Показать что молярные теплоемкости ср сv r уравнение майера (8 видео)

Показать что молярные теплоемкости ср сv r уравнение майера

Теплоёмкость идеального газа. Уравнение Майера

Теплоёмкость тела характеризуется количеством теплоты, необходимой для нагревания этого тела на один градус:

(4.2.1)

Однако, теплоёмкость – величина неопределённая, поэтому пользуются понятиями удельной и молярной теплоёмкости.

Удельная теплоёмкость (С_уд) есть количество теплоты, необходимое для нагревания единицы массы вещества на 1 градус [C_уд] = Дж/К.

Для газов удобно пользоваться молярной теплоемкостью Cμ— количество теплоты, необходимое для нагревания 1 моля газа на 1 градус:

(4.2.2)

Из п. 1.2 известно, что молярная масса – масса одного моля:

Теплоёмкость термодинамической системы зависит от того, как изменяется состояние системы при нагревании.

Если газ нагревать при постоянном объёме, то всё подводимое тепло идёт на нагревание газа, то есть изменение его внутренней энергии. Теплоёмкость при этом обозначается С_V.

С_Р – теплоемкость при постоянном давлении. Если нагревать газ при постоянном давлении Р в сосуде с поршнем, то поршень поднимется на некоторую высоту h, то есть газ совершит работу (рис. 4.2).

Итак, проводимое тепло и теплоёмкость зависят от того, каким путём осуществляется передача тепла. Значит, Q и С не являются функциями состояния.

Величины С_Р и С_V оказываются связанными простыми соотношениями. Найдём их.

Пусть мы нагреваем один моль идеального газа при постоянном объёме(dA = 0). Тогда первое начало термодинамики запишем в виде:

(4.2.3)

Теплоемкость при постоянном объёме будет равна:

(4.2.4)

Из (4.2.4) следует, что

(4.2.5)

Для произвольной идеальной массы газа:

(4.2.6)

При изобарическом процессе, кроме увеличения внутренней энергии, происходит совершение работы газом:

(4.2.7)

(4.2.8)

Из этого следует, что физический смысл универсальной газовой постоянной в том, что R – численно равна работе, совершаемой одним молем газа при нагревании на один градус в изобарическом процессе.

Используя это соотношение, Роберт Майер в 1842 г. вычислил механический эквивалент теплоты: 1 кал = 4,19 Дж.

Полезно знать формулу Майера для удельных теплоёмкостей:

Содержание

Теплоемкости. Уравнение Майера
Уравнение Майера
Теплоемкость. Уравнение Майера
Уравнение Майера для идеального газа
🎬 Видео

Видео:Основы теплотехники. Теплоёмкость газов и газовых смесей. Уравнение МайераСкачать

Теплоемкости. Уравнение Майера

Теплоемкостью называют величину, определяемую количеством теплоты, необходимой для нагревания тела на 1 К:

где 5Q — количество теплоты, сообщение которого повышает температуру тела на d Т. Единица теплоемкости в СИ — джоуль на кельвин (Дж/К).

Вводят также теплоемкость единицы массы вещества (удельная теплоемкость) и 1 моль вещества (молярная теплоемкость).

Удельная теплоемкость вещества — величина, определяемая количеством теплоты, необходимым для нагревания 1 кг вещества на 1 К:

Единица удельной теплоемкости в СИ — джоуль на килограмм-кельвин (Дж/(кг- К)).

Молярная теплоемкость — величина, определяемая количеством теплоты, необходимым для нагревания 1 моль вещества на 1 К:

где v = т/М — количество вещества.

Единица молярной теплоемкости в СИ — джоуль на моль-кельвин (ДжДмоль • К)).

Удельная теплоемкость с связана с молярной С соотношением

где М — молярная масса вещества.

Теплоемкость зависит от условий, при которых телу сообщается теплота и изменяется его температура. Наибольший интерес представляют теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении, если в процессе нагревания вещества его объем или давление поддерживается постоянным.

Согласно первому началу термодинамики (15.2) 5(2 = d(J+ 5/4, отнесенному к 1 моль газа с учетом (13.1) и (16.3):

Если газ нагревается при постоянном объеме, то работа внешних сил равна нулю [см. (13.1)] и сообщаемая газу извне теплота идет только на увеличение его внутренней энергии:

т. е. молярная теплоемкость газа при постоянном объеме С_у равна изменению внутренней энергии 1 моль газа при повышении его температуры на 1 К. Согласно формуле (12.1), dU_m = ^Яс17, тогда

где / — число степеней свободы.

Если газ нагревается при постоянном давлении, то выражение (16.5) можно записать в виде

^г не зависит от вида процесса (внутренняя

энергия идеального газа не зависит ни от р, ни от V, а определяется лишь температурой Т) и всегда равна С_у [см.(16.6)]. Из уравнения Клапейрона-Менделеева [см. (4.3)] при р = const получим pV_m = RT. Тогда (16.8) запишется в виде

Выражение (16.9) называют уравнением Майера. Оно справедливо только для идеального газа.

Из уравнения Майера следует, что С_р> С_у. Это объясняется тем, что при изобарном нагревании газа к нему должно быть подведено большее количество теплоты, чем для такого же изохорного нагревания, так как постоянство давления обеспечивается увеличением объема, и требуется дополнительное количество теплоты на совершение работы расширения газа.

Молярная теплоемкость при постоянном давлении

[учли формулы (16.9) и (16.7)].

При рассмотрении термодинамических процессов важно знать характерное для каждого

газа отношение С к С,:

В табл. 3 приведены значения числа / степеней свободы, С_к, С_р и у = С /С_кпри комнатной температуре.

Из рассмотренного выше следует, что молярные теплоемкости определяются лишь числом степеней свободы и не зависят от температуры. Это утверждение молекулярно-кинетической теории справедливо в довольно широком интервале температур лишь для одноатомных газов. Уже у двухатомных газов число степеней свободы, проявляющееся в теплоемкости, зависит от температуры. Молекула двухатомного газа обладает тремя поступательными, двумя вращательными и одной колебательной степенями свободы.

Согласно закону о равномерном распределении энергии по степеням свободы (см. § 11), для молекулы двухатомного газа С_у равна либо

5 7
— R, либо -R и не зависит от температуры. На

рис. 14 представлена качественная экспериментальная зависимость С_у 1 моль молекулярного водорода от температуры. Оказывается, С_у зависит от температуры: при низкой температуре

при очень высокой — C_v — -R. Это можно

объяснить, предположив, что при низких температурах наблюдается только поступательное движение молекул, при комнатных — добавляется их вращение, а при высоких — к этим двум видам движения добавляются еще колебания молекул. Монотонный характер на кривой (см. рис. 14) свидетельствует о том, что во вращательное и колебательное движения молекулы водорода вовлекаются постепенно.

Расхождение теории и эксперимента нетрудно объяснить. Дело в том, что при вычислении теплоемкости надо учитывать квантование энергии вращения и колебаний молекул (возможны не любые вращательные и колебательные энергии, а лишь определенный дискретный ряд значений энергий). Если энергия теплового движения недостаточна, например, для возбуждения колебаний, то эти колебания не вносят своего вклада в теплоемкость (соответствующая степень свободы «замораживается» — к ней неприменим закон равнораспределения энергии). Этим объясняется, что теплоемкость 1 моль двухатомного газа — водорода — при комнатной

температуре равна ^ R вместо ^ R. Аналогично

можно объяснить уменьшение теплоемкости при низкой температуре («замораживаются» вращательные степени свободы) и увеличение при высокой («возбуждаются» колебательные степени свободы).

Видео:Урок 172. Применение 1 закона термодинамики для различных процессовСкачать

Уравнение Майера

Уравнение Майера связывает теплоемкости идеального газа в двух изопроцессах, тогда перейдем к самому его определению.

Видео:Термодинамика | уравнение МайераСкачать

Теплоемкость. Уравнение Майера

Переданное телу количество теплоты для его нагревания на 1 К получило название теплоемкости тела данной системы. Обозначение принимается буквой » С » :

Значение теплоемкости единицы молярной массы тела:

c μ = C v ( 2 ) . Выражение называется молярной теплоемкостью.

Теплоемкость не считается функцией состояния, так как является характеристикой бесконечно близких состояний системы или выражается в качестве функции бесконечно малого процесса, совершаемого в системе. В количественном выражении это означает, что из ( 1 ) , применяя первое начало термодинамики, дифференциальная форма получится:

C = δ Q d T = d U + p d V d T ( 3 ) .

Видео:Количество теплоты, удельная теплоемкость вещества. 8 класс.Скачать

Уравнение Майера для идеального газа

Определение термодинамической системы производится при помощи трех параметров p , V , T . Существующее между ними отношение получило название уравнения состояния. Для идеального газа используется уравнение Менделеева-Клапейрона. Данная связь запишется в виде:

p = p ( T , V ) или T = T ( p , V ) , V = V ( p , T ) .

При выборе независимых переменных в качестве V и T внутренняя энергия системы выражается в виде функции U = U ( T , V ) . Получим, что значение полного дифференциала от внутренней энергии примет вид:

d U = ∂ U ∂ T V d T + ∂ U ∂ V T d V ( 4 ) .

Произведем подстановку из ( 4 ) в ( 3 ) , тогда

c = ∂ U ∂ T V d T + ∂ U ∂ V T d V + p d V d T = ∂ U ∂ T V + p + ∂ U ∂ V T d V d T ( 5 ) .

Исходя из формулы ( 5 ) , теплоемкость находится в зависимости от процесса. Если он изохорный, то

Значение теплоемкости изохорного процесса запишется как:

C V = ∂ U ∂ T V ( 6 ) .

При изобарном теплоемкость выражается через формулу:

C p = ∂ U ∂ T V + p + ∂ U ∂ V T ∂ V ∂ T p = C V + p + ∂ U ∂ V T ∂ V ∂ T p ( 7 ) .

Перейдем к рассмотрению исследуемой системе идеального газа. Запись малого приращения энергии идеального газа:

d U = i 2 v R d T ( 8 ) .

d U d V T = 0 ( 9 ) .

Состояние идеального газа описывается при помощи уравнения Менделеева-Клапейрона:

∂ V ∂ T p = v R p ( 11 ) .

Произведем подстановку в ( 7 ) из ( 10 ) и ( 11 ) :

C p = C V + p + 0 v R p = C V + v R ( 12 ) .

Выражение ( 12 ) называют выведенным соотношением Майера.

Или для молярных теплоемкостей:

C μ p = C μ V + R ( 13 ) .

Найти удельную теплоемкость смеси 16 г кислорода и 10 г гелия в процессе с постоянным давлением.

Если Q считается количеством тепла, получаемым смесью газов в процессе, то

Q = c p m ∆ T ( 1 . 1 ) , где m является массой смеси, c p – удельной теплоемкостью смеси при неизменном давлении.

Q O 2 — это количество тепла, получаемое кислородом:

Q O 2 = c p O 2 m O 2 ∆ T ( 1 . 2 ) , m O 2 выражается массой кислорода, c p O 2 – теплоемкостью кислорода с постоянным давлением.

Для гелия аналогично:

Q H e = c p H e m H e ∆ T ( 1 . 3 ) .

Кроме этого рассмотрим:

Q = c p m ∆ T = Q O 2 + Q H e = c p O 2 m O 2 ∆ T + c p H e m H e ∆ T ( 1 . 4 ) .

Нахождение массы смеси производится по закону сохранения массы:

m = m O 2 + m H e ( 1 . 5 ) .

Произведем выражение теплоемкости c p из ( 1 . 4 ) , учитывая ( 1 . 5 ) . Тогда имеем:

c p = c p O 2 m O 2 + c p H e m H e m O 2 + m H e ( 1 . 6 ) .

Существует связь между молярной теплоемкостью и удельной:

c μ = c · μ → c = c μ μ ( 1 . 7 ) .

Если c μ V = i 2 R , то по уравнению Роберта Майера c μ p = c μ V + R :

c μ p = i + 2 2 R ( 1 . 8 ) ; i H e = 3 , i O 2 = 5 .

В данном случае удельные теплоемкости запишутся как:

c p H e = 5 2 R μ H e , c p O 2 = 7 R 2 μ O 2 ( 1 . 9 ) .

Результатом будет записанная формула удельной теплоемкости смеси:

c p = 7 R 2 μ O 2 m O 2 + 5 2 R μ H e m H e m O 2 + m H e ( 1 . 10 ) .

c p = 3 , 5 · 8 , 31 · 16 32 + 2 , 5 · 8 , 31 · 10 4 26 = 14 , 5 + 51 , 94 26 = 2 , 56 Д ж г К .

Ответ: удельная теплоемкость смеси равняется 2 , 56 Д ж г К .

При проведении опытов Джоулем было получено, что с μ p — c μ V = 1 , 986 к а л К · м о л ь . Значение газовой постоянной, измеренной в механических единицах R = 8 , 314 · 10 7 э р г К · м о л ь . Определите, как соотносятся 1 к а л , э р г , Д ж .

Основой решения данного задания принято считать уравнение Майера, формула записывается:

с μ p = c μ V + R → c μ p — c μ V = R ( 2 . 1 ) .

Отсюда получим, что:

c μ p — c μ V = 1 , 986 к а л К · м о л ь = 8 , 314 · 10 7 э р г К · м о л ь → 1 к а л = 4 , 18 · 10 7 э р г = 4 , 18 Д ж .

Ответ: 1 к а л = 4 , 18 · 10 7 э р г = 4 , 18 Д ж .