Построить локон аньези уравнение в прямоугольных координатах (6 видео)

Зона кода

Решил, развлечения ради, создать простенький видеоролик, демонстрирующий построение локона Аньези. В Википедии, и в англоязычной, и в русскоязычной статьях имеются подобные демонстрации, выполненные в виде GIF-файлов.

А вот в Ютьюбе таких роликов нет, по крайней мере, поиском по запросам «локон Аньези» и «witch of Agnesi» обнаружить их не удалось. Нашлась анимация, демонстрирующая уже «готовую» кривую. Но я собираюсь анимировать именно сам процесс построения.

Будет создана программа на С99, генерирующая кадры анимации с помощью библиотеки pgraph. Эти кадры затем будут собраны в AVI-файл посредством видеоредактора VirtualDub. Готовый ролик загрузим туда, где его так не хватает — на Ютьюб.

В дальнейшем будем предполагать, что читатель, хотя бы в общих чертах, знаком с библиотекой pgraph.

Содержание

О локоне Аньези
Структура программы, директивы препроцессора, константы
Построение горизонтальных и вертикальной линий
Построение окружности
Построение начального положения ломаной
Построение кривой
Содержимое файла witch_of_agnesi.c
Результаты работы программы
Заключение
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ
Локон Аньези — математика и искусство
Локон Аньези
🎦 Видео

Видео:Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

О локоне Аньези

Локон Аньези или, как его иногда называют, верзьера Аньези, — это плоская алгебраическая кривая 3-го порядка, уравнение которой в специальным образом выбранной декартовой прямоугольной системе координат (ДПСК) имеет вид:

Но гораздо более интересным является определение данной кривой как геометрического места точек, построенных определённым образом. Оно приведено в математической энциклопедии. Позаимствуем его оттуда, немного переформулировав.

Построим в ДПСК Oxy окружность диаметра a с центром в точке (0, a / 2). Проведём секущую OA, где точка A принадлежит окружности. Пусть B — это точка пересечения секущей с прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку C (0, a), а D — точка пересечения прямой, проходящей через точку A параллельно оси Ox, с осью ординат. Если M — это точка пересечения прямой DA с прямой, проходящей через точку B параллельно оси Oy (см. рисунок), то локон Аньези — это геометрическое место всех точек M, построенных таким образом.

Красная линия на рисунке — это и есть фрагмент локона Аньези (сама она бесконечно простирается вдоль оси Ox, поэтому полностью её построить невозможно).

Именно это определение и будет лежать в основе нашей анимации. Будем строить ломаные вида OBMD таким образом, что точка B будет находиться изначально слева от оси ординат, а в ходе создания новых ломаных будет перемещаться слева направо. В ходе такого перемещения точка M будет «прочерчивать» кривую, которая и будет являться искомым фрагментом локона Аньези. Стрелки и буквы мы рисовать не будем.

Всё достаточно просто; никаких особых алгоритмов предварительно создавать не требуется. Думаю, уже можно приступать к программированию. Детали реализации будут, при необходимости, прокомментированы в ходе построения программного кода.

Видео:Как в MATLAB Simulink моделировать уравнения (Структурная схема САУ)Скачать

Структура программы, директивы препроцессора, константы

Программа будет состоять из файла witch_of_agnesi.c и библиотеки pgraph, включающей в себя 3 файла. Весь код, занимающийся построением анимации, будет находиться в функции main() . Будем публиковать содержимое файла witch_of_agnesi.c фрагментами (полный код будет приведён в конце статьи). Начнём с директив препроцессора:

Всего лишь две инструкции, вторая из которых подключает заголовочный файл библиотеки pgraph.

Константные переменные, использующиеся в программе, разобьём на 2 группы. В первую войдут те, которым присваиваются заранее известные числа (т. е. их значения вычислять не нужно). Эти константы будут глобальными; размещаться они будут вне функции main() . Ниже приведён их список.

Как мы видим, в коде содержатся комментарии, к тому же смысл некоторых этих констант будет приведён в дальнейшем. Но некоторые разъяснения дам прямо сейчас.

Размеры кадра в пикселях соответствуют одному из стандартных форматов кадра, поддерживаемых Ютьюбом. Абсциссы крайних точек фрагментов кривой даны в исходной системе координат (напомню, что в библиотеке pgraph система координат введена таким образом, что её начало помещено в угловой пиксель левого нижнего угла холста, а оси абсцисс и ординат направлены от него вправо и вверх соответственно). Значения констант SXY и a заданы в пикселях.

Во вторую группу войдут константы, значения которых необходимо вычислять. Мы уже не можем сделать их глобальными, поэтому поместим в самое начало тела функции main() :

Снова отмечу, что, некоторые из констант будут рассмотрены в дальнейшем. Сейчас скажу, что значения всех констант должны быть подобраны так, чтобы результаты целочисленных делений в правых частях операторов присваивания в первых 5-ти строках и во 2-й строке снизу совпадали бы с результатами точных делений. Координаты X0 , Y0 и Y1 заданы в исходной системе координат. Новая система координат соответствует ДПСК Oxy, приведённой на рисунке из предыдущего раздела.

Видео:Уравнение с модулемСкачать

Построение горизонтальных и вертикальной линий

В этом и нескольких следующих разделах будут приводиться фрагменты функции main() . Начнём с этого фрагмента:

В нашей программе будут созданы 2 объекта типа image . Первый из них условно назовём «фоновым изображением». Этот объект динамически создаётся в 1-й строке фрагмента. Назначения массива filename и переменной f , полагаю, понятны из комментариев в коде.

Начинаться наша анимация будет с нескольких пустых кадров, представляющих собой белые прямоугольники. Вот соответствующий код:

На каждой итерации цикла for создаётся один кадр. В 4-й строке генерируется относительный путь к графическому файлу, в котором текущий кадр будет сохранён. Он включает в себя имя директории results, которая к моменту запуска программы должна располагаться в директории исполняемого файла. Часть имени файла, предшествующая точке и расширению bmp, состоит из его трёхзначного номера, совпадающего с новым значением счётчика кадров, полученного инкрементом старого, и дополненного, при необходимости, ведущими нулями. Путь записывается в массив filename .

В 5-й строке текущий кадр, содержащийся в объекте, адресуемом указателем bg , записывается в графический файл, относительный путь к которому содержится в filename .

В результате успешного выполнения фрагмента в директории results должны появиться 12 файлов с именами 001.bmp, 002.bmp, . 012.bmp.

В дальнейшем все кадры будут записываться в файлы посредством строк кода, аналогичных строкам 4 и 5.

Переходим к построению двух горизонтальных линий, нижняя из которых совпадает с осью абсцисс, и одной вертикальной, совпадающей с осью ординат:

Линии будут появляться в ролике постепенно. Снова каждая итерация цикла for соответствует одному кадру. Кадры по-прежнему будут записываться в объект, адресуемый указателем bg . В ходе одной итерации каждая из линий будет «достраиваться» коротким отрезком. Количество итераций равно количеству шагов N , т. е. 40. На каждом шаге горизонтальные линии достраиваются отрезками по SX (т. е. по 16) пикселей, а вертикальная — отрезком длиной SY (т. е. 9) пикселей. Цвет всех трёх линий — чёрный.

В 4-й строке создаётся отрезок нижней горизонтальной линии; в 5-й — верхней, а в 6-й — вертикальной. Нижняя горизонтальная линия строится в направлении слева направо, верхняя — справа налево, а вертикальная — снизу вверх.

В строках 7 и 8 текущий кадр записывается в файл.

Видео:Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.Скачать

Построение окружности

Окружность будем строить по точкам, используя параметрические уравнения. Как известно, окружность радиуса r с центром в точке (0, r) может быть описана следующей системой параметрических уравнений:

x = r cos t , y = r + r sin t , 0 ≤ t 2 π .

Вот соответствующий фрагмент кода:

Снова на каждой итерации цикла for (внешнего) строится один кадр. Всего кадров K (т. е. 40).

Для построения окружности используется M (720) точек. Но, в силу того, что при построении координаты округляются до целых, некоторые точки могут совпадать. На каждой итерации рисуется лишь «маленькая» дуга окружности, состоящая из si (18) точек (среди них тоже могут быть совпадающие). Очередная дуга «дорисовывается» к уже построенным. В итоге, зритель ролика увидит дугу, которая «растёт» против часовой стрелки до тех пор, пока не замкнётся, т .е. не «превратится» в окружность.

Каждая из 40 «маленьких» дуг строится посредством внутреннего цикла for (стр. 4-10). Переменная t (стр. 6) пробегает значения параметра t (см. параметрические уравнения), соответствующие текущей дуге, с шагом st , равным половине градуса, выраженной в радианах. Формулы, по которым считаются координаты текущей точки окружности x и y (стр. 7, 8), отличаются от формул, фигурирующих в параметрических уравнениях, наличием слагаемых X0 и Y0 , поскольку x и y должны содержать координаты в исходной системе координат, а не в новой.

Как мы видим, генерируемые точки рисуются синим цветом всё на том же изображении, адресуемом указателем bg (стр. 9). После каждого построения очередной «маленькой» дуги изображение записывается в файл (стр. 11, 12).

Видео:Принцип наименьшего действия #2 - Уравнение Эйлера-ЛагранжаСкачать

Построение начального положения ломаной

А теперь мы создаём второй объект типа image (назовём его, условно, «основным изображением») и копируем в него фоновое изображение:

Теперь мы будем рисовать ломаную, о которой пойдёт речь в этом разделе, уже на новом изображении.

Наша трёхзвенная ломаная, так же, как и предыдущие линии, будет появляться в видеоролике постепенно, «кусочками».

Начнём с 1-го звена ломаной, которое соединяет начало координат с точкой ( X1 — X0 , a ) (в новой системе координат). Это звено, очевидно, будет наклонным. Предположим, что мы собираемся строить в каждом кадре «меленькие» отрезки с использованием функций line() или line_to() , каждый раз вычисляя ординаты конечных точек этих отрезков путём подстановки их абсцисс в уравнение прямой и округления результатов до целых. В этом случае именно из-за этих неизбежных округлений вид звена будет отличаться от того, который мы получили бы, построив звено «сразу», вызвав одну из перечисленных функций ровно один раз.

Поэтому эти «маленькие» отрезки будем строить иначе, а именно, по точкам. С абсциссами точек всё ясно: каждая следующая на единицу меньше предыдущей. При этом пиксель, в котором находится следующая точка, будет иметь с пикселем, в котором находится предыдущая, либо общую сторону, находясь на одном с ним уровне, либо общую вершину, находясь на уровень выше (мы сейчас представляем пиксели в виде квадратов, плотно заполняющих холст). В первом случае ордината следующей точки будет совпадать с ординатой предыдущей, а во втором — превосходить её на единицу.

Как определить, какой из двух вариантов имеет место? Очень просто: нужно рассмотреть обе точки, и взять ту из них, которая более близка к прямой, отрезок которой мы строим.

В новой системе координат эта прямая будет иметь уравнение:

y = a x 1 — x 0 x .

Здесь a, x₀ и x₁ — это аналоги a , X0 и X1 соответственно. Перепишем уравнение в виде:

a x + x 0 — x 1 y = 0 .

Расстояние от произвольной точки, имеющей координаты x

в новой системе, соответствующие координатам x

— y 0 в старой, до данной прямой равно:

— x 0 + x 0 — x 1 y

— y 0 a 2 + x 0 — x 1 2 .

Если нам важно выяснить, какая из двух заданных точек ближе к прямой, то мы можем подставить в это выражение сначала координаты одной точки, затем — другой, после сравнить полученные значения. Но, поскольку знаменатели дроби в обоих случаях будут совпадать, мы можем ограничиться сравнением лишь значений числителя. Так мы и поступим.

Итак, предположим, что предыдущая точка имеет координаты (x_k, y_k) (в исходной системе координат). Нам нужно найти координаты (x_k₊₁, y_k₊₁) следующей точки. Ясно, что x_k₊₁ = x_k − 1. Но, чтобы выяснить, какое из двух равенств выполняется: y_k₊₁ = y_k + 1 или y_k₊₁ = y_k, нужно проверить справедливость неравенства

a x k + 1 — x 0 + x 0 — x 1 y k — y 0 > a x k + 1 — x 0 + x 0 — x 1 y k + 1 — y 0 .

p = a x 0 — x k + 1 + x 0 — x 1 y 0 — y k , q = x 0 — x 1 ,

Тогда неравенство можно переписать в виде:

Возведём обе части неравенства в квадрат:

p 2 > p 2 — 2 p q + q 2 ,

Разделим обе части неравенства на q, учитывая, что q > 0:

Вернёмся к старым обозначениям:

2 a x 0 — x k + 1 + x 0 — x 1 y 0 — y k > x 0 — x 1 .

Теперь переходим к построению первого звена:

Шаг по оси Ox теперь будет равен SXY (т. е. 6), а по оси Oy — сколько получится. Находим число шагов s1 (стр. 2). Поскольку отношение X0mX1 / SXY может быть дробным, число шагов вычисляем как целую часть этого отношения, если дробная часть отсутствует, или как целую часть, увеличенную на единицу в противном случае. Текущие координаты создаваемой точки будем хранить в переменных x и y , которым в качестве начальных значений присваиваем координаты начала координат (стр. 3). Начальную точку сразу же наносим на изображение (стр. 4). Её цвет, как и цвет самой ломаной, — зелёный.

Как и ранее, каждый кадр строится в ходе одной итерации внешнего цикла for (см. стр. 5-15). Количество итераций совпадает с числом шагов. На каждой итерации значение x уменьшается на единицу (см. стр. 7), а значение y при выполнении описанного ранее условия (стр. 9) увеличивается на единицу (стр. 10), а при его нарушении не изменяется. Точка с полученными таким образом координатами наносится на изображение (стр. 11).

Обратите внимание на то, что условие продолжения цикла состоит из двух условий (стр. 7). Итераций внутреннего цикла должно быть не больше SXY , но, при этом, текущая координата не должна выходить за левую границу X1 отрезка, на котором строится график линейной функции. Таким образом, на последней итерации внешнего цикла число итераций внутреннего может оказаться меньшим SXY .

После построения каждого «маленького» отрезка текущий кадр записывается в графический файл (стр. 13, 14).

С двумя оставшимися звеньями всё просто. Второе звено — вертикальное, оно соединяет точку ( X1 — X0 , a ) с точкой ( X1 — X0 , Y1 — Y0 ) (в новой системе координат). Вот соответствующий код:

Теперь уже шаг по оси ординат равен SXY. В s2 помещаем число шагов (стр. 2). На этот раз каждый «маленький» отрезок строим с помощью функции line_to() (стр. 7). Благодаря вызову функции fmax() (стр. 7), наше звено «не опустится» ниже начальной точки фрагмента локона Аньези, поскольку длина последнего «маленького» отрезка будет отрегулирована.

Последнее, третье звено — горизонтальное, оно соединяет точки ( X1 — X0 , Y1 — Y0 ) и ( 0 , Y1 — Y0 ) (в новой системе координат). Шаг по оси абсцисс равен SXY , а количество шагов — такое же, как и при построении первого звена. Ниже приведён фрагмент кода, отвечающий за построение третьего звена.

Часть программы, отвечающая за «вступительную» часть анимации, написана. Переходим к рисованию самой кривой.

Видео:Геометрический смысл производной. Уравнение касательнойСкачать

Построение кривой

Но для начала сделаем небольшую паузу, в течение которой в видеоролике будет демонстрироваться неподвижная сцена, совпадающая с последним нарисованным кадром:

Приступаем к построению фрагмента локона Аньези. Будем перебирать абсциссы от X1 — X0 до X2 — X0 (в новой системе координат) с шагом 1 и для каждой абсциссы вычислять ординату. Формулу для ординаты получаем, выразив y через x из приведённого ранее уравнения кривой:

y = a 3 a 2 + x 2 .

Далее ордината будет округлена до целых. Каждую последующую точку кривой с предыдущей будем соединять отрезком прямой во избежание «разрывов».

Вот как строится наша кривая:

Устанавливаем начальную точку (стр. 2) и цвет кривой (стр. 3). Наша кривая будет красной.

Как обычно, каждая итерация цикла for отвечает за построение одного кадра. Роль переменной цикла играет абсцисса текущей точки (в исходной системе координат). Вычисляем соответствующую абсциссе ординату (стр. 6) и наносим отрезок, соединяющий предыдущую точку с текущей, на фоновое изображение (стр. 7). Копируем фоновое изображение в основное (стр. 8), после чего рисуем на основном изображении текущую трёхзвенную ломаную, конец второго звена которой совпадает с текущей точкой (стр. 9-12). Далее записываем в файл основное изображение.

Таким образом, в ходе цикла модернизируются как фоновое изображение, так и основное. На фоновом изображении постепенно появляется кривая, а на основном изображении происходит то же самое, но, помимо этого, к последней построенной точке кривой каждый раз «приделывается» ломаная.

По окончании цикла, фоновое изображение содержит полностью построенный фрагмент кривой Аньези, а основное — его же, с проходящей через его крайнюю правую точку ломаной.

Делаем небольшую паузу, демонстрируя зрителю примерно в течение полсекунды (при частоте кадров 25кадр./c.) основное изображение:

Затем в течение секунды показываем зрителю фоновое изображение (не содержащее ломаной):

Теперь удалим с фонового изображения верхнюю горизонтальную линию, залив её чёрные области белым цветом:

А также удалим окружность, закрасив синие точки, не лежащие на оси абсцисс, белым цветом, а лежащие — чёрным:

В итоге, фоновое изображение содержит только саму кривую и оси координат. Продемонстрируем зрителю данное изображение в течение двух секунд:

Формирование кадров завершено. Остаётся лишь освободить память, занимаемую обоими изображениями, и вернуть ноль из функции main() , свидетельствующий об успешном завершении её работы:

Видео:УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИСкачать

Содержимое файла witch_of_agnesi.c

Приведём теперь содержимое файла witch_of_agnesi.c полностью.

Видео:2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числаСкачать

Результаты работы программы

После компиляции и запуска программы в директории results появляются 940 графических файлов 001.bmp, 002.bmp, . 940.bmp. Собираем их в видеоролик с помощью видеоредактора VirtualDub, устанавливая частоту кадров 25 кадр./с. и применяя сжатие без потерь Huffyuv (подробности см. здесь и здесь).

Полученный ролик размером примерно 158МБ и продолжительностью 37 секунд был загружен на Ютьюб. Вы можете просмотреть его прямо сейчас.

К ухудшению качества видео после его загрузки на Ютьюб нам не привыкать. Удивление вызвало другое: при просмотре ролика через браузер Google Chrome исходный белый цвет фона показывается как грязно-серый (в Firefox всё нормально). Кстати, «грязноватыми» также стали красный, синий и зелёный цвета (в обоих браузерах).

Видео:Формула Муавра ➜ Вычислить ➜ (5+5i)⁷Скачать

Заключение

Задача успешно решена. Теперь на Ютьюбе будет ролик (пусть и ухудшенного качества, дополненного неверной цветопередачей), демонстрирующий процесс построения фрагмента локона Аньези, опирающийся на его определение через окружность и ломаную.

Видео:МОДУЛЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ

ЛЕМНИСКАТЫ
Уравнение в полярных координатах:
r 2 = a 2 cos2θ

Уравнение в прямоугольных координатах:
(x 2 + y 2 ) 2 = a 2 (x 2 — y 2 )

Угол между AB’ или A’B и осью x = 45 o

Площадь одной петли = a 2 /2

ЦИКЛОИДА
Уравнения в параметрической форме:

Площадь одной дуги = 3πa 2

Длина дуги одной арки = 8a

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиусом а, которая катится вдоль оси х.

ГИПОЦИКЛОИДЫ С ЧЕТЫРЬМЯ ОСТРИЯМИ
Уравнение в прямоугольных координатах:
x 2/3 + y 2/3 = a 2/3

Уравнения в параметрической форме:

Площадь, ограниченная кривой = 3πa 2 /8

Длина дуги целой кривой = 6a

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиусом a/4, которая катится внутри окружности радиусом a.

КАРДИОИДА
Уравнение: r = a(1 + cosθ)

Площадь, ограниченная кривой = 3πa 2 /2

Длина дуги кривой = 8a

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиусом a, которая катится снаружи окружности радиусом a. Эта кривая также является частным случаем улитки Паскаля.

ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
Уравнение:
y = a(e x/a + e -x/a )/2 = acosh(x/a)

Это кривая, по которой бы повисла цепь, подвешенная вертикально от точки А к В.

ТРЕХЛЕПЕСТКОВАЯ РОЗА
Уравнение: r = acos3θ

Уравнение r = acos3θ подобно кривой, полученной вращением против часовой стрелки по кривой 30 o или π/6 радиан.

В общем, r = acosnθ или r = asinnθ имеет n лепестков если n является нечетным.

ЧЕТЫРЕХЛЕПЕСТКОВАЯ РОЗА
Уравнение: r = acos2θ

Уравнение r = asin2θ подобно кривой, полученной вращением против часовой стрелки по кривой 45 o или π/4 радиан.

В общем r = acosnθ или r = asinnθ имеет 2n лепестков если n — четное.

ЭПИЦИКЛОИДА
Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиуса b, когда она катится по внешней стороне окружности радиусом а. Кардиоида является частным случаем эпициклоиды.

ОБЩАЯ ГИПОЦИКЛОИДА
Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиуса b, когда она катится по внешней стороне окружности радиусом а.

Если b = a/4, кривая является гипоциклоидой с четырьмя остриями.

ТРОХОИДА
Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая точкой Р на дистанции b от центра окружности с радиусом а, когда она катится по оси x.
Если b a, кривая имеет форму, показанную на рис. 11-11 и называется троходой.
Если b = a, кривая есть циклоидой.

ТРАКТРИСА
Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая конечной точкой Р натянутой струны длиной PQ, когда другой конец Q перемещается вдоль оси х.

ВЕРЗЬЕРА (ВЕРЗИЕРА) АНЬЕЗИ (ИНОГДА ЛОКОН АНЬЕЗИ)
Уравнение в прямоугольных координатах: y = 8a 3 /(x 2 + 4a 2 )

Параметрические уравнения:

В. На рисунке переменная линия OA пересекающая y = 2a и круг с радиусом a с центром (0,a) в A и B соотвественно. Любая точка P на «локоне» определяется построением линий, параллельных к осям x и y, и через B и A соответственно и определяющие точку пересечения P.

ДЕКАРТОВ ЛИСТ
Уравнение в прямоугольных координатах:
x 3 + y 3 = 3axy

Параметрические уравнения:

Площадь петли 3a 2 /2

Уравнение асимптоты: x + y + a = 0.

ЭВОЛЬВЕНТА ОКРУЖНОСТИ
Параметрические уравнения:

Эта кривая, описанная конечной точкой P струны, когда она разматывается с круга с радиусом a.

ЭВОЛЬВЕНТА ЭЛЛИПСА
Уравнение в прямоугольных координатах:
(ax) 2/3 + (by) 2/3 = (a 2 — b 2 ) 2/3

Параметрические уравнения:

Эта кривая является огибающей нормалью к эллипсу x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1.

ОВАЛЫ КАССИНИ
Полярное уравнение: r 4 + a 4 — 2a 2 r 2 cos2θ = b 4 .

Это кривая, описываемая такой точкой P, что произведение ее расстояния от двух фиксированных точек [ расстояние 2a в сторону] есть постоянной b 2 .

Кривая, как на фигурах внизу, когда b a соответственно.

Если b = a, кривая есть лемниската

УЛИТКА ПАСКАЛЯ
Полярное уравнение: r = b + acosθ

Пусть OQ будет линией, соединяющей центр O с любой точкой Q на окружности диаметром a проходящей через O. Тогда кривая есть фокусом всех точек P, таких, что PQ = b.

Кривая, показанная на рисунках внизу когда b > a или b 2 = x 3 /(2a — x)

Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая такой точкой P, что расстояние OP = расстоянию RS. Используется в задаче удвоения куба, т.e. нахождения стороны куба, который имеет удвоенный объем заданного куба

СПИРАЛЬ АРХИМЕДА
Полярное уравнение: r = aθ

Видео:7. Телеграфные уравненияСкачать

Локон Аньези — математика и искусство

Математика
Арифметика
Число
Пособия и таблицы по математике
Математический цветник
- Кривые
- Розы Гранди
- Астроида
- Гипоциклоида
- Декартов лист
- Кардиоида
- Квадратиса
- Конхоида Никомеда
- Крест
- Лемниската
- Спирали
  - Логарифмическая спираль
  - Спираль Архимеда
  - Квадратичная спираль
  - Спираль Корню
  - Спираль Галилея
  - Спираль Фибоначчи
  - Марио Мерц
- Локон Аньези
- Овалы Кассини
- Парабола Нейля
- Строфоида
- Трисектриса Маклорена
- Трохоида
- Улитка Паскаля
- Цепная линия
- Циссоида Диоклеса
- Циклоида
- Эвольвента
- Эпициклоида
- Красивые кривые
- Кривые Лиссажу
- Линейчатые поверхности
  - Коноид Плюккера
  - Зонтик Уитни
Задачи великих людей
- Задачи Наполеона
- Жизнь Диофанта
- Задача Архимеда
- Ошибка Джека Лондона
- Задача Люка
- Задача Эйлера
- Задача Ньютона
- Репетитор
- Треугольник Бинга
Стенгазета по математике
Словарь

Живопись
- Аллегория живописи
- История живописи
- Декоративная живопись
- Монументальная живопись
- Жанры живописи
Стили
- Ар-деко
- Авангардизм
- Античное искусство
- Барокко
- Возрождение
- Готика
- Импрессионизм
- Классицизм
- Конструктивизм
- Концептуальное искусство
- Кубизм
- Модерн
Музеи
- Аллегория музея
- Аллегория архитектуры
- Аллегория скульптуры
- Русский музей
- Эрмитаж
- Лувр
- Прадо
- Дрезденская галерея
- Бостонский музей
- Метрополитен-музей
- Национальная галерея в Лондоне
- Уфицци галерея
Графика и рисунок
- История рисунка
- Светотень
- Графика
- Гравюра
Декоративное искусство
- Декоративное искусство
- Русские промыслы
  - Промысел
  - Абашево
  - Борецкая роспись
  - Богородская игрушка
  - Вологодское кружево
  - Городец
  - Гжель
  - Дымково
  - Жостово
  - Изразец
  - Лубок
  - Матрёшка
  - Майолика
  - Мезенская роспись
  - Мстёра
  - Набойка
  - Палех
  - Полхов-Майдан
  - Пряник
  - Ракульская роспись
  - Русский костюм
  - Русская изба
  - Скопино
  - Филимоново
  - Холуй
  - Хохлома
- Орнамент
- Русский орнамент
- Египетские орнаменты
- Древнегреческие орнаменты
- Орнамент Японии и Китая
- Орнамент ар-деко
- Орнамент модерна
- Витраж
Стенгазета по рисованию
Словарик
Пособия и таблицы

Биографии художников
- Айвазовский
- Ботичелли
- Брейгель
- Брюллов
- Ван Гог
- Васнецов
- Ватто
- Веласкес
- Ге
- Гейнсборо
- Гойя
- Джотто
- Дюрер
- Кандинский
- Караваджо
- Кипренский
- Констебл
- Кустодиев
- Левитан
- Леонардо да Винчи
- Микеланджело
- Моне
- Рафаэль
- Репин
- Рембрандт
- Рублёв
- Рубенс
- Саврасов
- Сезанн
- Суриков
- Тициан
- Феофан Грек
- Хогарт
- Шилов
- Шишкин
- Эль Греко
Биографии математиков
- Абель
- Александров
- Аль-Хорезми
- Безу
- Бернулли
- Вейерштрасс
- Виет
- Галуа
- Гранди
- Декарт
- Диофант
- Евклид
- Клейн
- Лейбниц
- Лобачевский
- Лузин
- Монж
- Ньютон
- Остроградский
- Паскаль
- Пачоли
- Пифагор
- Погорелов
- Риман
- Фалес
- Чеботарёв
- Чебышёв
- Шмидт
- Эйлер
- Женщины- математики
- Численные методы
  - Адамар
  - Гаусс

Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Локон Аньези

Верзье́ра (верзие́ра) Анье́зи (иногда ло́кон Анье́зи)

Своё название верзьера Аньези получила в честь итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези , исследовавшей эту кривую (1748).

Пусть имеется круг с диаметром OC = -а и отрезок BDM, построенный так, что ОВ : BD = OC : ВМ; геометрическое место точек М представляет собой локон Аньези (или верзиеру). уравнение в прямоугольных координатах: у = a^3/(a^2 + x^2).

Для того чтобы построить эту линию, надо нарисовать окружность радиусом a с центром в точке (0,a). Затем из начала координат проводят прямые и отмечают две точки. Точка А (x1, y1) — точка пересечения прямой и окружности, точка B (x2,2a) точка пересечения прямой и верхней горизонтальной касательной к окружности. Затем строится точка кривой (x2,y1).

Английский математик Джон Колсон взял на себя труд переводить «Начала анализа» с итальянского. Однако для него, европейца XVIII века, было нелегко воспринять, что автор книги — женщина, и что для нее, для автора, кривая может ассоциироваться с прической. В результате в англоязычной литературе кривая получила название — witch of Agnesi — «ведьм а Аньези» из–за того, что Джон Кольсон не справился с переводом редкого итальянского слова «la versiera» .