Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах

Построить график в полярных координатах на плоскости

Данный калькулятор поможет построить график и кривые на плоскости в полярных координатах.
Полярная система координат — двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом.
Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым лучом, или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат, или полюсом.

Примеры уравнений кривых в полярных координатах:
R=2*(1-cos theta) — кардиоида;
R=2*sin(4*theta) — полярная роза;
R=2+sin(3* theta) — трохоида;
R=9/(4-5*cos theta) — гипербола.

Видео:Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.Скачать

Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.

Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах

Построим график функции в полярных координатах r=r(φ),
где 0 Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке): absolute(x) Абсолютное значение x
(модуль x или |x|) arccos(x) Функция — арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция — арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x exp(x) Функция — экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) sin(x) Функция — Синус от x cos(x) Функция — Косинус от x sinh(x) Функция — Синус гиперболический от x cosh(x) Функция — Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция — квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция — Квадрат x ctg(x) Функция — Котангенс от x arcctg(x) Функция — Арккотангенс от x arcctgh(x) Функция — Гиперболический арккотангенс от x tg(x) Функция — Тангенс от x tgh(x) Функция — Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция — кубический корень из x gamma(x) Гамма-функция LambertW(x) Функция Ламберта x! или factorial(x) Факториал от x

3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно

2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

Видео:Полярная система координатСкачать

Полярная система координат

4.6. Как построить линию в полярных координатах?

Собственно:

– Сначала нужно построить полярную систему координат: отметить полюс, изобразить полярную ось и указать масштаб. Впрочем, этот пункт можно выполнить позже.

– Определяем область определения функции – угловые секторы, в которых линия существует, и в которых нет. Тонко прочерчиваем соответствующие угловые направления (прямые и / или лучи, разграничивающие эти секторы). Лучше пунктиром.

– В большинстве случаев потребуется найти десяток-другой точек, принадлежащих линии. Но иногда можно обойтись меньшим количеством, а то и вовсе отделаться схематическим чертежом.

– На следующем шаге следует прочертить угловые направления точек (тонкие прямые) и отметить на них найденные точки. Как это сделать с помощью каменного топора транспортира, циркуля и линейки, я подробнейшим образом объяснил выше.

– И, наконец, отложенные точки нужно аккуратно-аккуратно соединить линией (линиями).

Отработаем алгоритм на более основательных типовых задачах:

Задача 120

Построить по точкам линию, заданную в полярной системе координат уравнением Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах, рассматривая значения угла с интервалом в Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатахрад. Найти уравнение линии в прямоугольной системе координат.

Решение: найдём область определения. Поскольку полярный радиус неотрицателен, то: Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах
Неравенство опять же удобно решить графически. Мысленно либо на черновике изобразите график косинуса (см. Приложение Тригонометрия) и прямой Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах. Что означает неравенство Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах? Оно означает, что нас устраивает та часть косинусоиды, которая не ниже прямой Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах. График косинуса полностью удовлетворяет этому условию, поэтому Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатахможет принимать любые значения, и нам предстоит «перепахать» весь круг от 0 до Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах, причём, по условию сделать это требуется строго с интервалом в Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатахрад. (22,5 градусов). Ложку в зубы, калькулятор в руки:
Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах
и так далее, пока не будет пройден весь оборот до «двух пи»…., но хочется ли вам сидеть с калькулятором… и ложкой? J Используйте Приложение Геометрический Калькулятор, который позволит буквально в пару щелчков вычислить все значения Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах!
Вычисления, как правило, не расписывают подробно, а сразу заносят их результаты в таблицу:
Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах

Изобразим на чертеже полярную систему координат и угловые направления – тонкие прямые, соответствующие вышеуказанным углам. Здесь можно опять воспользоваться Геометрическим Калькулятором, где все направления уже прочерчены, но вы должны быть готовы к самым суровым обстоятельствам 🙂

Если у вас под рукой нет ни программы, ни транспортира, ни даже линейки, то используйте мой handmade-продукт – выполните этот чертёж, ориентируясь по клеточкам:
Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах
(углы проставлены для удобства, и на чистовике их записывать не надо)
До сих пор бережно храню этот листок бумаги, чтобы лет через 10-20 продать его антикварном аукционе J

… Шутки шутками, а оперативная память моего первого компьютера ZX Spectrum составляла 32 килобайта. КИЛОбайта. При этом программисты умудрялись заталкивать туда аркадные игры с сотнями экранов и отличной графикой (по меркам 8-разрядных машин, конечно). …А ведь с той поры прошло немногим больше двух десятилетий.

После ностальгических воспоминаний отметим найденные точки на чертеже и аккуратно соединим их линией:
Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах

Напоминаю, что одинаковые значения радиуса эффективнее засекать циркулем,
а слишком малые значения для углов Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатахдопустимо отметить и «на глазок».

Данная кривая называется кардиоидой. Найдём её уравнение в декартовой системе координат. Для этого используем знакомый приём – домножим обе части уравнения Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатахна «эр»:
Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах

И по формулам перехода к прямоугольным координатам Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах, Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатахполучим:
Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах

Перенесём «икс» налево и возведём обе части в квадрат:
Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах

Дальнейшее возведение левой части в квадрат только усложнит запись, поэтому результат целесообразнее оставить в таком виде.
Из полученного уравнения следует, что кардиоида – это алгебраическая линия 4-го порядка, и обратите внимание, насколько сложной получилась её формула по сравнению с полярной системой координат. Алгебраическим линиям 3-го, 4-го, 5-го, 6-го и высших порядков посвящены серьёзные исследования, и желающие без труда могут отыскать море информации по данной теме. Хорошая тема для курсовика, кстати, или реферата. Ну а я, как обычно, предлагаю полезную и здоровую пищу на каждый день:

Задача 121

Линия задана уравнением Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатахв полярной системе координат. Треба:

1) построить линию по точкам, придавая Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатахзначения через интервал Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах, начиная
с Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатахи заканчивая Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах;

2) найти уравнение линии в декартовой системе координат;

3) определить вид кривой.

Типовая формулировка, предвещающая час (а то и больше) усердного пыхтения,
а нередко и чертыханья студента. Но только не того, кто прочитал эту книгу! Примерный образец оформления задачи в конце урока.

Рассмотрим ряд других важных особенностей решения:

Задача 122

Линия задана уравнением Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатахв полярной системе координат. Требуется:

1) построить линию по точкам, начиная от Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатахдо Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатахи придавая Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатахзначения через промежуток Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах;

2) найти уравнение данной линии в прямоугольной системе координат;

3) назвать линию, найти координаты фокусов и эксцентриситет.

Решение: 1) найдём область определения: Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах.
Заметьте, что ноль в знаменателе нас тоже не устраивает, и поэтому неравенство строгое. Перенесём косинус направо: Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатахи развернём избушку – к нам передом, а к лесу задом: Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах
Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах
Неравенство несложно решить аналитически, но для лучшего понимания я опять воспользуюсь графическим методом. Мысленно или на черновике изобразим графики Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах, при этом нас будет интересовать только один период – от Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатахдо Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах:

Условию Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатахудовлетворяет та часть синусоиды, которая расположена ПОД прямой Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах.

То есть, в нашем распоряжении оказываются почти все значения угла за исключением «макушки», расположенной на симметричном отрезке Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах.
Таким образом, Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах. Арккосинус Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатахсоставляет примерно Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах, поэтому из рассмотрения исключаем углы Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатахи Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах. Заполним расчётную таблицу с прочерками в соответствующих ячейках:
Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах

Изобразим полярную систему координат и лучи Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах, между которыми нет точек линии. Прочертим угловые направления найденных точек и с помощью циркуля сделаем засечки. Аккуратно соединим отмеченные точки линией (точки, соответствующие углам Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах, не вместились на чертёж):
Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах2) Найдём уравнение линии в прямоугольной системе координат. Судя по всему должна получиться гипербола. Избавляемся от дроби:
Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах

Используем формулы перехода Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах
Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах
и дальнейшее знакомо из задач с линиями второго порядка:
Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатахПостроить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах
Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах– искомое уравнение.

3) Данная линия представляется собой гиперболу с центром симметрии в точке Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах, действительной полуосью Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах, мнимой полуосью Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах.
Вы спрОсите: «но в полярной же системе координат прорисовалась только одна ветвь гиперболы, поэтому не ошибочно ли сейчас говорить о целой гиперболе?». Не ошибочно! И вот по какой причине: если подразумевать обобщённую полярную систему координат с отрицательными значениями «эр», то при значениях угла из интервала Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатахпрорисуется левая ветвь! Желающие могут провести самостоятельную проверку и анализ этого факта. Я не сторонник и даже противник обобщенных полярных координат, но в данном случае всё получается ловко и очень хитро – можно как бы и не оговариваться о том, что на чертеже только одна ветвь гиперболы.

Вычислим координаты фокусов и эксцентриситет. По условию уравнение не нужно приводить к каноническому виду, а значит, требуемые вещи проще найти напрямую – с учётом параллельного переноса гиперболы, к тому же, она не повёрнута.

Вычислим значение Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатахи поправкой на параллельный перенос в точку Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатахнайдём фокусы:
Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах

Эксцентриситет: Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах

Готово. Педантичные люди могут ещё записать развёрнутый ответ.

Заключительное задание для самостоятельного решения:

Задача 123

Линия задана уравнением Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатахв полярной системе координат. Требуется:

1) построить линию по точкам, начиная от Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатахдо Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатахи придавая Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатахзначения через промежуток Построить линию заданную уравнением p f фи в полярных координатах;

2) найти уравнение данной линии в прямоугольной системе координат и определить её вид;

3) привести уравнение к каноническому виду и выполнить чертёж в прямоугольной системе координат. Найти фокусы кривой и её эксцентриситет.

Внимательно проанализируйте, что и в каком порядке требуется выполнить по условию. Сам много раз «налетал» – краем глаза показалось одно, а нужно совсем другое. В образце решения приведение уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду выполнено строгим академическим способом.

Когда удобно использовать полярные координаты? Ну, конечно, когда мы имеем дело со всевозможными окружностям, дугами, кругами, эллипсами, спиралями и т.д. А причина простА – уравнения получаются простые.

На основе полярных координат плоскости базируются цилиндрические и сферические координаты пространства. В частности, угловые величины широко используются в воздушной навигации и астрономии. Действительно, представьте земной шар (а если строго, эллипсоид), эллиптические орбиты планет и вы поймёте, что «распиаренная» прямоугольная система координат как-то здесь совсем «не в тему».

💡 Видео

Построение кривой в полярной системе координатСкачать

Построение кривой в полярной системе координат

Площадь фигуры, заданной в полярной системе координатСкачать

Площадь фигуры, заданной в полярной системе координат

Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатах

Построение графика функции в полярных координатахСкачать

Построение графика функции в полярных координатах

Глаза гипножабы и площадь фигур в полярной системе координатСкачать

Глаза гипножабы и площадь фигур в полярной системе координат

Полярная система координатСкачать

Полярная система координат

Занятие 01. Часть 3. Полярная система координатСкачать

Занятие 01. Часть 3. Полярная система координат

Полярная система координат.Скачать

Полярная система координат.

Видеоурок "Полярная система координат"Скачать

Видеоурок "Полярная система координат"

Скорость и ускорение точки в полярных координатахСкачать

Скорость и ускорение точки в полярных координатах

Оператор Лапласа в полярных координатахСкачать

Оператор Лапласа в полярных координатах

§30 Уравнения кривых второго порядка в полярных координатахСкачать

§30 Уравнения кривых второго порядка в полярных координатах

Линии в полярных координатах и параметрически заданныеСкачать

Линии в полярных координатах и параметрически заданные

Лекция 22. Декартова система координат на плоскости и полярная система координатСкачать

Лекция 22. Декартова система координат на плоскости и полярная система координат

Способы задания функций. Неявная функция. Функция заданная параметрически и в полярных координатах.Скачать

Способы задания функций. Неявная функция. Функция заданная параметрически и в полярных координатах.

Овчинников А. В. - Аналитическая геометрия - Уравнения линий второго порядка в полярных координатахСкачать

Овчинников А. В. - Аналитическая геометрия - Уравнения линий второго порядка в полярных координатах

Площади 12Скачать

Площади 12

Двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Двойной интеграл в полярных координатах
Поделиться или сохранить к себе: