Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

Кривые второго порядка — определение и построение с примерами решения

Содержание:

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру — значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

  1. Если точка М(а,Ь) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,Ь) являются решениями уравнения Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат
  2. если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре Ф.

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координатназывается уравнением фигуры, если Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат, то есть (а, b) — решение уравнения F(x,y) = 0.

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат, т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

  1. дано уравнение Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координати надо построить фигуру Ф, уравнением которой является Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат;
  2. дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координати решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

  1. Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
  2. Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.

Видео:Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.Скачать

Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат, есть величина постоянная (большая, чем расстояние между Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат).

Точки Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координатназываются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а, имеем с b. В этом случае а называется большой полуосью, a b — малой.

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координаткоординаты которой задаются формулами Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координатбудет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

Число Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координатназывается эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координатхарактеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координатстановится более вытянутым

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат. Их длины Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координати Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координатзадаются формулами Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координатПрямые Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координатназываются директрисами эллипса. Директриса Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координатназывается левой, а Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат— правой. Так как для эллипса Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координати, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая — правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е. Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

Видео:Лекция 22. Декартова система координат на плоскости и полярная система координатСкачать

Лекция 22. Декартова система координат на плоскости и полярная система координат

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координатесть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат).

Точки Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координатназываются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координатобозначим через а. По условию, а 0) (рис. 9.7). Ось абсцисс проведём через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Пусть А — произвольная точка плоскости с координатами (х, у) и пусть Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат. Тогда точка А будет лежать на параболе, если r=d, где d- расстояние от точки А до директрисы. Фокус F имеет координаты Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат.

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

Тогда Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координатА расстояние Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координатПодставив в формулу r=d, будем иметьПостроить линии по их уравнениям в декартовой системе координат. Возведя обе части равенства в квадрат, получимПостроить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координатили

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координаттакже определяют параболы.

Легко показать, что уравнение Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат, определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координатО. Для этого выделим полный квадрат:

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

и сделаем параллельный перенос по формуламПостроить линии по их уравнениям в декартовой системе координатПостроить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

В новых координатах преобразуемое уравнение примет вид: Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координатгде р — положительное число, определяется равенством Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат.

Пример:

Пусть заданы точка F и прямая у =-1 (рис. 9.8). Множество точек Р(х, y) для которых расстояние |PF| равно расстояниюПостроить линии по их уравнениям в декартовой системе координат, называется параболой. Прямая у = -1 называется директрисой параболы, а точка F — фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки Р, удовлетворяющие условиюПостроить линии по их уравнениям в декартовой системе координат, запишем это равенство с помощью координат: Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат, или после упрощения Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат. Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

Видео:Построение кривой в полярной системе координатСкачать

Построение кривой в полярной системе координат

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координаткоторое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат— мень-

шей полуосью эллипса, 2а и 2b — соответственно большей и меньшей осями эллипса. Точки Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координатназывают вершинами эллипса, а Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат— его фокусами (рис. 12).

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его центром симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координати определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координати характеризует форму эллипса. Для окружности Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координатЧем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат— каноническое уравнение эллипса с центром в точке Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координатбольшей полуосью а=3 и меньшей полуосью Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

Найдем эксцентриситет эллипса:

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координата оси Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координатпараллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е. Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

В новой системе координат координаты Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координатвершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

Переходя к старым координатам, получим:

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

Построим график эллипса.

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координатЗадача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Видеоурок "Полярная система координат"Скачать

Видеоурок "Полярная система координат"

Кривые второго порядка

Видео:Математика 6 класс (Урок№79 - Декартова система координат на плоскости.)Скачать

Математика 6 класс (Урок№79 - Декартова система координат на плоскости.)

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

Видео:Полярная система координатСкачать

Полярная система координат

Кривая второго порядка — это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением:

Видео:Полярная система координатСкачать

Полярная система координат

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

Видео:Видеоурок "Преобразование координат"Скачать

Видеоурок "Преобразование координат"

Имеем дело с уравнением второй степени, в котором коэффициенты при старших членах — при вторых степенях одновременно не нули.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

или можно встретить следующую форму записи:

Видео:Полярная система координат.Скачать

Полярная система координат.

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

К кривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Покажем на примере определение значений коэффициентов.

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

Рассмотрим кривую второго порядка:

Видео:Занятие 01. Часть 3. Полярная система координатСкачать

Занятие 01. Часть 3. Полярная система координат

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

Вычислим определитель из коэффициентов:

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

Если Δ = 0, кривая второго порядка параболического типа,

если Δ > 0, кривая второго порядка эллиптического типа,

если Δ F1 и F2 — фокусы.

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

с — фокальное расстояние,

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

Каноническое уравнение эллипса с центром симметрии в начале координат:

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

2а — большая ось эллипса, 2b — малая ось эллипса.

а — большая полуось эллипса, b — малая полуось эллипса.

Если a = b, то имеем окружность с радиусов R = a = b:

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

Если центр эллипса находится не в начале координат, а в некоторой точке C(x0;y0), оси эллипса параллельны осям координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

Эксцентриситет — число, равное отношению фокального расстояния к большей полуоси:

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

Эксцентриситет характеризует отклонение эллипса от окружности, т.е. чем эксцентриситет больше, тем эллипс более сплющен, вытянут.

Гипербола — множество точек на плоскости для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F1 и F2 есть величина постоянная, меньшая расстояния между этими точками.

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

с — фокальное расстояние,

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием.

Каноническое уравнение гиперболы с центром симметрии в начале координат:

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

x — действительная ось, y — мнимая ось.

а — действительная полуось, b — мнимая полуось.

Если центр гиперболы находится в некоторой точке C(x0;y0), оси симметрии параллельны осям координат, то каноническое уравнение имеет вид:

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

Эксцентриситет гиперболы — число, равное отношению фокусного расстояния к действительной полуоси.

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

Чем эксцентриситет меньше, тем гипербола более вытянута, сплюшена вдоль оси Ох.

Директриса гиперболы — прямые, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящая от нее на расстоянии a/Ε.

f1 — правая директриса, f2 — левая директриса.

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

Порядок построения гиперболы :

1. Строим прямоугольник со сторонами 2a и 2b.

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

2. Провести асимптоты гиперболы — диагонали построенного прямоугольника.

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

3. Строим гиперболу с вершинами в точках А 1 (-а;0), А 2 (а;0).

Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координат
Построить линии по их уравнениям в декартовой системе координатПостроить линии по их уравнениям в декартовой системе координат

Парабола — множество точек на плоскости для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой f.

F — фокус параболы, f — директриса параболы.

Видео:Площадь фигуры, заданной в полярной системе координатСкачать

Площадь фигуры, заданной в полярной системе координат

Примеры решений: полярная система координат

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости на тему Кривые в полярной системе координат: табуляция функции, построение графика, переход к уравнению в декартовой системе координат т.п.

Основные этапы при работе с кривой, заданной в полярной системе координат, такие:

  • 1. Построить полярную систему координат (изобразить полюс, полярную ось и угловые направления). Обычно строят вспомогательные лучи через $pi/6$ или $pi/8$ радиан, для большинства кривых этих точек (получается от $0$ до $2pi$ помещается 12 или 16 значений) вполне достаточно.
  • 2. Табулируем кривую: берем последовательно все углы $phi$ (см. выше): $0$, $pi/8$, $pi/4$, $3pi/8$. и в каждой точке вычисляем значение $rho(phi)$. Заносим значения в таблицу.
  • 3. Берем начерченную в первом пункте полярную систему координат и наносим точки. На полярной оси отмеряем значние $rho(0)$, на луче $pi/8$ — $rho(pi/8)$ и так далее.
  • 4. Соединяем все точки плавной линией. Получается искомая кривая. Для проверки правильности можно построить дополнительно график с помощью онлайн-сервисов.
  • 5. Если требуется найти уравнение кривой в декартовой системе координат, подставляем подходящие формулы $rho=sqrt$, $x=rhocos phi$, $y=rhosin phi$ и преобразуем.

Более подробно — в примерах ниже. Удачного изучения!

Видео:Координаты на плоскости и в пространстве. Вебинар | МатематикаСкачать

Координаты на плоскости и в пространстве. Вебинар | Математика

Полярная система координат: решения онлайн

Задача 1. Построить следующие кривые в полярной системе координат: Лемниската Бернулли $rho^2=2cos 2phi$ (полюс помещен в точку О).

Задача 2. Построить по точкам кривую, заданную уравнением в полярной системе координат $rho=2sin 2phi$. Найти уравнение кривой в прямоугольной системе координат, начало которой совмещено с полюсом, а положительная полуось $Ox$ с полярной осью.

Задача 3. Дана линия своим уравнением в полярной системе координат $r=8 sin phi$. Требуется:
1) построить линию по точкам, давая $phi$ значения через $pi/6$, начиная с 0 до $2pi$.
2) Найти уравнение этой линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс с полярной осью.

Задача 4. Линия задана уравнением $r=18/(4+5cos phi)$ в полярной системе координат. Требуется:
Построить линию по точкам, начиная от 0 до $2pi$ и придавая $phi$ значения через промежуток $pi/8$.
Найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью.
Назвать линию, найти координаты фокусов и эксцентриситет.

📹 Видео

Декартова система координат на плоскостиСкачать

Декартова система координат на плоскости

Как построить точки в системе координат OXYZСкачать

Как построить точки в системе координат OXYZ

Прямоугольная система координат. Координатная плоскость. 6 класс.Скачать

Прямоугольная система координат. Координатная плоскость. 6 класс.

A.6.6 Переход между декартовой и другими системами координатСкачать

A.6.6 Переход между декартовой и другими системами координат

Глаза гипножабы и площадь фигур в полярной системе координатСкачать

Глаза гипножабы и площадь фигур в полярной системе координат

Прямоугольная система координат в пространстве. 11 класс.Скачать

Прямоугольная система координат в пространстве. 11 класс.

11 класс, 1 урок, Прямоугольная система координат в пространствеСкачать

11 класс, 1 урок, Прямоугольная система координат в пространстве
Поделиться или сохранить к себе: