Подготовка к огэ по математике 9 класс уравнения и неравенства

Темы
→ Квадратные уравнения.
→ Линейные уравнения.
→ Линейные неравенства.
→ Неравенства.
→ Метод интервалов в решении неравенств.
→ Разложение квадратного трехчлена на множители.

Видео:Задание 9 на ОГЭ по математике 2023 / Разбираем все типы уравнений за 5 минут!Скачать

Карта качества образования

Рособрнадзор представил результаты новой оценки качества образования по регионам и муниципалитетам.

Видео:Как решать неравенства? Часть 1| МатематикаСкачать

Прокуратура усилит надзор за соблюдением прав школьников накануне ЕГЭ

Прокуратуры субъектов РФ по поручению генерального прокурора Игоря Краснова усилят надзор за соблюдением прав школьников накануне ЕГЭ. Об этом журналистам сообщили в четверг в пресс-службе Генпрокуратуры России.

Видео:Система уравнений VS Система неравенств. ОГЭ по математике №9, 13| Математика TutorOnlineСкачать

Открытые варианты КИМ ЕГЭ 2022

ФИПИ опубликовал открытые варианты контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2022 года.

Видео:Урок 5. Неравенства и системы неравенств. Алгебра ОГЭ. Вебинар | МатематикаСкачать

ВВЕДЕНИЕ

Цель: создать пособие по решению уравнений и неравенств различного вида, встречающихся в ОГЭ.

Задачи: 1) изучить теоретический материал по решению уравнений и неравенств;

2) подобрать уравнения и неравенства, встречающиеся в ОГЭ;

4) собрать уравнения, неравенства и их решения в сборник.

Актуальность: Экзамен по математике является обязательным при прохождении государственной итоговой аттестации по программам основного общего образования, а в текстах ОГЭ в заданиях 1-ой и 2-ой частей присутствуют уравнения и неравенства различных степеней.

Проблема: решение уравнений и неравенств не всем даётся легко, но для написания ОГЭ оно обязательно.

Методы: анализ, сравнение.

Разработанность проблемы: проблема разработана в сборнике по подготовке к ОГЭ по математике Ф.Ф. Лысенко. Мой сборник будет отличаться, тем, что, во-первых, имеет более узкую направленность, а во-вторых, в нём описаны нестандартные способы решения уравнений и неравенств, которые не встречаются в школьной программе, но значительно упрощают работу над некоторыми выражениями.

Первый этап – исследовательский. (октябрь-декабрь 2020 г)

Результатом этого этапа является сбор, анализ и обобщение теоретического материала по решению уравнений и неравенств

Второй этап – практический (декабрь 2020-июнь 2021 гг)

Результатом этого этапа является поиск уравнений и неравенств, встречающихся в ОГЭ, и их решение.

Третий этап – организационный (июль 2021 г)

Результатом этого этапа является составление сборника по решению уравнений и неравенств, встречающихся в ОГЭ.

Четвёртый этап – подведение итогов (август 2021 г)

Результатом этого этапа является создание письменной работы и презентация проекта.

Видео:Неравенства. 2 правила для решения | Математика ОГЭ 2022 | УмскулСкачать

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Видео:Подготовка к ОГЭ . Рациональные неравенства | Математика | TutorOnlineСкачать

Стандартные и нестандартные способы решения уравнений и неравенств

Решение уравнений. Стандартные способы.

Рассмотрим некоторые наиболее часто встречаемые виды и способы решения уравнений.

Со стандартными способами решения уравнений многие из нас знакомы. Главный их принцип – это перенос слагаемых с переменной в одну часть уравнения, без переменной – в другую (прим.: для уравнений первой степени); или разложение уравнения на множители (прим.: уравнения степени больше 1).

Пример №1. Решим уравнение:

Перед нами уравнение первой степени, отсюда следует, что надо произвести некоторого рода сортировку: перенести переменные в левую часть, а оставшиеся выражения в правую:

Далее приводим подобные слагаемые:

Части выражения получились с отрицательным знаком, поэтому уравнение можно домножить на (-1):

Теперь нам остаётся только посчитать x (разделить произведение выражения на известный множитель, в данном случае):

Пример №2. Решим уравнение:

Данное уравнение имеет 2-е дроби, что даёт нам выбор – либо привести обе дроби к общему знаменателю и отбросить его, так как он заведомо положительный, не содержит переменную, а, следовательно, не влияет на ответ; либо сразу домножить всё выражение на этот общий знаменатель:

Пример №3 Решим уравнение:

(x 2 -36)+( x 2 -2 x -24)=0

Данное уравнение имеет вторую степень – значит, нам следует разложить его на множители. Для начала рассмотрим первое слагаемое x 2 -36. Его можно разложить по формуле разности квадратов на два множителя:

( x -6)( x +6)+( x 2 -2 x -24)=0

Далее рассмотрим второе слагаемое x 2 -2 x -24. Чтобы разложить его на множители (прим.: по формуле разложения на множители квадратного трёхчлена: a(x-x₀₁)( x — x ₀₂)…(x-x _n )) надо найти корни данного выражения, что можно легко сделать по теореме Виета:

Подставляем в уравнение слагаемое x 2 -2 x -24 в разложенном виде:

Из преобразованного выражения мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель x-6. Получается, его можно вынести за скобки:

Приводим подобные слагаемые во втором множителе, получившегося выражения:

Учитывая, что произведение двух множителей равно нулю, нужно каждый из множителей привести к нулю и решить полученные уравнения отдельно:

x -6=0 или 2 x +10=0

Для быстроты решения можно обе части второго уравнения разделить на 2:

Пример №4. Решим уравнение:

В этом можем также приравнять оба множителя к нулю и найти корни:

Пример №5. Решим уравнение:

Данное квадратное уравнение является полным, т.е. соответствует виду ax 2 +bx+c=0. Далее мы можем решить его по св-ву коэффициентов (если a+b+c=0, то x₁=1, x ₂=; если a-b+c=0, то x₁=-1, x ₂= ):

Пример №6. Решим уравнение:

Поскольку перед нами дробно-рациональное уравнение, мы должны найти корни, которые будут обращать знаменатель в ноль, чтобы позже исключить их (т.к. на 0 делить нельзя):

Далее приступаем непосредственно к решению уравнения.

Домножим обе части уравнения на x -2*, чтобы получить целое выражение.

*Так как мы обозначили в условии, что переменная x не должна равняться 2, то такое действие допускается.

2 x 2 -3 x -2= x 3 -2 x 2

Обе части уравнения можем разложить на множители:

(2 x +1)( x -2)= x 2 ( x -2)

Далее перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель x -2:

Решим отдельно обе части уравнения, так как хотя бы один из множителей равен нулю:

x -2=0 2 x +1- x 2 =0 |*(-1)

По условию, x не должен быть равен 2. Значит, у нас всего два корня: 1+ ; 1- .

Пример №7. Решим уравнение:

Так как переменная x находится в знаменателе, мы должны указать, что она не равняется 0.

Для решения данного уравнения нам понадобится ввести дополнительную переменную y = x + , или, другими словами, прибегнуть к способу замены переменной (выражения с переменной).

Далее выразим x 3 + через y .

x 3 + =( x + )( x 2 + — 1)

Из равенства y = x + находим, что y 2 = x 2 + +2), значит x 2 + = y 2 -2.

Выносим общий множитель y за скобки:

Возвращаемся к замене:

Так как выражение x 2 +1 заведомо положительно (к выражению, вовзедённому в квадрат прибавляется положительное число), то первое уравнение корней не имеет. Остаётся:

Отсюда корни уравнения x = ; .

Пример №8. Решим уравнение:

Чтобы избавиться от переменной y мы можем сложить эти два уравнения, так как тогда y взаимоуничтожится:

3x 2 + y +4 x 2 — y =6+1

Приводим подобные слагаемые:

Находим отсюда x:

Далее нам нужно найти значение y, что мы можем сделать, выразив его через x:

y =6-3 x 2 =3 (из первого уравнения в системе)

Запишем каждую пару значений отдельно друг от друга в круглых скобках:

Пример №9. Решим систему уравнений:

Данную систему легче всего решать методом подстановки: выразить из наиболее простого уравнения одну из переменных и подставить в другое уравнение. Выразим из 2-ого уравнения переменную x :

Подставим в 1-ое уравнение:

Для удобства можем домножить всё выражение на 4:

(1-3 y ) 2 -4 y 2 -2+6 y -4 y =0.

Далее раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

1-6 y +9 y 2 -4 y 2 +6 y -2-4 y =0

Применим св-во коэффициентов, чтобы найти корни уравнения:

Найдём значения переменной x , подставив полученные корни в формулу, по которой мы выразил переменную x :

Пример №10. Решим систему уравнений:

Для начала, так как обе переменных системы находятся в знаменателях дробей 1-ого уравнения, поставим ограничения:

Далее приведём 1-ое уравнение к общему знаменателю:

Знаменатель мы можем отбросить, так как указали все ограничения, а число 8 априори больше нуля. Получаем такую систему:

Её также следует решать методом подстановки. Выразим переменную y из 2-ого уравнения:

Подставим в 1-ое уравнение:

8 x -3 x (12- x )+8(12- x )=0

8 x -36 x +3 x 2 +96-8 x =0

3 x 2 -36 x +96=0 |: 3

Найдём корни полученного выражения через формулу дискриминанта, делённого на 4 (эта формула применяется как альтернатива обычного дискриминанта только в том случае, если коэффициент b является чётным числом):

Найдём значения переменной y , подставив полученные значения переменной x в формулу, через которые мы выражали y :

Решение неравенств. Стандартные способы.

Решение неравенства в своём начальном виде мало чем отличается от решения уравнения. Для решения неравенства первой степени нам нужно найти минимальное/максимальное значение x , а для решения неравенства со степенью больше 1 следует разложить его на множители. Далее надо отметить полученные точки на числовой прямой и определить знаки выражений в полученных интервалах, учитывая знак неравенства.

Рассмотрим всё это на примерах.

Пример №11. Решим неравенство первой степени:

Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а всё остальное – в правую:

Чтобы избавиться от минуса, домножим обе части неравенства на (-1):

Далее найдём граничную точку:

Пример №12. Решим неравенство:

Сначала, как и в предыдущем примере, раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

0,4 x +4-9-0,5 x x -5 x -50 x x >-50

Для решения неравенств со степенью больше 1 применяется метод интервалов. Метод интервалов заключается в том, чтобы прировнять неравенство к нулю, найти корни этого выражения, разложить многочлен на множители, отметить их на числовой прямой, выяснить, какие знаки имеет многочлен в полученных интервалах и далее соотнести их со знаком самого неравенства.

Пример №13. Решим неравенство:

Для решения неравенства применим метод интервалов.

Разложим выражение на множители. Для этого приравняем его к нулю и найдём корни.

Затем разложим его в соответствии с формулой разложения на множители квадратного трёхчлена:

Далее чертим числовую прямую и отмечаем на ней граничные токи. В данном случае, у нас всего 3 интервала: (- ; 7], [7; 8] и [7; + ). Чтобы понять, какой(ие) из них нам подходят надо узнать на каком промежутке, какой знак будет принимать переменная x . Для этого можно воспользоваться правилом:

Если в разложенном на множители выражении переменная стоит на 1-ом месте с положительным коэффициентом (знаком), то крайний правый интервал имеет значение «+».

Если выражение в разложении на множители не имеет чётных показателей степени, то знак в интервалах чередуется.

В соответствии с этим расставляем знаки в интервалах:

Далее смотрим на знак самого неравенства и выбираем промежутки, соответствующие ему по знаку.

Пример №14. Решите неравенство:

(2 x -3) 2 (3 x -2) 2

Перенесём второе слагаемое из правой части в левую:

(2 x -3) 2 — (3 x -2) 2 0

Разложим выражение по формуле разности квадратов:

(2 x -3-3 x +2)(2 x -3+3 x -2) 0

Приведём подобные слагаемые и раскроем скобки:

У обоих слагаемых полученного неравенства есть общий множитель 5. К тому же коэффициент у переменной отрицательный, что нам не совсем удобно. Поэтому разделим выражение на -1:

Теперь нам нужно разложить выражение на множители. Нетрудно заметить, что на данный момент левая часть неравенства представляет из себя разность квадратов, что помогает нам разложить выражение на 2 множителя:

Приступаем к методу интервалов. Для этого нам надо приравнять неравенство к нулю и найти корни полученного уравнения:

Затем чертим числовую прямую и отмечаем на ней корни, нужный интервал:

Пример №15. Решим неравенство:

Данное неравенство удобнее всего решить методом замены переменной.

t 2 — t t ( t — ) t ( t — )=0

Воспользуемся методом интервалов, чтобы найти нужное решение:

Получается что x -11 принадлежит промежутку (0; ). Отсюда находим x с помощью системы неравенств:

Снова чертим числовую прямую, чтобы понять, какой интервал является решением неравенства (им будет пересечение решений обоих неравенств системы):

Пример №16. Решите неравенство:

Далее нам нужно отдельно поработать с числителем и отдельно со знаменателем. Для этого приравняем оба выражения к нулю и решим полученные уравнения:

Найдём нули числителя:

Затем нам нужно отметить корни на числовой прямой и обозначить знак интервалов и отобрать среди них, нужные нам:

Пример №17. Решим неравенство:

Чтобы решить данное уравнение нам надо привести всё к общему знаменателю. В данном случае, он виден сразу: ( x +1)( x -3) 2 :

Далее поработаем с ограничениями, т.е. со знаменателем:

Эти точки, когда мы будем чертить числовую прямую, изобразим выколотыми. Приравняем запись к нулю, чтобы найти нули числителя:

Дробь равна нуля, когда числитель равен нулю с учётом отличного от нуля знаменателя:

x ( x -3)+4( x +1)+3 x =0

x 2 -3 x +4 x +4+3 x =0

Полученное выражение можно свернуть по формуле квадрата суммы и таким образом быстрее получить x :

(точка x =-2 будет невыколотой)

В итоге мы получаем такое неравенство:

Чертим числовую прямую и отмечаем на ней найденные точки, чтобы узнать решение. Не забываем про то, что два множителя находятся во второй степени– это означает, что знаки в интервалах при переходе через корни этих выражений не меняются:

Также в ответ войдёт точка 2, так как она «закрашена» и подходит по условию – если подставить это число в неравенство, то его значение получится равным нулю.

Пример №18. Решим неравенство:

Начнём с точек в знаменателе:

Так как дискриминант получился меньше нуля, а коэффициент при x 2 неотрицательный, то это выражение является положительным

Далее рассмотрим интересную особенность этого неравенства: в каждом слагаемом с переменной и в числителе, и в знаменателе повторяется одно и то же выражение ( x 2 — x ). Поэтому нетрудно догадаться, что далее мы будем работать с заменой:

Пусть x 2 — x = t

— t : они будут равны -2 и 6. Теперь приводим всё к общему знаменателю и приравняем выражение к нулю:

Отбросим знаменатель и найдём точки числителя:

t ( t -6)-( t +6)( t +2)-( t -6)( t +2)=0

t 2 -6t-t 2 -8t-12-t 2 +4t+12 = 0

Мы получили такое неравенство:

Таким образом, получаем совокупность 2-х систем неравенств:

Или возвращаясь к замене:

Многочлены первых двух неравенств системы имеют отрицательный дискриминант, причём решением 1-ого является множество действительных чисел, а у 2-ого решения нет (так как у 1-ого парабола находится над осью OX и знак неравенства положительный, а у 2-ого парабола также выше OX , но знак неравенства отрицательный).

Точки второго неравенства системы совпадают с точками знаменателя изначального неравенства, к тому же, у системы строгий знак, поэтому мы просто отмечаем решение системы на числовой прямой:

Пример №19. Решите систему неравенств:

Перенесём слагаемые без переменных в обоих неравенствах в правую часть и приведём подобные слагаемые:

Далее домножим второе неравенство на -1 и найдём граничные точки у обоих выражений:

Начертим числовую прямую, на которой укажем решения для обоих неравенств. Тот интервал, в котором будет пересечение – нужный нам интервал.

Пример №2 0 . Решим систему неравенств:

В данной системе два неравенств: одно — дробно-рациональное, другое — линейное. Решим каждое по отдельности и затем на общей числовой прямой найдём ответ.

Рассмотрим первое неравенство:

Так как знаменатель является заведомо положительным (выражение 3- x , так как возведено во вторую степень всегда больше нуля, также к нему прибавляется положительное число), то рассмотрим числитель. Обратим внимание на то, что знак останется меньше либо равно нуля:

Отсюда следует, что решением первого неравенства системы будет промежуток: (- ; 9].

Рассмотрим второе неравенство системы:

Оно линейное, поэтому всё, что требуется – это перенести всё в левую часть и привести подобные слагаемые:

Таким образом, решением этого уравнения будет интервал (- ; -3].

Чертим числовую прямую, на которой отмечаем решения обоих неравенств и ищем пересечения:

Пример №21. Решим систему неравенств:

Для начала по отдельности решим отдельно каждое неравенство:

Для удобства домножим на общий знаменатель 42:

54 x +48-98 x -42-42 x -36 x >-36

Таким образом, решение данного неравенства принадлежит промежутку ( ; + ).

Домножим неравенство на 2:

2 x x P ( x )=( x — α )* Q ( x ),

где Q ( x ) – многочлен степени n-1, получающийся при делении P(x) на (x-α).

*Важно отметить, что число α должно принадлежать множеству натуральных чисел.

Чтобы разобраться в данной теореме, следует рассмотреть один пример.

Пример №22. Разложим выражение на множители

3x 5 -2 x 3 -7 x +6=0

Проверим, является ли одним из корней выражения число 1. Проверим это с помощью свойства коэффициентов для квадратного трёхчлена ax 2 + bx + c =0 (Если a + b + c =0, то x ₁=1, x ₂= ; если a — b + c =0, то x ₁=-1, x ₂= ).

Убедившись в истинности своего предположения, попробуем представить уравнение в соответствии с теоремой Безу. Для этого поделим 3x 5 -2 x 3 -7 x +6 на x -1:

3 x 5 +0 x 4 -2 x 3 +0 x 2 -7 x +6| x -1

— 3 x 5 +3 x 4 |3 x 4 +3 x 3 + x 2 + x -6

Теперь наше первоначальное уравнение приняло вид (x-1)(3x 4 +3 x 3 + x 2 + x -6). Нетрудно догадаться, что далее мы можем продолжить подобного рода разложение с частью 3x 4 +3 x 3 + x 2 + x -6 и таким образом найти оставшиеся корни.

Также есть вторая часть Теоремы Безу, которая звучит так:

Если число α является корнем уравнения, содержащего многочлен, то α – делитель свободного члена.

Если дробь является корнем уравнения, содержащего многочлен, то p – делитель свободного члена, а q – делитель старшего коэффициента.

Пример №23. Найдём корни уравнения:

7 x 3 -11 x 2 -19 x +26=0

Методом подбора можно найти один из множителей (2):

Теперь воспользуемся теоремой Безу и разделим уравнение на выражение x -2:
7 x 3 -11 x 2 -19 x +26| x -2

— 7 x 3 +14 x |7 x 2 +3 x -13

Мы получили выражение 7 x 2 +3 x -13, корни которого уже будет легче найти через дискриминант:

Пример №24. Решим уравнение:

5 x 3 -19 x 2 +11 x +3=0

По свойству коэффициентов мы можем найти первый корень: 1 (5-19+11+3=0). Исходя из этого воспользуемся теоремой Безу и поделим уравнение на выражение x -1:

5x 3 -19x 2 +11x+3 |x-1

— 5x 3 + 5x 2 |5x 2 -14x-3

Найдём корни 5 x 2 -14 x -3=0 через дискриминант, делёный на 4:

Пример №25. Решим уравнение:

2 x 3 -7 x 2 +5 x -1=0

Воспользуемся вторым частью теоремы Безу, тогда получим:

Среди всех возможных нам подходит . Тогда разделим уравнение на выражение 2 x -1:
2 x 3 -7 x 2 +5 x -1|2 x -1

— 2x 3 + x 2 |x 2 -3x+1

Найдём оставшиеся корни x 2 -3 x +1=0 через дискриминант:

Схема Горнера.

Для более простого перехода к нахождению корней уравнения можно воспользоваться схемой Горнера.

В её действии легче разобраться на примере, что сейчас мы и сделаем.

Пример №26. Разложим выражение на множители:

3x 3 -4 x 2 -17 x +6

По теореме Безу можно сделать вывод, что целые корни выражения находятся среди чисел -1;1;-2;2;-3;3;-6;6 (делители свободного члена). Числа 1 и (-1) можно проверить устно, подставив их в уравнение (по свойству коэффициентов):

3-4-17+6≠0 (подставили 1)

(-3)-4+17+6≠0 (подставили (-1))

Продолжаем проверять предполагаемые корни.

Вот тут себя и проявляет схема Горнера.

Этот вид решения уравнений и неравенств оформляется в виде таблицы, где в заглавиях столбцов находятся все коэффициенты выражения (вместе с их знаками!), а в заглавиях строк – предполагаемые корни:

Сделав все вышеобозначенные приготовления, можно начать проверку. Сначала во вторую строку второго столбца сносим старший коэффициент:

Далее мы перемножаем предполагаемый корень и старший коэффициент, а полученное число прибавляем к следующему в очереди коэффициенту выражения:

Проводим те же операции с получаемыми числами до конца строки. Если в конечной ячейке получился ноль – то проверяемое число является корнем уравнения. Вернёмся к нашей таблице:

Как видите, число 2 – подходит нам. Можно продолжить проверять выведенные раньше числа (предполагаемые корни), а можно обратить внимание на другие числа, полученные в результате нашей проверки. Дело в том, что, если мы поделим уравнение 3x 3 -4 x 2 -17 x +6 на выражение x-2 (снова возвращаемся к теореме Безу), то получим такое выражение:

чьи коэффициенты соответствуют полученным в таблице числам. Исходя из этого, можно найти делители свободного члена нового выражения (1;-1;3;-3) и проверить их в качестве корней. Ранее мы выяснили, что числа 1 и (-1) не подходят, поэтому нам остаются только 3 и (-3). Проверим 3:

Число подошло, и мы получили выражение 3x-1, которое имеет первую степень, поэтому дальше разложения попросту не будет.

Ответ: 3x 3 -4 x 2 -17 x +6=(x+2)(x-3)(3x-1).

Пример №27. Решим уравнение:

6x 4 -7 x 3 -6 x 2 +2 x +1=0

Найдём p и q (др. вариант второй части Теоремы Безу). p будет равно (-1) и 1; q – (-1); 1; (-2); 2; (-3); 3; (-6); 6.

Корни 1 и (-1) не подходят (по свойству коэффициентов).

Составим дроби из оставшегося набора чисел: ; ; ; ; ; .

Начнём проверять их с помощью схемы Горнера:

Корень подошёл, значит, далее проверяем предполагаемые корни, подходящие к полученному нами выражению 6x 3 -4x 2 -8x-2:

Получаем выражение (x — )( x + )(6 x 2 -6 x -6). Последний множитель выражения 6 x 2 -6 x -6 имеет корни ; (найдены с помощью дискриминанта). Тогда выражение будет иметь вид: (x — )( x + )(x — )( x — ).

Пример №28. Решим уравнение:

x 4 +4 x 3 -25 x 2 -16 x +84=0

По теореме Безу корнями нашего уравнения могут, например, оказаться: 2; -2; 3 и т.д., поскольку p = 1; 2; …, а q = 1

1 корень равен быть не может по свойству коэффициентов, поэтому продолжим искать среди других чисел.

Допустим, что один из искомых корней равен 2. Проверим это по схеме Горнера:

Теперь проверим -2:

Таким образом мы получаем уравнение ( x -2)( x +2)( x -3)( x +7)=0 и его корни 2; 3; -7.

Пример №29. Решим уравнение:

x 4 -3 x 3 -3 x 2 +7 x +6=0

По теореме Безу корнями уравнения могут являться 1; 2; 3; 6.

Проверим -1 с помощью схемы Горнера:

Теперь проверим 2:

На данный момент в нашем разложении мы получили такое уравнение: ( x +1)( x -2)( x 2 -2 x -3)=0. Последний множитель можно разложить с помощью теоремы Виета ещё на 2 множителя: ( x +1)( x -3). Итак, мы получаем корни -1; 2; 3.

Видео:Урок 4. Уравнения и системы уравнений. Алгебра ОГЭ . Вебинар | МатематикаСкачать

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Видео:Алгебра с нуля до ОГЭ | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

Работа над проектом

Продуктом моего проекта стал сборник по решению уравнений и неравенств, встречающихся в ОГЭ. Его создание можно разделить на несколько различных этапов, в процессе которых я выяснила много нового и освежила старые знания на тему решения уравнений и неравенств.

Материалом для моего проекта являются уравнения и неравенства, которые я находила в различных источниках.

Для начала я прорешала все задания на данную тему в сборнике «Математика. Подготовка к ОГЭ-2020» под редакцией Ф.Ф. Лысенко и С.О. Иванова. Этих заданий мне показалось недостаточно, тем более что данное пособие предназначено для подготовки к ОГЭ прошлого года, а данный экзамен, как и многие другие, каждый год даже пусть и незначительно, но меняет свою структуру.

Поэтому я зашла на два сайта – Решу ОГЭ и ФИПИ. На первом сайте (Решу ОГЭ) я открыла «Каталог заданий», нашла разделы, связанные с уравнениями и неравенствами и прорешала их. Также на данном сайте я просматривала сами варианты, чтобы выявить определённую динамику в заданиях – какие виды уравнений и неравенств действительно встречаются в ОГЭ. Благодаря последнему я поняла, что в ОГЭ 2021 встречаются такие задания, связанные с темой моего проекта:

Задание 9 (1-ая часть ОГЭ); в нём даются уравнения, причём таких видов: линейные, квадратные, дробно-рациональные и системы уравнений с 2-мя неизвестными;

Задание 13 (1-ая часть ОГЭ); в данном задании встречаются линейные, квадратные неравенства и системы неравенств с 1-ой переменной;

Задание 20 (2-ая часть ОГЭ); здесь даются системы уравнений с 2-мя неизвестными, уравнения со степенью больше 2-х, квадратные и дробно-рациональные неравенства и системы неравенств. Следует отметить, что уравнения и неравенства в данном задании сложнее, чем те, что даются в 9-ом и 13-ом номерах. Это объясняется просто: 2-ая часть ОГЭ всегда сложнее 1-ой.

На ФИПИ я открыла раздел «Банк заданий» и рассмотрела подраздел «Уравнения и неравенства». На этом сайте выбора было значительно больше, чем на Решу ОГЭ, поэтому достаточное количество примеров и заданий в моём сборнике основано на том, что я нашла на ФИПИ.

Также я искала различные уравнения и неравенства на других сайтах (см. Список литературы и интернет-ресурсов).

Виды и типы уравнений и неравенств, которые я включила в свой сборник и их решения.

Мой сборник разделён на 2 части: одна касается уравнений, а вторая – неравенств. В 1-ую часть включены такие виды уравнений:

Системы уравнений с 2-мя переменными;

Уравнения со степенью больше 2-х.

Во 2-ую часть входят такие виды неравенств, как:

Системы неравенств с 1-ой переменной.

Каждый из этих видов можно разделить на определённые типы, которые имеют различные способы решения. Чтобы понять, как я решала задания в моём сборнике, предлагаю разобрать эти типы уравнений и неравенств.

Пример №1. Решим уравнение:

Перед нами уравнение первой степени, отсюда следует, что надо произвести некоторого рода сортировку: перенести слагаемые с переменными в левую часть, а оставшиеся — в правую:

Далее приведём подобные слагаемые:

Для удобства можно домножить на (-1):

Теперь нам остаётся только посчитать x (разделить произведение выражения на известный множитель, в данном случае):

Пример №2. Решим уравнение:

Данный тип уравнений требует для своего решения раскрытия скобок. В остальном он ничем не отличается от простого линейного уравнения (Пример №1):

Пример №3. Решим уравнение:

Данное уравнение имеет 2-е дроби, что даёт нам выбор – либо привести обе дроби к общему знаменателю и отбросить его, так как он заведомо положительный, не имеет переменную, а, следовательно, не влияет на ответ; либо сразу домножить всё выражение на этот общий знаменатель:

Пример №4. Решим уравнение:

Данное квадратное уравнение является полным, т.е. соответствует виду ax 2 +bx+c=0. Далее мы можем решить его по св-ву коэффициентов (если a+b+c=0, то x₁=1, x ₂=; если a-b+c=0, то x₁=-1, x ₂= ):

Пример №5. Решим уравнение:

Данное уравнение является неполным, так как в нём отсутствует слагаемое bx . Но его можно разложить на множители по формуле разности квадратов ( a 2 — b 2 =( a — b )( a + b )):

Пример №6. Решим уравнение:

Это уравнение также является неполным, но в нём уже отсутствует другое слагаемое – c . Для его решения нам достаточно вынести общий множитель (10 x ) за скобку:

Пример №7. Решим уравнение:

В этом можем также приравнять оба множителя к нулю и найти корни:

Пример №8. Решим уравнение:

Поскольку перед нами дробно-рациональное уравнение, мы должны найти корни, которые будут обращать знаменатель в ноль, чтобы позже исключить их (т.к. на 0 делить нельзя):

Далее приступаем непосредственно к решению уравнения.

Домножим обе части уравнения на x -2*, чтобы получить целое выражение.

*Так как мы обозначили в условии, что переменная x не должна равняться 2, то такое действие допускается.

2 x 2 -3 x -2= x 3 -2 x 2

Обе части уравнения можем разложить на множители:

(2 x +1)( x -2)= x 2 ( x -2)

Далее перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель x -2:

Решим отдельно обе части уравнения, так как хотя бы один из множителей равен нулю:

x -2=0 2 x +1- x 2 =0 |*(-1)

По условию, x не должен быть равен 2. Значит, у нас всего два корня: 1+ ; 1- .

Пример №9. Решим уравнение:

Так как знаменатель равен x , мы должны указать, что x не равняется 0.

Для решения данного уравнения нам понадобится ввести дополнительную переменную y = x + , или, другими словами, прибегнуть к способу замены переменной (выражения с переменной).

Далее выразим x 3 + через y .

x 3 + =( x + )( x 2 + — 1)

Из равенства y = x + находим, что y 2 = x 2 + +2), значит x 2 + = y 2 -2.

Выносим общий множитель y за скобки:

Возвращаемся к замене:

Так как выражение x 2 +1 заведомо положительно (к выражению, вовзедённому в квадрат прибавляется положительное число), то первое уравнение корней не имеет. Остаётся:

Отсюда корни уравнения x = ; .

Пример №10. Решим уравнение:

Как и всегда в случае с дробно-рациональными уравнениями, начинаем с ограничений на переменную x :

x 2 -4 0 x ( x +2) 0 x 2 -2 x 0

( x -2)( x +2) 0 x -2; 0 x ( x -2) 0

x 2 x -2; 0 x 0; 2

Далее приступаем к решению самого уравнения. Нужно привести дробь к общему знаменателю, но до этого следует разложить знаменатели отдельных дробей уравнения на множители:

Знаменатель мы можем отбросить, так как указали все ограничения на уравнение и решать уравнение как квадратное:

2 x +( x -4)( x -2)- x -2=0

2 x + x 2 -6 x +8- x -2=0

Находим корни через дискриминант:

Проверяем найденные корни на ограничения: исходя из того, что мы сделали в начале решения, подходит нам только один корень из пары (3).

Пример №11. Решим уравнение:

Далее приводим всё к общему знаменателю:

Наше уравнение получилось биквадртаным (т.е. оно соответствует виду: ax 4 + bx 2 + c =0). Такие уравнения решаются методом замены, где заменяется x 2 :

Пусть x 2 = t , (*) t 0 (так как мы заменяем квадрат переменной x )

Полученное уравнение можно решить по свойству коэффициентов:

Возвращаемся к замене:

По ограничениям нам подходят оба корня:

Пример №12. Решим систему уравнений:

Чтобы избавиться от переменной y мы можем сложить эти два уравнения, так как тогда слагаемые, содержащие её, взаимоуничтожится:

3x 2 + y +4 x 2 — y =6+1

Приводим подобные слагаемые:

Находим отсюда x:

Далее нам нужно найти значение переменной y, что мы можем сделать, выразив его через переменную x:

Запишем каждую пару значений отдельно друг от друга в круглых скобках:

Пример №13. Решим систему уравнений:

Данную систему легче всего решать методом подстановки: выразить из наиболее простого уравнения одну из переменных и подставить в другое уравнение. Выразим из 2-ого уравнения переменную x :

Подставим в 1-ое уравнение:

Для удобства можем домножить всё выражение на 4:

(1-3 y ) 2 -4 y 2 -2+6 y -4 y =0.

Далее раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

1-6 y +9 y 2 -4 y 2 +6 y -2-4 y =0

Применим свойство коэффициентов, чтобы найти корни уравнения:

Найдём значения переменной x , подставив полученные корни в формулу, по которой мы выразили её:

Пример №14. Решим систему уравнений:

Для начала, так как обе переменных системы находятся в знаменателях дробей 1-ого уравнения, поставим ограничения:

Далее приведём 1-ое уравнение к общему знаменателю:

Знаменатель мы можем отбросить, так как указали все ограничения, а число 8 априори больше нуля. Получаем такую систему:

Её также следует решать методом подстановки. Выразим переменную y из 2-ого уравнения:

Подставим в 1-ое уравнение:

8 x -3 x (12- x )+8(12- x )=0

8 x -36 x +3 x 2 +96-8 x =0

3 x 2 -36 x +96=0 |: 3

Найдём корни полученного выражения через формулу дискриминанта, делённого на 4 (эта формула применяется как альтернативный вариант обычного дискриминанта только в том случае, если коэффициент b является чётным числом):

Найдём значения переменной y , подставив полученные значения переменной x в формулу, через которые мы выражали y :

Уравнения степени больше 2-х

Пример №15. Разложим выражение на множители

3x 5 -2 x 3 -7 x +6=0

Проверим, является ли одним из корней выражения число 1. Проверим это с помощью свойства коэффициентов для квадратного трёхчлена ax 2 + bx + c =0 (Если a + b + c =0, то x ₁=1, x ₂= ; если a — b + c =0, то x ₁=-1, x ₂= ).

Убедившись в истинности своего предположения, попробуем представить уравнение в соответствии с теоремой Безу. Для этого поделим 3x 5 -2 x 3 -7 x +6 на x -1:

3 x 5 +0 x 4 -2 x 3 +0 x 2 -7 x +6| x -1

— 3 x 5 -3 x 4 |3 x 4 +3 x 3 + x 2 + x -6

Теперь наше первоначальное уравнение приняло вид (x-1)(3x 4 +3 x 3 + x 2 + x -6). Нетрудно догадаться, что далее мы можем продолжить подобного рода разложение с частью 3x 4 +3 x 3 + x 2 + x -6 и таким образом найти оставшиеся корни.

Также есть вторая часть Теоремы Безу, которая звучит так:

Если число α является корнем уравнения, содержащего многочлен, то α – делитель свободного члена.

Если дробь является корнем уравнения, содержащего многочлен, то p – делитель свободного члена, а q – делитель старшего коэффициента.

Пример №16. Разложим выражение на множители:

3x 3 -4 x 2 -17 x +6

По теореме Безу можно сделать вывод, что целые корни выражения находятся среди чисел -1;1;-2;2;-3;3;-6;6 (делители свободного члена). Числа 1 и (-1) можно проверить устно, подставив их в уравнение (по свойству коэффициентов):

3-4-17+6≠0 (подставили 1)

(-3)-4+17+6≠0 (подставили (-1))

Продолжаем проверять предполагаемые корни.

Этот вид решения уравнений и неравенств оформляется в виде таблицы, где в заглавиях столбцов находятся все коэффициенты выражения (вместе с их знаками!), а в заглавиях строк – предполагаемые корни:

Сделав все вышеобозначенные приготовления, можно начать проверку. Сначала во вторую строку второго столбца сносим старший коэффициент:

Далее мы перемножаем предполагаемый корень и старший коэффициент, а полученное число прибавляем к следующему в очереди коэффициенту выражения:

Проводим те же операции с получаемыми числами до конца строки. Если в конечной ячейке получился ноль – то проверяемое число является корнем уравнения. Вернёмся к нашей таблице:

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Неравенства. Практический материал к ОГЭ по математике для 9 класса.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9 класс) на тему

1. Неравенства. Устные задания. Задания для самостоятельных работ

2. Неравенства. Карточки-задания. Обязательный уровень.

3. Неравенства. Метод интервалов. Карточки- задания.

4. Неравенства. Алгоритмы-решения. Обязательный уровень.

5. Неравенства. Повышенный уровень.

1)Неравенства. Обязательный уровень.

2)Неравенства. Повышенный уровень.

7. Приложение. Контроль знаний.

Видео:ОГЭ. ЗАДАНИЕ-13. НЕРАВЕНСТВА.Скачать

Скачать:

Видео:Как понять неравенства? Квадратные неравенства. Линейные и сложные неравенства | TutorOnlineСкачать

Предварительный просмотр:

МКОУ «Тугулымская В(С)ОШ»

К ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

первой категории Т.Н.Сидорова

1. Неравенства. Устные задания. Задания для самостоятельных работ

2. Неравенства. Карточки-задания. Обязательный уровень.

3. Неравенства. Метод интервалов. Карточки- задания.

4. Неравенства. Алгоритмы-решения. Обязательный уровень.

5. Неравенства. Повышенный уровень.

1)Неравенства. Обязательный уровень.

2) Неравенства. Повышенный уровень.

7. Приложение. Контроль знаний.

Неравенства. Устные задания. Задания для самостоятельных работ

1. Решите неравенство:

2. Решите квадратное неравенство:

19)

20)

3. Решите неравенство

4. Решите неравенство методом интервалов:

1. Решите неравенство:

1)

Неравенства. Карточки-задания. Обязательный уровень.

1. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

1. Решите неравенство:

1. 6x − 5(2x + 8) > 14 + 2x;
2. 10x − 3(4 − 2x) > 16 + 20x.

1. Решите систему неравенств:

1. ;
2. .

1. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

1. Решите неравенство:

1. 5 + x > 3x − 3(4x + 5);
2. 3 − 5(2x + 4) ≥ 7 − 2x.

1. Решите систему неравенств:

1. ;

1. .

1. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

2(3x − 7) − 5x ≤ 3x − 11.

1. Решите неравенство:

1. 3(3x − 1) > 2(5x − 7);
2. 19 − 7x

1. Решите систему неравенств:

1. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

2x + 4(2x − 3) ≥ 12x − 11.

1. 3x − 10(2 +x)

1. Решите систему неравенств:

1. ;

1. .

1. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

1. Решите неравенство:

1. 3x − 4(x + 1)
2. 2(x − 1) > 5x − 4(2x + 1).

1. Решите систему неравенств:

1. ;
2. .

1. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

25 − x > 2 − 3(x − 6).

1. Решите неравенство:

1. x + 2
2. 9x − 2(2x − 3)

1. Решите систему неравенств:

1. ;
2. .

Неравенства. Метод интервалов. Карточки- задания.

Неравенства. Алгоритмы-решения. Обязательный уровень.

Задача 2. Графический метод .

1) это кв. функция, график которой парабола, ветви направлены вверх.

и точки пересечения с осью ОХ.

3) Изобразим эскиз графика.

Задача 6. Решить систему неравенств:

Ответ: решений нет.

Задача 3. Метод интервалов.

1. Рассмотрим функцию .
2. Найдем нули функции: ;

1. Отметим точки на числовом луче:

Задача 7. Решить неравенство :

3)

Неравенства. Повышенный уровень.

1. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

2. Решите неравенство:

1.Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

1.Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

1.Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

1.Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

1.Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

Ответы. Неравенства. Обязательный уровень.

Ответы. Неравенства. Повышенный уровень.

Неравенства. Обязательный уровень.

Неравенства. Повышенный уровень.

Видео:Как решать уравнения и неравенства? | Ботай со мной #072 | Борис Трушин |Скачать

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

материал — презентация к неделе математики 5 класс

Математическая игра «Счастливый случай» для недели математики в 5 классе.Мой юный друг!Сегодня ты пришел вот в этот класс,Чтоб посидеть, подумать, отдохнуть.Умом своим на все взглянуть .Пусть ты не ст.

Практический материал «Задать формулой» для учащихся 8 класса

Данный материал поможет учащимся закрепить знания и отработать умения по темам «Функции», «Преобразование графиков функций».

Практический материал к ОГЭ по математике для 9 класса.

Практический материал по подготовке к ОГЭ по математике модуль «Алгебра» задание 7 «Выражения и преобразование выражений».

Уравнения. Практический материал к ОГЭ по математике для 9 класса.

1. Уравнения. Карточки-задания (обязательный уровень). 2. Задания для устной работы.3.

Графики. Практический материал к ОГЭ по математике для 9 класса.

Учебное пособие для подготовки к ОГЭ (ГИА-9) по математике Задания № 5 модуль «Алгебра» .

Практический материал для родителей «Игры по математике дома» (5–6 лет)

Уважаемые родители!Предлагаю вам игры и задания, которые вы можете использовать в домашней обстановке с детьми, для закрепления математических представлений у дошкольников.

Дидактический материал для дистанционного обучения математика 5 класс УМК А.Г.Мерзляк

В целях предотвращения распространения коронавирусной инфекции обучение осуществляется в особом режиме, сформированы индивидуальные маршрутные листы с заданиями, проверочные работы и тесты, для самост.

📸 Видео

Числовые неравенства | Задание 7 | ОГЭ по математике 2024Скачать

Линейные уравнения в ОГЭ | Математика ОГЭ 2022 | УмскулСкачать

Урок 10. Сложные уравнения и неравенства. Решение уравнений высоких степеней. Вебинар | МатематикаСкачать

ОГЭ для НОЛИКОВ, Уравнения N-9Скачать

"Ох уж эти неравенства" с 0 и до ОГЭ | Математика | TutorOnlineСкачать

Лайфхак для решения квадратных неравенств / Решаем 13 задание в ОГЭ по математикеСкачать

Решение квадратных неравенств | МатематикаСкачать

Как сдать ОГЭ по математике за 4 минуты? | УмскулСкачать