Показательные уравнения и их системы

Показательные уравнения – уравнения, которые содержат неизвестное в показателе степени.

Уравнение вида: (a^x = b, где a > 0, a ≠ 1) называется простейшим показательным уравнением.

Методы решения показательных уравнений:

1. В результате преобразований уравнение можно привести к виду (a^=a^c) . Тогда применяем свойство: (a^=a^c Rightarrow f(x)=c) .
2. При получении уравнения вида ( a ^ = b ) используется определение логарифма, получим: (f(x)=log_a b) .
3. В результате преобразований можно получить уравнение вида (a^=b^) . Применяется логарифмирование: (log_ca^=log_cb^) . Далее применяем свойство логарифма степени: (f(x)cdot log_ca=g(x)cdot log_cb) . Выражаем и находим (x) .

Пример 1. Решить уравнение: (3^ + 3^x − 3^ = 35) .

Решение: Метод решения уравнений такого вида – вынести за скобки степень с наименьшим показателем. В данном случае выносим (3^) за скобки: (3^ (3^3 + 3^2 − 1) = 35 Rightarrow 3^· 35 = 35 Rightarrow 3^ = 1) .

Последнее равенство запишем как (3^=3^0) и, ввиду монотонности показательной функции, заключаем, что (x-2=0 Rightarrow x=2) .

Пример 2. Решить уравнение: (4^ − 2^ − 8 = 0 ) .

Решение: Перепишем уравнение следующим образом: (2^ − 2cdot 2^ − 8 = 0 ) . Вводя замену (t=2^x) , получим квадратное уравнение относительно (t) : (t^2-2t-8=0) . Находим его корни: (t_1=4, t_2=-2) . Остается сделать обратную замену. Уравнение (2^ x = 4) имеет единственный корень (x = 2) . Уравнение (2 ^x = −2) корней не имеет, так как показательная функция (y=2^x) не может принимать отрицательных значений.

Системы уравнений, состоящие из показательных уравнений, называются системой показательных уравнений.

Пример 3. Решить систему уравнений: (begin 2^-3^y=-1,\ 3^y-2^x=2. \end)

Решение: Данная система равносильна системе (begin 2cdot 2^-3^y=-1\ 3^y-2^x=2 \end) . Пусть (2^x=u (u>0), 3^y=v (v>0)) , тогда получим: (begin 2u-v=-1 \ v-u=2\ end) . Решим полученную систему методом сложения. Сложим уравнения: (2u-v+v-u=-1+2 Rightarrow u=1) . Тогда из второго уравнения получим, что (v=2+u=2+1=3) . Переходим к обратной подстановке: (begin 2^x=1 \ 3^y=3 \ end Rightarrow begin x=0 \ y=1 \ end ) .

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Содержание:

Рассмотрим уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится в показателе степени. Например:

Уравнения такого вида принято называть показательными.

Решении показательных уравнений

При решении показательных уравнений нам будет полезно следствие из теоремы о свойствах показательной функции.

Пусть

Каждому значению показательной функции соответствует единственный показатель s.

Пример:

Решение:

Согласно следствию из равенства двух степеней с одинаковым основанием 3 следует равенство их показателей. Таким образом, данное уравнение равносильно уравнению

Пример:

Решение:

а) Данное уравнение равносильно (поясните почему) уравнению

Если степени с основанием 3 равны, то равны и их показатели:

Решив это уравнение, получим

Ответ:

При решении каждого уравнения из примера 2 сначала обе части уравнения представили в виде степени с одним и тем же основанием, а затем записали равенство показателей этих степеней.

Пример:

Решение:

а) Данное уравнение равносильно уравнению

Решая его, получаем:

Так как две степени с одинаковым основанием 2 равны, то равны и их показатели, т. е. откуда находим

б) Разделив обе части уравнения на получим уравнение равносильное данному. Решив его, получим

Ответ:

При решении примера 3 а) левую часть уравнения разложили на множители. Причем за скобку вынесли такой множитель, что в скобках осталось числовое выражение, не содержащее переменной.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Обозначим тогда

Таким образом, из данного уравнения получаем

откуда находим:

Итак, с учетом обозначения имеем:

При решении примера 4 был использован метод введения новой переменной, который позволил свести данное уравнение к квадратному относительно этой переменной.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Можно заметить, что 2 — корень данного уравнения. Других корней уравнение не имеет, так как функция, стоящая в левой части уравнения, возрастающая, а функция, стоящая в правой части уравнения, убывающая. Поэтому уравнение имеет не более одного корня (см. теорему из п. 1.14).

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Пример:

При каком значении а корнем уравнения является число, равное 2?

Решение:

Поскольку х = 2 — корень, то верно равенство

Решив это уравнение, найдем

Ответ: при

Показательные уравнения и их системы

Показательным уравнением называется уравнение, в ко тором неизвестное входит в показатель степени. При решении показательных уравнений полезно использовать следующие тождества:

Приведем методы решения некоторых типов показательных уравнений.

1 Приведение к одному основанию.

Метод основан на следующем свойстве степеней: если две степени равны и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнения надо попытаться привести к виду . Отсюда

Пример №1

Решите уравнение

Решение:

Заметим, что и перепишем наше уравнение в виде

Применив тождество (1), получим Зх — 7 = -7х + 3, х = 1.

Пример №2

Решить уравнение

Решение:

Переходя к основанию степени 2, получим:

Согласно тождеству (2), имеем

Последнее уравнение равносильно уравнению 4х-19 = 2,5х.

2 Введение новой переменной.

Пример №3

Решить уравнение

Решение:

Применив тождество 2, перепишем уравнение как

Введем новую переменную: Получим уравнение

которое имеет корни Однако кореньне удовлетворяет условию Значит,

Пример №4

Решить уравнение

Решение:

Разделив обе части уравнения на получим:

последнее уравнение запишется так:

Решая уравнение, найдем

Значение не удовлетворяет условию Следовательно,

Пример №5

Решить уравнение

Решение:

Заметим что Значит

Перепишем уравнение в виде

Обозначим Получим

Получим

Корнями данного уравнения будут

Следовательно,

III Вынесение общего множителя за скобку.

Пример №6

Решить уравнение

Решение:

После вынесения за скобку в левой части , а в правой , получим Разделим обе части уравнения на получим

Системы простейших показательных уравнений

Пример №7

Решите систему уравнений:

Решение:

По свойству степеней система уравнений равносильна следующей

системе :Отсюда получим систему

Очевидно, что последняя система имеет решение

Пример №8

Решите систему уравнений:

Решение:

По свойству степеней система уравнений равносильна следующей системе: Последняя система, в свою очередь, равносильна системе:

Умножив второе уравнение этой системы на (-2) и сложив с первым, получим уравнение —9х=-4. Отсюда, найдем Подставив полученное значение во второе уравнение, получим

Пример №9

Решите систему уравнений:

Решение:

Сделаем замену: Тогда наша система примет вид:

Очевидно, что эта система уравнений имеет решение

Тогда получим уравнения

Приближенное решение уравнений

Пусть многочлен f(х) на концах отрезка [a,b] принимает значения разных знаков, то есть . Тогда внутри этого отрезка существует хотя бы одно решение уравнения Дх)=0. Это означает, что существует такое (читается как «кси»), что

Это утверждение проиллюстрировано на следующем чертеже.

Рассмотрим отрезок содержащий лишь один корень уравнения .

Метод последовательного деления отрезка пополам заключается в последовательном разделении отрезка [a, b] пополам до тех пор, пока длина полученного отрезка не будет меньше заданной точности

1. вычисляется значение f(х) выражения
2. отрезок делится пополам, то есть вычисляется значение
3. вычисляется значение выражения f(х) в точке
4. проверяется условие
5. если это условие выполняется, то в качестве левого конца нового отрезка выбирается середина предыдущего отрезка, то есть полагается, что (левый конец отрезка переходит в середину);
6. если это условие не выполняется, то правый конец нового отрезка переходит в середину, то есть полагается, что b=x;
7. для нового отрезка проверяется условие
8. если это условие выполняется , то вычисления заканчиваются. При этом в качестве приближенного решения выбирается последнее вычисленное значение х. Если это условие не выполняется, то, переходя к пункту 2 этого алгоритма, вычисления продолжаются.

Метод последовательного деления пополам проиллюстрирован на этом чертеже:

Для нахождения интервала, содержащего корень уравнения вычисляются значения

Оказывается, что для корня данного уравнения выполнено неравенство. Значит, данное уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий интервалу (-1 -А; 1+А). Для приближенного вычисления данного корня найдем целые и удовлетворяющие неравенству

Пример №10

Найдите интервал, содержащий корень уравнения

Решение:

Поделив обе части уравнения на 2 , получим,

Так как, для нового уравнения

Значит, в интервале, уравнение имеет хотя бы один корень. В то же время уравнение при не имеет ни одного корня, так как,

выполняется. Значит, корень уравнения лежит в (-2,5; 0). Для уточнения этого интервала положим Для проверим выполнение условия

Значит, уравнение имеет корень, принадлежащий интервалу (-1; 0).

Нахождение приближенного корня с заданной точностью

Исходя из вышесказанного, заключаем, что если выполнено неравенство корень уравнения принадлежит интервалу

ПустьЕсли приближенный

корень уравнения с точностью . Если то корень лежит в интервале если то корень лежит в интервале . Продолжим процесс до нахождения приближенного значения корня с заданной точностью.

Пример №11

Найдите приближенное значение корня уравнения с заданной точностью

Решение:

Из предыдущего примера нам известно, что корень лежит в интервале

(-1; 0). Из того, что заключаем, что корень лежит в интервале (-0,5; 0).

Так как, |(-0,25)41,5(-0,25)2+2,5(-0,25)+0,5| = |-0,046| 1. Если

Пусть

Изображения графиков показательной функции подсказывают это свойство. На рисунке 27 видно, что при а > 1 большему значению функции соответствует большее значение аргумента. А на рисунке 30 видно, что при 0

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Показательные уравнения и системы

п.1. Определение показательного уравнения

Например:
1) (5^=5^3Leftrightarrow x^2+2=3Leftrightarrow x^2=1Leftrightarrow x=pm 1)
Мы получили решение: (x=pm 1)
2) (left(frac13right)^<sqrt>=frac<sqrt>Leftrightarrow left(frac13right)^<sqrt>=left(frac13right)^Leftrightarrow sqrt=frac12Leftrightarrow begin x-4=frac14\ x-4geq 0 end Leftrightarrow x=4frac14 )
Мы получили решение: (x=4frac14)

п.2. Методы решения показательных уравнений

Для решения показательных уравнений применяются следующие методы:
1) переход от уравнения (a^=a^) к равносильному уравнению (f(x)=g(x));
2) графический метод;
3) замена переменной.

Первый метод был продемонстрирован выше, второй – показан в примере 3 предыдущего параграфа (§26 данного справочника).
Рассмотрим третий метод.

Решим уравнение (9^x-6cdot 3^x-27=0)
Заметим, что (9^x=3^). Проведём замену переменной (t=3^xgt 0)
Получаем: (t^2-6t-27Rightarrow (t+3)(t-9)=0Rightarrow left[ begin t=-3lt 0 — text\ t=9 end right. )
Возвращается к исходной переменной: (3^x=9Rightarrow 3^x=3^2Rightarrow x=2)
Ответ: 2

При замене переменной в показательном уравнении необходимо помнить, что область значений показательной функции (t=a^xgt 9) — всегда положительна.

п.3. Примеры

в) (3^xcdot 4^=0,25cdot 12^)
Выражение слева: (3^xcdot 4^=3^xcdot 4^=3^xcdot 4^xcdot 4^=frac14(3cdot 4)^x=frac14cdot 12^x)
Подставляем: (frac14cdot 12^x=frac14cdot 12^)
(12^x=12^)
(x=3-2x)
(3x=3)
(x=1)
Ответ: 1

e) (5^x-5cdot 5^=4)
Замена: (t=5^xgt 0)
(t-frac5t-4=0Rightarrowfrac=0Rightarrow begin t^2-4t-5=0\ tne 0 end Rightarrow begin (t+1)(t-5)=0\ tne 0 endRightarrow )
( Rightarrow left[ begin t=-1lt 0 — text\ t=5 end right. )
(5^x=5)
(x=1)
Ответ: 1

в) (xcdot 3^+3cdot 3^<sqrt>=3^x+xcdot 3^<sqrt>)
(xcdot 3^-3^x=xcdot 3^<sqrt>-3cdot 3^<sqrt>)
(3^(x-3)=3^<sqrt>(x-3))
(3^(x-3)-3^<sqrt>(x-3)=0)
(left(3^-3^<sqrt>right)(x-3)=0)
( left[ begin 3^-3^<sqrt>=0\ x-3=0 end right. Rightarrow left[ begin 3^=3^<sqrt>\ x=3 end right. Rightarrow left[ begin x-1=sqrt\ x=3 end right. )
Решаем первое уравнение:
( begin (x-1)^2=7-x\ x-1geq 0\ 7-xgeq 0 end )
ОДЗ: ( begin xgeq 1\ xleq 7 end Rightarrow 1leq xleq 7 )
(x^2-2x+1=7-xRightarrow x^2-x-6Rightarrow (x+2)(x-3)=0Rightarrow left[ begin x=-2\ x=3 end right. )
Корень (x=-2notin [1;7]) — не подходит по ОДЗ.
Остается только (x=3), который совпадает с корнем из скобки ((x-3)).
Ответ: 3

г) (5cdot 3^+15cdot 5^=8cdot 15^x) begin 5cdot 3^+fraccdot 5^-8cdot 3^xcdot 5^x=0 |:2^\ 5+3cdotleft(frac53right)^-8cdotleft(frac53right)^x=0\ 3cdotleft(frac53right)^-8cdotleft(frac53right)^x+5=0 end Замена: (t=left(frac53right)^xgt 0)
$$ 3t^2-8t+5=0Rightarrow (3t-5)(t-1)=0Rightarrow left[ begin t=frac53\ t=1 end right. $$ Оба корня подходят. Возвращаемся к исходной переменной: $$ left[ begin left(frac53right)^x=frac53\ left(frac53right)^x=1 end right. Rightarrow left[ begin x=1\ x=0 end right. $$ Ответ:

д) ((2+sqrt)^x+(2-sqrt)^x)=4)
Заметим, что ((2+sqrt)cdot(2-sqrt)=4-3=1Rightarrow 2-sqrt=frac<2+sqrt>)
begin \ (2+sqrt)^x+left(frac<2+sqrt>right)^x=4 end Замена: (t=(2+sqrt)^x)
begin t+frac 1t-4=0Rightarrow frac=0Rightarrow begin t^2-4t+1=0\ tne 0 end\ D=4^2-4=12, t=frac<4pm 2sqrt>=2pmsqrt end Оба корня подходят. Возвращаемся к исходной переменной: $$ left[ begin (2+sqrt)^x=2-sqrt\ (2+sqrt)^x=2+sqrt end right. Rightarrow left[ begin x=-1\ x=1 end right. $$ Ответ: (left)

e) (2sqrtcdot 4^x+5cdot 2^+2sqrt=2^+5sqrtcdot 2^x+4)
ОДЗ: (xgeq 0)
begin 2sqrtcdot 4^x-5sqrtcdot2^x+2sqrt=2^-5cdot 2^+4\ sqrt(2cdot 4^x-5cdot 2^x+2)=2(2cdot 4^x-5cdot 2^x+2)\ sqrt(2cdot 4^x-5cdot 2^x+2)-2(2cdot 4^x-5cdot 2^x+2)=0\ (sqrt-2)(2cdot 4^x-5cdot 2^x+2)=0\ left[ begin sqrt-2=0\ 2cdot 4^x-5cdot 2^x+2=0 end right. Rightarrow left[ begin x=4\ begin 2t^2-5t+2=0\ t=2^xgt 0 end end right. end Решаем квадратное уравнение: begin 2t^2-5t+2=0Rightarrow (2t-1)(t-2)=0Rightarrow left[ begin t=frac12\ t=2 end right. \ left[ begin 2^x=frac12\ 2^x=2 end right. Rightarrow left[ begin x=-1\ x=1 end right. end (x=-1) — не подходит по ОДЗ (в исходном уравнении есть (sqrt)).
Остается (x=1). И ещё есть (x=4) из скобки ((sqrt-2)).
Ответ:

Пример 3. Решите систему:
a) ( begin 2^xcdot 4^y=64\ 3^xcdot 81^y=3^ end ) begin begin 2^xcdot 2^=2^6\ 3^xcdot 3^=3^ end Rightarrow begin 2^=2^6\ 3^=3^ end Rightarrow begin x+2y=6\ x+4y=10 end overset begin 2y=10-6\ x=6-2y end Rightarrow begin x=2\ y=2 end end Ответ: (2;2)

в) ( begin 3^x-2^=77\ 3^-2^y=7 end )
Замена: ( begin a=3^gt 0\ b=2^ygt 0 end ) begin \ begin a^2-b^2=77\ a-b=7 end Rightarrow begin (a-b)(a+b)=77\ a-b=7 end Rightarrow begin a+b=11\ a-b=7 end overset begin 2a=11+7\ 2b=11-7 end Rightarrow begin a=9\ b=2 end end Возвращаемся к исходным переменным: $$ begin 3^=9\ 2^y=2 end Rightarrow begin frac x2=2\ y=1 end Rightarrow begin x=4\ y=1 end $$ Ответ: (4;1)

г) ( begin 2^x+2^y=12\ x+y=5 end )
( begin 2^x+2^=12\ y=5-x end )
Решаем первое уравнение: (2^x+frac=12)
(t=2^xgt 0) begin \ t+frac-12=0Rightarrow frac=0 Rightarrow begin t^2-12t+32=0\ tne 0 end \ t^2-12t+32=0Rightarrow (t-4)(t-8)=0Rightarrow left[ begin t=4\ t=8 end right. \ left[ begin 2^x=4\ 2^x=8 end right. Rightarrow left[ begin x=2\ x=3 end right. end Получаем две пары решений: ( left[ begin begin x=2\ y=5-x=3 end\ begin x=3\ y=5-x=2 end end right. )
Ответ:

д*) ( begin 4^+4^=frac\ 2^=8sqrt end )
begin \ begin left(frac12right)^+left(frac12right)^=frac\ frac<2^>=frac<4sqrt> end Rightarrow begin left(frac12right)^+left(frac12right)^=frac\ left(frac12right)^xleft(frac12right)^y=frac<8sqrt> end end Замена: ( begin a=left(frac12right)^gt 0\ b=left(frac12right)^gt 0 end )
begin \ begin a^2+b^2=frac\ ab=frac<8sqrt> end Rightarrow begin a^2+left(frac<8sqrta>right)^2=frac\ b=frac<8sqrta> end Rightarrow begin a^2+frac=frac\ b=frac<8sqrta> end end Решаем биквадратное уравнение: begin a^2+frac=fracRightarrow frac=0Rightarrow begin 128a^4-66a^2+1=0\ ane 0 end \ 128a^4-66a^2+1=0Rightarrow (64a^2-1)(2a^2-1)=0Rightarrow left[ begin a^2=frac\ a^2=frac12 end right. end По определению замены берем положительные корни: ( left[ begin a=frac18\ a=frac<sqrt> end right. )
Получаем две пары решений: ( left[ begin begin a=frac18\ b=frac<8sqrta>=frac<sqrt> end \ begin a=frac<sqrt>\ b=frac<8sqrta>=frac18 end end right. )
Возвращаемся к исходным переменным:
( left[ begin begin left(frac12right)^x=frac18\ left(frac12right)^y=frac<sqrt> end \ begin left(frac12right)^x=frac<sqrt>\ left(frac12right)^y=frac18 end end right. Rightarrow left[ begin begin left(frac12right)^x=left(frac12right)^3\ left(frac12right)^y=left(frac12right)^ end \ begin left(frac12right)^x=left(frac12right)^\ left(frac12right)^y=left(frac12right)^3 end end right. Rightarrow left[ begin begin x=3\ y=0,5 end \ begin x=0,5\ y=3 end end right. )
Ответ: