Показательные уравнения одз для степени

49. Показательные уравнения, показательно-степенные уравнения

Показательным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестную величину в показателе степени при постоянном основании A (A > 0).

Типы показательных уравнений и способы их решения

Всюду далее F(X), G(X) – некоторые выражения с неизвестной величиной X.

I тип: уравнение вида

Показательные уравнения одз для степенигде Показательные уравнения одз для степени(6.2)

Имеет решение, если B > 0. Его решают логарифмированием по основанию A:

Показательные уравнения одз для степени

Показательные уравнения одз для степени(6.3)

Решение уравнения (6.3) производят соответственно типу этого уравнения.

II тип: Уравнение вида

Показательные уравнения одз для степенигде Показательные уравнения одз для степени(6.4)

По свойству равенства степеней равносильно уравнению

Показательные уравнения одз для степени

Последнее уравнение решают в зависимости от его типа.

III тип: уравнение вида

Показательные уравнения одз для степени(6.5)

Где F – некоторое выражение относительно Показательные уравнения одз для степени

Производят замену переменной Показательные уравнения одз для степении решают уравнение F(Y) = 0.

Если Показательные уравнения одз для степени– корни уравнения, то после возвращения к старой переменной решение уравнения (6.5) сводится к решению равносильной ему совокупности уравнений

Показательные уравнения одз для степени

IV тип: уравнения, решаемые графическим методом.

Для таких уравнений строят соответствующие графики для левой и правой частей уравнения. Определяют, для каких значений X графики имеют общую ординату. Используют также иные функциональные свойства, в частности, монотонность функции (возрастание, убывание).

Показательно-степенным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная величина содержится и в основании степени, и в показателе. Такие уравнения принято решать при условии, что основания степени положительны (ОДЗ уравнения).

Типы показательно-степенных уравнений

I тип: уравнение вида

Показательные уравнения одз для степени(6.6)

Решение уравнения (6.6) на ОДЗ сводится к решению совокупности

Показательные уравнения одз для степени

II тип: уравнение вида

Показательные уравнения одз для степени(6.7)

Решение уравнения (6.7) на ОДЗ сводится к решению совокупности

Показательные уравнения одз для степени

Пример 1. Решить уравнение Показательные уравнения одз для степени

Решение. 1-й способ. Имеем уравнение I типа (формула (6.2)). Решаем логарифмированием по основанию 3. Получаем:

Показательные уравнения одз для степенит. е. Показательные уравнения одз для степени

Приходим к линейному уравнению

Показательные уравнения одз для степени

Откуда Показательные уравнения одз для степени

2-й способ. Преобразуем правую часть при помощи основного логарифмического тождества: Показательные уравнения одз для степени

Получили уравнение II типа (формула (6.4)), которое решаем по свойству равенства степеней:

Показательные уравнения одз для степени

Пришли к ответу: Показательные уравнения одз для степени

Пример 2. Решить уравнение Показательные уравнения одз для степени

Решение. Выполним необходимые преобразования, сведем показательные выражения к одному и тому же основанию 3:

Показательные уравнения одз для степени

Показательные уравнения одз для степени

По свойству степеней: Показательные уравнения одз для степени

Получаем ответ: Х = 0.

Пример 3. Решить уравнение Показательные уравнения одз для степени

Решение. Преобразуем уравнение

Показательные уравнения одз для степени

Имеем квадратное уравнение относительно 2Х. Решаем при помощи замены Показательные уравнения одз для степениПолучаем:

Показательные уравнения одз для степени

Корнями последнего уравнения являются значения Показательные уравнения одз для степениПоказательные уравнения одз для степени

Возвращаясь к неизвестной X, имеем совокупность:

Показательные уравнения одз для степени

Первое уравнение совокупности решений не имеет. Решаем второе уравнение:

Показательные уравнения одз для степенит. е. Показательные уравнения одз для степени

Получили ответ: Х = 3.

Пример 4. Решить уравнение Показательные уравнения одз для степени

Решение. Выполним необходимые преобразования:

Показательные уравнения одз для степени

Имеем однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на 92Х (92Х ¹ 0). Получим:

Показательные уравнения одз для степени

Показательные уравнения одз для степени

Т. е. получили квадратное уравнение относительно Показательные уравнения одз для степениВводим замену Показательные уравнения одз для степениТогда

Показательные уравнения одз для степени

Откуда Показательные уравнения одз для степени

Возвращаемся к старой переменной:

Показательные уравнения одз для степени

Получили ответ: Показательные уравнения одз для степени

Пример 5. Решить уравнение Показательные уравнения одз для степени

Решение. 1-й способ. Подбором убеждаемся, что Х = 2– корень уравнения. Функции Показательные уравнения одз для степени(т. е. Показательные уравнения одз для степени) и Показательные уравнения одз для степенимонотонно возрастают (рис. 6.12). Они имеют единственную общую точку.

Показательные уравнения одз для степени

2-й способ. Разделим обе части уравнения на 2Х. Получим:

Показательные уравнения одз для степениили Показательные уравнения одз для степени

Заменим Показательные уравнения одз для степениПолучим Показательные уравнения одз для степени

При Х = 2 получим основное тригонометрическое тождество, т. е. Х = 2 является корнем исходного уравнения.

Получили ответ: Х = 2.

