Показательные уравнения с переменным основанием (8 видео)

Показательные уравнения. Как решать показательные уравнения?

Содержание

Показательное уравнение – это уравнение c переменной в показателе степени.
Как решать показательные уравнения
При решении любое показательное уравнение мы стремимся привести к виду (a^=a^), а затем сделать переход к равенству показателей, то есть:
Показательные уравнения, не имеющие решений
Положительное число в любой степени останется положительным числом.
Показательные уравнения с разными основаниями
49. Показательные уравнения, показательно-степенные уравнения
Показательные уравнения
Определение показательного уравнения
Свойства степеней
🔥 Видео

Показательное уравнение – это уравнение c переменной в показателе степени.

Видео:ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

Как решать показательные уравнения

При решении любое показательное уравнение мы стремимся привести к виду (a^=a^), а затем сделать переход к равенству показателей, то есть:

Важно! Из той же логики следуют два требования для такого перехода:
— число в основании степени слева и справа должно быть одинаковым;
— степени слева и справа должны быть «чистыми», то есть не должно быть никаких коэффициентов , умножений, делений и т.д.

В этом показательном уравнении переход к (x+2= 8-x) невозможен, так как в основаниях разные числа

Здесь переход к (x+3x=2x) также невозможен, так как слева стоит сумма.

И в этом случае перейти к (5-x=7x) нельзя, ведь справа есть минус.

Мы знаем, что (27 = 3^3). С учетом этого преобразуем уравнение.

Теперь вспомним, что: (a^=frac). Эту формулу можно использовать и в обратную сторону: (frac =a^). Тогда (frac=frac =3^).

Применив свойство ((a^b )^c=a^) к правой части, получим: ((3^ )^=3^=3^).

И вот теперь у нас основания равны и нет никаких мешающих коэффициентов и т.д. Значит, можем делать переход.

Решаем получившееся линейное уравнение и пишем ответ.

Воспользуемся свойством степени (a^b cdot a^c=a^) в обратном направлении.

(2^x cdot 2^3+2^x cdot 2^2-2^x cdot 2^1=160)

Теперь в левой части выносим за скобку общий множитель (2^x) …

…и вычисляем содержимое в скобке.

Делим на (10) обе части уравнения…

…и дорешиваем до ответа.

Иногда одних только свойств степеней оказывается недостаточно, и приходиться применять стандартные приемы для решения более сложных уравнений – замену переменной , расщепление уравнения и т.д.

Вновь пользуемся свойством степени (a^b cdot a^c=a^) в обратном направлении.

Теперь вспоминаем, что (4=2^2).

Смотрим внимательно на уравнение, и видим, что тут напрашивается замена (t=2^x).

Однако мы нашли значения (t), а нам нужны (x). Возвращаемся к иксам, делая обратную замену.

Преобразовываем второе уравнение, используя свойство отрицательной степени…

…и дорешиваем до ответа.

Остается вопрос — как понять, когда какой метод применять? Это приходит с опытом. А пока вы его не наработали, пользуйтесь общей рекомендацией для решения сложных задач – «не знаешь, что делать – делай, что можешь». То есть, ищите как вы можете преобразовать уравнение в принципе, и пробуйте это делать – вдруг чего и выйдет? Главное при этом делать только математически обоснованные преобразования.

Видео:Как решать Показательные Уравнения? (часть 2)Скачать

Показательные уравнения, не имеющие решений

Разберем еще две ситуации, которые часто ставят в тупик учеников:
— положительное число в степени равно нулю, например, (2^x=0);
— положительное число в степени равно отрицательному числу, например, (2^x=-4).

Давайте попробуем решить перебором. Если икс — положительное число, то с ростом икса вся степень (2^x) будет только расти:

И так далее. Очевидно, что дальше увеличивать икс нет смысла, будет только «хуже» (т.е. мы будем удаляться от нуля и минус четверки).
Может быть нам поможет (x=0)? Проверяем:

Тоже мимо. Остаются отрицательные иксы. Вспомнив свойство (a^=frac), проверяем:

Несмотря на то, что число с каждым шагом становится меньше, до нуля оно не дойдет никогда. Так что и отрицательная степень нас не спасла. Приходим к логичному выводу:

Положительное число в любой степени останется положительным числом.

Таким образом, оба уравнения выше не имеют решений.

Видео:Показательные уравнения. 11 класс.Скачать

Показательные уравнения с разными основаниями

В практике порой встречаются показательные уравнения с разными основаниями, не сводимыми к друг к другу, и при этом с одинаковыми показателями степени. Выглядят они так: (a^=b^), где (a) и (b) – положительные числа.

Такие уравнения легко можно решить делением на любую из частей уравнения (обычно делят на правую часть, то есть на (b^). Так делить можно, потому что положительное число в любой степени положительно (то есть, мы не делим на ноль). Получаем:

Дальше решаем с помощью свойств степени.

Здесь у нас не получиться ни пятерку превратить в тройку, ни наоборот (по крайней мере, без использования логарифмов ). А значит мы не можем прийти к виду (a^=a^). При этом показатели одинаковы.
Давайте поделим уравнение на правую часть, то есть на (3^) (мы можем это делать, так как знаем, что тройка ни в какой степени не будет нулем).

Казалось бы, лучше не стало. Но вспомните еще одно свойство степени: (a^0=1), иначе говоря: «любое число в нулевой степени равно (1)». Верно и обратное: «единица может быть представлена как любое число в нулевой степени». Используем это, делая основание справа таким же как слева.

Вуаля! Избавляемся от оснований.

Иногда «одинаковость» показателей степени не очевидна, но умелое использование свойств степени решает этот вопрос.

Уравнение выглядит совсем печально… Мало того, что основания нельзя свести к одинаковому числу (семерка ни в какой степени не будет равна (frac)), так еще и показатели разные… Однако давайте в показателе левой степени вынесем за скобку двойку.

Аллилуйя! Показатели стали одинаковы!
Действуя по уже знакомой нам схеме, решаем до ответа.

Видео:Это просто! Как решать Показательные Неравенства?Скачать

49. Показательные уравнения, показательно-степенные уравнения

Показательным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестную величину в показателе степени при постоянном основании A (A > 0).

Типы показательных уравнений и способы их решения

Всюду далее F(X), G(X) – некоторые выражения с неизвестной величиной X.

I тип: уравнение вида

где (6.2)

Имеет решение, если B > 0. Его решают логарифмированием по основанию A:

(6.3)

Решение уравнения (6.3) производят соответственно типу этого уравнения.

II тип: Уравнение вида

где (6.4)

По свойству равенства степеней равносильно уравнению

Последнее уравнение решают в зависимости от его типа.

III тип: уравнение вида

(6.5)

Где F – некоторое выражение относительно

Производят замену переменной и решают уравнение F(Y) = 0.

Если – корни уравнения, то после возвращения к старой переменной решение уравнения (6.5) сводится к решению равносильной ему совокупности уравнений

IV тип: уравнения, решаемые графическим методом.

Для таких уравнений строят соответствующие графики для левой и правой частей уравнения. Определяют, для каких значений X графики имеют общую ординату. Используют также иные функциональные свойства, в частности, монотонность функции (возрастание, убывание).

Показательно-степенным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная величина содержится и в основании степени, и в показателе. Такие уравнения принято решать при условии, что основания степени положительны (ОДЗ уравнения).

Типы показательно-степенных уравнений

I тип: уравнение вида

(6.6)

Решение уравнения (6.6) на ОДЗ сводится к решению совокупности

II тип: уравнение вида

(6.7)

Решение уравнения (6.7) на ОДЗ сводится к решению совокупности

Пример 1. Решить уравнение

Решение. 1-й способ. Имеем уравнение I типа (формула (6.2)). Решаем логарифмированием по основанию 3. Получаем:

т. е.

Приходим к линейному уравнению

Откуда

2-й способ. Преобразуем правую часть при помощи основного логарифмического тождества:

Получили уравнение II типа (формула (6.4)), которое решаем по свойству равенства степеней:

Пришли к ответу:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Выполним необходимые преобразования, сведем показательные выражения к одному и тому же основанию 3:

По свойству степеней:

Получаем ответ: Х = 0.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Преобразуем уравнение

Имеем квадратное уравнение относительно 2Х. Решаем при помощи замены Получаем:

Корнями последнего уравнения являются значения

Возвращаясь к неизвестной X, имеем совокупность:

Первое уравнение совокупности решений не имеет. Решаем второе уравнение:

т. е.

Получили ответ: Х = 3.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Выполним необходимые преобразования:

Имеем однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на 92Х (92Х ¹ 0). Получим:

Т. е. получили квадратное уравнение относительно Вводим замену Тогда

Откуда

Возвращаемся к старой переменной:

Получили ответ:

Пример 5. Решить уравнение

Решение. 1-й способ. Подбором убеждаемся, что Х = 2– корень уравнения. Функции (т. е. ) и монотонно возрастают (рис. 6.12). Они имеют единственную общую точку.

Показательные уравнения с переменным основанием

2-й способ. Разделим обе части уравнения на 2Х. Получим:

или

Заменим Получим

При Х = 2 получим основное тригонометрическое тождество, т. е. Х = 2 является корнем исходного уравнения.

Получили ответ: Х = 2.

Пример 6. Решить уравнение

Перепишем уравнение в виде

Разделим обе части уравнения на (так как ). Получим:

Вводим замену

Получаем квадратное уравнение откуда

Возвращаемся к старой переменной:

Но ни один из корней не подходит по ОДЗ. Следовательно, уравнение корней не имеет.

Пример 7. Решить уравнение

Решением является совокупность

Корень X = 2 не подходит по ОДЗ.

Получили ответ: X = 1, X = 3.

Видео:Показательное уравнение с переменной в основанииСкачать

Показательные уравнения

О чем эта статья:

6 класс, 7 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Сложные показательные уравнения: примеры и способы решенияСкачать

Определение показательного уравнения

Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.

Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:

Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.

С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a

Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.

Свойства степеней

Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.