Построение уравнения кривой по точками

Интерполяция данных: соединяем точки так, чтобы было красиво

Как построить график по n точкам? Самое простое — отметить их маркерами на координатной сетке. Однако для наглядности их хочется соединить, чтобы получить легко читаемую линию. Соединять точки проще всего отрезками прямых. Но график-ломаная читается довольно тяжело: взгляд цепляется за углы, а не скользит вдоль линии. Да и выглядят изломы не очень красиво. Получается, что кроме ломаных нужно уметь строить и кривые. Однако тут нужно быть осторожным, чтобы не получилось вот такого:
Построение уравнения кривой по точками

Немного матчасти

Восстановление промежуточных значений функции, которая в данном случае задана таблично в виде точек P1&nbsp. &nbspPn, называется интерполяцией. Есть множество способов интерполяции, но все они могут быть сведены к тому, что надо найти n&nbsp–&nbsp1 функцию для расчёта промежуточных точек на соответствующих сегментах. При этом заданные точки обязательно должны быть вычислимы через соответствующие функции. На основе этого и может быть построен график:
Построение уравнения кривой по точками

Функции fi могут быть самыми разными, но чаще всего используют полиномы некоторой степени. В этом случае итоговая интерполирующая функция (кусочно заданная на промежутках, ограниченных точками Pi) называется сплайном.

В разных инструментах для построения графиков — редакторах и библиотеках — задача «красивой интерполяции» решена по-разному. В конце статьи будет небольшой обзор существующих вариантов. Почему в конце? Чтобы после ряда приведённых выкладок и размышлений можно было поугадывать, кто из «серьёзных ребят» какие методы использует.

Ставим опыты

Самый простой пример — линейная интерполяция, в которой используются полиномы первой степени, а в итоге получается ломаная, соединяющая заданные точки.
Давайте добавим немного конкретики. Вот набор точек (взяты почти с потолка):

Результат линейной интерполяции этих точек выглядит так:
Построение уравнения кривой по точками

Однако, как отмечалось выше, иногда хочется получить в итоге гладкую кривую.

Что есть гладкость? Бытовой ответ: отсутствие острых углов. Математический: непрерывность производных. При этом в математике гладкость имеет порядок, равный номеру последней непрерывной производной, и область, на которой эта непрерывность сохраняется. То есть, если функция имеет гладкость порядка 1 на отрезке [a;&nbspb], это означает, что на [a;&nbspb] она имеет непрерывную первую производную, а вот вторая производная уже терпит разрыв в каких-то точках.
У сплайна в контексте гладкости есть понятие дефекта. Дефект сплайна — это разность между его степенью и его гладкостью. Степень сплайна — это максимальная степень использованных в нём полиномов.
Важно отметить, что «опасными» точками у сплайна (в которых может нарушиться гладкость) являются как раз Pi, то есть точки сочленения сегментов, в которых происходит переход от одного полинома к другому. Все остальные точки «безопасны», ведь у полинома на области его определения нет проблем с непрерывностью производных.
Чтобы добиться гладкой интерполяции, нужно повысить степень полиномов и подобрать их коэффициенты так, чтобы в граничных точках сохранялась непрерывность производных.

Традиционно для решения такой задачи используют полиномы третьей степени и добиваются непрерывности первой и второй производной. То, что получается, называют кубическим сплайном дефекта 1. Вот как он выглядит для наших данных:
Построение уравнения кривой по точками

Кривая, действительно, гладкая. Но если предположить, что это график некоторого процесса или явления, который нужно показать заинтересованному лицу, то такой метод, скорее всего, не подходит. Проблема в ложных экстремумах. Появились они из-за слишком сильного искривления, которое было призвано обеспечить гладкость интерполяционной функции. Но зрителю такое поведение совсем не кстати, ведь он оказывается обманут относительно пиковых значений функции. А ради наглядной визуализации этих значений, собственно, всё и затевалось.
Так что надо искать другие решения.

Другое традиционное решение, кроме кубических сплайнов дефекта 1 — полиномы Лагранжа. Это полиномы степени n&nbsp–&nbsp1, принимающие заданные значения в заданных точках. То есть членения на сегменты здесь не происходит, вся последовательность описывается одним полиномом.
Но вот что получается:
Построение уравнения кривой по точками

Гладкость, конечно, присутствует, но наглядность пострадала так сильно, что… пожалуй, стоит поискать другие методы. На некоторых наборах данных результат выходит нормальный, но в общем случае ошибка относительно линейной интерполяции (и, соответственно, ложные экстремумы) может получаться слишком большой — из-за того, что тут всего один полином на все сегменты.

В компьютерной графике очень широко применяются кривые Безье, представленные полиномами k-й степени.
Они не являются интерполирующими, так как из k&nbsp+&nbsp1 точек, участвующих в построении, итоговая кривая проходит лишь через первую и последнюю. Остальные k&nbsp–&nbsp1 точек играют роль своего рода «гравитационных центров», притягивающих к себе кривую.
Вот пример кубической кривой Безье:
Построение уравнения кривой по точками

Как это можно использовать для интерполяции? На основе этих кривых тоже можно построить сплайн. То есть на каждом сегменте сплайна будет своя кривая Безье k-й степени (кстати, k&nbsp=&nbsp1 даёт линейную интерполяцию). И вопрос только в том, какое k взять и как найти k&nbsp–&nbsp1 промежуточную точку.
Здесь бесконечно много вариантов (поскольку k ничем не ограничено), однако мы рассмотрим классический: k&nbsp=&nbsp3.
Чтобы итоговая кривая была гладкой, нужно добиться дефекта 1 для составляемого сплайна, то есть сохранения непрерывности первой и второй производных в точках сочленения сегментов (Pi), как это делается в классическом варианте кубического сплайна.
Решение этой задачи подробно (с исходным кодом) рассмотрено здесь.
Вот что получится на нашем тестовом наборе:
Построение уравнения кривой по точками

Стало лучше: ложные экстремумы всё ещё есть, но хотя бы не так сильно отличаются от реальных.

Думаем и экспериментируем

Можно попробовать ослабить условие гладкости: потребовать дефект 2, а не 1, то есть сохранить непрерывность одной только первой производной.
Достаточное условие достижения дефекта 2 в том, что промежуточные контрольные точки кубической кривой Безье, смежные с заданной точкой интерполируемой последовательности, лежат с этой точкой на одной прямой и на одинаковом расстоянии:
Построение уравнения кривой по точками

В качестве прямых, на которых лежат точки Ci&nbsp–&nbsp1 (2) , Pi и Ci (1) , целесообразно взять касательные к графику интерполируемой функции в точках Pi. Это гарантирует отсутствие ложных экстремумов, так как кривая Безье оказывается ограниченной ломаной, построенной на её контрольных точках (если эта ломаная не имеет самопересечений).

Методом проб и ошибок эвристика для расчёта расстояния от точки интерполируемой последовательности до промежуточной контрольной получилась такой:

Построение уравнения кривой по точками

Первая и последняя промежуточные контрольные точки равны первой и последней точке графика соответственно (точки C1 (1) и Cn&nbsp–&nbsp1 (2) совпадают с точками P1 и Pn соответственно).
В этом случае получается вот такая кривая:
Построение уравнения кривой по точками

Как видно, ложных экстремумов уже нет. Однако если сравнивать с линейной интерполяцией, местами ошибка очень большая. Можно сделать её ещё меньше, но тут в ход пойдут ещё более хитрые эвристики.

К текущему варианту мы пришли, уменьшив гладкость на один порядок. Можно сделать это ещё раз: пусть сплайн будет иметь дефект 3. По факту, тем самым формально функция не будет гладкой вообще: даже первая производная может терпеть разрывы. Но если рвать её аккуратно, визуально ничего страшного не произойдёт.
Отказываемся от требования равенства расстояний от точки Pi до точек Ci&nbsp–&nbsp1 (2) и Ci (1) , но при этом сохраняем их все лежащими на одной прямой:
Построение уравнения кривой по точками

Эвристика для вычисления расстояний будет такой:

Результат получается такой:
Построение уравнения кривой по точками

В результате на шестом сегменте ошибка уменьшилась, а на седьмом — увеличилась: кривизна у Безье на нём оказалась больше, чем хотелось бы. Исправить ситуацию можно, принудительно уменьшив кривизну и тем самым «прижав» Безье ближе к отрезку прямой, которая соединяет граничные точки сегмента. Для этого используется следующая эвристика:

Результат следующий:
Построение уравнения кривой по точками

На этом было принято решение признать цель достигнутой.
Может быть, кому-то пригодится код.

А как люди-то делают?

Обещанный обзор. Конечно, перед решением задачи мы посмотрели, кто чем может похвастаться, а уже потом начали разбираться, как сделать самим и по возможности лучше. Но вот как только сделали, не без удовольствия ещё раз прошлись по доступным инструментам и сравнили их результаты с плодами наших экспериментов. Итак, поехали.

MS Excel

Построение уравнения кривой по точками

Это очень похоже на рассмотренный выше сплайн дефекта 1, основанный на кривых Безье. Правда, в отличие от него в чистом виде, тут всего два ложных экстремума — первый и второй сегменты (у нас было четыре). Видимо, к классическому поиску промежуточных контрольных точек тут добавляются ещё какие-то эвристики. Но ото всех ложных экстремумов они не спасли.

LibreOffice Calc

Построение уравнения кривой по точками

В настройках это названо кубическим сплайном. Очевидно, он тоже основан на Безье, и вот тут уже точная копия нашего результата: все четыре ложных экстремума на месте.

Есть там ещё один тип интерполяции, который мы тут не рассматривали: B-сплайн. Но для нашей задачи он явно не подходит, так как даёт вот такой результат 🙂
Построение уравнения кривой по точками

Highcharts, одна из самых популярных JS-библиотек для построения диаграмм

Построение уравнения кривой по точками

Тут налицо «метод касательных» в варианте равенства расстояний от точки интерполируемой последовательности до промежуточных контрольных. Ложных экстремумов нет, зато есть сравнительно большая ошибка относительно линейной интерполяции (седьмой сегмент).

amCharts, ещё одна популярная JS-библиотека

Построение уравнения кривой по точками

Картина очень похожа на экселевскую, те же два ложных экстремума в тех же местах.

Coreplot, самая популярная библиотека построения графиков для iOS и OS X

Построение уравнения кривой по точками

Есть ложные экстремумы и видно, что используется сплайн дефекта 1 на основе Безье.
Библиотека открытая, так что можно посмотреть в код и убедиться в этом.

aChartEngine, вроде как самая популярная библиотека построения графиков для Android

Построение уравнения кривой по точками

Больше всего похоже на кривую Безье степени n&nbsp–&nbsp1, хотя в самой библиотеке график называется «cubic line». Странно! Как бы то ни было, тут не только присутствуют ложные экстремумы, но и в принципе не выполняются условия интерполяции.

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Кривые второго порядка — определение и построение с примерами решения

Содержание:

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру — значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде Построение уравнения кривой по точками

  1. Если точка М(а,Ь) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,Ь) являются решениями уравнения Построение уравнения кривой по точками
  2. если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре Ф.

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение Построение уравнения кривой по точкаминазывается уравнением фигуры, если Построение уравнения кривой по точками, то есть (а, b) — решение уравнения F(x,y) = 0.

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения Построение уравнения кривой по точками, т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

  1. дано уравнение Построение уравнения кривой по точкамии надо построить фигуру Ф, уравнением которой является Построение уравнения кривой по точками;
  2. дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения Построение уравнения кривой по точкамии решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

  1. Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
  2. Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек Построение уравнения кривой по точками, есть величина постоянная (большая, чем расстояние между Построение уравнения кривой по точками).

Точки Построение уравнения кривой по точкаминазываются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а, имеем с b. В этом случае а называется большой полуосью, a b — малой.

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

Построение уравнения кривой по точками(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку Построение уравнения кривой по точкамикоординаты которой задаются формулами Построение уравнения кривой по точкамибудет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением Построение уравнения кривой по точками

Число Построение уравнения кривой по точкаминазывается эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет Построение уравнения кривой по точкамихарактеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении Построение уравнения кривой по точкамистановится более вытянутым

Построение уравнения кривой по точками

Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами Построение уравнения кривой по точками. Их длины Построение уравнения кривой по точкамии Построение уравнения кривой по точкамизадаются формулами Построение уравнения кривой по точкамиПрямые Построение уравнения кривой по точкаминазываются директрисами эллипса. Директриса Построение уравнения кривой по точкаминазывается левой, а Построение уравнения кривой по точками— правой. Так как для эллипса Построение уравнения кривой по точкамии, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая — правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е. Построение уравнения кривой по точками

Видео:Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.Скачать

Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек Построение уравнения кривой по точкамиесть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между Построение уравнения кривой по точками).

Точки Построение уравнения кривой по точкаминазываются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов Построение уравнения кривой по точкамиобозначим через а. По условию, а 0) (рис. 9.7). Ось абсцисс проведём через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Пусть А — произвольная точка плоскости с координатами (х, у) и пусть Построение уравнения кривой по точками. Тогда точка А будет лежать на параболе, если r=d, где d- расстояние от точки А до директрисы. Фокус F имеет координаты Построение уравнения кривой по точками.

Построение уравнения кривой по точками

Тогда Построение уравнения кривой по точкамиА расстояние Построение уравнения кривой по точкамиПодставив в формулу r=d, будем иметьПостроение уравнения кривой по точками. Возведя обе части равенства в квадрат, получимПостроение уравнения кривой по точками

Построение уравнения кривой по точкамиили

Построение уравнения кривой по точками(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения Построение уравнения кривой по точкамитакже определяют параболы.

Легко показать, что уравнение Построение уравнения кривой по точками, определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а Построение уравнения кривой по точкамиО. Для этого выделим полный квадрат:

Построение уравнения кривой по точками

и сделаем параллельный перенос по формуламПостроение уравнения кривой по точкамиПостроение уравнения кривой по точками

В новых координатах преобразуемое уравнение примет вид: Построение уравнения кривой по точкамигде р — положительное число, определяется равенством Построение уравнения кривой по точками.

Пример:

Пусть заданы точка F и прямая у =-1 (рис. 9.8). Множество точек Р(х, y) для которых расстояние |PF| равно расстояниюПостроение уравнения кривой по точками, называется параболой. Прямая у = -1 называется директрисой параболы, а точка F — фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки Р, удовлетворяющие условиюПостроение уравнения кривой по точками, запишем это равенство с помощью координат: Построение уравнения кривой по точками Построение уравнения кривой по точками, или после упрощения Построение уравнения кривой по точками. Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).

Построение уравнения кривой по точками

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

Построение уравнения кривой по точками

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю Построение уравнения кривой по точками

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

Построение уравнения кривой по точкамикоторое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число Построение уравнения кривой по точками— мень-

шей полуосью эллипса, 2а и 2b — соответственно большей и меньшей осями эллипса. Точки Построение уравнения кривой по точкаминазывают вершинами эллипса, а Построение уравнения кривой по точками— его фокусами (рис. 12).

Построение уравнения кривой по точками

Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его центром симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид Построение уравнения кривой по точкамии определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Построение уравнения кривой по точками

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы Построение уравнения кривой по точкамии характеризует форму эллипса. Для окружности Построение уравнения кривой по точкамиЧем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

Построение уравнения кривой по точками

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

Построение уравнения кривой по точками

Построение уравнения кривой по точками— каноническое уравнение эллипса с центром в точке Построение уравнения кривой по точкамибольшей полуосью а=3 и меньшей полуосью Построение уравнения кривой по точками

Найдем эксцентриситет эллипса:

Построение уравнения кривой по точками

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке Построение уравнения кривой по точкамиа оси Построение уравнения кривой по точкамипараллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е. Построение уравнения кривой по точками

В новой системе координат координаты Построение уравнения кривой по точкамивершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Построение уравнения кривой по точками

Переходя к старым координатам, получим:

Построение уравнения кривой по точками

Построим график эллипса.

Построение уравнения кривой по точкамиЗадача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Математика без Ху!ни. Нахождение асимптот, построение графика функции.Скачать

Математика без Ху!ни. Нахождение асимптот, построение графика функции.

Кривые второго порядка

Видео:Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.Скачать

Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.

Построение уравнения кривой по точками

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Кривая второго порядка — это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением:

Видео:Уравнения касательной и нормали к кривой, заданной в неявном видеСкачать

Уравнения касательной и нормали к кривой, заданной в неявном виде

Построение уравнения кривой по точками

Видео:Математический анализ, 14 урок, Выпуклость и вогнутость функцииСкачать

Математический анализ, 14 урок, Выпуклость и вогнутость функции

Имеем дело с уравнением второй степени, в котором коэффициенты при старших членах — при вторых степенях одновременно не нули.

Видео:§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому виду

Построение уравнения кривой по точками

или можно встретить следующую форму записи:

Видео:11. Прямая в пространстве и ее уравненияСкачать

11. Прямая в пространстве и ее уравнения

Построение уравнения кривой по точками

К кривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Покажем на примере определение значений коэффициентов.

Построение уравнения кривой по точками

Рассмотрим кривую второго порядка:

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности (1)

Построение уравнения кривой по точками

Вычислим определитель из коэффициентов:

Построение уравнения кривой по точками

Если Δ = 0, кривая второго порядка параболического типа,

если Δ > 0, кривая второго порядка эллиптического типа,

если Δ F1 и F2 — фокусы.

Построение уравнения кривой по точками

с — фокальное расстояние,

Построение уравнения кривой по точками

Каноническое уравнение эллипса с центром симметрии в начале координат:

Построение уравнения кривой по точками

2а — большая ось эллипса, 2b — малая ось эллипса.

а — большая полуось эллипса, b — малая полуось эллипса.

Если a = b, то имеем окружность с радиусов R = a = b:

Построение уравнения кривой по точками

Если центр эллипса находится не в начале координат, а в некоторой точке C(x0;y0), оси эллипса параллельны осям координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Построение уравнения кривой по точками

Эксцентриситет — число, равное отношению фокального расстояния к большей полуоси:

Построение уравнения кривой по точками

Эксцентриситет характеризует отклонение эллипса от окружности, т.е. чем эксцентриситет больше, тем эллипс более сплющен, вытянут.

Гипербола — множество точек на плоскости для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F1 и F2 есть величина постоянная, меньшая расстояния между этими точками.

Построение уравнения кривой по точками

Построение уравнения кривой по точками

с — фокальное расстояние,

Построение уравнения кривой по точками

Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием.

Каноническое уравнение гиперболы с центром симметрии в начале координат:

Построение уравнения кривой по точками

x — действительная ось, y — мнимая ось.

а — действительная полуось, b — мнимая полуось.

Если центр гиперболы находится в некоторой точке C(x0;y0), оси симметрии параллельны осям координат, то каноническое уравнение имеет вид:

Построение уравнения кривой по точками

Эксцентриситет гиперболы — число, равное отношению фокусного расстояния к действительной полуоси.

Построение уравнения кривой по точками

Чем эксцентриситет меньше, тем гипербола более вытянута, сплюшена вдоль оси Ох.

Директриса гиперболы — прямые, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящая от нее на расстоянии a/Ε.

f1 — правая директриса, f2 — левая директриса.

Построение уравнения кривой по точками

Порядок построения гиперболы :

1. Строим прямоугольник со сторонами 2a и 2b.

Построение уравнения кривой по точками

2. Провести асимптоты гиперболы — диагонали построенного прямоугольника.

Построение уравнения кривой по точками

3. Строим гиперболу с вершинами в точках А 1 (-а;0), А 2 (а;0).

Построение уравнения кривой по точками
Построение уравнения кривой по точкамиПостроение уравнения кривой по точками

Парабола — множество точек на плоскости для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой f.

F — фокус параболы, f — директриса параболы.

📹 Видео

Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.

Математика без Ху!ни. Непрерывность функции, точки разрыва.Скачать

Математика без Ху!ни. Непрерывность функции, точки разрыва.

Видеоурок "Гипербола"Скачать

Видеоурок "Гипербола"

Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | Математика

Полярная система координатСкачать

Полярная система координат

Построение кривой в полярной системе координатСкачать

Построение кривой в полярной системе координат

Кривые, заданные параметрическиСкачать

Кривые, заданные параметрически

Кривые второго порядкаСкачать

Кривые второго порядка
Поделиться или сохранить к себе: