Подготовка к огэ по математике 9 класс уравнения и неравенства

Темы
→ Квадратные уравнения.
→ Линейные уравнения.
→ Линейные неравенства.
→ Неравенства.
→ Метод интервалов в решении неравенств.
→ Разложение квадратного трехчлена на множители.

Карта качества образования

Рособрнадзор представил результаты новой оценки качества образования по регионам и муниципалитетам.

Прокуратура усилит надзор за соблюдением прав школьников накануне ЕГЭ

Прокуратуры субъектов РФ по поручению генерального прокурора Игоря Краснова усилят надзор за соблюдением прав школьников накануне ЕГЭ. Об этом журналистам сообщили в четверг в пресс-службе Генпрокуратуры России.

Открытые варианты КИМ ЕГЭ 2022

ФИПИ опубликовал открытые варианты контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2022 года.

ВВЕДЕНИЕ

Цель: создать пособие по решению уравнений и неравенств различного вида, встречающихся в ОГЭ.

Задачи: 1) изучить теоретический материал по решению уравнений и неравенств;

2) подобрать уравнения и неравенства, встречающиеся в ОГЭ;

4) собрать уравнения, неравенства и их решения в сборник.

Актуальность: Экзамен по математике является обязательным при прохождении государственной итоговой аттестации по программам основного общего образования, а в текстах ОГЭ в заданиях 1-ой и 2-ой частей присутствуют уравнения и неравенства различных степеней.

Проблема: решение уравнений и неравенств не всем даётся легко, но для написания ОГЭ оно обязательно.

Методы: анализ, сравнение.

Разработанность проблемы: проблема разработана в сборнике по подготовке к ОГЭ по математике Ф.Ф. Лысенко. Мой сборник будет отличаться, тем, что, во-первых, имеет более узкую направленность, а во-вторых, в нём описаны нестандартные способы решения уравнений и неравенств, которые не встречаются в школьной программе, но значительно упрощают работу над некоторыми выражениями.

Первый этап – исследовательский. (октябрь-декабрь 2020 г)

Результатом этого этапа является сбор, анализ и обобщение теоретического материала по решению уравнений и неравенств

Второй этап – практический (декабрь 2020-июнь 2021 гг)

Результатом этого этапа является поиск уравнений и неравенств, встречающихся в ОГЭ, и их решение.

Третий этап – организационный (июль 2021 г)

Результатом этого этапа является составление сборника по решению уравнений и неравенств, встречающихся в ОГЭ.

Четвёртый этап – подведение итогов (август 2021 г)

Результатом этого этапа является создание письменной работы и презентация проекта.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Стандартные и нестандартные способы решения уравнений и неравенств

Решение уравнений. Стандартные способы.

Рассмотрим некоторые наиболее часто встречаемые виды и способы решения уравнений.

Со стандартными способами решения уравнений многие из нас знакомы. Главный их принцип – это перенос слагаемых с переменной в одну часть уравнения, без переменной – в другую (прим.: для уравнений первой степени); или разложение уравнения на множители (прим.: уравнения степени больше 1).

Пример №1. Решим уравнение:

Перед нами уравнение первой степени, отсюда следует, что надо произвести некоторого рода сортировку: перенести переменные в левую часть, а оставшиеся выражения в правую:

Далее приводим подобные слагаемые:

Части выражения получились с отрицательным знаком, поэтому уравнение можно домножить на (-1):

Теперь нам остаётся только посчитать x (разделить произведение выражения на известный множитель, в данном случае):

Пример №2. Решим уравнение:

Данное уравнение имеет 2-е дроби, что даёт нам выбор – либо привести обе дроби к общему знаменателю и отбросить его, так как он заведомо положительный, не содержит переменную, а, следовательно, не влияет на ответ; либо сразу домножить всё выражение на этот общий знаменатель:

Пример №3 Решим уравнение:

(x 2 -36)+( x 2 -2 x -24)=0

Данное уравнение имеет вторую степень – значит, нам следует разложить его на множители. Для начала рассмотрим первое слагаемое x 2 -36. Его можно разложить по формуле разности квадратов на два множителя:

( x -6)( x +6)+( x 2 -2 x -24)=0

Далее рассмотрим второе слагаемое x 2 -2 x -24. Чтобы разложить его на множители (прим.: по формуле разложения на множители квадратного трёхчлена: a(x-x₀₁)( x — x ₀₂)…(x-x _n )) надо найти корни данного выражения, что можно легко сделать по теореме Виета:

Подставляем в уравнение слагаемое x 2 -2 x -24 в разложенном виде:

Из преобразованного выражения мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель x-6. Получается, его можно вынести за скобки:

Приводим подобные слагаемые во втором множителе, получившегося выражения:

Учитывая, что произведение двух множителей равно нулю, нужно каждый из множителей привести к нулю и решить полученные уравнения отдельно:

x -6=0 или 2 x +10=0

Для быстроты решения можно обе части второго уравнения разделить на 2:

Пример №4. Решим уравнение:

В этом можем также приравнять оба множителя к нулю и найти корни:

Пример №5. Решим уравнение:

Данное квадратное уравнение является полным, т.е. соответствует виду ax 2 +bx+c=0. Далее мы можем решить его по св-ву коэффициентов (если a+b+c=0, то x₁=1, x ₂=; если a-b+c=0, то x₁=-1, x ₂= ):

Пример №6. Решим уравнение:

Поскольку перед нами дробно-рациональное уравнение, мы должны найти корни, которые будут обращать знаменатель в ноль, чтобы позже исключить их (т.к. на 0 делить нельзя):

Далее приступаем непосредственно к решению уравнения.

Домножим обе части уравнения на x -2*, чтобы получить целое выражение.

*Так как мы обозначили в условии, что переменная x не должна равняться 2, то такое действие допускается.

2 x 2 -3 x -2= x 3 -2 x 2

Обе части уравнения можем разложить на множители:

(2 x +1)( x -2)= x 2 ( x -2)

Далее перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель x -2:

Решим отдельно обе части уравнения, так как хотя бы один из множителей равен нулю:

x -2=0 2 x +1- x 2 =0 |*(-1)

По условию, x не должен быть равен 2. Значит, у нас всего два корня: 1+ ; 1- .

Пример №7. Решим уравнение:

Так как переменная x находится в знаменателе, мы должны указать, что она не равняется 0.

Для решения данного уравнения нам понадобится ввести дополнительную переменную y = x + , или, другими словами, прибегнуть к способу замены переменной (выражения с переменной).

Далее выразим x 3 + через y .

x 3 + =( x + )( x 2 + — 1)

Из равенства y = x + находим, что y 2 = x 2 + +2), значит x 2 + = y 2 -2.

Выносим общий множитель y за скобки:

Возвращаемся к замене:

Так как выражение x 2 +1 заведомо положительно (к выражению, вовзедённому в квадрат прибавляется положительное число), то первое уравнение корней не имеет. Остаётся:

Отсюда корни уравнения x = ; .

Пример №8. Решим уравнение:

Чтобы избавиться от переменной y мы можем сложить эти два уравнения, так как тогда y взаимоуничтожится:

3x 2 + y +4 x 2 — y =6+1

Приводим подобные слагаемые:

Находим отсюда x:

Далее нам нужно найти значение y, что мы можем сделать, выразив его через x:

y =6-3 x 2 =3 (из первого уравнения в системе)

Запишем каждую пару значений отдельно друг от друга в круглых скобках:

Пример №9. Решим систему уравнений:

Данную систему легче всего решать методом подстановки: выразить из наиболее простого уравнения одну из переменных и подставить в другое уравнение. Выразим из 2-ого уравнения переменную x :

Подставим в 1-ое уравнение:

Для удобства можем домножить всё выражение на 4:

(1-3 y ) 2 -4 y 2 -2+6 y -4 y =0.

Далее раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

1-6 y +9 y 2 -4 y 2 +6 y -2-4 y =0

Применим св-во коэффициентов, чтобы найти корни уравнения:

Найдём значения переменной x , подставив полученные корни в формулу, по которой мы выразил переменную x :

Пример №10. Решим систему уравнений:

Для начала, так как обе переменных системы находятся в знаменателях дробей 1-ого уравнения, поставим ограничения:

Далее приведём 1-ое уравнение к общему знаменателю:

Знаменатель мы можем отбросить, так как указали все ограничения, а число 8 априори больше нуля. Получаем такую систему:

Её также следует решать методом подстановки. Выразим переменную y из 2-ого уравнения:

Подставим в 1-ое уравнение:

8 x -3 x (12- x )+8(12- x )=0

8 x -36 x +3 x 2 +96-8 x =0

3 x 2 -36 x +96=0 |: 3

Найдём корни полученного выражения через формулу дискриминанта, делённого на 4 (эта формула применяется как альтернатива обычного дискриминанта только в том случае, если коэффициент b является чётным числом):

Найдём значения переменной y , подставив полученные значения переменной x в формулу, через которые мы выражали y :

Решение неравенств. Стандартные способы.

Решение неравенства в своём начальном виде мало чем отличается от решения уравнения. Для решения неравенства первой степени нам нужно найти минимальное/максимальное значение x , а для решения неравенства со степенью больше 1 следует разложить его на множители. Далее надо отметить полученные точки на числовой прямой и определить знаки выражений в полученных интервалах, учитывая знак неравенства.

Рассмотрим всё это на примерах.

Пример №11. Решим неравенство первой степени:

Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а всё остальное – в правую:

Чтобы избавиться от минуса, домножим обе части неравенства на (-1):

Далее найдём граничную точку:

Пример №12. Решим неравенство:

Сначала, как и в предыдущем примере, раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

0,4 x +4-9-0,5 x x -5 x -50 x x >-50

Для решения неравенств со степенью больше 1 применяется метод интервалов. Метод интервалов заключается в том, чтобы прировнять неравенство к нулю, найти корни этого выражения, разложить многочлен на множители, отметить их на числовой прямой, выяснить, какие знаки имеет многочлен в полученных интервалах и далее соотнести их со знаком самого неравенства.

Пример №13. Решим неравенство:

Для решения неравенства применим метод интервалов.

Разложим выражение на множители. Для этого приравняем его к нулю и найдём корни.

Затем разложим его в соответствии с формулой разложения на множители квадратного трёхчлена:

Далее чертим числовую прямую и отмечаем на ней граничные токи. В данном случае, у нас всего 3 интервала: (- ; 7], [7; 8] и [7; + ). Чтобы понять, какой(ие) из них нам подходят надо узнать на каком промежутке, какой знак будет принимать переменная x . Для этого можно воспользоваться правилом:

Если в разложенном на множители выражении переменная стоит на 1-ом месте с положительным коэффициентом (знаком), то крайний правый интервал имеет значение «+».

Если выражение в разложении на множители не имеет чётных показателей степени, то знак в интервалах чередуется.

В соответствии с этим расставляем знаки в интервалах:

Далее смотрим на знак самого неравенства и выбираем промежутки, соответствующие ему по знаку.

Пример №14. Решите неравенство:

(2 x -3) 2 (3 x -2) 2

Перенесём второе слагаемое из правой части в левую:

(2 x -3) 2 — (3 x -2) 2 0

Разложим выражение по формуле разности квадратов:

(2 x -3-3 x +2)(2 x -3+3 x -2) 0

Приведём подобные слагаемые и раскроем скобки:

У обоих слагаемых полученного неравенства есть общий множитель 5. К тому же коэффициент у переменной отрицательный, что нам не совсем удобно. Поэтому разделим выражение на -1:

Теперь нам нужно разложить выражение на множители. Нетрудно заметить, что на данный момент левая часть неравенства представляет из себя разность квадратов, что помогает нам разложить выражение на 2 множителя:

Приступаем к методу интервалов. Для этого нам надо приравнять неравенство к нулю и найти корни полученного уравнения:

Затем чертим числовую прямую и отмечаем на ней корни, нужный интервал:

Пример №15. Решим неравенство:

Данное неравенство удобнее всего решить методом замены переменной.

t 2 — t t ( t — ) t ( t — )=0

Воспользуемся методом интервалов, чтобы найти нужное решение:

Получается что x -11 принадлежит промежутку (0; ). Отсюда находим x с помощью системы неравенств:

Снова чертим числовую прямую, чтобы понять, какой интервал является решением неравенства (им будет пересечение решений обоих неравенств системы):

Пример №16. Решите неравенство:

Далее нам нужно отдельно поработать с числителем и отдельно со знаменателем. Для этого приравняем оба выражения к нулю и решим полученные уравнения:

Найдём нули числителя:

Затем нам нужно отметить корни на числовой прямой и обозначить знак интервалов и отобрать среди них, нужные нам:

Пример №17. Решим неравенство:

Чтобы решить данное уравнение нам надо привести всё к общему знаменателю. В данном случае, он виден сразу: ( x +1)( x -3) 2 :

Далее поработаем с ограничениями, т.е. со знаменателем:

Эти точки, когда мы будем чертить числовую прямую, изобразим выколотыми. Приравняем запись к нулю, чтобы найти нули числителя:

Дробь равна нуля, когда числитель равен нулю с учётом отличного от нуля знаменателя:

x ( x -3)+4( x +1)+3 x =0

x 2 -3 x +4 x +4+3 x =0

Полученное выражение можно свернуть по формуле квадрата суммы и таким образом быстрее получить x :

(точка x =-2 будет невыколотой)

В итоге мы получаем такое неравенство:

Чертим числовую прямую и отмечаем на ней найденные точки, чтобы узнать решение. Не забываем про то, что два множителя находятся во второй степени– это означает, что знаки в интервалах при переходе через корни этих выражений не меняются:

Также в ответ войдёт точка 2, так как она «закрашена» и подходит по условию – если подставить это число в неравенство, то его значение получится равным нулю.

Пример №18. Решим неравенство:

Начнём с точек в знаменателе:

Так как дискриминант получился меньше нуля, а коэффициент при x 2 неотрицательный, то это выражение является положительным

Далее рассмотрим интересную особенность этого неравенства: в каждом слагаемом с переменной и в числителе, и в знаменателе повторяется одно и то же выражение ( x 2 — x ). Поэтому нетрудно догадаться, что далее мы будем работать с заменой:

Пусть x 2 — x = t

— t : они будут равны -2 и 6. Теперь приводим всё к общему знаменателю и приравняем выражение к нулю:

Отбросим знаменатель и найдём точки числителя:

t ( t -6)-( t +6)( t +2)-( t -6)( t +2)=0

t 2 -6t-t 2 -8t-12-t 2 +4t+12 = 0

Мы получили такое неравенство:

Таким образом, получаем совокупность 2-х систем неравенств:

Или возвращаясь к замене:

Многочлены первых двух неравенств системы имеют отрицательный дискриминант, причём решением 1-ого является множество действительных чисел, а у 2-ого решения нет (так как у 1-ого парабола находится над осью OX и знак неравенства положительный, а у 2-ого парабола также выше OX , но знак неравенства отрицательный).

Точки второго неравенства системы совпадают с точками знаменателя изначального неравенства, к тому же, у системы строгий знак, поэтому мы просто отмечаем решение системы на числовой прямой:

Пример №19. Решите систему неравенств:

Перенесём слагаемые без переменных в обоих неравенствах в правую часть и приведём подобные слагаемые:

Далее домножим второе неравенство на -1 и найдём граничные точки у обоих выражений:

Начертим числовую прямую, на которой укажем решения для обоих неравенств. Тот интервал, в котором будет пересечение – нужный нам интервал.

Пример №2 0 . Решим систему неравенств:

В данной системе два неравенств: одно — дробно-рациональное, другое — линейное. Решим каждое по отдельности и затем на общей числовой прямой найдём ответ.

Рассмотрим первое неравенство:

Так как знаменатель является заведомо положительным (выражение 3- x , так как возведено во вторую степень всегда больше нуля, также к нему прибавляется положительное число), то рассмотрим числитель. Обратим внимание на то, что знак останется меньше либо равно нуля:

Отсюда следует, что решением первого неравенства системы будет промежуток: (- ; 9].

Рассмотрим второе неравенство системы:

Оно линейное, поэтому всё, что требуется – это перенести всё в левую часть и привести подобные слагаемые:

Таким образом, решением этого уравнения будет интервал (- ; -3].

Чертим числовую прямую, на которой отмечаем решения обоих неравенств и ищем пересечения:

Пример №21. Решим систему неравенств:

Для начала по отдельности решим отдельно каждое неравенство:

Для удобства домножим на общий знаменатель 42:

54 x +48-98 x -42-42 x -36 x >-36

Таким образом, решение данного неравенства принадлежит промежутку ( ; + ).

Домножим неравенство на 2:

2 x x P ( x )=( x — α )* Q ( x ),

где Q ( x ) – многочлен степени n-1, получающийся при делении P(x) на (x-α).

*Важно отметить, что число α должно принадлежать множеству натуральных чисел.

Чтобы разобраться в данной теореме, следует рассмотреть один пример.

Пример №22. Разложим выражение на множители

3x 5 -2 x 3 -7 x +6=0

Проверим, является ли одним из корней выражения число 1. Проверим это с помощью свойства коэффициентов для квадратного трёхчлена ax 2 + bx + c =0 (Если a + b + c =0, то x ₁=1, x ₂= ; если a — b + c =0, то x ₁=-1, x ₂= ).

Убедившись в истинности своего предположения, попробуем представить уравнение в соответствии с теоремой Безу. Для этого поделим 3x 5 -2 x 3 -7 x +6 на x -1:

3 x 5 +0 x 4 -2 x 3 +0 x 2 -7 x +6| x -1

— 3 x 5 +3 x 4 |3 x 4 +3 x 3 + x 2 + x -6

Теперь наше первоначальное уравнение приняло вид (x-1)(3x 4 +3 x 3 + x 2 + x -6). Нетрудно догадаться, что далее мы можем продолжить подобного рода разложение с частью 3x 4 +3 x 3 + x 2 + x -6 и таким образом найти оставшиеся корни.

Также есть вторая часть Теоремы Безу, которая звучит так:

Если число α является корнем уравнения, содержащего многочлен, то α – делитель свободного члена.

Если дробь является корнем уравнения, содержащего многочлен, то p – делитель свободного члена, а q – делитель старшего коэффициента.

Пример №23. Найдём корни уравнения:

7 x 3 -11 x 2 -19 x +26=0

Методом подбора можно найти один из множителей (2):

Теперь воспользуемся теоремой Безу и разделим уравнение на выражение x -2:
7 x 3 -11 x 2 -19 x +26| x -2

— 7 x 3 +14 x |7 x 2 +3 x -13

Мы получили выражение 7 x 2 +3 x -13, корни которого уже будет легче найти через дискриминант:

Пример №24. Решим уравнение:

5 x 3 -19 x 2 +11 x +3=0

По свойству коэффициентов мы можем найти первый корень: 1 (5-19+11+3=0). Исходя из этого воспользуемся теоремой Безу и поделим уравнение на выражение x -1:

5x 3 -19x 2 +11x+3 |x-1

— 5x 3 + 5x 2 |5x 2 -14x-3

Найдём корни 5 x 2 -14 x -3=0 через дискриминант, делёный на 4:

Пример №25. Решим уравнение:

2 x 3 -7 x 2 +5 x -1=0

Воспользуемся вторым частью теоремы Безу, тогда получим:

Среди всех возможных нам подходит . Тогда разделим уравнение на выражение 2 x -1:
2 x 3 -7 x 2 +5 x -1|2 x -1

— 2x 3 + x 2 |x 2 -3x+1

Найдём оставшиеся корни x 2 -3 x +1=0 через дискриминант:

Схема Горнера.

Для более простого перехода к нахождению корней уравнения можно воспользоваться схемой Горнера.

В её действии легче разобраться на примере, что сейчас мы и сделаем.

Пример №26. Разложим выражение на множители:

3x 3 -4 x 2 -17 x +6

По теореме Безу можно сделать вывод, что целые корни выражения находятся среди чисел -1;1;-2;2;-3;3;-6;6 (делители свободного члена). Числа 1 и (-1) можно проверить устно, подставив их в уравнение (по свойству коэффициентов):

3-4-17+6≠0 (подставили 1)

(-3)-4+17+6≠0 (подставили (-1))

Продолжаем проверять предполагаемые корни.

Вот тут себя и проявляет схема Горнера.

Этот вид решения уравнений и неравенств оформляется в виде таблицы, где в заглавиях столбцов находятся все коэффициенты выражения (вместе с их знаками!), а в заглавиях строк – предполагаемые корни:

Сделав все вышеобозначенные приготовления, можно начать проверку. Сначала во вторую строку второго столбца сносим старший коэффициент:

Далее мы перемножаем предполагаемый корень и старший коэффициент, а полученное число прибавляем к следующему в очереди коэффициенту выражения:

Проводим те же операции с получаемыми числами до конца строки. Если в конечной ячейке получился ноль – то проверяемое число является корнем уравнения. Вернёмся к нашей таблице:

Как видите, число 2 – подходит нам. Можно продолжить проверять выведенные раньше числа (предполагаемые корни), а можно обратить внимание на другие числа, полученные в результате нашей проверки. Дело в том, что, если мы поделим уравнение 3x 3 -4 x 2 -17 x +6 на выражение x-2 (снова возвращаемся к теореме Безу), то получим такое выражение:

чьи коэффициенты соответствуют полученным в таблице числам. Исходя из этого, можно найти делители свободного члена нового выражения (1;-1;3;-3) и проверить их в качестве корней. Ранее мы выяснили, что числа 1 и (-1) не подходят, поэтому нам остаются только 3 и (-3). Проверим 3:

Число подошло, и мы получили выражение 3x-1, которое имеет первую степень, поэтому дальше разложения попросту не будет.

Ответ: 3x 3 -4 x 2 -17 x +6=(x+2)(x-3)(3x-1).

Пример №27. Решим уравнение:

6x 4 -7 x 3 -6 x 2 +2 x +1=0

Найдём p и q (др. вариант второй части Теоремы Безу). p будет равно (-1) и 1; q – (-1); 1; (-2); 2; (-3); 3; (-6); 6.

Корни 1 и (-1) не подходят (по свойству коэффициентов).

Составим дроби из оставшегося набора чисел: ; ; ; ; ; .

Начнём проверять их с помощью схемы Горнера:

Корень подошёл, значит, далее проверяем предполагаемые корни, подходящие к полученному нами выражению 6x 3 -4x 2 -8x-2:

Получаем выражение (x — )( x + )(6 x 2 -6 x -6). Последний множитель выражения 6 x 2 -6 x -6 имеет корни ; (найдены с помощью дискриминанта). Тогда выражение будет иметь вид: (x — )( x + )(x — )( x — ).

Пример №28. Решим уравнение:

x 4 +4 x 3 -25 x 2 -16 x +84=0

По теореме Безу корнями нашего уравнения могут, например, оказаться: 2; -2; 3 и т.д., поскольку p = 1; 2; …, а q = 1

1 корень равен быть не может по свойству коэффициентов, поэтому продолжим искать среди других чисел.

Допустим, что один из искомых корней равен 2. Проверим это по схеме Горнера:

Теперь проверим -2:

Таким образом мы получаем уравнение ( x -2)( x +2)( x -3)( x +7)=0 и его корни 2; 3; -7.

Пример №29. Решим уравнение:

x 4 -3 x 3 -3 x 2 +7 x +6=0

По теореме Безу корнями уравнения могут являться 1; 2; 3; 6.

Проверим -1 с помощью схемы Горнера:

Теперь проверим 2:

На данный момент в нашем разложении мы получили такое уравнение: ( x +1)( x -2)( x 2 -2 x -3)=0. Последний множитель можно разложить с помощью теоремы Виета ещё на 2 множителя: ( x +1)( x -3). Итак, мы получаем корни -1; 2; 3.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Работа над проектом

Продуктом моего проекта стал сборник по решению уравнений и неравенств, встречающихся в ОГЭ. Его создание можно разделить на несколько различных этапов, в процессе которых я выяснила много нового и освежила старые знания на тему решения уравнений и неравенств.

Материалом для моего проекта являются уравнения и неравенства, которые я находила в различных источниках.

Для начала я прорешала все задания на данную тему в сборнике «Математика. Подготовка к ОГЭ-2020» под редакцией Ф.Ф. Лысенко и С.О. Иванова. Этих заданий мне показалось недостаточно, тем более что данное пособие предназначено для подготовки к ОГЭ прошлого года, а данный экзамен, как и многие другие, каждый год даже пусть и незначительно, но меняет свою структуру.

Поэтому я зашла на два сайта – Решу ОГЭ и ФИПИ. На первом сайте (Решу ОГЭ) я открыла «Каталог заданий», нашла разделы, связанные с уравнениями и неравенствами и прорешала их. Также на данном сайте я просматривала сами варианты, чтобы выявить определённую динамику в заданиях – какие виды уравнений и неравенств действительно встречаются в ОГЭ. Благодаря последнему я поняла, что в ОГЭ 2021 встречаются такие задания, связанные с темой моего проекта:

Задание 9 (1-ая часть ОГЭ); в нём даются уравнения, причём таких видов: линейные, квадратные, дробно-рациональные и системы уравнений с 2-мя неизвестными;

Задание 13 (1-ая часть ОГЭ); в данном задании встречаются линейные, квадратные неравенства и системы неравенств с 1-ой переменной;

Задание 20 (2-ая часть ОГЭ); здесь даются системы уравнений с 2-мя неизвестными, уравнения со степенью больше 2-х, квадратные и дробно-рациональные неравенства и системы неравенств. Следует отметить, что уравнения и неравенства в данном задании сложнее, чем те, что даются в 9-ом и 13-ом номерах. Это объясняется просто: 2-ая часть ОГЭ всегда сложнее 1-ой.

На ФИПИ я открыла раздел «Банк заданий» и рассмотрела подраздел «Уравнения и неравенства». На этом сайте выбора было значительно больше, чем на Решу ОГЭ, поэтому достаточное количество примеров и заданий в моём сборнике основано на том, что я нашла на ФИПИ.

Также я искала различные уравнения и неравенства на других сайтах (см. Список литературы и интернет-ресурсов).

Виды и типы уравнений и неравенств, которые я включила в свой сборник и их решения.

Мой сборник разделён на 2 части: одна касается уравнений, а вторая – неравенств. В 1-ую часть включены такие виды уравнений:

Системы уравнений с 2-мя переменными;

Уравнения со степенью больше 2-х.

Во 2-ую часть входят такие виды неравенств, как:

Системы неравенств с 1-ой переменной.

Каждый из этих видов можно разделить на определённые типы, которые имеют различные способы решения. Чтобы понять, как я решала задания в моём сборнике, предлагаю разобрать эти типы уравнений и неравенств.

Пример №1. Решим уравнение:

Перед нами уравнение первой степени, отсюда следует, что надо произвести некоторого рода сортировку: перенести слагаемые с переменными в левую часть, а оставшиеся — в правую:

Далее приведём подобные слагаемые:

Для удобства можно домножить на (-1):

Теперь нам остаётся только посчитать x (разделить произведение выражения на известный множитель, в данном случае):

Пример №2. Решим уравнение:

Данный тип уравнений требует для своего решения раскрытия скобок. В остальном он ничем не отличается от простого линейного уравнения (Пример №1):

Пример №3. Решим уравнение:

Данное уравнение имеет 2-е дроби, что даёт нам выбор – либо привести обе дроби к общему знаменателю и отбросить его, так как он заведомо положительный, не имеет переменную, а, следовательно, не влияет на ответ; либо сразу домножить всё выражение на этот общий знаменатель:

Пример №4. Решим уравнение:

Данное квадратное уравнение является полным, т.е. соответствует виду ax 2 +bx+c=0. Далее мы можем решить его по св-ву коэффициентов (если a+b+c=0, то x₁=1, x ₂=; если a-b+c=0, то x₁=-1, x ₂= ):

Пример №5. Решим уравнение:

Данное уравнение является неполным, так как в нём отсутствует слагаемое bx . Но его можно разложить на множители по формуле разности квадратов ( a 2 — b 2 =( a — b )( a + b )):

Пример №6. Решим уравнение:

Это уравнение также является неполным, но в нём уже отсутствует другое слагаемое – c . Для его решения нам достаточно вынести общий множитель (10 x ) за скобку:

Пример №7. Решим уравнение:

В этом можем также приравнять оба множителя к нулю и найти корни:

Пример №8. Решим уравнение:

Поскольку перед нами дробно-рациональное уравнение, мы должны найти корни, которые будут обращать знаменатель в ноль, чтобы позже исключить их (т.к. на 0 делить нельзя):

Далее приступаем непосредственно к решению уравнения.

Домножим обе части уравнения на x -2*, чтобы получить целое выражение.

*Так как мы обозначили в условии, что переменная x не должна равняться 2, то такое действие допускается.

2 x 2 -3 x -2= x 3 -2 x 2

Обе части уравнения можем разложить на множители:

(2 x +1)( x -2)= x 2 ( x -2)

Далее перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель x -2:

Решим отдельно обе части уравнения, так как хотя бы один из множителей равен нулю:

x -2=0 2 x +1- x 2 =0 |*(-1)

По условию, x не должен быть равен 2. Значит, у нас всего два корня: 1+ ; 1- .

Пример №9. Решим уравнение:

Так как знаменатель равен x , мы должны указать, что x не равняется 0.

Для решения данного уравнения нам понадобится ввести дополнительную переменную y = x + , или, другими словами, прибегнуть к способу замены переменной (выражения с переменной).

Далее выразим x 3 + через y .

x 3 + =( x + )( x 2 + — 1)

Из равенства y = x + находим, что y 2 = x 2 + +2), значит x 2 + = y 2 -2.

Выносим общий множитель y за скобки:

Возвращаемся к замене:

Так как выражение x 2 +1 заведомо положительно (к выражению, вовзедённому в квадрат прибавляется положительное число), то первое уравнение корней не имеет. Остаётся:

Отсюда корни уравнения x = ; .

Пример №10. Решим уравнение:

Как и всегда в случае с дробно-рациональными уравнениями, начинаем с ограничений на переменную x :

x 2 -4 0 x ( x +2) 0 x 2 -2 x 0

( x -2)( x +2) 0 x -2; 0 x ( x -2) 0

x 2 x -2; 0 x 0; 2

Далее приступаем к решению самого уравнения. Нужно привести дробь к общему знаменателю, но до этого следует разложить знаменатели отдельных дробей уравнения на множители:

Знаменатель мы можем отбросить, так как указали все ограничения на уравнение и решать уравнение как квадратное:

2 x +( x -4)( x -2)- x -2=0

2 x + x 2 -6 x +8- x -2=0

Находим корни через дискриминант:

Проверяем найденные корни на ограничения: исходя из того, что мы сделали в начале решения, подходит нам только один корень из пары (3).

Пример №11. Решим уравнение:

Далее приводим всё к общему знаменателю:

Наше уравнение получилось биквадртаным (т.е. оно соответствует виду: ax 4 + bx 2 + c =0). Такие уравнения решаются методом замены, где заменяется x 2 :

Пусть x 2 = t , (*) t 0 (так как мы заменяем квадрат переменной x )

Полученное уравнение можно решить по свойству коэффициентов:

Возвращаемся к замене:

По ограничениям нам подходят оба корня:

Пример №12. Решим систему уравнений:

Чтобы избавиться от переменной y мы можем сложить эти два уравнения, так как тогда слагаемые, содержащие её, взаимоуничтожится:

3x 2 + y +4 x 2 — y =6+1

Приводим подобные слагаемые:

Находим отсюда x:

Далее нам нужно найти значение переменной y, что мы можем сделать, выразив его через переменную x:

Запишем каждую пару значений отдельно друг от друга в круглых скобках:

Пример №13. Решим систему уравнений:

Данную систему легче всего решать методом подстановки: выразить из наиболее простого уравнения одну из переменных и подставить в другое уравнение. Выразим из 2-ого уравнения переменную x :

Подставим в 1-ое уравнение:

Для удобства можем домножить всё выражение на 4:

(1-3 y ) 2 -4 y 2 -2+6 y -4 y =0.

Далее раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

1-6 y +9 y 2 -4 y 2 +6 y -2-4 y =0

Применим свойство коэффициентов, чтобы найти корни уравнения:

Найдём значения переменной x , подставив полученные корни в формулу, по которой мы выразили её:

Пример №14. Решим систему уравнений:

Для начала, так как обе переменных системы находятся в знаменателях дробей 1-ого уравнения, поставим ограничения:

Далее приведём 1-ое уравнение к общему знаменателю:

Знаменатель мы можем отбросить, так как указали все ограничения, а число 8 априори больше нуля. Получаем такую систему:

Её также следует решать методом подстановки. Выразим переменную y из 2-ого уравнения:

Подставим в 1-ое уравнение:

8 x -3 x (12- x )+8(12- x )=0

8 x -36 x +3 x 2 +96-8 x =0

3 x 2 -36 x +96=0 |: 3

Найдём корни полученного выражения через формулу дискриминанта, делённого на 4 (эта формула применяется как альтернативный вариант обычного дискриминанта только в том случае, если коэффициент b является чётным числом):

Найдём значения переменной y , подставив полученные значения переменной x в формулу, через которые мы выражали y :

Уравнения степени больше 2-х

Пример №15. Разложим выражение на множители

3x 5 -2 x 3 -7 x +6=0

Проверим, является ли одним из корней выражения число 1. Проверим это с помощью свойства коэффициентов для квадратного трёхчлена ax 2 + bx + c =0 (Если a + b + c =0, то x ₁=1, x ₂= ; если a — b + c =0, то x ₁=-1, x ₂= ).

Убедившись в истинности своего предположения, попробуем представить уравнение в соответствии с теоремой Безу. Для этого поделим 3x 5 -2 x 3 -7 x +6 на x -1:

3 x 5 +0 x 4 -2 x 3 +0 x 2 -7 x +6| x -1

— 3 x 5 -3 x 4 |3 x 4 +3 x 3 + x 2 + x -6

Теперь наше первоначальное уравнение приняло вид (x-1)(3x 4 +3 x 3 + x 2 + x -6). Нетрудно догадаться, что далее мы можем продолжить подобного рода разложение с частью 3x 4 +3 x 3 + x 2 + x -6 и таким образом найти оставшиеся корни.

Также есть вторая часть Теоремы Безу, которая звучит так:

Если число α является корнем уравнения, содержащего многочлен, то α – делитель свободного члена.

Если дробь является корнем уравнения, содержащего многочлен, то p – делитель свободного члена, а q – делитель старшего коэффициента.

Пример №16. Разложим выражение на множители:

3x 3 -4 x 2 -17 x +6

По теореме Безу можно сделать вывод, что целые корни выражения находятся среди чисел -1;1;-2;2;-3;3;-6;6 (делители свободного члена). Числа 1 и (-1) можно проверить устно, подставив их в уравнение (по свойству коэффициентов):

3-4-17+6≠0 (подставили 1)

(-3)-4+17+6≠0 (подставили (-1))

Продолжаем проверять предполагаемые корни.

Этот вид решения уравнений и неравенств оформляется в виде таблицы, где в заглавиях столбцов находятся все коэффициенты выражения (вместе с их знаками!), а в заглавиях строк – предполагаемые корни:

Сделав все вышеобозначенные приготовления, можно начать проверку. Сначала во вторую строку второго столбца сносим старший коэффициент:

Далее мы перемножаем предполагаемый корень и старший коэффициент, а полученное число прибавляем к следующему в очереди коэффициенту выражения:

Проводим те же операции с получаемыми числами до конца строки. Если в конечной ячейке получился ноль – то проверяемое число является корнем уравнения. Вернёмся к нашей таблице:

Неравенства. Практический материал к ОГЭ по математике для 9 класса.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9 класс) на тему

1. Неравенства. Устные задания. Задания для самостоятельных работ

2. Неравенства. Карточки-задания. Обязательный уровень.

3. Неравенства. Метод интервалов. Карточки- задания.

4. Неравенства. Алгоритмы-решения. Обязательный уровень.

5. Неравенства. Повышенный уровень.

1)Неравенства. Обязательный уровень.

2)Неравенства. Повышенный уровень.

7. Приложение. Контроль знаний.

Скачать:

Предварительный просмотр:

МКОУ «Тугулымская В(С)ОШ»

К ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

первой категории Т.Н.Сидорова

1. Неравенства. Устные задания. Задания для самостоятельных работ

2. Неравенства. Карточки-задания. Обязательный уровень.

3. Неравенства. Метод интервалов. Карточки- задания.

4. Неравенства. Алгоритмы-решения. Обязательный уровень.

5. Неравенства. Повышенный уровень.

1)Неравенства. Обязательный уровень.

2) Неравенства. Повышенный уровень.

7. Приложение. Контроль знаний.

Неравенства. Устные задания. Задания для самостоятельных работ

1. Решите неравенство:

2. Решите квадратное неравенство:

19)

20)

3. Решите неравенство

4. Решите неравенство методом интервалов:

1. Решите неравенство:

1)

Неравенства. Карточки-задания. Обязательный уровень.

1. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

1. Решите неравенство:

1. 6x − 5(2x + 8) > 14 + 2x;
2. 10x − 3(4 − 2x) > 16 + 20x.

1. Решите систему неравенств:

1. ;
2. .

1. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

1. Решите неравенство:

1. 5 + x > 3x − 3(4x + 5);
2. 3 − 5(2x + 4) ≥ 7 − 2x.

1. Решите систему неравенств:

1. ;

1. .

1. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

2(3x − 7) − 5x ≤ 3x − 11.

1. Решите неравенство:

1. 3(3x − 1) > 2(5x − 7);
2. 19 − 7x

1. Решите систему неравенств:

1. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

2x + 4(2x − 3) ≥ 12x − 11.

1. 3x − 10(2 +x)

1. Решите систему неравенств:

1. ;

1. .

1. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

1. Решите неравенство:

1. 3x − 4(x + 1)
2. 2(x − 1) > 5x − 4(2x + 1).

1. Решите систему неравенств:

1. ;
2. .

1. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

25 − x > 2 − 3(x − 6).

1. Решите неравенство:

1. x + 2
2. 9x − 2(2x − 3)

1. Решите систему неравенств:

1. ;
2. .

Неравенства. Метод интервалов. Карточки- задания.

Неравенства. Алгоритмы-решения. Обязательный уровень.

Задача 2. Графический метод .

1) это кв. функция, график которой парабола, ветви направлены вверх.

и точки пересечения с осью ОХ.

3) Изобразим эскиз графика.

Задача 6. Решить систему неравенств:

Ответ: решений нет.

Задача 3. Метод интервалов.

1. Рассмотрим функцию .
2. Найдем нули функции: ;

1. Отметим точки на числовом луче:

Задача 7. Решить неравенство :

3)

Неравенства. Повышенный уровень.

1. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

2. Решите неравенство:

1.Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

1.Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

1.Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

1.Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

1.Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

Ответы. Неравенства. Обязательный уровень.

Ответы. Неравенства. Повышенный уровень.

Неравенства. Обязательный уровень.

Неравенства. Повышенный уровень.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

материал — презентация к неделе математики 5 класс

Математическая игра «Счастливый случай» для недели математики в 5 классе.Мой юный друг!Сегодня ты пришел вот в этот класс,Чтоб посидеть, подумать, отдохнуть.Умом своим на все взглянуть .Пусть ты не ст.

Практический материал «Задать формулой» для учащихся 8 класса

Данный материал поможет учащимся закрепить знания и отработать умения по темам «Функции», «Преобразование графиков функций».

Практический материал к ОГЭ по математике для 9 класса.

Практический материал по подготовке к ОГЭ по математике модуль «Алгебра» задание 7 «Выражения и преобразование выражений».

Уравнения. Практический материал к ОГЭ по математике для 9 класса.

1. Уравнения. Карточки-задания (обязательный уровень). 2. Задания для устной работы.3.

Графики. Практический материал к ОГЭ по математике для 9 класса.

Учебное пособие для подготовки к ОГЭ (ГИА-9) по математике Задания № 5 модуль «Алгебра» .

Практический материал для родителей «Игры по математике дома» (5–6 лет)

Уважаемые родители!Предлагаю вам игры и задания, которые вы можете использовать в домашней обстановке с детьми, для закрепления математических представлений у дошкольников.

Дидактический материал для дистанционного обучения математика 5 класс УМК А.Г.Мерзляк

В целях предотвращения распространения коронавирусной инфекции обучение осуществляется в особом режиме, сформированы индивидуальные маршрутные листы с заданиями, проверочные работы и тесты, для самост.