Пример 6. Решить уравнение Показательные уравнения одз для степени

Перепишем уравнение в виде

Показательные уравнения одз для степени

Разделим обе части уравнения на Показательные уравнения одз для степени(так как Показательные уравнения одз для степени). Получим:

Показательные уравнения одз для степени

Вводим замену Показательные уравнения одз для степени

Получаем квадратное уравнение Показательные уравнения одз для степениоткуда Показательные уравнения одз для степениПоказательные уравнения одз для степени

Возвращаемся к старой переменной:

Показательные уравнения одз для степени

Но ни один из корней не подходит по ОДЗ. Следовательно, уравнение корней не имеет.

Пример 7. Решить уравнение Показательные уравнения одз для степени

Показательные уравнения одз для степени

Решением является совокупность

Показательные уравнения одз для степени

Корень X = 2 не подходит по ОДЗ.

Получили ответ: X = 1, X = 3.

Видео:Показательные уравнения. 11 класс.Скачать

Показательные уравнения. 11 класс.

Решение показательных уравнений через ОДЗ

Продолжаем изучать тему решение показательных уравнений. Иногда можно получить решение показательного уравнения с опорой только лишь на область допустимых значений (ОДЗ) переменной для этого уравнения. То есть, в некоторых случаях возможно решение показательных уравнений через ОДЗ. В этой статье мы разберем такие случаи. Здесь мы дадим соответствующую теорию, и рассмотрим примеры решения характерных показательных уравнений через ОДЗ.

Видео:ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных Уравнений

Теория

Через ОДЗ решаются уравнения, область допустимых значений переменной для которых представляет собой пустое множество или конечный набор чисел. Например, через ОДЗ можно решить показательные уравнения Показательные уравнения одз для степении Показательные уравнения одз для степени: область допустимых значений для первого из них является пустым множеством, а ОДЗ для второго уравнения является одним единственным числом 0 .

Метод решения уравнений через ОДЗ, в том числе и показательных, базируется на двух следующих моментах:

  • Если ОДЗ для уравнения есть пустое множество, то уравнение не имеет решений.
  • Если ОДЗ для уравнения состоит из нескольких чисел, то через проверку подстановкой выясняется, какие из этих чисел являются корнями, а какие – не являются.

Так показательное уравнение Показательные уравнения одз для степенине имеет решений, так как ОДЗ для него есть пустое множество. Для показательного уравнения Показательные уравнения одз для степениОДЗ есть единственное число 0 , проверка подстановкой показывает, что это число является корнем уравнения, следовательно, нуль – это единственный корень уравнения.

За более полной информацией обращайтесь к общей статье решение уравнений через ОДЗ.

Видео:11 класс, 12 урок, Показательные уравненияСкачать

11 класс, 12 урок, Показательные уравнения

Примеры решения характерных показательных уравнений

Что представляет собой характерное показательное уравнение, которое решается через ОДЗ? Это уравнение, для решения которого не подходят другие более привычные методы решения показательных уравнений, и ОДЗ для которого является пустым множеством или множеством, состоящим из нескольких чисел. Вот пример такого уравнения Показательные уравнения одз для степени. Давайте разберем его решение.

Решите показательное уравнение Показательные уравнения одз для степени

Видео:ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 10 класс решение показательных уравненийСкачать

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 10 класс решение показательных уравнений

Показательные уравнения

Показательные уравнения одз для степени

О чем эта статья:

6 класс, 7 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Это просто! Как решать Показательные Неравенства?Скачать

Это просто! Как решать Показательные Неравенства?

Определение показательного уравнения

Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.

Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:

Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.

С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a

Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.

Свойства степеней

Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.

🎬 Видео

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ😩 #математика #shorts #егэ #огэ #уравнение #показательныеуравненияСкачать

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ😩 #математика #shorts #егэ #огэ #уравнение #показательныеуравнения

§12 Показательные уравненияСкачать

§12 Показательные уравнения

Как решать Показательные Уравнения? (часть 2)Скачать

Как решать Показательные Уравнения? (часть 2)

СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные УравненияСкачать

СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные Уравнения

Показательные уравнения. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Показательные уравнения. Практическая часть.  11 класс.

Показательные уравнения | Алгебра 11 класс #8 | ИнфоурокСкачать

Показательные уравнения | Алгебра 11 класс #8 | Инфоурок

11 класс, 13 урок, Показательные неравенстваСкачать

11 класс, 13 урок, Показательные неравенства

Сложные показательные уравнения: примеры и способы решенияСкачать

Сложные показательные уравнения: примеры и способы решения

Показательные и логарифмические уравнения. Вебинар | МатематикаСкачать

Показательные и логарифмические уравнения. Вебинар | Математика

Старт Щелчка. №14 Неравенства с нуля и до ЕГЭ за 5 часов | Логарифмы, степени для №5,6,12Скачать

Старт Щелчка. №14 Неравенства с нуля и до ЕГЭ за 5 часов | Логарифмы, степени для №5,6,12

Показательные неравенства. 11 класс.Скачать

Показательные неравенства. 11 класс.

Алгебра 10 класс (Урок№22 - Показательные уравнения. Системы показательных уравнений.)Скачать

Алгебра 10 класс (Урок№22 - Показательные уравнения. Системы показательных уравнений.)

Методы решения показательных уравнений. Урок №25.Скачать

Методы решения показательных уравнений.  Урок №25.

Показательные уравнения за 50 минут | Математика ЕГЭ 10 класс | УмскулСкачать

Показательные уравнения за 50 минут | Математика ЕГЭ 10 класс | Умскул

Показательные уравнения — что это такое и как решатьСкачать

Показательные уравнения — что это такое и как решать
Поделиться или сохранить к себе: