Показательные уравнения и их системы (5 видео)

Показательные уравнения и их системы

Показательные уравнения – уравнения, которые содержат неизвестное в показателе степени.

Уравнение вида: (a^x = b, где a > 0, a ≠ 1) называется простейшим показательным уравнением.

Методы решения показательных уравнений:

В результате преобразований уравнение можно привести к виду (a^=a^c) . Тогда применяем свойство: (a^=a^c Rightarrow f(x)=c) .
При получении уравнения вида ( a ^ = b ) используется определение логарифма, получим: (f(x)=log_a b) .
В результате преобразований можно получить уравнение вида (a^=b^) . Применяется логарифмирование: (log_ca^=log_cb^) . Далее применяем свойство логарифма степени: (f(x)cdot log_ca=g(x)cdot log_cb) . Выражаем и находим (x) .

Пример 1. Решить уравнение: (3^ + 3^x − 3^ = 35) .

Решение: Метод решения уравнений такого вида – вынести за скобки степень с наименьшим показателем. В данном случае выносим (3^) за скобки: (3^ (3^3 + 3^2 − 1) = 35 Rightarrow 3^· 35 = 35 Rightarrow 3^ = 1) .

Последнее равенство запишем как (3^=3^0) и, ввиду монотонности показательной функции, заключаем, что (x-2=0 Rightarrow x=2) .

Пример 2. Решить уравнение: (4^ − 2^ − 8 = 0 ) .

Решение: Перепишем уравнение следующим образом: (2^ − 2cdot 2^ − 8 = 0 ) . Вводя замену (t=2^x) , получим квадратное уравнение относительно (t) : (t^2-2t-8=0) . Находим его корни: (t_1=4, t_2=-2) . Остается сделать обратную замену. Уравнение (2^ x = 4) имеет единственный корень (x = 2) . Уравнение (2 ^x = −2) корней не имеет, так как показательная функция (y=2^x) не может принимать отрицательных значений.

Системы уравнений, состоящие из показательных уравнений, называются системой показательных уравнений.

Пример 3. Решить систему уравнений: (begin 2^-3^y=-1,\ 3^y-2^x=2. \end)

Решение: Данная система равносильна системе (begin 2cdot 2^-3^y=-1\ 3^y-2^x=2 \end) . Пусть (2^x=u (u>0), 3^y=v (v>0)) , тогда получим: (begin 2u-v=-1 \ v-u=2\ end) . Решим полученную систему методом сложения. Сложим уравнения: (2u-v+v-u=-1+2 Rightarrow u=1) . Тогда из второго уравнения получим, что (v=2+u=2+1=3) . Переходим к обратной подстановке: (begin 2^x=1 \ 3^y=3 \ end Rightarrow begin x=0 \ y=1 \ end ) .

Содержание

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения
Решении показательных уравнений
Показательные уравнения и их системы
Пример №1
Пример №2
Пример №3
Пример №4
Пример №5
Пример №6
Системы простейших показательных уравнений
Пример №7
Пример №8
Пример №9
Приближенное решение уравнений
Пример №10
Нахождение приближенного корня с заданной точностью
Пример №11
Показательные уравнения и системы
п.1. Определение показательного уравнения
п.2. Методы решения показательных уравнений
п.3. Примеры
🔍 Видео

Видео:ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Содержание:

Рассмотрим уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится в показателе степени. Например:

Уравнения такого вида принято называть показательными.

Видео:10 класс. Алгебра. Системы показательных уравнений.Скачать

Решении показательных уравнений

При решении показательных уравнений нам будет полезно следствие из теоремы о свойствах показательной функции.

Пусть

Каждому значению показательной функции соответствует единственный показатель s.

Пример:

Решение:

Согласно следствию из равенства двух степеней с одинаковым основанием 3 следует равенство их показателей. Таким образом, данное уравнение равносильно уравнению

Пример:

Решение:

а) Данное уравнение равносильно (поясните почему) уравнению

Если степени с основанием 3 равны, то равны и их показатели:

Решив это уравнение, получим

Ответ:

При решении каждого уравнения из примера 2 сначала обе части уравнения представили в виде степени с одним и тем же основанием, а затем записали равенство показателей этих степеней.

Пример:

Решение:

а) Данное уравнение равносильно уравнению

Решая его, получаем:

Так как две степени с одинаковым основанием 2 равны, то равны и их показатели, т. е. откуда находим

б) Разделив обе части уравнения на получим уравнение равносильное данному. Решив его, получим

Ответ:

При решении примера 3 а) левую часть уравнения разложили на множители. Причем за скобку вынесли такой множитель, что в скобках осталось числовое выражение, не содержащее переменной.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Обозначим тогда

Таким образом, из данного уравнения получаем

откуда находим:

Итак, с учетом обозначения имеем:

При решении примера 4 был использован метод введения новой переменной, который позволил свести данное уравнение к квадратному относительно этой переменной.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Можно заметить, что 2 — корень данного уравнения. Других корней уравнение не имеет, так как функция, стоящая в левой части уравнения, возрастающая, а функция, стоящая в правой части уравнения, убывающая. Поэтому уравнение имеет не более одного корня (см. теорему из п. 1.14).

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Пример:

При каком значении а корнем уравнения является число, равное 2?

Решение:

Поскольку х = 2 — корень, то верно равенство

Решив это уравнение, найдем

Ответ: при

Показательные уравнения и их системы

Показательным уравнением называется уравнение, в ко тором неизвестное входит в показатель степени. При решении показательных уравнений полезно использовать следующие тождества:

Приведем методы решения некоторых типов показательных уравнений.

1 Приведение к одному основанию.

Метод основан на следующем свойстве степеней: если две степени равны и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнения надо попытаться привести к виду . Отсюда

Пример №1

Решите уравнение

Решение:

Заметим, что и перепишем наше уравнение в виде

Применив тождество (1), получим Зх — 7 = -7х + 3, х = 1.

Пример №2

Решить уравнение

Решение:

Переходя к основанию степени 2, получим:

Согласно тождеству (2), имеем

Последнее уравнение равносильно уравнению 4х-19 = 2,5х.

2 Введение новой переменной.

Пример №3

Решить уравнение

Решение:

Применив тождество 2, перепишем уравнение как

Введем новую переменную: Получим уравнение

которое имеет корни Однако кореньне удовлетворяет условию Значит,

Пример №4

Решить уравнение

Решение:

Разделив обе части уравнения на получим:

последнее уравнение запишется так:

Решая уравнение, найдем

Значение не удовлетворяет условию Следовательно,

Пример №5

Решить уравнение

Решение:

Заметим что Значит

Перепишем уравнение в виде

Обозначим Получим

Получим

Корнями данного уравнения будут

Следовательно,

III Вынесение общего множителя за скобку.

Пример №6

Решить уравнение

Решение:

После вынесения за скобку в левой части , а в правой , получим Разделим обе части уравнения на получим

Системы простейших показательных уравнений

Пример №7

Решите систему уравнений:

Решение:

По свойству степеней система уравнений равносильна следующей

системе :Отсюда получим систему

Очевидно, что последняя система имеет решение

Пример №8

Решите систему уравнений:

Решение:

По свойству степеней система уравнений равносильна следующей системе: Последняя система, в свою очередь, равносильна системе:

Умножив второе уравнение этой системы на (-2) и сложив с первым, получим уравнение —9х=-4. Отсюда, найдем Подставив полученное значение во второе уравнение, получим

Пример №9

Решите систему уравнений:

Решение:

Сделаем замену: Тогда наша система примет вид:

Очевидно, что эта система уравнений имеет решение

Тогда получим уравнения

Приближенное решение уравнений

Пусть многочлен f(х) на концах отрезка [a,b] принимает значения разных знаков, то есть . Тогда внутри этого отрезка существует хотя бы одно решение уравнения Дх)=0. Это означает, что существует такое (читается как «кси»), что

Это утверждение проиллюстрировано на следующем чертеже.

Рассмотрим отрезок содержащий лишь один корень уравнения .

Метод последовательного деления отрезка пополам заключается в последовательном разделении отрезка [a, b] пополам до тех пор, пока длина полученного отрезка не будет меньше заданной точности

вычисляется значение f(х) выражения
отрезок делится пополам, то есть вычисляется значение
вычисляется значение выражения f(х) в точке
проверяется условие
если это условие выполняется, то в качестве левого конца нового отрезка выбирается середина предыдущего отрезка, то есть полагается, что (левый конец отрезка переходит в середину);
если это условие не выполняется, то правый конец нового отрезка переходит в середину, то есть полагается, что b=x;
для нового отрезка проверяется условие
если это условие выполняется , то вычисления заканчиваются. При этом в качестве приближенного решения выбирается последнее вычисленное значение х. Если это условие не выполняется, то, переходя к пункту 2 этого алгоритма, вычисления продолжаются.

Метод последовательного деления пополам проиллюстрирован на этом чертеже:

Для нахождения интервала, содержащего корень уравнения вычисляются значения

Оказывается, что для корня данного уравнения выполнено неравенство. Значит, данное уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий интервалу (-1 -А; 1+А). Для приближенного вычисления данного корня найдем целые и удовлетворяющие неравенству

Пример №10

Найдите интервал, содержащий корень уравнения

Решение:

Поделив обе части уравнения на 2 , получим,

Так как, для нового уравнения

Значит, в интервале, уравнение имеет хотя бы один корень. В то же время уравнение при не имеет ни одного корня, так как,

выполняется. Значит, корень уравнения лежит в (-2,5; 0). Для уточнения этого интервала положим Для проверим выполнение условия

Значит, уравнение имеет корень, принадлежащий интервалу (-1; 0).

Нахождение приближенного корня с заданной точностью

Исходя из вышесказанного, заключаем, что если выполнено неравенство корень уравнения принадлежит интервалу

ПустьЕсли приближенный

корень уравнения с точностью . Если то корень лежит в интервале если то корень лежит в интервале . Продолжим процесс до нахождения приближенного значения корня с заданной точностью.

Пример №11

Найдите приближенное значение корня уравнения с заданной точностью

Решение:

Из предыдущего примера нам известно, что корень лежит в интервале

(-1; 0). Из того, что заключаем, что корень лежит в интервале (-0,5; 0).

Так как, |(-0,25)41,5(-0,25)2+2,5(-0,25)+0,5| = |-0,046| 1. Если

Пусть

Изображения графиков показательной функции подсказывают это свойство. На рисунке 27 видно, что при а > 1 большему значению функции соответствует большее значение аргумента. А на рисунке 30 видно, что при 0

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Показательные уравнения. 11 класс.Скачать

Показательные уравнения и системы

п.1. Определение показательного уравнения

Например:
1) (5^=5^3Leftrightarrow x^2+2=3Leftrightarrow x^2=1Leftrightarrow x=pm 1)
Мы получили решение: (x=pm 1)
2) (left(frac13right)^<sqrt>=frac<sqrt>Leftrightarrow left(frac13right)^<sqrt>=left(frac13right)^Leftrightarrow sqrt=frac12Leftrightarrow begin x-4=frac14\ x-4geq 0 end Leftrightarrow x=4frac14 )
Мы получили решение: (x=4frac14)

п.2. Методы решения показательных уравнений

Для решения показательных уравнений применяются следующие методы:
1) переход от уравнения (a^=a^) к равносильному уравнению (f(x)=g(x));
2) графический метод;
3) замена переменной.

Первый метод был продемонстрирован выше, второй – показан в примере 3 предыдущего параграфа (§26 данного справочника).
Рассмотрим третий метод.

Решим уравнение (9^x-6cdot 3^x-27=0)
Заметим, что (9^x=3^). Проведём замену переменной (t=3^xgt 0)
Получаем: (t^2-6t-27Rightarrow (t+3)(t-9)=0Rightarrow left[ begin t=-3lt 0 — text\ t=9 end right. )
Возвращается к исходной переменной: (3^x=9Rightarrow 3^x=3^2Rightarrow x=2)
Ответ: 2

При замене переменной в показательном уравнении необходимо помнить, что область значений показательной функции (t=a^xgt 9) — всегда положительна.

п.3. Примеры

в) (3^xcdot 4^=0,25cdot 12^)
Выражение слева: (3^xcdot 4^=3^xcdot 4^=3^xcdot 4^xcdot 4^=frac14(3cdot 4)^x=frac14cdot 12^x)
Подставляем: (frac14cdot 12^x=frac14cdot 12^)
(12^x=12^)
(x=3-2x)
(3x=3)
(x=1)
Ответ: 1

e) (5^x-5cdot 5^=4)
Замена: (t=5^xgt 0)
(t-frac5t-4=0Rightarrowfrac=0Rightarrow begin t^2-4t-5=0\ tne 0 end Rightarrow begin (t+1)(t-5)=0\ tne 0 endRightarrow )
( Rightarrow left[ begin t=-1lt 0 — text\ t=5 end right. )
(5^x=5)
(x=1)
Ответ: 1

в) (xcdot 3^+3cdot 3^<sqrt>=3^x+xcdot 3^<sqrt>)
(xcdot 3^-3^x=xcdot 3^<sqrt>-3cdot 3^<sqrt>)
(3^(x-3)=3^<sqrt>(x-3))
(3^(x-3)-3^<sqrt>(x-3)=0)
(left(3^-3^<sqrt>right)(x-3)=0)
( left[ begin 3^-3^<sqrt>=0\ x-3=0 end right. Rightarrow left[ begin 3^=3^<sqrt>\ x=3 end right. Rightarrow left[ begin x-1=sqrt\ x=3 end right. )
Решаем первое уравнение:
( begin (x-1)^2=7-x\ x-1geq 0\ 7-xgeq 0 end )
ОДЗ: ( begin xgeq 1\ xleq 7 end Rightarrow 1leq xleq 7 )
(x^2-2x+1=7-xRightarrow x^2-x-6Rightarrow (x+2)(x-3)=0Rightarrow left[ begin x=-2\ x=3 end right. )
Корень (x=-2notin [1;7]) — не подходит по ОДЗ.
Остается только (x=3), который совпадает с корнем из скобки ((x-3)).
Ответ: 3

г) (5cdot 3^+15cdot 5^=8cdot 15^x) begin 5cdot 3^+fraccdot 5^-8cdot 3^xcdot 5^x=0 |:2^\ 5+3cdotleft(frac53right)^-8cdotleft(frac53right)^x=0\ 3cdotleft(frac53right)^-8cdotleft(frac53right)^x+5=0 end Замена: (t=left(frac53right)^xgt 0)
$$ 3t^2-8t+5=0Rightarrow (3t-5)(t-1)=0Rightarrow left[ begin t=frac53\ t=1 end right. $$ Оба корня подходят. Возвращаемся к исходной переменной: $$ left[ begin left(frac53right)^x=frac53\ left(frac53right)^x=1 end right. Rightarrow left[ begin x=1\ x=0 end right. $$ Ответ:

д) ((2+sqrt)^x+(2-sqrt)^x)=4)
Заметим, что ((2+sqrt)cdot(2-sqrt)=4-3=1Rightarrow 2-sqrt=frac<2+sqrt>)
begin \ (2+sqrt)^x+left(frac<2+sqrt>right)^x=4 end Замена: (t=(2+sqrt)^x)
begin t+frac 1t-4=0Rightarrow frac=0Rightarrow begin t^2-4t+1=0\ tne 0 end\ D=4^2-4=12, t=frac<4pm 2sqrt>=2pmsqrt end Оба корня подходят. Возвращаемся к исходной переменной: $$ left[ begin (2+sqrt)^x=2-sqrt\ (2+sqrt)^x=2+sqrt end right. Rightarrow left[ begin x=-1\ x=1 end right. $$ Ответ: (left)

e) (2sqrtcdot 4^x+5cdot 2^+2sqrt=2^+5sqrtcdot 2^x+4)
ОДЗ: (xgeq 0)
begin 2sqrtcdot 4^x-5sqrtcdot2^x+2sqrt=2^-5cdot 2^+4\ sqrt(2cdot 4^x-5cdot 2^x+2)=2(2cdot 4^x-5cdot 2^x+2)\ sqrt(2cdot 4^x-5cdot 2^x+2)-2(2cdot 4^x-5cdot 2^x+2)=0\ (sqrt-2)(2cdot 4^x-5cdot 2^x+2)=0\ left[ begin sqrt-2=0\ 2cdot 4^x-5cdot 2^x+2=0 end right. Rightarrow left[ begin x=4\ begin 2t^2-5t+2=0\ t=2^xgt 0 end end right. end Решаем квадратное уравнение: begin 2t^2-5t+2=0Rightarrow (2t-1)(t-2)=0Rightarrow left[ begin t=frac12\ t=2 end right. \ left[ begin 2^x=frac12\ 2^x=2 end right. Rightarrow left[ begin x=-1\ x=1 end right. end (x=-1) — не подходит по ОДЗ (в исходном уравнении есть (sqrt)).
Остается (x=1). И ещё есть (x=4) из скобки ((sqrt-2)).
Ответ:

Пример 3. Решите систему:
a) ( begin 2^xcdot 4^y=64\ 3^xcdot 81^y=3^ end ) begin begin 2^xcdot 2^=2^6\ 3^xcdot 3^=3^ end Rightarrow begin 2^=2^6\ 3^=3^ end Rightarrow begin x+2y=6\ x+4y=10 end overset begin 2y=10-6\ x=6-2y end Rightarrow begin x=2\ y=2 end end Ответ: (2;2)

в) ( begin 3^x-2^=77\ 3^-2^y=7 end )
Замена: ( begin a=3^gt 0\ b=2^ygt 0 end ) begin \ begin a^2-b^2=77\ a-b=7 end Rightarrow begin (a-b)(a+b)=77\ a-b=7 end Rightarrow begin a+b=11\ a-b=7 end overset begin 2a=11+7\ 2b=11-7 end Rightarrow begin a=9\ b=2 end end Возвращаемся к исходным переменным: $$ begin 3^=9\ 2^y=2 end Rightarrow begin frac x2=2\ y=1 end Rightarrow begin x=4\ y=1 end $$ Ответ: (4;1)

г) ( begin 2^x+2^y=12\ x+y=5 end )
( begin 2^x+2^=12\ y=5-x end )
Решаем первое уравнение: (2^x+frac=12)
(t=2^xgt 0) begin \ t+frac-12=0Rightarrow frac=0 Rightarrow begin t^2-12t+32=0\ tne 0 end \ t^2-12t+32=0Rightarrow (t-4)(t-8)=0Rightarrow left[ begin t=4\ t=8 end right. \ left[ begin 2^x=4\ 2^x=8 end right. Rightarrow left[ begin x=2\ x=3 end right. end Получаем две пары решений: ( left[ begin begin x=2\ y=5-x=3 end\ begin x=3\ y=5-x=2 end end right. )
Ответ:

д*) ( begin 4^+4^=frac\ 2^=8sqrt end )
begin \ begin left(frac12right)^+left(frac12right)^=frac\ frac<2^>=frac<4sqrt> end Rightarrow begin left(frac12right)^+left(frac12right)^=frac\ left(frac12right)^xleft(frac12right)^y=frac<8sqrt> end end Замена: ( begin a=left(frac12right)^gt 0\ b=left(frac12right)^gt 0 end )
begin \ begin a^2+b^2=frac\ ab=frac<8sqrt> end Rightarrow begin a^2+left(frac<8sqrta>right)^2=frac\ b=frac<8sqrta> end Rightarrow begin a^2+frac=frac\ b=frac<8sqrta> end end Решаем биквадратное уравнение: begin a^2+frac=fracRightarrow frac=0Rightarrow begin 128a^4-66a^2+1=0\ ane 0 end \ 128a^4-66a^2+1=0Rightarrow (64a^2-1)(2a^2-1)=0Rightarrow left[ begin a^2=frac\ a^2=frac12 end right. end По определению замены берем положительные корни: ( left[ begin a=frac18\ a=frac<sqrt> end right. )
Получаем две пары решений: ( left[ begin begin a=frac18\ b=frac<8sqrta>=frac<sqrt> end \ begin a=frac<sqrt>\ b=frac<8sqrta>=frac18 end end right. )
Возвращаемся к исходным переменным:
( left[ begin begin left(frac12right)^x=frac18\ left(frac12right)^y=frac<sqrt> end \ begin left(frac12right)^x=frac<sqrt>\ left(frac12right)^y=frac18 end end right. Rightarrow left[ begin begin left(frac12right)^x=left(frac12right)^3\ left(frac12right)^y=left(frac12right)^ end \ begin left(frac12right)^x=left(frac12right)^\ left(frac12right)^y=left(frac12right)^3 end end right. Rightarrow left[ begin begin x=3\ y=0,5 end \ begin x=0,5\ y=3 end end right. )
Ответ: