Показательные уравнения с параметрами егэ примеры решения (4 видео)

Показательные и логарифмические уравнения с параметром

Содержание

Показательные уравнения c параметром
Логарифмические уравнения с параметром
Решение показательных уравнений с параметрами
Показательные уравнения, неравенства и системы с параметром
п.1. Примеры
📸 Видео

Видео:ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 10 класс решение показательных уравненийСкачать

Показательные уравнения c параметром

Как правило, чтобы решить показательные уравнения с параметром нужно привести их квадратному или линейному уравнению. Обычно это можно сделать при помощи метода замены переменных. Но надо быть внимательным – при замене (t=a^x), новая переменная (t) всегда положительна.

Найдите все значения параметра (a), при которых уравнение ((a+1)(4^x+4^)=5) имеет единственное решение.

Заметим, что (a+1 > 0), так как (4^x+4^ > 0). Сделаем замену (t=4^x); (t > 0) $$ (a+1)(t+frac)=5;$$ $$(a+1)t^2-5t+a+1=0$$ $$_=frac<5±sqrt> .$$
Уравнение будет иметь единственное решение, если $$D=25-4(a+1)^2=0 $$ $$a+1=±frac$$ (a=-3.5 -) не подходит;
(a=1.5;)

Видео:ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

Логарифмические уравнения с параметром

Чтобы решить логарифмические уравнения, надо обязательно записывать ОДЗ, а затем провести необходимые равносильные преобразования или сделать замену, чтобы свести уравнение к более простому.

Решите уравнение (log_a (x^2)+2log_a (x+1)=2) для каждого (a).

Перейдем от суммы логарифмов к их произведению:

При условии, что (1-4a≥0 ⇔ 0 0).

При условии, что $$ 1+4a>0 ⇔ a>0$$ корень $$x=frac-frac<sqrt>$$ не подходит, так как ( x>0.)

Найдите все значения параметра (a), при которых уравнение (log_4 (16^x+a)=x) имеет два действительных и различных корня.

При помощи равносильного преобразования приведем наше уравнение к виду:

Сделаем замену: (t=4^x>0 ⇔ t^2-t+a=0,)

Полученное квадратное уравнение должно иметь корни (0 0, \D≥0, \D>0, \ _>0; end $$ $$ begin a>0, \1-4a>0, \ 1/2>0; end $$ $$ begin a>0, \a

Видео:Показательные уравнения. 11 класс.Скачать

Решение показательных уравнений с параметрами

Разделы: Математика

Цели урока: Учащиеся должны знать способы решений уравнений вида – показательная функция и уметь применять при решении задач.

Ход урока.

Для первой группы учащихся выдавались следующие задания.

Для каждого значения a решить уравнения:

Задания для второй группы учащихся.

Указать число решений в зависимости от параметра а.

Третья группа решает уравнения, сводящиеся к квадратным.

Задание 1. Решить уравнение p · 4 x – 4 · 2 x + 1 = 0 и указать число решений в зависимости от параметра p.

Задание 2. При каких a уравнение 9 x + (2a + 4) · 3 x + 8a + 1 = 0 имеет единственное решение.

Задание 3. Указать число решений уравнения 49 x + 2p · 7 x + p 2 – 1 = 0 в зависимости от параметра p.

Задание 4. При каких значениях p уравнение 4 x – (5p – 3) · 2 x + 4p 2 – 3p = 0 имеет единственное решение.

Выступление первой группы – решение показательных уравнений вида

Докладывает лидер первой группы и привлекает к своему докладу участников этой группы. То есть диалог идёт ученик – ученик.

Решение исходного уравнения сводится к решению линейного уравнения с параметрами kx = b.

Если k = 0, b = 0, то 0 · x = 0, – любое действительное число.

Если k = 0, b ≠ 0, то 0 · x = b – нет решений.

Если k ≠ 0, то , один корень.

Задание 1. Решить уравнение .

Докладчик решает у доски с комментариями, остальные записывают в тетрадях.

Значит уравнение (1) можно представить в виде (a – 1)(a + 4)x = (a – 1)(a – 1)(a – 3).

Исследуем полученное уравнение:

Ответ:

На этом выступление первой группы закончено. Решение остальных заданий этой группы см. Приложение, стр. 1.

Выступление второй группы – решение уравнений вида

Докладывает лидер второй группы и привлекает к обсуждению этого вопроса всех учащихся. Исходное уравнение равносильно уравнению ax 2 + bx + c₁ = c₀, или ax 2 + bx + c = 0.

Далее идёт диалог ученик–ученик.

Какое уравнение получили? – Это уравнение степени не выше второй.
При a = 0, bx + c = 0, получили линейное уравнение, которое может иметь одно решение, не иметь корней, или иметь бесконечное множество решений.
При a ≠ 0, ax 2 + bx + c = 0, квадратное уравнение.
От чего зависит число решений квадратного уравнения? – Число решений квадратного уравнения зависит от дискриминанта. Если D = 0 то квадратное уравнение имеет одно решение. Если D > 0, то два решения. Если D 2 + 2(a + 3)x + a + 2 = 0.

Ответ:

На этом выступление второй группы закончено. Решение остальных заданий этой группы см. Приложение, стр. 2.

Выступление третьей группы – решение уравнений вида af 2 (x) + bf(x) + c = 0, где f(x) – показательная функция. Способ решения – введение новой переменной. f(x) = t, t > 0.

Слово предоставляется выступающему от третьей группы. Он докладывает, что их группа решала уравнения вида: (1) af 2 (x) + bf(x) + c = 0, где f(x) – показательная функция. Способ решения – введение новой переменной. f(x) = t, t > 0.

Исходное уравнение (1) равносильно

Далее докладчик задаёт вопросы, а учащиеся отвечают на них.

При каких условиях уравнение (1) имеет один корень?

При a = 0 уравнение (2) становится линейным, значит может иметь только один корень, и он должен быть положительным.
Если D = 0, уравнение (2) имеет один корень, и он должен быть положительным.
Если D > 0, уравнение (2) имеет два корня, но они должны быть различных знаков.
Если D > 0, уравнение (2) имеет два корня, но один из низ нуль. А второй положительный.

При каких условиях уравнение (1) имеет два корня?

Исходное уравнение имеет два корня, если уравнение (2) имеет два корня и оба они положительны.

При каких условиях уравнение (1) не имеет корней?

Ответим на вопрос: При каких значениях p уравнение (1) имеет один корень?

Если одно решение. Обсуждается вопрос какие ещё могли быть варианты при t = 0 – нет решений, при t 0.

Уравнение будет иметь единственное решение при условии. Что дискриминант уравнения (2) есть число положительное, но корни при этом имеют различные знаки. Эти условия достигаются с помощью теоремы Виета. Чтобы корни квадратного трёхчлена были действительными и имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнение соотношений.

Итак, уравнение (1) имеет единственное решение при p ≤ 0, p = 4.

Теперь остаётся ответить на вопрос. При каких условиях исходное уравнение (2) имеет два решения? Это возможно, если уравнение (2) имеет два корня и оба они положительны. По теореме Виета для того, чтобы корни квадратного трёхчлена были действительными и при этом оба были положительными, необходимо и достаточно выполнение соотношений.

Исходное уравнение имеет два корня при 0 0, то уравнение (2) имеет корни, но они оба отрицательны.

Итак, D 4. При p > 4 – нет решений. Второе условие равносильно следующим соотношениям.

Значит уравнение (1) не имеет решений при p > 4.

Ответ:

При p = 4, p ≤ 0 одно решение.
При 0 4 нет решений.

На этом выступление третьей группы закончено. Решение остальных заданий этой группы см. Приложение, стр. 3.

Домашнее задание.

Задание 1. Найти все значения параметра a, при которых уравнение (a – 3) · 4 x – 8 · 6 x + (a +3) 9 x = 0 не имеет корней.

Задание 2.Указать число решений уравнения p · 2 x + 2 –x – 5 = 0 в зависимости от параметра p.

Задание 3. Выяснить при каких значениях a уравнение . имеет решения, найти эти решения.

Задание 4. Найти все значения p при которых уравнение (p – 1) · 4 x – 4 · 2 x + (p + 2) = 0 имеет хотя бы одно решение.

Задание 5. Указать число решений уравнения a · 12 |x| = 2 – 12 –|x| в зависимости от параметра a.

Видео:Сложные показательные уравнения: примеры и способы решенияСкачать

Показательные уравнения, неравенства и системы с параметром

п.1. Примеры

Пример 1. Решите уравнение:
a) (3cdot 4^+27=a+acdot 4^)
(3cdot 4^-acdot 4^=a-27)
(4^(3-a)=a-27)
(4^=frac)
По свойствам показательной функции дробь справа должна быть положительной:
(fracgt 0Rightarrowfraclt 0)

(3lt alt 27)
(x-2=log_4frac)
(x=2+log_4frac)
Ответ:
При (aleq 3cup ageq 27) решений нет, (xinvarnothing)
При (3lt alt 27, x=2+log_4frac)

2) (D=0) при (a=1, t=frac22=1)
(11^=1=11^0Rightarrow |x|=0Rightarrow x=0) — один корень

3) (Dgt 0) при (alt 1, t_=frac<2pm 2sqrt>=1pm sqrt)
Корень (t_2=1+sqrt) положительный при всех (alt 1)
Получаем для (x: 11^=1+sqrtRightarrow |x|=log_(1+sqrt))
(log_(1+sqrt)geq 0,) т.к. (1+sqrtgeq 1), логарифм может быть равен модулю.
Получаем пару решений: (x=pm log_(1+sqrt))

Для корня (t_1=1-sqrt) решаем неравенство (учитывая (alt 1)):
( 1-sqrtgt 0Rightarrowsqrtlt 1Rightarrow begin 1-alt 1\ alt 1 end Rightarrow begin agt 0\ alt 1 end Rightarrow 0lt alt 1 )
Тогда (|x|=log_(1-sqrt), но log_11⁡(log_(1-sqrtlt 0) и не может быть равен модулю. Значит, для корня (t_1) решений нет.

Ответ:
При (agt 1) решений нет, (xinvarnothing)
При (a=1) один корень (x=0)
При (alt 1) два корня (x=pm log_⁡(1+sqrt)

Пример 2. При каких значениях (a) неравенство (4^x-acdot 2^x-a+3leq 0) имеет хотя бы одно решение?
Замена: (t=2^x)
Функция (f(t)=t^2-at-a+3) – это парабола ветками вверх, которая будет иметь отрицательную область значений, если (Dgt 0) и будет равна 0 при (D=0).
Неравенство будет иметь решение, когда у соответствующего уравнения появятся корни.
(D=a^2-4cdot (-a+3)=a^2+4a-12geq 0)
((a+6)(a-2)geq 0)

(aleq -6cup aleq 2)