/a, х₁х₂ = c/a. Для приведенного квадратного уравнения х 2 + рх + q = 0, если х₁ и х₂ – корни этого уравнения, то х₁ + х₂ = – p, х₁х₂ = q.

Справедливо утверждение, обратное теореме Виета: если числа m и n таковы, что их сумма равна – р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х 2 + рх + q = 0.

Существуют различные приемы решения систем уравнений

Метод подстановки заключается в следующем:

Одно из уравнений системы преобразуют к виду, в котором y выражено через х (или х через y);
Полученное выражение подставляют вместо y (или вместо х) во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной;
Находят корни этого уравнения;
Воспользовавшись выражением y через х (или х через y), находят соответствующие значения х (или y).

Метод сложения основан на следующих теоремах:

Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение системы заменить уравнением, ему равносильным, то полученная система будет равносильна заданной;
Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение заменить суммой или разностью обоих уравнений системы, то полученная система будет равносильна заданной.

Метод введения новых переменных применяется при решении систем двух уравнений с двумя переменными одним из следующих способов:

Вводится одна новая переменная только для одного уравнения системы;
Вводятся две новые переменные сразу для обоих уравнений.

Для того чтобы графически решить систему двух уравнений с двумя переменными, нужно в одной системе координат построить графики уравнений и найти координаты точек пересечения этих графиков.

Задания для практического занятия

Задание 1

1) Решить уравнения:
а) х 2 = 11;
б) х 2 = – 8;
в) 7х 2 = 0;
г) х 2 – 5х = 0.

2) Рассмотреть квадратные уравнения:
a) 2x 2 + 5x – 7 = 0
б) 3x 2 – 8x = 0
в) 3x 2 – 48 = 0
г) 2х 2 = 0
Чем эти уравнения отличаются друг от друга? (В уравнениях б, в, г отсутствует один из членов). Как называются эти уравнения? (Неполными квадратными уравнениями)

3) Составить квадратное уравнение имеющее корни:
• 3 и –3
• 0 и 6

Задание 2

§20, Стр. 131, Ю.М. Колягин и др., Алгебра и начала анализа. 10 кл. (Учебники выдает преподаватель)
Работа по учебнику.

а) Прочитать материал стр. 131-134. Записать задачи 1, 3 и 4 себе в тетрадь. Работа в парах. Вопросы друг другу и преподавателю.
б) Задачу 6 разобрать у доски. Обсуждение. Записать решение в тетрадь.

Задание 3

Самостоятельно выполнить задания (с проверкой у доски – несколько человек) № 460(1), 462(1), 463(1), 465(1), 470(1)

Задание 4

Сделать самостоятельно № 460(2), 462(2), 463(2), 465(2). Дополнительно (индивидуально) тем, кто быстрее справится с заданиями: № 470(2). Обсудить и проверить решения друг с другом.

Задание 5

§21, Стр. 136, Ю.М. Колягин и др., Алгебра и начала анализа. 10 кл. (Учебники выдает преподаватель)
Работа по учебнику.

а) Прочитать материал стр. 137-140. Записать задачи 1, 2 и 3 себе в тетрадь. Работа в парах. Вопросы друг другу и преподавателю.
б) Задачу 6 разобрать у доски. Обсуждение. Записать решение в тетрадь.

Задание 6

Самостоятельно выполнить задания (с проверкой у доски – несколько человек) № 471-474(1), 477(1), 478(1).

Задание 7

Сделать самостоятельно № 471-474(2), 477(2). Дополнительно (индивидуально) тем, кто быстрее справится с заданиями: № 478(2). Обсудить и проверить решения друг с другом.

Задание 8

§22, cтр. 141, Ю.М. Колягин и др., Алгебра и начала анализа. 10 кл. (Учебники выдает преподаватель)

Работа по учебнику.

а) Прочитать материал стр. 141-150. Записать задачи 1 и 2. Работа в парах. Вопросы друг другу и преподавателю.
б) Задачи 6 и 7 разобрать у доски. Обсуждение. Записать решение в тетрадь.

Задание 9

Самостоятельно выполнить задания (с проверкой у доски – несколько человек) № 480(1), 481(1), 483(1), 492(1).

Задание 10

Сделать самостоятельно № 480(2), 481(2), 483(2). Дополнительно (индивидуально) тем, кто быстрее справится с заданиями: № 492(2). Обсудить и проверить решения друг с другом.

Задание 11
Самостоятельно выполнить задания (по вариантам).

Решите приведенные квадратные уравнения с помощью теоремы Виета

Итог

Подвести итог работы на занятии. Записать домашнее задание.

Видео:Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Методическая разработка «Уравнения и неравенства»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Методическая разработка по теме

«Уравнения и неравенства»

для студентов СПО.

РАЗДЕЛ 1. Рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения и системы уравнений……………………………………………………………….…….3-16

Практическая работа №1: «Решение рациональных, иррациональных уравнений и систем»…..………………………………………………………3-6

Практическая работа №2: «Решение показательных уравнений и систем»……………………………………………………………………….…6-9

Практическая работа №3: «Решение тригонометрических уравнений и систем»………………………………………………………………………. 9-13

Практическая работа №4: «Решение логарифмических уравнений и систем»……………………………………………………………………….13-16

РАЗДЕЛ 2. Рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические неравенства и системы неравенств……………………………………………..…………………….17-28

Практическая работа №1: «Решение рациональных, иррациональных неравенств»…..………………………………………………………. ……17-20

Практическая работа №2: «Решение показательных неравенств»….21-23

Практическая работа №3: «Решение тригонометрических нер-тв»…23-26

Практическая работа №4: «Решение логарифмических нер-тв»……26-28

РАЗДЕЛ 3. Использование графиков функций при решении уравнений, неравенств и систем с одной и двумя переменными…….29-35

Практическая работа №1: «Решение уравнений графическим методом»…..……………………………………………………………….…29-31

Практическая работа №2: «Решение неравенств и систем неравенств с двумя переменными»………………………………………………………31-35

ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА: «Уравнения и неравенства»……. 36-37

РАЗДЕЛ 1. Рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения и системы уравнений.

Практическая работа №1: «Решение рациональных, иррациональных уравнений и систем».

Рациональное уравнение — это такой вид уравнения в которой левая и правая части рациональные выражения. В записи уравнения имеются только сложение, вычитание, умножение, деление, а также возведение в целую степень .

Рассмотрим примеры решения таких уравнений

№ 32 (6). Решить уравнение

На первом этапе раскроем в уравнении все скобки, получим

Теперь оставим в левой части уравнения все неизвестные, а все числа перенесем в правую часть. Не забываем, что при переносе переменных или чисел через знак равенства знак необходимо поменять на противоположный, получим

Приведем подобные слагаемые слева и справа, получим

Получили неверное равенство (0 не равен 11), следовательно

Ответ: корней нет.

№ 33 (2). Решить уравнение

Так как здесь присутствует неизвестная переменная в знаменателе, то на первом этапе необходимо выделить область допустимых значений. Так как в знаменателе не должен находиться ноль, то получим следующее

Теперь перейдем к непосредственному решению уравнения. Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю

Получим в левой и правой части дроби можем применить правило пропорции, получим

Иррациональное уравнение — это такой вид уравнения , содержащее неизвестное под знаком корня. или возведённое в степень, которую нельзя свести к целому числу.

№ 70 (3). Решить уравнение

Так как в уравнении присутствует квадратный корень, то вначале необходимо найти область допустимых значений. Мы знаем, что в корне четной степени должно быть неотрицательное число, то есть

С другой стороны, значение корня также не может быть отрицательным числом, то есть правая часть уравнения также должна быть неотрицательной

В итоге, получаем следующее ОДЗ:

Перейдем к непосредственному решению уравнения. Для того, чтобы избавиться от корня возведем обе части уравнения в квадрат

Перенесем все в левую часть уравнения

Получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта

Задание для самостоятельного решения:

Решаем из сборника задач Богомолова следующие номера:
№32 (пункт 7), №33 (пункт 3) – всего два уравнения.

Изучаем видео-урок и решаем №45 (пункт 1) (https://www.youtube.com/watch?v=8mbiYVE6kYY)

Примечание: Вариант выбирается по первой букве вашей фамилии следующим образом: Буквы А-Д 1 вариант, Буквы Е-М – 2 вариант,
Буквы Н-Р – 3 вариант, Буквы С-Я – 4 вариант.

1. Решите уравнение

Система оценивания (5-ти бальная): за каждый правильно решенный пример получаем 1 предварительный балл. Всего можно получить 13 баллов. Таблица перевода баллов в оценку:

Практическая работа №2: «Решение показательных уравнений и систем».

Показательное уравнение — это любое уравнение, содержащее в себе показательную функцию, т.е. выражение вида . Помимо указанной функции подобные уравнения могут содержать в себе любые другие алгебраические конструкции — многочлены, корни, тригонометрию, логарифмы и т.д.

Рассмотрим примеры решения таких уравнений

№ 93 (2). Решить уравнение

На первом этапе приведем все к одному показателю степени. Так как у нас есть выражение , то, применяя свойство степени разности получим , что , Подставим

Избавимся от знаменателя, для этого обе части уравнения умножим на 4, получим

Разделим обе части уравнения на 3, получим

Так как показатель степени и справа и слева одинаков (2), то приравняем степени, получим

№ 94 (1). Решить уравнение

Используя свойства степеней, выражение можно переписать следующим образом: . Подставим уравнение

Сделаем замену, пусть тогда уравнение примет вид

Используя теорему Виета или формулу дискриминанта, получим следующие корни

Вернемся к замене:

Рассмотрим теперь пример решения системы показательных уравнений.

№ 95 (6). Решить систему уравнений

Для решения данной системы уравнения воспользуемся методом сложения. Для этого умножим второе уравнение на 2 и сложим уравнения между собой

Разделим обе части уравнения на 5

Так как показатель степени и справа и слева одинаков (2), то приравняем степени, получим

Чтобы найти вторую переменную подставим во второе уравнение, получим

Так как показатель степени и справа и слева одинаков (2), то приравняем степени, получим

Задание для самостоятельного решения:

Решаем из сборника задач Богомолова следующие номера:
№90 (пункт 2), №93 (пункт 4) и №95 (пункт 4)– всего три примера.

Примечание: Вариант выбирается по первой букве вашей фамилии следующим образом: Буквы А-В — 1 вариант, Буквы Г-Ж – 2 вариант, Буквы З-Л – 3 вариант, Буквы М-О – 4 вариант , Буквы П-С – 5 вариант , Буквы Т-Я – 6 вариант

Решить следующие уравнения:

Практическая работа №3: «Решение тригонометрических уравнений и систем».

Тригонометрическое уравнение — это уравнение, содержащее в себе одну или несколько тригонометрических функций.

Напомним формулы для решения простейших тригонометрических уравнений

Также пригодится таблица значений тригонометрических функций

С примерами решений простейших тригонометрических
уравнений можно ознакомиться в следующем видео-уроке: https://www.youtube.com/watch?v=o082MVvD59o

Рассмотрим примеры решения более сложных тригонометрических уравнений

№ 155 (1). Решить уравнение

Сначала нужно привести уравнение к однородному, то есть к такому, в котором только один вид тригонометрической функции. Из основного тригонометрического тождества можно вывести следующую формулу . Подставим ее в уравнение

Обе части уравнения умножим на -1, получим

Сделаем замену , получим

Получили квадратное уравнение, решая его через дискриминант, получим

Вернемся к замене. Получаем два простейших тригонометрических уравнения:

№ 156 (1). Решить уравнение

Сначала нужно привести уравнение к однородному. Для этого разделим обе части уравнения на , получим

Используя тригонометрическое свойство , получим

Сделаем замену, пусть тогда уравнение примет вид

Используя теорему Виета или формулу дискриминанта, получим следующие корни

Вернемся к замене. Получаем два простейших тригонометрических уравнения:

Рассмотрим теперь пример решения системы тригонометрических уравнений.

Задача. Решить систему уравнений

Выразим из первого уравнения через

Подставим во второе уравнение системы

Воспользовавшись формулой синуса суммы, получим

Разделим обе части уравнения на

Чтобы найти вторую переменную подставим найденный в выражение
:

Задание для самостоятельного решения:

Решаем из сборника задач Богомолова следующие номера:
№155 (пункты 2-4) – всего три примера.

Решить следующие уравнения:

Практическая работа №4: «Решение логарифмических уравнений и систем».

Логарифмическое уравнение — это любое уравнение, содержащее в себе Логарифмическую функцию. Помимо указанной функции подобные уравнения могут содержать в себе любые другие алгебраические конструкции — многочлены, корни, тригонометрию и т.д.

Рассмотрим примеры решения таких уравнений

№ 98 (5). Решить уравнение

Как мы знаем логарифмическая функция имеет свою область определения – логарифмируемое выражение должно быть больше нуля. Найдем область определения

Перейдем к непосредственному решению уравнения. На первом этапе приведем все к одному основанию логарифма. Применяя свойство логарифма можем переписать число 2 следующим образом

Подставим в уравнение

Так как основания логарифмов слева и справа одинаковые, то можем приравнять логарифмируемые выражения

№ 98 (1). Решить уравнение

Найдем область определения

Применяя свойство логарифма разности, получим

Так как основания логарифмов слева и справа одинаковые, то можем приравнять логарифмируемые выражения

Рассмотрим теперь пример решения системы показательных уравнений.

№ 101 (1). Решить систему уравнений

Отметим вначале область определения:

На первом этапе из второго уравнения системы выразим через :

Подставим в первое уравнение системы:

Решим данное уравнение по алгоритму предыдущего примера

Чтобы найти вторую переменную подставим в выражение

Задание для самостоятельного решения:

Решаем из сборника задач Богомолова следующие номера:
№98 (пункты 2-3), №101 (пункт 4) – всего три примера.

Решить следующие уравнения:

РАЗДЕЛ 2. Рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические неравенства и системы неравенств.

Практическая работа №1: «Решение рациональных, иррациональных неравенств и систем».

Рациональное неравенство — это такой вид неравенства в котором левая и правая части рациональные выражения. В записи имеются только сложение, вычитание, умножение, деление, а также возведение в целую степень .

Рассмотрим примеры решения таких неравенств

№ 40 (1). Решить неравенство

Рациональные неравенства такого типа решаются следующем образом. На первом этапе раскрываем скобки (если они имеются) и переносим все неизвестные переменные влево, а числа вправо

Приведем подобные слагаемые слева и справа, получим

Разделим все на 4. Так как 4 положительное число, то знак неравенства не меняется. Если же мы будем умножать на число, меньше нуля, то знак неравенства необходимо менять на противоположный В нашем случае получим:

Рассмотрим пример решения системы рациональных неравенств.

№ 41 (2). Решить систему неравенств

Вначале будем по отдельности (по такому же принципу, как в предыдущем примере) находить решения каждого из входящих в систему неравенств, получим:

Отметим оба получившихся решения на одной прямой

В ответ записываем ту часть числовой прямой где сошлись оба решения вместе.

Иррациональное неравенство — это такой вид неравенства , содержащее неизвестное под знаком корня. или возведённое в степень, которую нельзя свести к целому числу.

Рассмотрим несколько примеров.

№ 74 (2). Решить неравенство

Так как в неравенстве присутствует квадратный корень, то вначале необходимо найти область допустимых значений.

Переходим к решению неравенства. Будем решать его методом интервалов. Для этого выполняем следующее:

Вместо знака неравенства запишем знак равенства и решим полученное уравнение

Так как у нас слева корень четной степени, то здесь получается дополнительная область определения

Возведем обе части уравнения в квадрат, получим

Находим корни по теореме Виета

Отмечаем корни, полученные в первом пункте (в нашем случае это 1) на числовой прямой вместе с областью определения неравенства и расставляем знаки на полученных промежутков (проверяем выполнение на промежутке неравенства, если неравенство выполнено ставим плюс, если нет – минус).

№ 76 (2). Решить неравенство

Переходим к решению неравенства. Будем решать его методом интервалов. Для этого выполняем следующее:

Вместо знака неравенства запишем знак равенства и решим полученное уравнение

Возведем обе части уравнения в квадрат, получим

Отмечаем корни на числовой прямой вместе с ОДЗ и расставляем знаки на получившихся интервалах

Задание для самостоятельного решения:

Решаем из сборника задач Богомолова следующие номера:
№40 (пункты 2, 3), №41 (пункт 1) – всего три примера.

Примечание: Вариант выбирается по первой букве вашей фамилии следующим образом: Буквы А-Д 1 вариант, Буквы Е-М – 2 вариант, Буквы Н-Р – 3 вариант, Буквы С-Я – 4 вариант.

1. Решите неравенство

2. Решите неравенство

1. Решите неравенство

2. Решите неравенство

1. Решите неравенство

2. Решите неравенство

1. Решите неравенство

2. Решите неравенство

Практическая работа №2: «Решение показательных неравенств».

Показательное неравенство — это любое неравенство, содержащее в себе показательную функцию, т.е. выражение вида .

Рассмотрим примеры решения таких неравенств

№ 96 (2). Решить неравенство

Для решения такого вида неравенства вначале необходимо и левую и правую часть привести к одному основанию степени. Так как 27 это 3 в кубе, то получим

Далее необходимо воспользоваться следующим правилом: если основания степени больше 1, то знак неравенства остается неизменным, если же меньше 1, то знак неравенства необходимо поменять на противоположный.

В нашем случае основание – число 3, больше единицы, следовательно можем «отбросить» основания без изменения знака неравенства, получим

№ 96 (6). Решить неравенство

Так как 8 это 2 в кубе, то получим

Воспользуемся правилом, так как 2 больше единицы, следовательно можем «отбросить» основания без изменения знака неравенства, получим

Решим неравенство методом интервалов. Приравняем к нулю:

По теореме Виета, получаем корни

Отметим корни на числовой прямой и расставим знаки

№ 97 (2). Решить неравенство

Для начала преобразуем неравенство, используя следующие 3 свойства: , получим

Переходим к решению неравенства. Будем решать его методом интервалов. Для этого выполняем следующее:

Вместо знака неравенства запишем знак равенства и решим полученное уравнение

Сделаем замену . Получим

Находим корни по теореме Виета

Возвращаясь к замене, получим

Отмечаем корни, полученные в первом пункте (в нашем случае это 1) на числовой прямой и расставляем знаки на полученных промежутков (проверяем выполнение на промежутке неравенства, если неравенство выполнено ставим плюс, если нет – минус).

Задание для самостоятельного решения:

Решаем из сборника задач Богомолова следующие номера:
№96 (пункты 2-4), №97 (пункт 4) – всего 4 примера.

Практическая работа №3: «Решение тригонометрических неравенств».

Решение простейших тригонометрических неравенств.

Для решения простейших тригонометрических неравенств нам вначале необходимо решить соответствующее уравнение, а затем, используя тригонометрическую окружность, найти решение неравенства. Рассмотрим решения простейших тригонометрических неравенств на примерах.

Найдем решение тригонометрического неравенства

Отметим решение на тригонометрической окружности

Так как неравенство имеет знак «больше или равно», то решение лежит на верхней дуге окружности (относительно решения уравнения).

Найдем решение тригонометрического неравенства

Отметим решение на тригонометрической окружности

Так как неравенство имеет знак «меньше», то решение лежит на дуге окружности, расположенной слева (относительно решения уравнения).

Найдем решение тригонометрического неравенства

Здесь также нам понадобится область определения. Как мы помним у функции тангенса

Отметим решение на тригонометрической окружности

Так как неравенство имеет знак «меньше или равно», то решение лежит на дугах окружности, отмеченных синим на рисунке 3.

Найдем решение тригонометрического неравенства

Здесь также нам понадобится область определения. Как мы помним у функции тангенса

Отметим решение на тригонометрической окружности

Так как неравенство имеет знак «больше», то решение лежит на дугах окружности, отмеченных синим на рисунке 4.

Задание для самостоятельного решения:

Решаем из сборника задач Богомолова №152 – всего 4 примера.

Практическая работа №4: «Решение логарифмических неравенств»,

Логарифмическое неравенство — это любое неравенство, содержащее в себе логарифмическую функцию.

Рассмотрим примеры решения таких неравенств

№ 103 (4). Решить неравенство

Разделим на -5. Так как делим на отрицательное число, то знак неравенства нужно изменить на противоположный

Переходим к непосредственному решению неравенства. Для решения такого вида неравенства вначале необходимо и левую и правую часть привести к одному основанию логарифма. Число -2 можем представить через логарифм по основанию следующим образом

Далее необходимо воспользоваться следующим правилом: если основания логарифма больше 1, то знак неравенства остается неизменным, если же меньше 1, то знак неравенства необходимо поменять на противоположный.

В нашем случае основание – число , меньше единицы, следовательно можем «отбросить» основания, но при этом изменив знак неравенства на противоположный, получим

Разделим на -5. Так как делим на отрицательное число, то знак неравенства нужно изменить на противоположный

С учетом ОДЗ, Ответ: .

Пример 2: Решить неравенство

Вначале найдем область определения:

Единицу можем представить следующим образом

Применяя свойство суммы логарифмов, получим

Так как основание логарифма 3 больше 1, то знак неравенства не меняем

С учетом ОДЗ, Ответ: .

Задание для самостоятельного решения:

Решаем из сборника задач Богомолова следующие номера:
103 (пункты 2-3), №104 (пункт 1) – всего 3 примера.

РАЗДЕЛ 3. Использование графиков функций при решении уравнений, неравенств и систем с одной и двумя переменными.

Практическая работа №1: «Решение уравнений графическим методом»

Графический метод решения уравнений заключатся в следующем:

Приводим уравнение к такому виду, чтобы справа и слева были простейшие функции;

Строим эти две функции на одном графике;

Переменная по оси абсцисс точек пересечения графиков и есть решение уравнения.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №1. Решить графически следующее уравнение

Здесь мы сразу видим, какие две функции нам надо построить:

— показательная функция. Точки для построения

прямая, достаточно две точки Построим обе функции на одном графике

Видим, что графики пересекаются в точке

Пример №2. Решить графически уравнение

Преобразуем для начала наше уравнение. Так как мы знаем график квадратичной функции , то слева оставим , а остальное перенесем вправо

Теперь видим, какие две функции нам надо построить:

— парабола. Точки для построения

прямая, достаточно две точки Построим обе функции на одном графике

Видим, что графики пересекаются в точке .

Решить графически уравнения:

Решить графически уравнения

Практическая работа №2: «Решение неравенств и систем неравенств с двумя переменными»

Линейные неравенства с двумя переменными.

Определение 1: Неравенства вида или , где – неизвестные переменные, а – некоторые числа, причем отличны от нуля называются линейными неравенствами с двумя переменными.

Пример : – линейное неравенство с двумя переменными.

Определение 2: Пара чисел называется решением линейного неравенства с двумя переменными, если при их подстановке в уравнение получается верное равенство.

Свойства линейных неравенств с двумя переменными:

К неравенству можно прибавлять с обоих сторон и вычитать из обоих сторон одно и тоже число.

Неравенство можно умножать и делить с обоих сторон на одно и тоже, отличное от нуля, число, причем при умножении (делении на положительное число уравнение не меняет знак, а при умножение (деление) на отрицательное число меняет знак на противоположный.

Определение 3: Графиком линейного неравенства с двумя переменными является множество всех точек, которые является решением данного линейного неравенства.

Задача 1: Решить неравенство

Изобразим график уравнения – прямая, достаточно две точки:

Так как последнее неравенство имеет знак «больше», получим решение, изображенное на рисунке ниже (серым цветом). Заметим, что прямая не входит в решение, так как в неравенстве не присутствует знак равенства.

Задача 2: Решить неравенство

Изобразим график уравнения — прямая, достаточно две точки

Так как последнее неравенство имеет знак «больше или равно», получим решение, изображенное на рисунке (серым цветом). Заметим, что прямая входит в решение, так как в неравенстве присутствует знак равенства.

Системы линейных неравенств с двумя переменными.

Определение 4: Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.

Определение 5: Решением системы линейных неравенств называется такая пара чисел, которая является решением всех неравенств, входящих в данную систему.

Решением системы неравенств является пересечение графических решений каждого неравенства по отдельности.

Решим для начала оба неравенства отдельно также, как в задачах 1 и 2.

Красным цветом – решение первого неравенства , зеленым – решение второго неравенства .

Там, где сошлись вместе оба решения (сошлись красные и зеленые штриховки), та область и является решением всей системы неравенств

Задача 4: Решить систему неравенств

Решим для начала два этих неравенства по отдельности

– окружность с центром в точке и радиусом 2. Изобразим график неравенства. Так как знак больше, то это область за пределами окружности (оранжевая)

– окружность с центром в точке и радиусом 3. Изобразим график неравенства. Так как знак меньше, то это область внутри окружности (желтая)

Нанесем оба решения на один рисунок, там где оба решения сошлись, та область и является решением нашей системы:

изобразить решение неравенства:

изобразить решение системы неравенств:

изобразить решение неравенства:

изобразить решение системы неравенств:

изобразить решение неравенства:

изобразить решение системы неравенств:

изобразить решение неравенства:

изобразить решение системы неравенств:

изобразить решение неравенства:

изобразить решение системы неравенств:

изобразить решение неравенства:

изобразить решение системы неравенств:

ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА: «Уравнения и неравенства»

Решить линейное неравенство

Решить иррациональное уравнение

Решить показательное неравенство

Решить логарифмическое уравнение

Изобразить на плоскости решение системы неравенств с двумя переменными

Решить линейное неравенство

Решить иррациональное уравнение

Решить показательное неравенство

Решить логарифмическое уравнение

Изобразить на плоскости решение системы неравенств с двумя переменными

Решить линейное неравенство

Решить иррациональное уравнение

Решить показательное неравенство

Решить логарифмическое уравнение

Изобразить на плоскости решение системы неравенств с двумя переменными

Решить линейное неравенство

Решить иррациональное уравнение

Решить показательное неравенство

Решить логарифмическое уравнение

Изобразить на плоскости решение системы неравенств с двумя переменными

Решить линейное неравенство

Решить иррациональное уравнение

Решить показательное неравенство

Решить логарифмическое уравнение

Изобразить на плоскости решение системы неравенств с двумя переменными

Решить линейное неравенство

Решить иррациональное уравнение

Решить показательное неравенство

Решить логарифмическое уравнение

Изобразить на плоскости решение системы неравенств с двумя переменными

1. Богомолов Н.В. /Математика: учебник для прикладного бакалавриата / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – 5-е изд. перераб. и доп. -М.: Издательство Юрайт, 2016. — 396с. – Серия: Бакалавр. Прикладной курс.

2. Богомолов, Н.В./ Практические занятия по математике: учеб. пособие для СПО / Н.В. Богомолов. — 1-е изд. перераб. и доп, — М: Издательство Юрайт, 2016. — 495с. Серия:Профессиональное образование.

3. Григорьев С.Г. /Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования. / Григорьев С.Г. под ред. В.А.Гусева .- 11-е изд., стер.- М.: Издательский центр “Академия”, 2014. – 416 с.

4. Алимов, Ш.А. / Алгебра и начала математического анализа. 10 -11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / Ш.А.Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачеваи др. — 3-е изд. – М. Просвещение, 2016. – 463 с.

5. Колмогоров А.Н./ Алгебра и начала математического анализа 10-11классы: учеб пособие для общеобразоват.организаций /Колмогоров А.Н., А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др. под ред. А.Н.Колмогорова.-26-е изд. – М.: Просвещение, 2018. – 384 с.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 939 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:Решение системы линейных неравенств с одной переменной. 6 класс.Скачать

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 587 698 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

07.06.2020
218
13

07.06.2020
191
4

07.06.2020
72
0

07.06.2020
1452
23

07.06.2020
1012
32

07.06.2020
206
4

07.06.2020
206
1

07.06.2020
250
16

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

07.06.2020 1258
DOCX 426.1 кбайт
132 скачивания
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Восковская Наталья Игоревна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

На сайте: 2 года и 2 месяца
Подписчики: 0
Всего просмотров: 10353
Всего материалов: 10

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Решение системы неравенствСкачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

В России действуют более 3,5 тысячи студенческих отрядов

Время чтения: 2 минуты

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Только 23 февраля!
Получите новую
специальность
по низкой цене

Цена от 1220 740 руб. Промокод на скидку Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки

🎥 Видео

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Математика это не ИсламСкачать

Решение системы неравенств с двумя переменными. 9 класс.Скачать

РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ НЕРАВЕНСТВ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ. Контрольная № 3 Алгебра 9 класс.Скачать

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Системы показательных уравнений и неравенств. Практика. Видеоуроки 13. Алгебра 10 классСкачать

системы показательных уравнений и неравенствСкачать

СИСТЕМА НЕРАВЕНСТВ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

Способы решения систем нелинейных уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Как решать неравенства? Математика 10 класс | TutorOnlineСкачать

Решение неравенства методом интерваловСкачать

9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

Как понять неравенства? Квадратные неравенства. Линейные и сложные неравенства | TutorOnlineСкачать