Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка

Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах…
Часть II. Глава IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Видео:Задача Коши для дифференциальных уравненийСкачать

Задача Коши для дифференциальных уравнений

§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

1. Основные понятия. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Например:

1) х²у’ + 5xy = у² – обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка;

2) Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка – обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка;

3) y’³ + y»y»’ = х – обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка;

4) F (х, у, у’, у») = 0 – общий вид обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка;

5) Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка – уравнение в частных производных первого порядка.

В этом параграфе рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, т. е. уравнения вида F (х, у, у’) = 0 или (в разрешенном относительно у’ виде) y’ = f(х, у).

Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция у = φ (x), которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка у’ = f(x, у) в области D называется функция у = φ(x, C), обладающая следующими свойствами: 1) она является решением данного уравнения при любых значениях произвольной постоянной С, принадлежащих некоторому множеству; 2) для любого начального условия у(х0) = у0 такого, что (x0; y0) ∈ 0, существует единственное значение С = С0, при котором решение у = φ(x, C0) удовлетворяет заданному начальному условию.

Всякое решение у = φ(x, C0), получающееся из общего решения у = φ (x, C) при конкретном значении С = С0, называется частным решением.

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y’ = f(х, у) удовлетворяющее начальному условию у(х0) = y0, называется задачей Коши.

Построенный на плоскости хОу график всякого решения у = φ(х) дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Таким образом, общему решению у = φ(х, С) на плоскости хОу соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра – произвольной постоянной С, а частному решению, удовлетворяющему начальному условию y(x0) = y0, – кривая этого семейства, проходящая через заданную точку М0(x0; у0).

Если функция f(х, у) непрерывна и имеет непрерывную производную Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка в области D, то решение дифференциального уравнения у’= f (х, у) при начальном условии у(х0) = у0 существует и единственно, т. е. через точку (x0; y0) проходит единственная интегральная кривая данного уравнения (теорема Коши).

Особым решением называется такое решение, во всех точках которого условие единственности не выполняется, т. е. в любой окрестности каждой точки (х; у) особого решения существуют по крайней мере две интегральные кривые, проходящие через эту точку.

Особые решения не получаются из общего решения дифференциального управления ни при каких значениях произвольной постоянной С (в том числе и при С = ± ∞).

Особым решением является огибающая семейства интегральных кривых (если она существует), т. е. линия, которая в каждой своей точке касается по меньшей мере одной интегральной кривой.

Например, общее решение уравнения Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка записывается в виде у = sin (х + С). Это семейство интегральных кривых имеет две огибающие: у = 1 и у = -1, которые и будут особыми решениями.

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида

относится к типу уравнений с разделяющимися переменными. Если ни одна из функций f1(x), f2(y), φ1(x), φ2(y) не равна тождественно нулю, то в результате деления исходного уравнения на f2 (x) φ1 (y) оно приводится к виду

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка

Почленное интегрирование последнего уравнения приводит к соотношению

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка

которое и определяет (в неявной форме) решение исходного уравнения. (Решение дифференциального уравнения, выраженное в неявной форме, называют интегралом этого уравнения.)

507. Решить уравнение х(у²-4)dx + y dy = 0.

△ Разделив обе части уравнения на у² – 4 ≠ 0, имеем

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка

x² + ln|у² – 4| = ln|C|, или у² – 4 = Сe -λ²

Это общее решение данного дифференциального уравнения.

Пусть теперь у² – 4 = 0, т. е. у = ± 2. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что у = ±2 – решение исходного уравнения. Но оно не будет особым решением, так как его можно получить из общего решения при С = 0. ▲

508. Найти частный интеграл уравнения у’ cos х = у / ln у, удовлетворяющий начальному условию y(0) = l.

△ Полагая Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка, перепишем данное уравнение в виде

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка

Проинтегрируем обе части уравнения:

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка, или Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка

Используя начальное условие у = 1 при х = 0, находим С = 0. Окончательно получаем

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка

509. Найти общий интеграл уравнения у’ = tg x tg y.

△ Полагая Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка и разделяя переменные, приходим к уравнению ctg у dy = tg х dx. Интегрируя, имеем

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка, или ln|sin у| = -ln|cos x| + ln С.

Отсюда находим sin y = C/cos x, или sin y / cos x = С (общий интеграл). ▲

510. Найти частное решение дифференциального уравнения (l + x²)dy + y dx = 0 при начальном условии у(1) = 1.

△ Преобразуем данное уравнение к виду Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка. Интегрируя, получим

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка, или ln |y| = – arctg x + С

Это и есть общий интеграл данного уравнения.

Теперь, используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С; имеем ln 1 = — arctg 1 + С, т. е. С = π/4. Следовательно,

ln у = – arctg х + π/4,

откуда получаем искомое частное решение y = e π/4 – arctg x . ▲

Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах… Ч. II. Стр. 117-119.

Видео:Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения первого порядка. Постановка задачи Коши.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка.

Общий вид уравнения первого порядка

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка

Если это уравнение разрешить относительно Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка, то есть

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка(12)

то уравнение называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

Определение 4.Общим решением дифференциального уравнения (12) называется дифференцируемая функция

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка(13)

которая зависит от одной произвольной постоянной С и обращает это уравнение в тождество.

Определение 5. Частным решением уравнения (12) называется решение, получаемое из общего решения (13) при каком-либо определенном значении произвольной постоянной С.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка в симметричной относительно x и y форме:

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка(14)

При некоторых условиях уравнение (3) эквивалентно, по крайней мере, одному из дифференциальных уравнений вида:

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядкаопределяет в каждой точке (x,y), где существует функция f(x,y), значение Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядкато есть угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в этой точке. Таким образом, дифференциальное уравнение (12) определяет поле направлений.

Задачи интегрирования дифференциального уравнения заключаются в том, чтобы найти интегральные кривые, направления касательных к которым в каждой точке совпадают с направлением поля. Для построения интегральных кривых используют метод изоклин.

Определение 6. Изоклиной называется геометрическое место точек, в которых касательные к искомым интегральным кривым сохраняют постоянное направление.

Семейство изоклин дифференциального уравнения (12) определяется уравнением

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка, (15)

Постановка задачи Коши.

Задача о нахождении частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего некоторым дополнительным условиям, часто встречается в приложениях. Если эти условия относятся к одному и тому же значению аргумента искомой функции, то их называют начальными. В том случае, когда начальные условия для дифференциального уравнения состоят в задании фиксированных значений функции и ее производных, их называют условиями Коши, а задачу – задачей Коши.

Задачей Коши для дифференциального уравнения (12) называют задачу нахождения решения Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядкауравнения Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядкаудовлетворяющего начальному условию Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка(где Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка— заданные числа, называемые начальными значениями или данными).

Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, проходящая через заданную точку Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядкаплоскости XOY.

Теорема. (о существовании и единственности решений задачи Коши.)

Пусть функция Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядкаи ее производные определены и непрерывны на открытом множестве Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка. Тогда в некоторой окрестности Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядкаточки Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядкасуществует непрерывное решение Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядказадачи Коши:

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка

Замечание. Это решение единственно, т.е. если Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка— два непрерывных решения задачи Коши, то Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядкадля всех значений, при которых эти решения определены.

Как известно, общее решение уравнения (12) задается следующим равенством

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка(16)

Чтобы выделить частное решение уравнения (12), достаточно знать значение первообразной Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядкав какой – либо точке. Пусть, например, Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядкаТогда из соотношения (16) имеем Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядкаили Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка, т. е. решение единственно и равно

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка(17)

Уравнение (17) называется частным решением задачи Коши.

Пример 3. Решить задачу Коши.

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка

Решение. Согласно формуле (17) частное решение имеет вид

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка

Классы дифференциальных уравнений, интегрируемых в квадратурах.

Определение 7. Дифференциальное уравнение первого порядка называется интегрируемым в квадратурах (или просто интегрируемым), если его общее решение может быть получено с помощью конечного числа алгебраических операций и квадратур.

Рассмотрим уравнение (14).

Определение 8. Уравнение (14) называется точным уравнением или уравнением в полных дифференциалах, если существует дифференцируемая функция Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка, для которой левая часть уравнения (14) является полным дифференциалом, т.е.

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка

Пример 4. Для уравнения Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядкаобщий интеграл записывается в виде Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка(это легко проверить непосредственным дифференцированием). Очевидно, что интегральные линии, определяемые общим интегралом, являются концентрическими окружностями с центром в начале координат.

Теорема. Пусть функции Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядкаи Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядканепрерывно дифференцируемы на открытом множестве D. Для того чтобы уравнение (14) было точным необходимо, чтобы выполнялось условие

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка(18)

Доказательство. Пусть уравнение (14) является точным. Тогда из определения точного уравнения и понятия полного дифференциала вытекает, что

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка(19)

Дифференцируя первое равенство по y, а второе – по x, имеем

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка.

Так как смешанные производные непрерывны, то они равны и, значит, справедливо условие (18). Что и требовалось доказать.

Пусть D – односвязная область. Покажем, что в этом случае условие (18) является достаточным. Проинтегрируем первое из равенств (19) по x, считая y постоянным:

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка, (20)

где Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка— постоянная интегрирования, зависящая от y, а Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка— абсцисса любой точки из области единственности D. Подберем функцию Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядкатак, чтобы выполнялось второе из равенств (19). Для этого продифференцируем равенство (20) по y, считая x постоянным:

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка

Откуда получим Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка

Следовательно, Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядкат.е.

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка(21)

где Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка— ордината произвольной точки из области единственности D, а произвольную постоянную считаем равной нулю. Из соотношений (20) и (21) получим

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка

Итак, если в области D, не содержащей особых точек уравнения (12), выполнено условие (18), то общий интеграл уравнения выражается формулой

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка(22)

где C – произвольная постоянная.

Пример 5. Решить уравнение Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка.

Решение. Обозначим Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядкаи проверим выполнение условия (18): Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядкат.е. Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядкаЭто уравнение в полных дифференциалах и его общий интеграл имеет вид (22), где Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка— любая точка из области Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка. Положим, например, Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка, тогда

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка.

Интегрируя, находим Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядкаОбозначив через Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядкаполучим общий интеграл исходного уравнения.

Интегрирующий множитель.

В том случае, когда условие (18) не выполняется, уравнение (14) не является уравнением в полных дифференциалах. Однако его можно проинтегрировать, если найти такую функцию Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка, при умножении на которую всех членов уравнения оно становится точным:

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка(23)

Такая функция называется интегрирующим множителем уравнения (14). Общее решение уравнения (23) совпадает с общим решением уравнения (14).

Докажем, что для всякого уравнения (14), где M и N – непрерывно дифференцируемые функции, существует интегрирующий множитель. Пусть уравнение (14) не является точным. В силу теоремы существования и единственности решения, оно имеет общее решение в неявном виде. Дифференцируя это равенство по x, получим Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядкаТак как из уравнения (14) следует Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка, то Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка. Обозначим через Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядкаобщую величину этих двух равных отношений; тогда

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка(24)

Поскольку Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядкаесть общий интеграл уравнения (14), имеем Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядкаОтсюда с учетом соотношения (24) получим уравнение вида (23), которое является точным. Следовательно, Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка— интегрирующий множитель уравнения.

Пример 6. Решить уравнение Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка.

Решение. Проверим выполнение условия (18):

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка, следовательно, это не уравнение в полных дифференциалах. Составим отношение

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка

Найдем интегрирующий множитель

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка

Тогда соответствующее точное уравнение будет иметь вид:

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка

Область единственности этого уравнения есть Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядкаПусть Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка. Находим общий интеграл

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка

откуда, интегрируя, получим Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка

Видео:Пример 65. Решить задачу Коши (диффуры)Скачать

Пример 65. Решить задачу Коши (диффуры)

Задача Коши — методы и примеры решения дифференциальных уравнений

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка

Видео:Задача Коши ДУ I п. 1. Caushy`s ProblemСкачать

Задача Коши ДУ I п. 1.  Caushy`s Problem

Принцип и понятие

Под задачей Коши для дифференциального уравнения понимают выражение вида: y’ = f (x, y) с начальным условием, соответствующим равенству: y (x0) = y0. По сути, это обозначает, что необходимо найти такое решение уравнения, которое проходит через заданную точку игрек и икс нулевое. Решением задачи называется функция, заданная на указанном интервале в окрестности точки икс нулевое, то есть: x Є (x0 — q, x0 + q).

Для проведения анализа функции должны выполняться следующие критерии:

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка

Следует отметить, что решение Коши включает в себя и сам интервал икс нулевое плюс минус кью, фактически q-окрестность. Это обозначает, что одна и та же функция, задаваемая одной формулой, но рассматриваемая на разных интервалах, представляет два разных нахождения задачи Коши. Отсюда возникает вопрос, при каких же ответах существует решение Коши, а также когда оно будет единственным.

Существует теорема, гарантирующая единственность какого-то решения задачи. На самом деле возможность аналитического подхода Коши требует лишь главного условия, при котором функция f будет непрерывной в какой-то окрестности точки x0, y0. Но для доказательства единственности этого недостаточно. Для нормального случая необходимо следующее:

  1. Функция f (x, y) непрерывна в некоторой окрестности точки (x0, y0).
  2. Существует такая константа C, что для любых точек икс и игрек выполняется неравенство: |f (x, y) — f (x2, y2)| ⩽ C |y1 — y2|.

По игреку функция должна иметь обыкновенный рост, то есть не убыстряющийся (локальный подъём не превышать линейный). Если эти два условия выполняются, то решение Коши существует и оно будет единственным. Это значит, что тогда у точки икс нулевое найдётся такая окрестность, в которой существует решение и к тому же оно будет единственным.

А это обозначает, что любая другая функция в этой окрестности, удовлетворяющая уравнениям начальных условий, совпадает с той, существование которой утверждается. При этом на практике проверка условия на самом деле вещь не очень сложная, особенно если функция f (y) имеет в окрестности ограниченную производную.

Видео:Видеоурок "Дифференциальные уравнения. Задача Коши"Скачать

Видеоурок "Дифференциальные уравнения. Задача Коши"

Алгоритм нахождения

Пусть имеется функция у’ = 2 * √ |y| и условие что y (0) = 0. Необходимо её исследовать. Тут можно заметить, что в этом случае функция зависит только от игрека и условию не удовлетворяет. В окрестностях точки с координатами (0, 0) она не удовлетворяет условию, так как любая окрестность захватывает ноль, а у корня квадратного по игреку будет бесконечная производная.

Это приводит не к единственности получения результатов. Так, у уравнения есть два решения: y1 тождественный нулю; y2 равняется x2. Согласно условию, игрек стоит по модулю, точнее, можно сказать, что для отрицательных значений икс будет меньше ноля, а положительных — больше.

Главный же вопрос заключается в продолжаемости анализа. Доказывается возможность простым построением решения с использованием специальных условий. В итоге должна быть найдена окрестность в точке x0. То есть берётся уравнение и точка с начальными координатами, затем выясняется, что в окрестности выполнены условия теоремы и строится решение.

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка

Затем исследуется другая точка и изучается структура её окрестности. Например, обнаруживается, что условия существования единственности выполняются. Согласно теореме, тогда можно будет строить решение, где в качестве начальной точки будет взята любая координата. Другими словами, получается более широкое решение. Поэтому возникает вопрос, насколько можно приблизить точность ответа. Практические примеры показывают, что иногда можно двигаться до бесконечности, а в некоторых случаях сделать не более трёх шагов.

Если есть два уравнения y’ = f (x, y); y (x0) = y0 имеющие два решения: y1 (x), x Є I1 (эX), y2 (x), x єI2 (єX0). Тогда можно утверждать, что игрек два будет продолжением решения y1 (x) если в I2 входит I1, а y2 (x) равняется y1 (x) для любого икс из интервала I1. Следует учесть, что в этом определении в качестве областей функции всегда рассматривается интервал.

В изучении исследуются и матричные функциональные системы, состоящие из нескольких переменных A (z 1, z 2, …, zn). При этом z являются вещественными, а элементы матрицы могут быть как вещественными, так и комплексными. Исходя из этого даётся определение того, что функция, описываемая матрицей, непрерывна тогда, когда все элементы непрерывны в точке или на некотором множестве.

При определении используют численные и векторные функции от аргумента: y = (x), где y — это столбец от набора игреков, а икс со штрихом — от набора иксов. Таким образом, обобщённым решением будет такое действие, которое не будет иметь нетривиального продолжения, то есть вторые интервалы содержать первые.

Видео:Лукьяненко Д. В. - Дифференциальные уравнения - Лекция 2Скачать

Лукьяненко Д. В. - Дифференциальные уравнения - Лекция 2

Примеры задач

На практических занятиях по высшей математике студентам предлагается для понимания курса выполнить ряд практических заданий. Существует типовой набор задач, научившись решать которые учащийся досконально разберётся в теме. Вот некоторые из них.

Первый пример. Имеется уравнение y’ = (2y / x lnx) + 1/x, для которого установлено начальное условие y (e) = 0. Необходимо найти решение, проходящее через точку e. Перед тем как приступить непосредственно к решению, необходимо отметить, что функция f (x, y) определённа всюду, за исключением прямых x = 0 и x = 1. Отсюда следует, что краевое решение не может быть вычислено на интервале от нуля до единицы.

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка

В этом примере должен содержаться интервал, имеющий координату точки e по иксу. Он не может включать значения меньше единицы, так как необходимо, чтобы выполнялось заданное условием уравнение, которое в точке x = 1 теряет смысл, ведь в ней функция неопределённа. Установив это, можно переходить к анализу уравнения.

Заданное равенство является линейным — неоднородным уравнением первого порядка. Для решения нужно сначала рассмотреть левое соотношение: y’ = 2y / x * lnx. Добавив константу, уравнение можно переписать как y = c * e. Теперь необходимо взять интеграл исходя из первообразной формулы: ∫ 2 dx / (x *lnx).

После того как будет найдена постоянная, через общий интегральный метод с учётом условия определения функции, уравнение в окрестности точки e будет иметь решение вида: y = ln2x — lnx. Из полученного выражения можно сделать вывод, что функция будет определена для всех положительных иксов, но рассматривать её необходимо от единицы до плюс бесконечности. Это и будет максимальное непродолжаемое решение задачи: xЄ (1, + ∞).

Второй пример. Пусть имеется функция y’ = y / (1+x 2 ) с начальным условием: y = y (0). В задании нужно будет рассмотреть дифференциальную кривую уравнения, проходящего через точку y0. Нужно заметить, что функция f (x, y) в любой ограниченной области двумерной плоскости удовлетворяет условию регулярности для теоремы существования единственности. В задаче спрашивается, каким должен быть y0, если предел максимального решения при иксе, стремящемся к плюс бесконечности, равняется единице.

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка

Учитывая, что в этой постановке заложено, чтобы решение было определённо до плюс бесконечности и то, что уравнение является однородно линейным, по общей формуле особое решение будет иметь вид: y = c * e arctgx . Игрек нулевое не может равняться нулю, ведь в ином случае решением уравнения будет тождественный ноль и заданное условие выполняться не будет. В итоге получится, что y = y0 * e arctgx . Это решение и является подходящей функцией для любого интервала.

Видео:Решить задачу КошиСкачать

Решить задачу Коши

Операционный метод

Решение задачи Коши (примеров) целесообразно выполнять экономичным методом интегрирования линейных выражений, содержащих постоянные коэффициенты. Суть способа сводится к решению алгебраических равенств или неравенств. Алгоритм исследования заключается в следующих действиях:

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка

  1. Функции Y (p) и F (p) обозначают как изображения для y (x) и f (x).
  2. Используя главные преобразования Лапласа, обрабатывая изображения, получают (pn (Yp) — p n -1 y 0 — …- yn -1) + a 1 (p n -1 y (p) — p n -2 y 0 — … — yn -2) + … + anY (p) = F (p) или, A (p)Y (p)+B (p) = F (p), причём A (p) и B (p) являются многочленами.
  3. Найденное решение y (p) = (F (p) — B (p)) / A (p) и будет искомым y (x) для искомого y (p).

Например, пусть необходимо решить уравнение вида: x» + 4x = sin (2t), при x (0) = 1, x'(0) = -2. Классическим методом находить ответ довольно трудоёмко, поэтому имеет смысл для заданного уравнения использовать операционное исчисление. Для начала следует ввести замену Lx = x. Затем к обеим частям равенства применить преобразование Лапласа: Lx » + L 4 x = L * sin (2 t). Отсюда: Lx = x, Lx » = p 2 x — px (0) — x'(0). Функция Лапласа используется для преобразования вещественной переменной в выражение с комплексной переменной и наоборот. Это и позволяет использовать её при решениях дифференциальных уравнений и систем.

На следующем этапе нужно подставить исходные данные в равенство: Lx» = p 2 x — p + 2. Далее, следует выполнить преобразование и выразить неизвестную функцию. В итоге должно получиться выражение: X = (p 3 — 2 p 2 — 4 p — 6) / (p 2 + 4) 2 . Теперь можно найти оригинал изображений: x = L-1 = cos (2t) — sin (2t) + (sin (2t) — 2tcos (2t))/8.

Видео:Дифференциальные уравнения | уравнения первого порядка | задача Коши | конкретные примеры | 1Скачать

Дифференциальные уравнения | уравнения первого порядка | задача Коши | конкретные примеры | 1

Использование онлайн-калькулятора

Часто решение задач по рассматриваемой теме связано с большими трудозатратами. Это касается времени и повышенного внимания. На практике не всегда получается правильно применить алгоритм и избежать ошибок. Поэтому имеет смысл для сложных заданий использовать онлайн-калькулятор. Решения на задачу Коши с его помощью доступны любому заинтересованному, имеющему доступ к интернету и устройство, поддерживающее работу веб-обозревателя.

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка

В интернете существует довольно большое количество различных математических онлайн-решителей. В своём большинстве они бесплатны и ориентированы на работу даже с людьми, совершенно не разбирающимися в тематике. Поэтому они привлекательны не только как инструмент, предоставляющий быстрый и правильный ответ на поставленную задачу, но и как обучающие программы.

Всё дело в том, что на страницах сервисов, предлагающих такого рода услуги, содержится вся необходимая теоретическая информация. Кроме этого, они предлагают к рассмотрению типовые примеры с подробным объяснением решения. Из онлайн-калькуляторов, предоставляющих бесплатный доступ к своим услугам в русском сегменте интернета, можно отметить следующие:

  1. Math.semestr.
  2. Allcalc.
  3. Kontrolnaya-rabota.
  4. Matematikam.
  5. Primat.

Приведённые сервисы помогают без труда найти студентам решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями. Для этого в предлагаемую форму необходимо записать дифуравнение и через запятую начальные данные. Затем просто нажать интерактивную кнопку «Решить» и через некоторое время на экране дисплея отобразится ответ.

Постановка задачи коши для дифференциального уравнения первого порядка

Для правильной записи уравнения существуют подсказки, так что разобраться, как работает сайт, сможет пользователь даже со слабой компьютерной подготовкой. Кроме этого, некоторые сервисы предлагают не просто ответ, а и пошаговое решение, к которому даётся комментарий. Решив несколько заданий, учащийся сможет разобраться в алгоритме и вычислять уравнения уже самостоятельно.

Следует отметить, что предложенные сервисы могут находить ответ для любой сложности математической задачи, например, вычисляя устойчивость математических моделей. Они также востребованы в инженерии и научных исследованиях, связанных с анализом функций. Для таких расчётов важны точность и время, что вполне могут обеспечить математические онлайн-сервисы.

🎦 Видео

Решаем задачу Коши | УрЧП первого порядка | Дифференциальные уравнения | КАК РЕШАТЬ?Скачать

Решаем задачу Коши | УрЧП первого порядка | Дифференциальные уравнения | КАК РЕШАТЬ?

Поле направлений дифференциального уравнения первого порядкаСкачать

Поле направлений дифференциального уравнения первого порядка

Задача Коши для линейное дифференциальное уравнение первого порядка.Скачать

Задача Коши для линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Решение задачи Коши дифференциального уравнения #maths #calculus #differentialequation #algebraСкачать

Решение задачи Коши дифференциального уравнения #maths #calculus #differentialequation #algebra

Дифференциальные уравнения 1-го порядка.Скачать

Дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Лукьяненко Д. В. - Дифференциальные уравнения - Лекция 1Скачать

Лукьяненко Д. В. - Дифференциальные уравнения - Лекция 1

3. Условия существования и единственности решения задачи КошиСкачать

3. Условия существования и единственности решения задачи Коши

Линейная алгебра. Алексей Савватеев и Александр Тонис. Лекция 13.4. Существов. и единств. решения ДУСкачать

Линейная алгебра. Алексей Савватеев и Александр Тонис. Лекция 13.4. Существов. и единств. решения ДУ

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?

Математика без Ху!ни. Линейное неоднородное уравнение 1 порядка. Метод вариации постоянной.Скачать

Математика без Ху!ни. Линейное неоднородное уравнение 1 порядка. Метод вариации постоянной.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка (1-x^2)*y'-xy=1Скачать

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка (1-x^2)*y'-xy=1
Поделиться или сохранить к себе: