Положение материальной точки задано уравнением

1. Положение материальной точки в пространстве задается радиус-вектором

,

где – единичные векторы декартовой системы координат (орты); x, y, z – координаты точки.

Средние скорость и ускорение

Средний вектор скорости

где – перемещение материальной точки за интервал времени Dt; – средние значения проекций скорости на координатные оси; Dx=x(t)–х₀; Dy=y(t)–y₀; Dz=z(t)–z₀ – проекции перемещения материальной точки за интервал времени Dt; x₀, y₀, z₀ – начальное положение точки в пространстве.

Среднее значение скорости:

,

где Ds – пройденный путь за интервал времени Dt=t–t₀.

Средний вектор ускорения

где – приращение вектора скорости материальной точки за интервал времени Dt.

– средние значения проекций ускорения на координатные оси.

Среднее ускорение ,

где = (t)- (t₀) .

Мгновенные скорость и ускорение

где – единичные векторы (орты осей декартовой системы координат); ; ; – проекции скорости на координатные оси.

.

.

Кинематические уравнения движения

Кинематическое уравнение движения материальной точки в векторной форме

,

где – радиус-вектор материальной точки в начальный момент времени t₀; – радиус-вектор в произвольный момент времени t, закон изменения скорости точки со временем.

Векторное уравнение движения эквивалентно трем скалярным:

, ,

.

Кинематическое уравнение равномерного прямолинейного движения материальной точки вдоль оси x

Кинематическое уравнение равнопеременного прямолинейного движения (a=const) вдоль оси x

Скорость точки при равнопеременном движении вдоль оси x

Связь скорости и ускорения

Средние угловая скорость и ускорение

Средний вектор угловой скорости

где – приращение угла поворота за интервал времени Dt .

Средний вектор углового ускорения

где – приращение угловой скорости за интервал времени Dt.

Средняя угловая скорость

, где = φ(t)- φ(t₀).

Среднее угловое ускорение

, где =ω(t)-ω(t₀).

Мгновенные угловая скорость и ускорение

Мгновенная угловая скорость

где w_z – проекция угловой скорости на ось вращения.

Угловое ускорение ,

где e_z – проекция углового ускорения на ось вращения.

Угловая скорость и угловое ускорение являются аксиальными векторами, их направления совпадают с неподвижной в пространстве осью вращения.

Связь между линейными и угловыми величинами:

S=Rj; u=wR; a_t=e_zR; a_n= =w 2 R,

где R – радиус окружности, по которой движется точка; S – длина дуги окружности; j – угол поворота, u – линейная скорость; e_z – проекция углового ускорения на ось вращения; w – угловая скорость; a_t – тангенциальное ускорение; a_n – нормальное ускорение.

При постоянной угловой скорости w=2p/T, w=2pn, где Т – период (время одного полного оборота); n – частота вращения (число оборотов, совершаемых движущейся точкой в единицу времени).

Кинематическое уравнение вращательного движения материальной точки относительно неподвижной оси

где j – угол поворота; w_z – проекция угловой скорости на ось вращения. Если w_z=const, то j=w_zt. Если угловое ускорение e=const, то где w₀ – начальная угловая скорость. Угловая скорость при таком вращении

Ускорение в плоском криволинейном движении

или
,

где характеризует быстроту изменения модуля скорости (см. рис. 1.1);

a_n = — характеризует быстроту изменения вектора скорости по направлению ( см. рис. 1.1).

Соответствие линейных и угловых величин показано в табл.1.

Линейные величины	Угловые величины
S,х	φ
υ	ω
а	e
an=	an=ω 2 R
ux=u0x+axt	wz=w0z+ezt
2axsx=ux 2 –u0x 2	2ezjz=wz 2 –w0z 2

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Заряд электрона e=1,6×10 -19 Кл.

Масса электрона m=9,1×10 -31 кг.

Ускорение свободного падения g=9,8 м/с 2 .

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Что изучает механика как один из разделов физики?

2. Почему при изучении реальных физических явлений и объектов приходится использовать модельные представления и абстрагированные понятия? Дайте определение: а) материальной точке (частице); б) системе материальных точек; в) абсолютно твердому телу.

3. Каково содержание понятий пространства и времени в классической механике? Что означают понятия «однородность и изотропность пространства», «однородность времени»?

4. Какие существуют способы описания движения материальной точки? Что представляет собой система отсчета, система координат? Что называется радиусом-вектором ?

5. Покажите, что задание кинематического закона движения в координатной форме х=х (t), у=у (t), z=z (t) эквивалентно заданию его в векторной форме , где х, у, z – декартовы координаты положения материальной точки, – ее радиус-вектор. Каковы преимущества векторного описания движения?

6. Дайте определение кинематических величин: а) перемещения ; б) скорости ; в) ускорения . В каких единицах измеряются эти величины? Как ориентированы векторы скорости и ускорения относительно траектории и друг друга?

7. Частица движется по закону где u₀ и g – известные постоянные; – орт координатной оси z. Найдите скорость частицы и ее ускорение , а также их проекции и как функции времени.

8. Ускорение движущейся частицы где A – известная постоянная; – орт координатной оси х. В момент времени t=0 х=x₀ и u_x=u₀, где х₀ и u₀ – известные постоянные (начальные условия). Найдите проекцию скорости и координату x как функции времени.

9. Какое движение абсолютно твердого тела называется: а) поступательным; б) вращательным? Приведите примеры таких движений.

10. Что называется тангенциальным а_t и нормальным а_n ускорениями? Чему они равны? От чего зависит угол между векторами скорости и полного ускорения движущейся материальной точки?

11. Какие векторы называют аксиальными? Дайте определение: а) угла поворота твердого тела; б) угловой скорости ; в) углового ускорения относительно неподвижной в пространстве оси вращения. В каких единицах измеряются эти величины?

12. Колесо вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс. Обладает ли любая точка на ободе тангенциальным и нормальным ускорениями, если вращение происходит: а) с постоянной угловой скоростью; б) с постоянным угловым ускорением? Изменяются ли при этом модули этих величин?

ЗАДАЧИ ГРУППЫ А

1.(1.25) Зависимость пройденного телом пути s от времени t дается уравнением s=A+Bt+Ct 2 +Dt 3 , где С=0,14 м/с 2 и D=0,01 м/с 3 . Через какое время t после начала движения тело будет иметь ускорение a=1 м/с 2 ? Найти среднее ускорение тела за этот промежуток времени.

Ответ: t=12 c, =0,64 м/с 2 .

2.(1.27) Камень, брошенный горизонтально, упал на землю через время t=0,5 с на расстоянии l=5 м по горизонтали от места бросания. С какой высоты h брошен камень? С какой скоростью u_x он брошен? С какой скоростью u он упадет на землю? Какой угол j составит вектор скорости камня с горизонтом в точке его падения на землю.

Ответ: h=1,22 м; u_x=10 м/с; u=11,1 м/с; j=26 0 12 ’ .

3.(1.30) Камень брошен горизонтально со скоростью u₀=15 м/с. Найти нормальное а_n и тангенциальное а_t ускорения камня через время t=1 с после начала движения.

Ответ: а_t=5,4 м/с 2 ; а_n=8,2 м/с 2 .

4.(1.31) Камень брошен горизонтально со скоростью u₀=10 м/с. Найти радиус кривизны R траектории камня через время t=3 с после начала движения.

Ответ: R=305 м.

5.(1.39) С башни высотой h₀=25 м брошен камень со скоростью u₀=15 м/с вверх под углом a=30 0 к горизонту. Какое время t камень будет в движении? На каком расстоянии l от основания башни он упадет на землю? С какой скоростью u он упадет на землю? Какой угол j составит траектория движения камня с горизонтом в точке его падения на землю?

Ответ: t=3,16 c; l=41,1 м; u=26,7 м/с; j=61 0 .

6.(1.49) Вентилятор вращается с частотой n=900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки N=75 об. Какое время t прошло с момента выключения вентилятора до полной его остановки?

Ответ: t=10 c.

7.(1.52) Точка движется по окружности радиусом R=20 см с постоянным тангенциальным ускорением а_t. Найти тангенциальное уско-рение а_t точки, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки u=79,2 см/с.

Ответ: а_t=0,05 м/с 2 .

8.(1.55) Колесо радиусом R=10 см вращается с угловым ускорением e 3,14 рад/с 2 . Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды после начала движения: а) угловую скорость w; б) линейную скорость u; в) тангенциальное ускорение а_t; г) нормальное ускорение а_n; д) полное ускорение а; е) угол a, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса.

Ответ: а) w=3,14 рад/с; б) u=0,314 м/c; в) a_t=0,314 м/c 2 ;

г) a_n=0,986 м/c 2 ; д) a=1,03 м/c 2 ; е) a=17 0 46 ’ .

9.(1.57) Точка движется по окружности так, что зависимость пути от времени дается уравнением s=A–Bt+Ct 2 , где В=2 м/c и С=1 м/c 2 . Найти линейную скорость u точки, ее тангенциальное а_t, нормальное а_n и полное а ускорения через время t=3 с после начала движения, если известно, что при t¢=2 с нормальное ускорение точки а¢_n=0,5 м/c 2 .

Ответ: u=4 м/c; a_t=2 м/c 2 ; a_n=2 м/c 2 ; a=2,83 м/c 2 .

10.(1.64) Во сколько раз нормальное ускорение а_n точки,лежащей на ободе вращающегося колеса, больше ее тангенциального ускорения а_t для того момента, когда вектор полного ускорения точки составляет угол a=30 0 с вектором ее линейной скорости?

ЗАДАЧИ ГРУППЫ Б

1.(1.4) По прямой линии движутся две материальные точки согласно уравнениям: x₁=А₁+В₁t+C₁t 2 и x₂=А₂+В₂t+С₂t 2 , где А₁=5 м, В₁=1 м/с, С₁=2 м/с 2 , А₂=–6 м, В₂=4 м/с, С₂=0,8 м/с 2 . В какой момент времени t скорости этих точек будут одинаковы? Найти скорости u₁, u₂ и ускорения a₁, a₂ этих точек в момент времени t₁=1c.

Ответ: t=1,25 c; u₁=5 м/с; u₂=5,6 м/с; а₁=4 м/с 2 ; а₂=1,6 м/с 2 .

2.(1.23) Кинематические уравнения движения двух материальных точек имеют вид x₁=A₁t+B₁t 2 +C₁t 3 и x₂= A₂t+B₂t 2 +C₂t 3 ,где B₁=4 м/с 2 , С₁= -3 м/с 3 , B₂= -2 м/с 2 , С₂= 1 м/с 3 . Определить момент времени, для которого ускорение этих точек будут равны.

Ответ: t=0,5 с.

3.(1.5) Движение материальной точки задано уравнением x=Аt+Bt 2 , где А=4 м/с, В=–0,05 м/с 2 . Определить момент времени t, в который скорость точки u=0. Найти координату x и ускорение точки a в этот момент.

Ответ: t=40 c; x=80 м; а=–0,1 м/с 2 .

4.(1.6) Точка движется по окружности радиусом R=2 м. Уравнение движения точки j=Аt+Bt 3 , где А=1 с -1 , В=0,4 с -3 . Определить тангенциальноеa_t, нормальное a_n и полное a ускорения точки в момент времени t=2с.

Ответ: а_t=9,6 м/с 2 ; а_n=67,3 м/с 2 ; а=68,0 м/с 2 .

5.(1.9) Колесо радиусом R=0,2 м вращается так, что зависимость от времени линейной скорости точек, лежащих на ободе колеса, дается уравнением u=At+Bt 2 , где А=0,06 м/с 2 , В=0,02 м/с 3 . Найти угол a, который составляет вектор полного ускорения с радиусом колеса в моменты времени t₁=1 с, t₂=2с после начала движения.

Ответ: a₁=72,2 0 ; a₂=35 0 .

6. (1.34) Колесо вращается с постоянным угловым ускорением e= 3 рад/с 2 . Определить радиус колеса, если через t=1с после начала движения полное ускорение колеса a=7,5 м/с 2 .

Ответ: R=79 см.

7. На вал радиусом R=10 см намотана нить, к концу которой привязана гиря. Двигаясь равноускоренно, гиря за t=20 с от начала движения опустилась на h=2 м. Найти угловую скорость и угловое ускорение вала для этого момента времени.

Ответ: w=2h/(Rt)=2 рад/с; e=2h/(Rt 2 )=0,1 рад/с 2 .

8.(1.66) При выстреле пуля вылетела со скоростью u₀=200 м/с под углом a=60 0 к горизонту. Определить наибольшую высоту подъема h, дальность полета S и радиус кривизны R траектории пули в ее наивысшей точке. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: h=1531 м; S=3535 м; R=1020 м.

9.(1.69) Тело брошено со скоростью u₀=20 м/с под углом a=30 0 к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти скорость u тела, а также его нормальное a_n и тангенциальное a_t ускорения через t=1,5 с после начала движения. На какое расстояние x переместится за это время тело по горизонтали и на какой высоте yоно окажется?

Ответ: u=17,9 м/с; a_n=9,72 м/с 2 ; a_t=2,67 м/с 2 ; x=26 м; y=4 м.

10.(1.73) Электроны, обладающие кинетической энергией Е_к=1,6 кэВ, влетают посередине между пластинами плоского конденсатора параллельно им. Какое минимальное напряжение U_m необходимо подвести к пластинам, чтобы электроны не вышли за пределы пластин? Длина пластин l=2 см, расстояние между ними d=1 см
(1 кэВ=1,610 -16 Дж).

Ответ: U_m=800 В.

ЗАДАЧИ ГРУППЫ С

1. Скорость течения реки по ее ширине меняется по закону u=Ax 2 +Bх+C, где (а – расстояние от берега, b – ширина реки), A=–4 м/с, B=–A, C=0,5 м/с. На какое расстояние снесет лодку течением при переправе, если скорость ее относительно стоячей воды равна u₁=2 м/с и направлена прямо к противоположному берегу? Ширина реки b=420 м.

Ответ: S=245 м.

2. В момент t=0 частица вылетает из начала координат в положительном направлении оси х. Ее скорость изменяется со временем по закону , – начальная скорость, модуль которой u₀=10 см/с, t=5 с. Найти зависимость координаты частицы от времени. Рассчитать: а) координату х частицы в моменты времени 6, 10, 20 с; б) моменты времени, когда частица будет находиться на расстоянии 10 см от начала координат.

Ответ: а) x=u₀t(1–t/2t); 0,24; 0 и –4 м; б) 1,1; 9 и 11 с.

3. Радиус-вектор движущейся точки А изменяется со временем t по закону где a и b – постоянные, и – орты осей x и y. Найти: а) уравнение траектории точки; б) зависимости от времени скорости , ускорения и модули этих величин; в) зависимость от времени угла j между векторами и .

Ответ: a)

б) , a=2b;

в)

4. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом R=4 м, изменяется по закону а_n=a+bt+ct 2 , где a, b, c – постоянные величины. Найти тангенциальное ускорение точки, путь, пройденный точкой за время t₁=6 c после начала движения, и полное
ускорение в момент времени t₂=2/3 с, если а=1 м/с 2 , b=3 м/с 3 ,
с=2,25 м/с 4 .

Ответ: а_t=3 м/с 2 , s=66 м; а=5 м/с 2 .

5. Частица движется в плоскости xy со скоростью где , – орты осей x и y соответственно, а и b – постоянные. В начальный момент частица находилась в точке x=y=0. Найти: a) уравнение траектории частицы y(x); б) радиус кривизны траектории в зависимости от координаты х.

Ответ: a) ; б) .

6. Два тела бросили одновременно: одно – вертикально вверх со скоростью u₁=25 м/с, другое – под углом a=30 0 к горизонту со скоростью u₂=30 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти их относительную скорость во время движения.

Ответ: =28 м/с.

7. Из пушки выпустили последовательно два снаряда со скоростью u₀=250 м/с: первый – под J₁=60 0 к горизонту, второй – под углом J₂=45 0 (азимут один и тот же). Найти интервал времени между выстрелами, при котором снаряды столкнутся друг с другом.

Ответ: =11 с.

8. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси, неподвижной в пространстве, по закону j=аt–bt 3 , где а=6 рад/с, b=2 рад/с 3 . Найти:
а) средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от t=0 до остановки; б) угловое ускорение в момент остановки тела.

Ответ: a) =2а/3=4 рад/с; б) = =6 рад/с 2 .

9. При вращении махового колеса его угловое ускорение изменяется по закону e= — abw, а и b – постоянные. Найти: а) чему равна угловая скорость маховика через t_c после начала притормаживания, если в момент t=0 она была равна w₀? б) какой вид движения у маховика при t® ¥? в) как зависит от времени его угловое ускорение?

Ответ:

10. Твердое тело вращается с угловой скоростью =At +Bt 2 , где А=0,5 рад/с 2 , В=0,06 рад/с 3 . Найти для момента t=10 с: а) модули угловой скорости и углового ускорения; б) угол между этими векторами.

Ответ: а) =8 рад/с; =1,3 рад/с; б) 17 0 .

Видео:Кинематика материальной точки за 20 минут (кратко и доступно) Кинематика точкиСкачать

Динамика материальной точки. Кинематика материальной точки

Кинематика материальной точки

1. Вектора. Запись векторов в декартовой системе координат. Модуль вектора.

2. Радиус-вектор. Запись радиус-вектора в Декартовых координатах.

3. Вектор скорости. Движение по инерции.

Пример:
Материальная точка, двигаясь равномерно и прямолинейно со скоростью V=5e_x+2e_y+7e_z (м/с), На каком расстоянии от начала координат на расстоянии (в м) находится точка через 10с.

Скорость материальной точки задана уравнением v = 2e_x +1e_y+6 e_z (м/c). Движение точки является равномерным, равноускоренным, равнозамедленным, с возрастающим ускорением или с убывающим ускорением?

Положение материальной точки задано уравнением r = 5t e_x+ 1t 2 e_y+ 0.5t 3 e_z (м). Найти мгновенную скорость точки (в м/с) через 5с после начала движения.

4. Перемещение

Пример:
Положение материальной точки задано уравнением r= 1te_x+ 3t 2 e_y+ 0.5t 3 e_z (м). Найти перемещение (в м) за пятую секунду и модуль этого перемещения.

5. Траектория движения тела

Положение материальной точки задано уравнением r = 10t 2 e_x+ 7e_y+ 6t e_z (м). Записать уравнение траектории движения тела.

6. Вектор ускорения.

Положение материальной точки задано уравнениемr =3t 2 e_x+ 2t 2 e_y+ t 2 e_z (м). Найти вектор ускорения тела (в м/с 2 ) .

7. Типы движения. Равномерное, равноускоренное, равнозамедленное.

8. Нормальное и тангенциальное ускорения.
a_n=v 2 /R;

Материальная точка движется по окружности радиуса R= 20 см со скоростью V= 6t (м/с). Найти тангенциальное ускорение точки (в м/с 2 ) через 2 с от начала движения.

Материальная точка движется по окружности радиуса R=2 см со скоростью V=5м/с. Найти нормальное ускорение точки (в м/с 2 ).

9. Угловая скорость, Угловое ускорение.

Пример
Тело равномерно вращается по окружности радиуса 10 см с угловой скоростью ω=10 рад/с. Найти угловое ускорение (в рад/с 2 ):

10. Частота вращения, Число оборотов

Тело, равномерно вращается с угловой скоростью ω = 9.42 рад/с. Какова частота вращения (в об/с).

11. Уравнение кинематики равнопеременного вращательного движения

Пример 1:

Тело, вращаясь равнозамедленно, за 10 секунды изменило угловую скорость от ω₁= 6 рад/с до ω₂ = 1 рад/с. Найти угловое ускорение тела (в рад/с 2 ) .

Тело, вращаясь равноускоренно, за 10с от начала движения совершило 30 оборотов. Найти угловое ускорение тела (в рад/с 2 ).

Колесо радиусом 1м вращается согласно уравнению φ = 2-4t+0,1t 2 . Чему равна частота вращения колеса через t = 2с от начала отсчета времени.

Динамика материальной точки

Сила. Нормальная и тангенциальная составляющие силы при криволинейном движении.

Пример:

Материальная точка массой 1 кг движется по окружности радиуса 1 м с возрастающей скоростью V= 3t (м/с). Найти нормальную составляющую силы, действующей на тело через 2 с от начала движения (в Н).

Центр масс системы материальных точек

Найти координаты центра масс системы частиц с массами m₁ = 15 кг и m₂ = 20 кг, изображенной на рисунке.

Импульс материальной точки

Импульс системы материальных точек

Пример:
Система состоит из трех шаров с массами , , , которые движутся так, как показано на рисунке.
Cкорости шаров равны : = , = , = . Как направлен вектор импульса центра масс.

Второй закон Ньютона.

Материальная точка (тело массой 4 кг ) движется по окружности радиуса R= 2 см с возрастающей скоростью V= 2t (м/с). Найти тангенциальную составляющая силы, действующей на тело через 3 с от начала движения.

Тело массой 1 кг движется с ускорением 3 м/с 2 . Найти силу, действующую на тело.

Под действием результирующей силы 10Н у тела изменился импульс на 0.2 кг м/с. Найти время действия силы.

Скорость тела массой m = 1 кг изменяется по закону V = 1t e_x+3t 2 e_y+0.3t 3 e_z (м/с). Найти модуль действующей силы через 1с от начала движения (в Н).

При взлете самолета пилот испытывает 2-кратные перегрузки. Найти ускорение самолета (в м/с 2 ).

Сила трения скольжения

Если коэффициент трения μ= 0,01 , то на тело массой m = 10 кг, движущееся по наклонной плоскости под углом 20 о к горизонту, действует сила трения

Сила Гравитации(Всемирного тяготения). Ускорение свободного падения(связь с законом всемирного тяготения)

Ускорение свободного падения на поверхности планеты:

Найти ускорение свободного падения на планете, масса которой в 3 раза меньше , чем у Земли, а радиус в 2 раза больше.

Сила натяжения подвеса. Вес тела.

Пример:
К нити подвешен груз массой 10 кг. Нить с грузом опускается с ускорением 5м/с 2 . Найти силу натяжения нити (в Н).

Силы вязкого трения.

Закон сохранения импульса

При выстреле из ружья массой 5 кг пуля массой 10 г летит со скоростью 600 м/с. Найти скорость отдачи ружья.

Катер, двигаясь со скоростью меньше критической, стал двигаться быстрее в 2 раза. Во сколько раз возросла сила сопротивления?

Пример:
Автомобиль массой 2т едет со скоростью 60 км/час по горизонтальной дороге. Коэффициент трения колес о дорогу μ = 0,5. Найти мощность двигателя (в кВт).

Инерциальная система отсчета.

Положения трёх тел относительно звезд изменяются по законам: 1) r₁=3t e_x+4t e_y+1t e_z(м), 2) r₂=2t 2 e_x +2t e_y +5t 3 e_z(м), 3) r₃ = 6 e_x + 5 e_y + 1 e_z (м). Системы отсчета, связанные с какими телами, являются инерциальными?

Видео:К1 Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движенияСкачать

Уравнение движения материальной точки

Движение материальной точки в пространстве – это изменение ее положения относительно других тел с течением времени.

Имеет смысл говорить только о движении в некоторой системе отсчета.

Видео:Траектория и уравнения движения точки. Задача 1Скачать

Система отсчета. Системы координат

Точки, располагаемые в пустом пространстве, не различаются. Поэтому о точке рассуждают при условии нахождения в ней материальной точки. Определить ее положение можно при помощи измерений в системе координат, где и проводится нахождение пространственных координат. Если рассматривать в виде примера поверхность Земли, то следует учитывать широту и долготу располагаемой точки.

В теории используется декартова прямоугольная система координат, где определение точки возможно при наличии радиус-вектора r и трех проекций x , y , z – ее координат. Могут быть применены другие:

• сферическая система с положением точек и ее радиус-вектором, определенных координатами r , υ , φ ;
• цилиндрическая система с координатами p , z , α ;
• на полярной плоскости с параметрами r , φ .

В теории зачастую не принимают во внимание реальную систему отсчета, а сохраняют только ту, которая представляет собой ее математическую модель, применяемую во время практических измерений.

Видео:Урок 7. Механическое движение. Основные определения кинематики.Скачать

Кинематическое уравнение движения материальной точки

Любая система отсчета или координат предполагает определение координат материальной точки в любой момент времени.

При условии положения и определения материальной точки в данной системе отсчета считается, что ее движение задано или описано.

Это возможно при использовании кинематического уравнения движения:

Аналитически положение точки определяется совокупностью трех независимых между собой чисел. Иначе говоря, свободная точка имеет три степени свободы движения.

Ее перемещение по уравнению ( 1 ) определено, если имеется указанное положение в любой момент времени t . Для этого следует задавать декартовы координаты точки в качестве однозначных и непрерывных функций времени:

x ( t ) = x , y ( t ) = y , z ( t ) = z ( 2 ) .

Прямоугольные декартовы координаты x , y , z — это проекции радиус-вектора r ¯ , проведенного из начала координат. Очевидно, что длину и направление r ¯ можно найти из соотношений, где a , β , γ являются образованными радиус-вектором углами с координатными осями.

Равенства ( 2 ) считают кинематическими уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах.

Они могут быть записаны в другой системе координат, которая связана с декартовой взаимно однозначным преобразованием. Если движение точки происходит в плоскости О х у , тогда применимы полярные координаты r , φ , относящиеся к декартовым преобразованиям. Данный случай подразумевает использование уравнения движения точки следующего вида:

r = r ( t ) , φ = φ ( t ) ( 3 ) .

Кинематическое уравнение движения точки в криволинейных координатах q 1 , q 2 , q 3 , связанных с декартовыми преобразованиями вида x = x ( q 1 , q 2 , q 3 ) , y = y ( q 1 , q 2 , q 3 ) , z = z ( q 1 , q 2 , q 3 ) ( 4 ) , записывается как

q 1 = q 1 ( t ) , q 2 = q 2 ( t ) , q 3 = q 3 ( t ) ( 5 ) .

Кривая радиус-вектора, описываемая концом вектора r при движении точки, совпадает с ее траекторией. Параметрическое уравнение траектории с t представлено кинематическими уравнениями ( 2 ) , ( 5 ) . Чтобы получить координатное уравнение траектории следует исключить время из кинематических уравнений.

Определение движения точки возможно с помощью задания траектории и мгновенного положения точки на ней. Ее положение на кривой определяется с помощью указания только одной величины: расстояния вдоль кривой от некоторой начальной точки с положительным направлением:

Это и есть уравнение движения точки по траектории. Способ его задания относят к естественному или траекторному.

Понятия координатного и естественного способа задания движения точки физически эквивалентны. С математической стороны это рассматривают как возможность применения разных методов, исходя из случая математической задачи.

Задание такого закона возможно аналитическим, графическим путем или с использованием таблицы, последние два из которых зачастую рассматривают в виде графиков и расписаний движений поездов.

Дано уравнение движения материальной точки x = 0 , 4 t 2 . Произвести запись формулы зависимости υ x ( t ) , построить график зависимости скорости от времени. На графике отметить площадь, численно равную пути, пройденному точкой за 4 секунды, произвести вычисление.

Дано: x = 0 , 4 t 2 , t = 4 c

Найти: υ x ( t ) , S — ?

Решение

При решении необходимо учитывать зависимость скорости от времени:

υ x = υ 0 x + a x t .

Зависимость координаты от времени и сравнение уравнения с заданным принимает вид:

x = x 0 + υ 0 x t + a x t 2 2 , x = 0 , 4 t 2 .

Очевидно, что x 0 = 0 , υ 0 x = 0 , a x = 0 , 8 м / с 2 .

После подстановки данных в уравнение:

Определим точки, изобразим график:

υ x = 0 , t = 0 , υ x = 4 , t = 5

Путь, по которому двигалось тело, равняется площади фигуры, ограниченной графиком, и находится с помощью формулы:

🎦 Видео

Кинематика точки Задание К1Скачать

Дифференциальное уравнение движения материальной точки.Скачать

Лекция №1 "Кинематика материальной точки" (Булыгин В.С.)Скачать

Кинематика точки. Авторы: Борисов Никита, Ларионов Егор, Петрашова Полина. Решение задачи.Скачать

Лекция 01 Кинематика материальной точкиСкачать

ЕГЭ по математике. Профильный уровень. Задание 7. Закон движения. ПроизводнаяСкачать

Д1 Дифференциальные уравнения движения материальной точкиСкачать

Физика 10 класс (Урок№2 - Равномерное прямолинейное движение материальной точки.)Скачать

Прямолинейные колебания материальной точкиСкачать

Теоретическая механика. Задание К1 (часть 1) из сборника ЯблонскогоСкачать

Решение графических задач на равномерное движениеСкачать

Механика || Кинематика материальной точки (Часть 1)Скачать

Уравнение движения тела дано в виде x=2−3t. ВычислиСкачать

Консультация к устному экзамену. Механика. Часть 1: "Движение материальной точки"Скачать

Материальная точка. Система отсчета | Физика 9 класс #1 | ИнфоурокСкачать

ФИЗИКА 10 класс : Механическое движение | Материальная точка, траектория, перемещение.Скачать