Поверхность второго порядка задана своим уравнением в прямоугольной декартовой системе координат

Видео:Видеоурок "Преобразование координат"Скачать

Общее уравнение поверхности второго порядка и инварианты поворота и переноса декартовой прямоугольной системы координат

Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид

Для определения вида поверхности второго порядка по общему уравнению и приведения общего уравнения к каноническому, нам понадобятся выражения, которые называются инвариантами. Инварианты — это определители и суммы определителей, составленные из коэффициентов общего уравнения, которые не меняются при переносе и повороте системы координат. Эти инварианты следующие:

Следующие два выражения, называемые семиинвариантами, являются инвариантами поворота декартовой прямоугольной системы координат:

В случае, если I 3 = 0 , K 4 = 0 , семиинвариант K 3 будет также и инвариантом переноса; в случае же I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 семиинвариант K 2 = 0 будет также и инвариантом переноса.

Видео:Аналитическая геометрия, 8 урок, Поверхности второго порядкаСкачать

Виды поверхностей второго порядка и приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому

I. Если I 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

,

где λ 1 , λ 2 , λ 3 — корни характеристического уравнения

.

В зависимости от того, какие знаки у чисел λ 1 , λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 , определяется вид поверхности второго порядка.

Эллипсоид

Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 одного знака, а K 4 /I 3 имеет знак им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллипсоид.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно переписать в следующем виде:

.

Тогда полуоси эллипсоида будут

, , .

Поэтому каноническое уравнение эллипсоида имеет вид

.

Мнимый эллипсоид

Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллипсоид.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого эллипсоида:

,

, , .

Мнимый конус

Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 , а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый конус.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого конуса:

,

, , .

Однополостный гиперболоид

Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, а третий корень и K 4 /I 3 имеют знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет однополостный гиперболоид.

Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни характеристического уравнения, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:

.

, , ,

то каноническое уравнение однополостного гиперболоида будет иметь вид

.

Двуполостный гиперболоид

Если два корня характеристического уравнения и K 4 /I 3 имеют один и тот же знак, а третий корень характеристического уравнения им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет двуполостный гиперболоид.

Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:

.

Последняя запись и есть каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.

Конус

Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, третий корень имеет знак, им противоположный, а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет конус.

Считая, что одинаковый знак имеют корни λ 1 и λ 2 , общее уравнение можно переписать в виде:

,

известном как каноническое уравнение конуса.

II. Если I 3 = 0 , а K 4 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

,

где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.

Эллиптический параболоид

Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический параболоид.

Общее уравнение можно переписать в виде:

.

Выбирая перед корнем знак, противоположный знаку λ 1 и λ 2 , и полагая

,

,

получим каноническое уравнение эллиптического параболоида:

.

Гиперболический параболоид

Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический параболоид.

Обозначая через λ 1 положительный корень, а через λ 2 — отрицательный и беря перед корнем знак минус, переписываем уравнение в виде:

.

, ,

получим каноническое уравнение гиперболического параболоида:

.

III. Если I 3 = 0 , а K 4 = 0 , I 2 ≠ 0 то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

,

где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.

Эллиптический цилиндр

Если λ 1 и λ 2 одного знака, а K 3 /I 2 имеет знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

.

, ,

получим каноническое уравнение эллиптического цилиндра:

.

Мнимый эллиптический цилиндр

Если λ 1 , λ 2 и K 3 /I 2 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллиптический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

.

Последняя запись — каноническое уравнение мнимого эллиптического цилиндра.

Мнимые пересекающиеся плоскости

Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, а K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые пересекающиеся плоскости.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

.

, ,

получим каноническое уравнение мнимых пересекающихся плоскостей:

.

Гиперболический цилиндр

Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

,

, .

Таким образом, каноническое уравнение гиперболического цилиндра:

.

Пересекающиеся плоскости

Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две пересекающиеся плоскости.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

,

, .

Таким образом, пересекающихся плоскостей:

.

IV. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

,

где λ 1 = I 1 — отличный от нуля корень характеристического уравнения.

Параболический цилиндр

Уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, можно переписать в виде:

,

.

Это уравнение параболического цилиндра, в каноническом виде оно записывается так:

.

V. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

,

.

Параллельные плоскости

Если K 2 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две параллельные плоскости.

,

перепишем его в виде

.

Мнимые параллельные плоскости

Если K 2 > 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые параллельные плоскости.

,

перепишем его в виде

.

Совпадающие плоскости

Если K 2 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две совпадающие плоскости:

.

Видео:Поверхности второго порядкаСкачать

Решение примеров на определение вида поверхности второго порядка

Пример 1. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением

Решение. Найдём I 3 :

(как вычислить определитель).

I 1 = 1 + 5 + 1 = 7 ,

Следовательно, данная поверхность — однополостный гиперболоид.

.

Составляем и решаем характеристическое уравнение:

;

.

,

, , .

Пример 2. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением

Решение. Найдём I 3 :

.

.

Следовательно, общее уравнение определяет эллиптический параболоид.

.

I 1 = 2 + 2 + 3 = 7 .

Решаем характеристическое уравнение:

.

.

,

, .

Пример 3. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением

,

,

,

I 1 = 5 + 2 + 5 = 12 .

Так как I 3 = К 4 = 0 , I 2 > 0 , I 1 K 3 , то данное общее уравнение определяет эллиптический цилиндр.

.

.

Определить вид поверхности второго порядка самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением

Видео:Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. ПримерСкачать

Поверхность второго порядка задана своим уравнением в прямоугольной декартовой системе координат

С помощью векторов мы ввели понятие пространства и его размерности, в частности трехмерного. Рассмотрим в нем поверхности, которые «похожи» на поверхности, образованные вращением кривой второго порядка вокруг ее оси симметрии. Например, сфера может быть получена вращением окружности вокруг диаметра. Поверхность, описываемая некоторой линией, вращающейся вокруг неподвижной прямой d, называется поверхностью вращения с осью вращения d. Наряду с такими поверхностями мы встретимся и с более сложными случаями.

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат.

Поверхность второго порядка – геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых, удовлетворяют уравнению вида

в котором хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Уравнение (2.48) называется общим уравнением поверхности второго порядка.

Уравнение (2.48) может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую поверхность второго порядка. В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (2.48) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса и поворота системы координат к одному из канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс поверхностей второго порядка. Среди них выделяют пять основных классов поверхностей: эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, конусы и цилиндры. Для каждой из этих поверхностей существует декартова прямоугольная система координат, в которой поверхность задается простым уравнением, называемым каноническим уравнением.

Перечисленные поверхности второго порядка относятся к так называемым нераспадающимся поверхностям второго порядка. Можно говорить о случаях вырождения – распадающихся поверхностях второго порядка, к которым относятся: пары пересекающихся плоскостей, пары мнимых пересекающихся плоскостей, пары параллельных плоскостей, пары мнимых параллельных плоскостей, пары совпадающих плоскостей.

Наша цель – указать канонические уравнения для поверхностей второго порядка и показать, как выглядят эти поверхности.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением

называется эллипсоидом (рис. 2.22) .

1. Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что .

2. Эллипсоид обладает

· центральной симметрией относительно начала координат,

· осевой симметрией относительно координатных осей,

· плоскостной симметрией относительно начала координат.

3. В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается эллипс (см. рис. 2.22).

Так же, как для эллипса, точки пересечения эллипсоида с координатными осями называются вершинами эллипсоида, центр симметрии – центром эллипсоида. Числа а, b , с называются полуосями. Если полуоси попарно различны, то эллипсоид называется трехосным.

Если две полуоси равны друг другу, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения. Эллипсоид вращения может быть получен вращением эллипса вокруг одной из осей.

Примечание. Сфера является частным случаем эллипсоида при а= b =с. Тогда все равные полуоси обозначают R и уравнение (2.49) после умножения на R 2 принимает вид .

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением

называется эллиптическим параболоидом (рис. 2.23) .

1. Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.

2. Эллиптический параболоид обладает

· осевой симметрией относительно оси 0z ,

· плоскостной симметрией относительно координатных осей 0xz и 0yz .

3. В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси 0z , получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям 0x и 0y –парабола. (см. рис. 2.23).

Можно получить эллиптический параболоид симметричный относительно оси 0х или 0у, для чего нужно в уравнении (2.50) поменять между собой переменные х и z или у и z соответственно.

Если полуоси равны a = b , то параболоид называется параболоидом вращения и может быть получен вращением параболы вокруг ее оси симметрии. При этом в сечении параболоида вращения плоскостью, перпендикулярной оси 0z , получается окружность.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением

называется гиперболическим параболоидом (рис . 2.24).

Свойства гиперболического параболоида.

1. Гиперболический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.

2. Гиперболический параболоид обладает

· осевой симметрией относительно оси 0z ,

· плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей 0xz и 0yz .

4. Гиперболический параболоид может быть получен поступательным перемещением в пространстве параболы так, что ее вершина перемещается вдоль другой параболы, ось которой параллельна оси первой параболы, а ветви направлены противоположно, причем их плоскости взаимно перпендикулярны.

5. Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением

называется однополостным гиперболоидом (рис. 2.25) .

Свойства однополостного гиперболоида.

1. Однополостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.

2. Однополостный гиперболоид обладает

· центральной симметрией относительно начала координат,

· осевой симметрией относительно всех координатных осей,

· плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат 0z , получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям 0x и 0y, – гипербола (см. рис. 2.25).

Если в уравнении (2.52) a = b , то сечения однополостного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости х0у, являются окружностями. В этом случае поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением

называется двуполостным гиперболоидом (рис. 2.26) .

1. Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что | z |≥ c и неограничен сверху.

2. Двуполостный гиперболоид обладает

· центральной симметрией относительно начала координат,

· осевой симметрией относительно всех координатных осей,

· плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат 0z , при | z |> c получается эллипс, при | z |= c – точка, а в сечении плоскостями, перпендику­лярными осям 0x и 0y , – гипербола (см. рис. 2.26).

Если в уравнении (2.53) a = b , то сечения двуполостного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости х0у, являются окружностями. В этом случае поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения.

Примечание. Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет вид: F ( x 2 + y 2 ; z )=0, то эта поверхность – поверхность вращения с осью вращения 0z. Аналогично: F ( x 2 + z 2 ; y )=0 – поверхность вращения с осью вращения 0у, F ( z 2 + y 2 ; x )=0 – с осью вращения 0х

С учетом данного примечания могут быть записаны уравнения для рассмотренных выше поверхностей вращения, если осью вращения являются оси 0х или 0у.

Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой линии, скользящей по некоторой неподвижной замкнутой или незамкнутой кривой и остающейся параллельной своему исходному положению. Множество прямолинейных образующих представляет собой непрерывный каркас цилиндрической поверхности. Через каждую точку поверхности проходит одна прямолинейная образующая. Неподвижная кривая, по которой скользит образующая, называется направляющей. Если направляющая линия является кривой второго порядка, то и цилиндрическая поверхность – второго порядка.

Если уравнение поверхности не содержит в явном виде какой–либо переменной, то это уравнение определяет в пространстве цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси отсутствующего переменного и направляющей, которая в плоскости двух других переменных имеет то же самое уравнение.

Достаточно нарисовать на плоскости х0у направляющую, уравнение которой на этой плоскости совпадает с уравнением самой поверхности, и затем через точки направляющей провести образующие параллельно оси 0z. Для наглядности следует построить также одно–два сечения плоскостями, параллельными плоскости х0у. В каждом таком сечении получим такую же кривую, как и исходная направляющая. Аналогично поступают, рассматривая направляющую в плоскости х0z или у0z.

Цилиндрическая поверхность является бесконечной в направлении своих образующих. Часть замкнутой цилиндрической поверхности, заключенная между двумя плоскими параллельными сечениями, называется цилиндром, а фигуры сечения – его основаниями. Сечение цилиндрической поверхности плоскостью, перпендикулярной ее образующим, называется нормальным. В зависимости от формы нормального сечения цилиндры бывают:

1) эллиптические – нормальное сечение представляет собой эллипс (рис. 2.27а), каноническое уравнение

2) круговые – нормальное сечение круг, при a = b = r уравнение

3) гиперболические – нормальное сечение гипербола (рис. 2.27б), каноническое уравнение

4) параболические – нормальное сечение парабола (рис. 2.27в), каноническое уравнение

5) общего вида – нормальное сечение кривая случайного вида.

Если за основание цилиндра принимается его нормальное сечение, цилиндр называют прямым (рис. 2.27). Если за основание цилиндра принимается одно из косых сечений, цилиндр называют наклонным. Например, наклонные сечения прямого кругового цилиндра являются эллипсами. Наклонные сечения прямого эллиптического цилиндра в общем случае – эллипсы. Однако его всегда можно пересечь плоскостью, наклонной к его образующим, таким образом, что в сечении получится круг.

Конической поверхностью называется поверхность, производимая движением прямой, перемещающейся в пространстве так, что она при этом постоянно проходит через неподвижную точку и пересекает данную линию. Данная прямая называется образующей, линия – направляющей, а точка – вершиной конической поверхности (рис. 2.28).

Конусом называется тело, ограниченное частью конической поверхности, расположенной по одну сторону от вершины, и плоскостью, пересекающей все образующие по ту же сторону от вершины. Часть конической поверхности, ограниченная этой плоскостью, называется боковой поверхностью, а часть плоскости, отсекаемая боковой поверхностью, – основанием конуса. Перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания, называется высотой конуса.

Конус называется прямым круговым, если его основание есть круг, а высота проходит через центр основания. Такой конус можно рассматривать как тело, происходящее от вращения прямоугольного треугольника, вокруг катета как оси. При этом гипотенуза описывает боковую поверхность, а катет – основание конуса.

В курсе геометрии общеобразовательной школы рассматривается только прямой круговой конус, который для краткости называется просто конусом.

Если вершина конуса расположена в начале координат, направляющая кривая — эллипс с полуосями а и b, плоскость которого находится на расстоянии с от начала координат, то уравнение эллиптического конуса имеет вид:

( a >0, b >0, c >0). (2.58)

При а = b конус становится круговым.

Примечание. По аналогии с коническими сечениями (аналогично теореме 2.1) существуют и вырожденные поверхности второго порядка. Так, уравнением второго порядка x 2 = 0 описывается пара совпадающих плоскостей, уравнением x 2 = 1 – пара параллельных плоскостей, уравнением x 2 – y 2 = 0 – пара пересекающихся плоскостей. Уравнение x 2 + y 2 + z 2 = 0 описывает точку с координатами (0;0;0). Существуют и другие вырожденные случаи. Полная теория поверхностей второго порядка рассматривается в курсе аналитической геометрии

Видео:Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"Скачать

Поверхность второго порядка задана своим уравнением в прямоугольной декартовой системе координат

3. О поверхностях второго порядка

3.1. Поверхности вращения в координатах

Пусть f ( х, у, z ) = 0 — уравнение с переменными х , y , z ; Ф — некоторая поверхность (на рис. 246 изображена часть этой поверхности). Из курса 10 класса известно, что уравнение f ( x, y, z ) = 0 называется уравнением поверхности Ф , если этому уравнению удовлетворяют координаты х , у, z любой точки М этой поверхности и не удовлетворяют координаты ни какой точки пространства, не принадлежащей поверхности Ф.

Если f ( x, y, z ) — многочлен, то его степень называют порядком поверхности Ф .

Мы знаем, например, что сфера с центром K ( a ; b ; с ) и радиусом R > 0 в декартовой прямоугольной системе координат Oxyz задаётся уравнением

( x – a ) 2 + ( y – b ) 2 + ( z – c ) 2 = R 2 .

Из этого уравнения следует, что сфера — поверхность второго порядка.

Заметим, что уравнение второго порядка может задавать «поверхность», состоящую из двух плоскостей. Например, уравнение ху + у 2 = 0 задаёт пару пересекающихся плоскостей, одна из которых имеет уравнение у = 0, другая — уравнение х + у = 0.

Eсли в пространстве некоторая линия γ является пересечением двух поверхностей Ф 1 и Ф 2 , заданных уравнениями f 1 ( x , y , z ) = 0 и f 2 ( х, у, z ) = 0, то координаты х, у, z любой точки М линии γ удовлетворяют каждому из этих уравнений, т. е. удовлетворяют системе уравнений

(1)

В этом случае говорят, что система уравнений (1) задаёт линию γ .

Разрешив уравнения этой системы относительно х и у (если это возможно), получим систему уравнений

(2)

равносильную системе (1), следовательно, задающую ту же самую линию γ .

Если линию γ вращать вокруг некоторой прямой m, то при этом вращении образуется некоторая поверхность Ф , которую называют поверхностью вращения, а прямую m — осью вращения или осью симметрии этой поверхности (вспомните сферическую и сегментную поверхности).

Для получения уравнения поверхности Ф достаточно выбрать на ней любую точку M ( X ; Y ; Z ) и выразить в координатной форме свойство, которым обладают только точки M ( X ; Y ; Z ) ∈ Ф ; в результате получим уравнение относительно X, Y, Z , которое и является искомым уравнением поверхности Ф .

Составим уравнение поверхности Ф , которая образуется вращением вокруг оси Oz линии γ , заданной системой уравнений (2). Для этого через произвольную точку M ( X ; Y ; Z ) ∈ Ф проведём плоскость, перпендикулярную оси Oz , т. е. плоскость z = Z (рис. 247). Эта плоскость пересекает поверхность Ф по окружности с центром K (0; 0; Z ) на оси вращения Oz , а линию γ — в некоторой точке Р ( х ; у ; z = Z ). Так как KМ = KР , то

X 2 + Y 2 = x 2 + y 2 . (3)

Учитывая, что z = Z , имеем для x и у в системе (2):

После подстановки этих значений x и у в уравнение (3) получаем искомое уравнение поверхности Ф с осью вращения Oz в виде:

X 2 + Y 2 = + . (4)

(Обратите внимание: правая часть уравнения (4) есть некоторая функция f переменной Z, т. е. f ( Z ) = + . )

Справедливо обратное утверждение: любое уравнение X 2 + Y 2 = f ( Z ) задаёт поверхность вращения с осью Oz , так как сечением этой поверхности плоскостью Z = α ( α = const) является окружность с центром на оси Oz .

Из сказанного следует: чтобы получить уравнение поверхности, которая образуется вращением вокруг оси Oz линии, заданной системой уравнений (1), достаточно выразить х и у через z , после чего сложить квадраты левых и правых частей полученных равенств.

Аналогично получаются уравнения поверхностей, образованных вращением линии вокруг осей Ох и Оу .

3.2. Поверхности вращения второго порядка

Рассмотрим некоторые поверхности, образованные вращением кривых второго порядка вокруг своих осей симметрии.

Пусть окружность радиуса R с центром в начале системы координат Oxyz , расположенная в плоскости Oyz (рис. 248, а ), задана системой уравнений:

Поверхностью, образованной вращением этой окружности вокруг оси Oz , является известная вам сфера ( сферическая поверхность ) (рис. 248, б ).

Уравнение этой сферы

x 2 + у 2 + z 2 = R 2 (5)

получим после сложения левых и правых частей равенств у 2 = r 2 – z 2 и x 2 = 0. Уравнение (5) называется каноническим ( простейшим ) уравнением сферы .

б) Эллипсоид вращения

Из планиметрии известно, что эллипсом называется множество всех точек М плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F 1 и F 2 той же плоскости, называемых фокусами , есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами (рис. 249, а ).

Эллипс с центром в начале координат и осями симметрии Ох и Оу задаётся каноническим уравнением: = 1 (где а и b — длины полуосей эллипса).

Пусть эллипс расположен в плоскости Oyz и задан системой уравнений:

(6)

Поверхность, образованная вращением эллипса вокруг его оси симметрии, называется эллипсоидом вращения .

Будем вращать эллипс, заданный системой уравнений (6), вокруг оси Oz . Чтобы получить уравнение образованного при этом эллипсоида вращения (рис. 249, б ), из первого уравнения системы (6) находим y 2 = a 2 . Тогда после сложения этого уравнения и уравнения х 2 = 0 и последующего преобразования получаем искомое уравнение

= 1, (6a)

которое называется каноническим уравнением эллипсоида вращения .

Из уравнения (6а) видно, что любая плоскость z = m ( m b ) , перпендикулярная оси вращения эллипсоида, пересекает его по окружности с центром (0; 0; m ) на оси Oz и радиусом

R = a .

в) Параболоид вращения

Из планиметрии известно, что параболой называется множество всех точек М плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки F , называемой фокусом , равно расстоянию до данной прямой а, называемой директрисой (рис. 250, а ) параболы.

Парабола с вершиной в начале системы координат Оху и осью симметрии Ох задаётся каноническим уравнением: у 2 = 2 рх, где р — расстояние между фокусом и директрисой. При 2 p = 1 парабола имеет уравнение y 2 = x.

Поверхность, образованная вращением параболы вокруг её оси симметрии, называется параболоидом вращения (рис. 250, б ). Вершина параболы при этом называется вершиной параболоида вращения.

Парабола, расположенная в координатной плоскости Oyz и имеющая своей вершиной начало координат, а осью симметрии — координатную ось Oz , может быть задана в декартовой прямоугольной системе координат Oxyz системой уравнений:

(7)

Будем вращать эту параболу вокруг оси Oz . Уравнение

образованного при этом параболоида вращения (рис. 250, б ) получим после почленного сложения уравнений

у 2 = z и х 2 = 0.

Уравнение (7а) называется каноническим уравнением параболоида вращения с осью вращения Oz. Из этого уравнения (7а) видно, что любая плоскость, перпендикулярная оси вращения (такая плоскость имеет уравнение z = m, m > 0), пересекает данный параболоид по окружности с центром (0; 0; m ) на оси Oz и радиусом R = .

г) Гиперболоиды вращения

Из планиметрии известно, что гиперболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами , есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Гипербола с действительной осью Ох и мнимой осью Oy (рис. 251, а ) в системе координат Oxy задаётся каноническим уравнением: = 1.

Пусть гипербола расположена в координатной плоскости Oyz и задана системой уравнений:

(8)

Координатная ось Oy является действительной осью данной гиперболы, а координатная ось Oz — её мнимой осью.

Если вращать данную гиперболу вокруг её действительной оси (оси Оу ), то получим поверхность, состоящую из двух частей. Эти части называют полостями ( или полами ) , а полученная при этом поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения (рис. 251, б ).

Найдём уравнение этой поверхности.

Из уравнений (8) имеем:

После элементарных преобразований получаем искомое уравнение

= 1, (8а)

которое называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида вращения с осью Оу .

Вращая ту же самую гиперболу вокруг её мнимой оси (т. е. вокруг оси Oz ), получим поверхность, которая называется однополостным гиперболоидом вращения (рис. 252, а ). Рассуждениями, аналогичными предыдущим, получаем каноническое уравнение этого гиперболоида в виде

= 1. (8б)

Любая плоскость z = m , перпендикулярная оси вращения однополостного гиперболоида (рис. 252, б ), пересекает этот гиперболоид по окружности с центром (0; 0; m ) на оси Oz и радиусом R = . Из выражения для вычисления радиуса окружности — сечения видно, что самым «узким» сечением нашего гиперболоида является окружность радиуса а. Эта окружность получается при пересечении данного гиперболоида плоскостью z = 0 и называется горловой окружностью (или горловиной ) однополостного гиперболоида.

Если вращать вокруг оси Oz прямую

(8в)

(эта прямая лежит в плоскости х = а и не параллельна оси Oz , см. рис. 252, б ), то при этом вращении образуется тот же однополостный гиперболоид.

В самом деле, из уравнений (8в) имеем:

После почленного сложения уравнений этой системы и последующего преобразования полученного уравнения приходим к уравнению

= 1,

совпадающему с уравнением (8б), следовательно, задающего тот же самый однополостный гиперболоид.

Но если вращать вокруг оси Oz прямую, заданную системой уравнений

(8г)

(эта прямая также лежит в плоскости х = а и не параллельна оси Oz , см. рис. 252, б ), то при этом вращении вновь образуется однополостный гиперболоид, заданный уравнением (8б).

Поверхность, образованную движением прямой, называют линейчатой поверхностью, а прямые, целиком лежащие на этой поверхности, называют её прямолинейными образующими.

Из сказанногo следует, что однополостный гиперболоид является линейчатой поверхностью . При этом: множество всех прямых, образованное движением прямой (8в), представляет собой одну серию прямолинейных образующих однополостного гиперболоида (8б) ( «полуквадрику» ) , а множество всех прямых, образованное движением прямой (8г), — другую серию прямолинейных образующих этого гиперболоида (вторую «полуквадрику» ) .

Примечательным является тот факт, что любые две образующие разных серий однополостного гиперболоида пересекаются, а любые две его образующие одной серии скрещиваются (рис. 253).

д) Коническая поверхность вращения

Пусть кривая второго порядка состоит из двух пересекающихся в начале координат прямых, расположенных в плоскости Oyz (рис. 254, а ), и задана системой уравнений

(9)

Если эту пару пересекающихся прямых вращать вокруг оси Oz , то получим поверхность, которая состоит из двух частей, называемых полостями ( или полами ) , а сама поверхность называется конической поверхностью вращения (рис. 254, б ). Иногда эту поверхность в целях краткости называют простo конусом вращения .

Из определения конической поверхности следует, что она является линейчатой поверхностью.

Рис. 254

Чтобы получить уравнение этой конической поверхности, находим:

После почленного сложения уравнений системы и последующего преобразования полученного уравнения приходим к уравнению:

= 0, (9a)

которое называется каноническим уравнением конической поверхности вращения с осью вращения Oz .

Ecли жe вращать ту же пару прямых вокруг оси Оy (которая также является их осью симметрии), то получим вновь коническую поверхность вращения, но её каноническое уравнение имеет другой вид, а именно:

= 0. (9б)

Обратите внимание! Правая часть канонического уравнения конической поверхности равна нулю, а знак «–» в левой части уравнения «указывает» на ось вращения этой поверхности.

е) Цилиндрическая поверхность вращения

Пусть кривая второго порядка состоит из двух параллельных прямых, лежащих в плоскости Oyz (рис. 255, а ), и задана системой уравнений

(10)

Если эту пару параллельных прямых вращать вокруг оси

Oz координатная ось Oz является осью симметрии прямых и на которые распадается кривая второго порядка то получим поверхность, которая называется цилиндрической поверхностью враще ния (рис. 255, б ). Иногда эту поверхность в целях краткости называют просто цилиндром вращения .

Из определения цилиндрической поверхности следует, что она является линейчатой поверхностью.

После почленного сложения уравнений системы получаем искомое уравнение этой поверхности

x 2 + y 2 = a 2 , (10а)

которое называется каноническим уравнением цилиндрической поверхности вращения с осью вращения Oz.

Если эту же пару параллельных прямых вращать вокруг оси Оу , то получим поверхность второго порядка, состоящую из двух параллельных плоскостей (рис. 256) (иногда говорят, распавшуюся на две параллельные плоскости). Их уравнение имеет вид

Уравнение (11) нельзя получить из уравнений (10) по правилу, установленному в п. 1 «Дополнений», так как из этих уравнений у не выражается как функция z .

Цилиндрическую поверхность вращения с осью вращения Oz , заданную уравнением (10а), можно получить непрерывным движением прямой, параллельной оси Oz и пересекающей расположенную в плоскости Оху окружность Эта окружность называется направляющей цилиндрической поверхности.

Таким же образом можно получить другие цилиндрические поверхности. К ним относятся:

— эллиптический цилиндр , направляющей которого служит эллипс. Если образующие эллиптического цилиндра параллельны оси Oz , то его каноническое уравнение имеет вид:

= 1. (12)

Изображение этого цилиндра совпадает с изображением цилиндра вращения (см. рис. 255, б );

— параболический цилиндр , направляющей которого служит парабола. Если образующие параболического цилиндра параллельны оси Oz , а парабола расположена в плоскости Оху (рис. 257), то такой цилиндр может быть задан уравнением:

— гиперболический цилиндр , направляющей которого служит гипербола. Если образующие гиперболического цилиндра параллельны оси Оz, а гипербола расположена в плоскости Оху (рис. 258), то он может быть задан уравнением:

= 1. (14)

Рис. 258

Мы получили только канонические ( простейшие ) уравнения каждой из рассмотренных выше поверхностей второго порядка. Такие уравнения имеют рассмотренные поверхности вследствие частного, наиболее «удобного», их расположения относительно системы координат Oxyz . Но если, например, сфера радиуса R = 4 имеет своим центром не начало координат, а точку А (2; –3; –1), то эта сфера задаётся уравнением

( х – 2) 2 + ( у + 3) 2 + ( z + 1) 2 = 16,

которое после раскрытия скобок приводится также к уравнению второго порядка

x 2 + y 2 + z 2 – 4 х + 6 у + 2 z + 2 = 0.

В этом уравнении сферы число членов больше, чем в каноническом её уравнении (5). Аналогично, каждая из рассмотренных выше поверхностей второго порядка — эллипсоид, параболоид, гиперболоиды, цилиндр и конус, будучи расположенной общим образом относительно системы координат Oxyz , может быть задана общим уравнением второго порядка относительно переменных х, у, z . Поэтому вводится такое определение.

Поверхностью второго порядка называется множество всех точек М ( x ; y ; z ) пространства, координаты x, y, z которых удовлетворяют уравнению

a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2 a 12 xy + 2 a 13 xz + 2 a 23 yz + 2 a 14 x +
+ 2 a 24 y + 2 a 34 z + a 44 = 0.

Это уравнение называется общим уравнением поверхности второго порядка ( коэффициенты a 11 , a 22 , a 33 , a 12 , a 13 , a 23 одновременно не равны нулю ) . Тaк кaк поверхности второго порядка задаются квадратными уравнениями, то эти поверхности кратко называют квадриками.

3.3. Линии второго порядка как плоские сечения конической поверхности

Пусть дана коническая поверхность вращения с вершиной в точке S и осью вращения a . Из определения конической поверхности следует, что любая плоскость, проходящая через вершину S и ось а конической поверхности, пересекает эту поверхность по двум её линейным образующим (рис. 259, а ), т. е. по кривой второго порядка, распавшейся на две пересекающиеся прямые.

Мы рассмотрим вопрос о пересечении конической поверхности вращения и любой плоскости, не проходящей через вершину этой поверхности. Из определения конической поверхности вращения следует, что любая плоскость, не проходящая через вершину S и перпендикулярная оси вращения a , пересекает эту коническую поверхность по окружности (рис. 259, б ) .

Далее мы рассмотрим три принципиально различных возможных расположения секущей плоскости α по отношению к конической поверхности вращения.

а) Плоскость α пересекает все линейные образующие конической поверхности и не перпендикулярна оси вращения а (рис. 260) . Докажем, что полученная при этом в сечении конической поверхности кривая l является эллипсом.

Рис. 260

Проведём через ось а плоскость, перпендикулярную секущей плоскости α ; она пересекает поверхность по двум прямолинейным образующим. Будем считать полученные образующие лежащими в плоскости чертежа, а точки их пересечения с плоскостью α обозначим через R и Т .

Впишем в угол, образованный этими образующими, две окружности, касающиеся прямой RT . Центры этих окружностей лежат на оси конической поверхности. Пусть одна из окружностей касается прямой RT в точке F 1 и линейных образующих в точках Р и Q , а вторая касается прямой RT в точке F 2 и линейных образующих — в точках P ′ и Q ′ . При вращении этих окружностей вокруг оси конической поверхности образуются две сферы (I и II), вписанные в эту коническую поверхность (в одну её полость). Сфера I касается конической поверхности по окружности PQ , а сфера II — по окружности Р ′ Q ′ , которые лежат в параллельных между собой и перпендикулярных оси вращения а плоскостях. Для обеих сфер плоскость α является общей касательной плоскостью с точками касания соответственно F 1 и F 2 .

Проведём теперь через любую точку M линии l прямолинейную образующую SM конической поверхности, и точки пересечения этой образующей с окружностями PQ и Р ′ Q ′ обозначим соответственно А и В. Далее соединим отрезками точку М с точками F 1 и F 2 . Тогда:

| MA | = | MF 1 | (как отрезки касательных прямых, проведённых из точки М к сфере I);

| МВ | = | MF 2 | (как отрезки касательных прямых, проведённых из точки М к сфере II).

Получаем: | MF 1 | + | MF 2 | = | MA | + | MB | = | AB |.

Так как плоскости окружностей PQ и P ′ Q ′ перпендикулярны оси вращения конической поверхности, то длина отрезка AB постоянна для любой линейной образующей, т. е. не зависит от выбора точки M на кривой l. Это означает, что для любой точки M линии l сумма расстояний | MF 1 | и | MF 2 | до двух данных точек F 1 и F 2 есть величина постоянная, откуда, в свою очередь, следует, что кривая l — эллипс, что и требовалось доказать. ▼

б) Рассмотрим теперь случай, когда плоскость параллельна двум линейным образующим конической поверхности вращения.

В этом случае плоскость α пересекает обе полости конической поверхности (рис. 261), и в сечении получается линия l , состоящая, по-видимому, из двух ветвей. Интуитивно можно предположить, что этой линией окажется гипербола. Докажем, что это действительно так.

Как и в предыдущем случае, проведём через ось а плоскость, перпендикулярную секущей плоскости α ; она пересекает коническую поверхность по двум прямолинейным образующим. Будем считать полученные образующие лежащими в плоскости чертежа.

Впишем в различные полости конической поверхности две сферы (обозначим их опять I и II) так, чтобы они касались секущей плоскости α в некоторых точках F 1 и F 2 . Пусть Р и Q — точки касания сферы I с прямолинейными образующими, лежащими в плоскости чертежа, а Р ′ и Q ′ — точки касания сферы II с этими образующими. Тогда сфера I касается конической поверхности по окружности PQ , а сфера II — по окружности Р ′ Q ′ , которые лежат в параллельных между собой и перпендикулярных оси вращения а плоскостях.

Проведём теперь через любую точку М линии l прямолинейную образующую SM конической поверхности, и точки пересечения этой образующей с окружностями PQ и P ′ Q ′ обозначим соответственно А и В. Соединив отрезками точку М с точками F 1 и F 2 , имеем:

| МA | = | MF 1 | (как отрезки касательных прямых, проведённых из точки М к сфере I);

| MB | = | MF 2 | (как отрезки касательных прямых, проведённых из точки М к сфере II).

|| m F 2 | – | m F 1 || = || МВ | – | МА || = | AB |.

Так как плоскости окружностей РQ и P ′ Q ′ перпендикулярны оси вращения конической поверхности, то длина отрезка AВ , расположенного на образующей конуса, постоянна для любой его образующей, т. е. не зависит от выбора точки М на линии l . Это означает, что для любой точки М линии l модуль разности расстояний | MF 2 | и | MF 1 | до двух данных точек F 1 и F 2 есть величина постоянная, следовательно, кривая l — гипербола, что и требовалось доказать. ▼

в) Рассмотрим третий случай, когда секущая плоскость α , параллельна одной из образующих (обозначим её SX ) конической поверхности вращения (рис. 262). В этом случае плоскость α перпендикулярна плоскости, проходящей через образующую SX и ось a конуса, а линия l пересечения плоскости α и конической поверхности состоит из одной ветви, простирающейся в бесконечность. Покажем, что эта линия является параболой.

Рис. 262

Впишем в коническую поверхность сферу, касающуюся плоскости α в некоторой точке F . Плоскость β , содержащая окружность ω соприкосновения этой сферы и конической поверхности, перпендикулярна оси a конуса и пересекает плоскость α по прямой KL .

Проведём через любую точку М линии l образующую конической поверхности и обозначим через Р точку её касания со сферой (точка P лежит на окружности ω ). Тогда | MF | = | МР | (как отрезки касательных к сфере, проведённых из точки M ). Далее проведём плоскость δ через точку М параллельно плоскости β , в которой лежит окружность ω , и обозначим точки пересечения данной образующей SX с плоскостями β и δ соответственно А и B ( А = SX ∩ ω ) . Тогда | АВ | = | MP | (как длины отрезков образующих конической поверхности, заключённых между плоскостями, перпендикулярными к оси этой поверхности). Плоскость, проходящая через образующую SX перпендикулярно плоскости α , пересекает эту плоскость по прямой DE , параллельной АВ и перпендикулярной прямой KL . Причём | DE | = | АВ | (как отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями). Eсли теперь провести в плоскости α перпендикуляр МC из точки М на прямую KL , то он будет параллелен и равен DE : | MC | = | DE |. Тогда получаем:

| MC | = | DE | = | AB | = | MP |.

Учитывая, что | MF | = | МР | , приходим к выводу: | MF | = | МС |. Из этого равенства следует, что точка М независимо от её положения на линии l одинаково удалена от точки F и от прямой KL , следовательно, линия l является параболой, что и требовалось доказать. ▼

На рисунке 263 изображены все возможные виды плоских сечений конической поверхности.

Таким образом, изученные вами в планиметрии кривые второго порядка являются различными плоскими сечениями конической поверхности вращения, поэтому их называют коническими сечениями , а для краткости — просто кониками . При этом окружность, эллипс, гиперболу и параболу называют собственными или невырожденными коническими сечениями ( невырожденными кониками ) . Они обладают многими интересными и красивыми свойствами, о которых вы узнаете в высшей школе.

📽️ Видео

Поворот и параллельный перенос координатных осей. ЭллипсСкачать

Лекция 22. Декартова система координат на плоскости и полярная система координатСкачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать

Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

§30 Уравнения кривых второго порядка в полярных координатахСкачать

Полярная система координатСкачать

Поверхности 2го порядка. КлассификацияСкачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Видеоурок "Гипербола"Скачать

Видеоурок "Полярная система координат"Скачать

Поверхности 2 порядкаСкачать

Построение кривой в полярной системе координатСкачать

§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать