Поверхность уровня функции u x 2 y 2 z 2 в точке имеет уравнение (2 видео)

Линии и поверхности уровня

Содержание:

Содержание

Линии и поверхности уровня
Поверхности второго порядка
Гиперповерхности уровня
Задача 23292 11.1.34) Найти поверхности уровня.
Условие
Решение
Функции нескольких переменных
📹 Видео

Видео:2. Область определения функции двух переменныхСкачать

Линии и поверхности уровня

Понятие линии и поверхности уровня:

Для характеристики функций двух переменных вводится понятие линий уровня.

Определение 2. Линией уровня функции z = f (x, y) называется совокупность всех точек на плоскости Oxy, для которых выполняется условие f (x, y) = C.

Линии уровня можно получить, пересекая поверхность z = f (x, y) плоскостями z = C, где С = соnst.

Пример 1. Найти линии уровня функции z = x 2 + y 2 .

Решение.
Пусть z = C. x 2 + y 2 = C (C ≥ 0),

В этом случае линиями уровня является множество концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусом С (рис. 2) .Аналогично вводится понятие поверхности уровня для функции трех переменных u = f (x, y, z), (f (x, y, z) = C).

Пример 2. Найти поверхности уровня функции u = x 2 + y 2 + z 2 .

Решение. Пусть u = C. Тогда x 2 + y 2 + z 2 = C (C ≥ 0) — это множество сфер с центром в точке O(0; 0; 0) и радиусом C.

Поверхности второго порядка

Наиболее изучены поверхности в курсе аналитической геометрии — поверхности второго порядка. В общем случае уравнение такой поверхности имеет вид:
a₁₁ x 2 + 2a₁₂ xy + a₂₂ y 2 + 2a₁₃ xz + 2a₂₃ yz + a₃₃ z 2 + 2a₁₄ x + 2a₂₄ y + 2a₃₄ z + a₄₄ = 0.

В зависимости от значений коэффициентов получают различные поверхности второго порядка.

Например:
1) — конус;

2) — полусфера;

Рис. 4.

3) — эллиптический параболоид;

Рис. 5.

4) — гиперболический параболоид;

рис.6

5) — трехосный эллипсоид.

Рис. 7.

Для изучения поверхностей в трехмерном пространстве применяется метод сечений. Суть этого метода такова: пересекаем заданную поверхность плоскостями x = C₁, y = C₂, z = C₃. В результате получим некоторые кривые, характеризующие поверхность.

Пример 3. z = x 2 + y 2 . Пусть z = C₁ (C₁ ≥ 0). Получим уравнение x 2 + y 2 = C₁ (уравнение окружности). Положим y = C₂ , тогда — уравнение параболы в плоскости Оxz, которая смещена на единиц вверх по оси Oz. Положим x = C₃ , получим уравнение
Получили уравнение параболы в плоскости Оyz, которая смещена на единиц вверх по оси Оz. Из этих исследований вытекает, что графиком функции z = x 2 + y 2 является параболоид вращения вокруг оси Оz.

Видео:Математика без Ху!ни. Функции нескольких переменных. Область определения. Линии уровня.Скачать

Гиперповерхности уровня

Пусть задана функция от n переменных u = f (x₁, x₂, . x_n) . Если положить u = C, то получим уравнение f (x₁, x₂, . x_n) = C, которое называется уравнением гиперповерхности уровня в пространстве R n . Например: Если u = C, то уравнение является уравнением гиперсферы в R n с центром в точке O (0,0, . 0) и радиусом .

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

Задача 23292 11.1.34) Найти поверхности уровня.

Условие

11.1.34) Найти поверхности уровня функции трех переменных u=x^2+y^2-z^2

Решение

x^2+y^2-z^2=0 ⇒ z^2=x^2+y^2 — поверхность уровня h=0
конус

При h=1
x^2+y^2-z^2=1 — поверхность уровня h=1 однополостный гиперболоид x^2+y^2-z^2=1
a=1; b=1; c=1

При h=2
x^2+y^2-z^2=2
или
(x^2/2)+(y^2/2)-(z^2/2)=1 — поверхность уровня h=2 — однополостный гиперболоид (x^2/2)+(y^2/2)-(z^2/2)=1
a=sqrt(2); b=sqrt(2); c=sqrt(2)

При h=23
x^2+y^2-z^2=3
или
(x^2/3)+(y^2/3)-(z^2/3)=1 — поверхность уровня h=3 — однополостный гиперболоид (x^2/3)+(y^2/3)-(z^2/3)=1
a=sqrt(3); b=sqrt(3); c=sqrt(3)
и т.д.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Функции нескольких переменных

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть: z — переменная величина с областью изменения R; R- числовая прямая; D — область на координатной плоскости R2.

Любое отображение D->R называют функцией двух переменных с областью определения D и пишут z = f(x;y).

Если каждой паре (х; у) двух независимых переменных из области D по некоторому правилу ставится в соответствие одно определенное значение z из R, то переменную величину z называют функцией двух независимых переменных х и у с областью определения D и пишут

Аналогичным образом определяются функции многих переменных

П р и м е р 1. Найти и изобразить область определения функции

Область определения – есть плоскость хОу за исключением точек, лежащих на параболе у = х2, см. рисунок.

П р и м е р 2. Найти и изобразить область определения функции

Область определения – есть часть плоскости, лежащая внутри круга радиуса г = 3 , с центром в начале координат, см. рисунок.

П р и м е р 3. Найти и изобразить область определения функции

Область определения – есть часть плоскости, в которой абсцисса и ордината каждой точки имеют одинаковые знаки, т. е. это часть плоскости, лежащая в первом и третьем координатных углах, см. рисунок.

К числу функций нескольких переменных относятся производственные функции.

Производственными функциями называют функции, представляющие зависимости величин объемов выпускаемой продукции от переменных величин затрат ресурсов.

Производственные функции применяются не только в микроэкономических, но и в макроэкономических расчетах.

Простейшая производственная функция — функция зависимости объема произведенной работы V от объемов трудовых ресурсов R и вложенного в производство капитала К

2.ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ФУНКЦИИ ДВУХ

2.1.График функции двух переменных

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат и область D на плоскости хОу. В каждой точке М(х;у) из этой области восстановим перпендикуляр к плоскости хОу и отложим на нем значение z = f(x; у). Геометрическое место полученных точек

является пространственным графиком, функции двух переменных.

Это некоторая поверхность.

Равенство z = f(x; у) называется уравнением этой поверхности.

Функция двух переменных имеет наглядную геометрическую интерпретацию. Для функции числа переменных n > 2 аналогом поверхности является гиперповерхность (n + 1) — мерного пространства, не имеющая геометрической интерпретации.

Линией уровня функции двух переменных z = f(x; у) называется линия f(x; у) = С (С = const) на плоскости хОу, в каждой точке которой функция сохраняет постоянное значение С.

Линия уровня представляет собой сечение поверхности графика функции двух переменных z = f(x; у) плоскостью z = С.

Поверхностью уровня функции трех переменных

u = f(x; у; z) называется поверхность в R3 (трехмерном пространстве), в каждой точке которой функция сохраняет постоянное значение f(x;y;z) = C (С = const).

П р и м е р. Найти и построить линии уровня функции

Решение.

Линии уровня z = С данной функции имеют уравнения

Это окружности с центром в начале координат, радиусом R = C1/2 и уравнением

x2 + y2 = R2, см. рисунок.

Линии уровня позволяют представить рассматриваемую поверхность, дающую в сечении плоскостями z = C концентрические окружности.

При построении графика функции часто пользуются методом сечений.

П р и м е р. Построить график функции и найти .

Решение. Воспользуемся методом сечений.

– в плоскости – парабола.

– в плоскости –парабола.

– в плоскости – окружность.

Искомая поверхность – параболоид вращения.

Расстоянием между двумя произвольными точками и (евклидова) пространства называется число

Множество точек называется открытым кругом радиуса с центром в точке r.

Открытый круг радиуса ε с центром в точке A называется — ε — окрестностью точки А.

Найти и изобразить графически область определения функции:

Построить линии уровня функций:

3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Основные понятия математического анализа, введенные для функции одной переменной, распространяются и на функции нескольких переменных.

О п р е д е л е н и е:

Постоянное число А называется пределом функции двух переменных z = f(x;у) при х —> х0, у —> у0, если для любого

ε >0 существует δ >0 такое, что |f(х; у) — А| 0 — постоянное число.

Постоянное число А называется пределом функции двух переменных f(x;y) = f(M) при стремлении точки М к точке М0, если для любого ε >0 можно найти такое число г >0, что как только расстояние |М0М| 0.

Предел отношения при Δs—>0 называется произ-

водной функции z = f(х; у) в точке (х; у) по направлению вектора и обозначается

Переходя к этому пределу, получим

(*)

Таким образом, зная частные производные функции

z = f(x; у) можно найти производную этой функции по любому направлению, а каждая частная производная является частным случаем производной по направлению.

П р и м е р. Найти производную функции