Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен

Дифференциальные уравнения по-шагам

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Результат

Примеры дифференциальных уравнений

  • Простейшие дифференциальные ур-ния 1-порядка
  • Дифференциальные ур-ния с разделяющимися переменными
  • Линейные неоднородные дифференциальные ур-ния 1-го порядка
  • Линейные однородные дифференциальные ур-ния 2-го порядка
  • Уравнения в полных дифференциалах
  • Решение дифференциального уравнения заменой
  • Смена y(x) на x в уравнении
  • Другие

Указанные выше примеры содержат также:

  • квадратные корни sqrt(x),
    кубические корни cbrt(x)
  • тригонометрические функции:
    синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
  • показательные функции и экспоненты exp(x)
  • обратные тригонометрические функции:
    арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс actan(x)
  • натуральные логарифмы ln(x),
    десятичные логарифмы log(x)
  • гиперболические функции:
    гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
  • обратные гиперболические функции:
    asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x)
  • число Пи pi
  • комплексное число i

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5

Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте:

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)

Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5

Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin

Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)

Список математических функций и констант :

• ln(x) — натуральный логарифм

• sh(x) — гиперболический синус

• ch(x) — гиперболический косинус

• th(x) — гиперболический тангенс

• cth(x) — гиперболический котангенс

• sch(x) — гиперболический секанс

• csch(x) — гиперболический косеканс

• arsh(x) — обратный гиперболический синус

• arch(x) — обратный гиперболический косинус

• arth(x) — обратный гиперболический тангенс

• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс

• arsch(x) — обратный гиперболический секанс

• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс

Видео:Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравнения

Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной и её производные (или дифференциалы) различных порядков.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, содержащейся в нём.

Кроме обыкновенных изучаются также дифференциальные уравнения с частными производными. Это уравнения, связывающие независимые переменные Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен, неизвестную функцию этих переменных и её частные производные по тем же переменным. Но мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения и поэтому будем для краткости опускать слово «обыкновенные».

Примеры дифференциальных уравнений:

(1) Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен;

(2) Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен;

(3) Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен;

(4) Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен;

(5) Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен.

Уравнение (1) — четвёртого порядка, уравнение (2) — третьего порядка, уравнения (3) и (4) — второго порядка, уравнение (5) — первого порядка.

Дифференциальное уравнение n-го порядка не обязательно должно содержать явно функцию, все её производные от первого до n-го порядка и независимую переменную. В нём могут не содержаться явно производные некоторых порядков, функция, независимая переменная.

Например, в уравнении (1) явно нет производных третьего и второго порядков, а также функции; в уравнении (2) — производной второго порядка и функции; в уравнении (4) — независимой переменной; в уравнении (5) — функции. Только в уравнении (3) содержатся явно все производные, функция и независимая переменная.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x), при подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием.

Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен.

Решение. Запишем данное уравнение в виде Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен. Решение состоит в нахождении функции по её производной. Изначальная функция, как известно из интегрального исчисления, есть первообразная для Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен, т. е.

Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен.

Это и есть решение данного дифференциального уравнения. Меняя в нём C, будем получать различные решения. Мы выяснили, что существует бесконечное множество решений дифференциального уравнения первого порядка.

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется его решение, выраженное явно относительно неизвестной функции и содержащее n независимых произвольных постоянных, т. е.

Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен

Решение дифференциального уравнения в примере 1 является общим.

Частным решением дифференциального уравнения называется такое его решение, в котором произвольным постоянным придаются конкретные числовые значения.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равени частное решение при Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен.

Решение. Проинтегрируем обе части уравнения такое число раз, которому равен порядок дифференциального уравнения.

Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен,

Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен,

Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен.

В результате мы получили общее решение —

Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен

данного дифференциального уравнения третьего порядка.

Теперь найдём частное решение при указанных условиях. Для этого подставим вместо произвольных коэффициентов их значения и получим

Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен.

Если кроме дифференциального уравнения задано начальное условие в виде Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен, то такая задача называется задачей Коши. В общее решение уравнения подставляют значения Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равени Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равени находят значение произвольной постоянной C, а затем частное решение уравнения при найденном значении C. Это и есть решение задачи Коши.

Пример 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения из примера 1 при условии Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен.

Решение. Подставим в общее решение Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равензначения из начального условия y = 3, x = 1. Получаем

Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен.

Записываем решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения первого порядка:

Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен.

При решении дифференциальных уравнений, даже самых простых, требуются хорошие навыки интегрирования и взятия производных, в том числе сложных функций. Это видно на следующем примере.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен.

Решение. Уравнение записано в такой форме, что можно сразу же интегрировать обе его части.

Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен.

Применяем метод интегрирования заменой переменной (подстановкой). Пусть Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен, тогда Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен.

Требуется взять dx и теперь — внимание — делаем это по правилам дифференцирования сложной функции, так как x и есть сложная функция («яблоко» — извлечение квадратного корня или, что то же самое — возведение в степень «одна вторая», а «фарш» — самое выражение под корнем):

Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен

Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен

Возвращаясь к переменной x, получаем:

Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен.

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения первой степени.

Не только навыки из предыдущих разделов высшей математики потребуются в решении дифференциальных уравнений, но и навыки из элементарной, то есть школьной математики. Как уже говорилось, в дифференциальном уравнении любого порядка может и не быть независимой переменной, то есть, переменной x. Помогут решить эту проблему не забытые (впрочем, у кого как) со школьной скамьи знания о пропорции. Таков следующий пример.

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен.

Решение. Как видим, переменная x в уравнении отсутствует. Вспоминаем из курса дифференциального исчисления, что производная может быть записана также в виде Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен. В результате уравнение приобретает вид

Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен,

то есть, в нём в некотором виде появился x.

Теперь вспомнаем одно из свойств пропорции: из пропорции Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равенвыткают следующие пропорции:

Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен,

то есть в пропорции можно менять местами крайние и средние члены или те и другие одновременно.

Применяя это свойство, преобразуем уравнение к виду

Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен,

после чего интегрируем обе части уравнения:

Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен.

Оба интеграла — табличные, находим их:

Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен

и получаем решение данного дифференциалного уравнения первого порядка:

Порядок дифференциального уравнения 3y y x5 равен.

Эта статья представила необходимый минимум сведений о дифференциальных уравнениях и их решениях и должна помочь вам уверенно и увлечённо перейти к изучению различных видов дифференциальных уравнений.

📺 Видео

Решите уравнение ★ y'-2y=e^(2x) ★ Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядкаСкачать

Решите уравнение ★ y'-2y=e^(2x) ★ Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка

Общее и частное решение дифференциального уравненияСкачать

Общее и частное решение дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

Дифференциальные уравнения. 11 класс.

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?

Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятияСкачать

Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятия

Частное решение дифференциального уравнения. 11 класс.Скачать

Частное решение дифференциального уравнения. 11 класс.

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.Скачать

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1

14. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядкаСкачать

14. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Дифференциальное уравнение от Бермана ★ Решите дифференциальное уравнение 2-го порядка ★ xy''=y'Скачать

Дифференциальное уравнение от Бермана ★ Решите дифференциальное уравнение 2-го порядка ★ xy''=y'

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 способаСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 способа

Дифференциальные уравнения, 7 урок, Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядкаСкачать

Дифференциальные уравнения, 7 урок, Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

6. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однороднымСкачать

6. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным

Как решить дифференциальное уравнение y' = (1 + y) * cos x?Скачать

Как решить дифференциальное уравнение y' = (1 + y) * cos x?

1. Что такое дифференциальное уравнение?Скачать

1. Что такое дифференциальное уравнение?

ДУ Уравнения, не разрешенные относительно производнойСкачать

ДУ Уравнения, не разрешенные относительно производной
Поделиться или сохранить к себе: