Почленно уравнения чтобы избавиться от одной переменной (5 видео)

Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы

В ходе решения систем линейных уравнений нужно стараться использовать не «школьный метод», а метод почленного сложения (вычитания) уравнений системы. Почему? Это экономит время и упрощает вычисления, как сейчас увидите.

Пример 4:

Решить систему линейных уравнений:

Мы взяли ту же систему, что и в первом примере.

Анализируя систему уравнений, замечаем, что коэффициенты при переменной y одинаковы по модулю и противоположны по знаку (–1 и 1). В такой ситуации уравнения можно сложить почленно:

Действия, обведенные красным цветом, выполняются МЫСЛЕННО. Как видите, в результате почленного сложения у нас пропала переменная y.

В этом и состоит суть метода – избавиться от одной из переменных.

Теперь всё просто: – подставляем в первое уравнение системы (можно и во второе, но это не так выгодно – там числа больше):

В чистовом оформлении решение должно выглядеть примерно так:

Ответ: x = -4, y = 1.

Пример 5:

Решить систему линейных уравнений:

В данном примере можно использовать «школьный» метод, но большой минус состоит в том, что когда мы будем выражать какую-либо переменную из любого уравнения, то получим решение в обыкновенных дробях. А возня с дробями займет время, к тому же, если у Вас не «набита рука» на действиях с дробями, то велика вероятность допустить ошибку.

Поэтому целесообразно использовать почленное сложение (вычитание) уравнений. Анализируем коэффициенты при соответствующих переменных:

Как видим, числа в парах (3 и 4), (4 и –3) – разные, поэтому, если сложить (вычесть) уравнения прямо сейчас, то от переменной мы не избавимся. Хотелось бы видеть в одной из пар одинаковые по модулю числа, например, 20 и 20 либо 20 и –20.

Будем рассматривать коэффициенты при переменной x:

Подбираем такое число, которое делилось бы и на 3 и на 4, причем оно должно быть как можно меньше. В математике такое число называется наименьшим общим кратным. Если Вы затрудняетесь с подбором, просто перемножьте коэффициенты: 3∙4 = 12.

Далее первое уравнение умножаем на число

Второе уравнение умножаем на число . В результате система придет к виду:

Вот теперь из первого уравнения почленно вычитаем второе.

На всякий случай приведём еще раз действия, которые проводятся мысленно:

Следует отметить, что можно было бы сделать и наоборот – из второго уравнения вычесть первое, это ничего не меняет. Начисто запишем:

Теперь подставим вычисленное значение переменной (y) в одно из уравнений системы. Например, в первое:

Ответ: .

Решим систему другим способом. Рассмотрим коэффициенты при переменной (y):

Очевидно, что вместо пары коэффициентов (4 и –3) нам нужно получить 12 и –12.

Для этого первое уравнение умножаем на 3, второе уравнение умножаем на 4:

Почленно складываем уравнения и находим значения переменных:

Ответ:

Пример 6:

Решить систему линейных уравнений:

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Содержание

Решение системы линейных уравнений методом сложения
Алгоритм решения системы линейных уравнений методом сложения
Примеры
🎦 Видео

Видео:Линейное уравнение с одной переменной. 6 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений методом сложения

Алгоритм решения системы линейных уравнений методом сложения

Умножить обе части одного или обоих уравнений так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными (или равными) числами.
Сложить (или отнять) уравнения, чтобы избавиться от одной из переменных.
Решить второе уравнение относительно выраженной переменной.
Решить полученное уравнение с одной переменной.
Найти вторую переменную.
Записать ответ в виде упорядоченной пары найденных значений переменных.

Умножаем первое уравнение на 2

Отнимаем от первого уравнения второе:

Находим y из первого уравнения:

В последовательной записи:

$$ <left< begin 3x+y = 5 | times 2 \ x+2y = 5 end right.> Rightarrow (-) <left< begin 6x+2y = 10 \ x+2y = 5 end right.> Rightarrow <left< begin 5x = 5 \ x+2y = 5 end right.> Rightarrow <left< begin x = 1 \ y = 5-3x = 2 end right.> $$

Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений методом сложения:

$ а) <left< begin 5x-4y = 3 | times 2 \ 2x-3y = 4 | times 5 end right.> Rightarrow <left< begin 10x-8y = 6 \ 10x-15y = 20 end right.> Rightarrow <left< begin 7y = -14 \ 2x-3y = 4 end right.> Rightarrow <left< begin x = frac = -1 \ y=-2 end right.> $

$ б) <left< begin 4x-3y = 7 | times 3 \ 3x-4y = 0 | times 4 end right.> Rightarrow (-) <left< begin 12x-9y = 21 \ 12x-16y = 0 end right.> Rightarrow <left< begin 7y = 21 \ x = frac y end right.> Rightarrow <left< begin x = 4 \ y = 3 end right.> $

$ в) <left< begin 5a-4b = 9 | times 2 \ 2a+3b = -1 | times 5 end right.> Rightarrow (-) <left< begin 10a-8b = 18 \ 10a+15b = -5 end right.> Rightarrow <left< begin -23b = 23 \ a = frac end right.> Rightarrow <left< begin a = 1 \ b = -1 end right.> $

$ г) <left< begin 7a+4b = 5 \ 3a+2b = 1 | times (-2) end right.> Rightarrow (+) <left< begin 7a+4b = 5 \ -6a-4b = -2 end right.> Rightarrow <left< begin a = 3 \ b = frac end right.> Rightarrow <left< begin a = 3 \ b = -4 end right.>$

Пример 2. Найдите решение системы уравнений:

$$а) <left< begin frac-y = 7 \ 3x+ frac = 9 | times 2end right.> Rightarrow (+) <left< begin frac -y = 7 \ 6x+y = 18 end right.> Rightarrow <left< begin 6 frac x = 25 \ y = 18-6xend right.> Rightarrow $$

$$Rightarrow <left< begin x = 25: frac = 25 cdot frac = 4 \ y = 18-6 cdot 4 = -6 end right.> $$

$ в) <left< begin 3(5x-y)+14 = 5(x+y) \ 2(x-y)+9 = 3(x+2y)-16 end right.> Rightarrow <left< begin 15x-3y+14 = 5x+5y \ 2x-2y+9 = 3x+6y-16 end right.> Rightarrow $

$ г) <left< begin 5-3(2x+7y) = x+y-52 \ 4+3(7x+2y) = 23x end right.> Rightarrow <left< begin 5-6x-21y = x+y-52 \ 4+21x+6y = 23x end right.> Rightarrow <left< begin 7x+22y = 57 \ 2x-6y = 4 |:2 end right.>$

$$ Rightarrow <left< begin 7x+22y = 57 \ x-3y = 2 | times 7 end right.> Rightarrow (-) <left< begin 7x+22y = 57 \ 7x-21y = 14 end right.> Rightarrow <left< begin 43y = 43 \ x = 3y+2 end right.> Rightarrow <left< begin x = 5 \ y = 1 end right.>$$

Пример 3*. Найдите решение системы уравнений:

Введём новые переменные: $ <left< begin a = frac \ b = frac end right.> $

Перепишем систему и найдём решение для новых переменных:

$$ <left< begin2a+3b = 1| times 3 \ 3a-5b = 11 | times 2 end right.> Rightarrow (-) <left< begin 6a+9b = 3 \ 6a-10b = 22 end right.> Rightarrow <left< begin 19b = -19 \ a = frac end right.> Rightarrow <left< begin a = 2 \ b = -1 end right.> $$

Видео:Алгебра 7 Линейное уравнение с одной переменнойСкачать

10. Многочлены от одной переменной и действия над ними.

10.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ ТОЖДЕСТВЕННОЕ РАВЕНСТВО

Рассмотрим одночлен и многочлен, которые зависят только от одной переменной, например от переменной х.

По определению одночлена числа и буквы (в нашем случае одна буква — х) в нем связаны только двумя действиями — умножением и возведением в натуральную степень. Если в этом одночлене произведение всех чисел записать перед буквой, а произведение всех степеней буквы записать как целую неотрицательную степень этой буквы (то есть записать одночлен в стандартном виде), то получим выражение вида ах n , где а — некоторое число. Поэтому одночлен от одной переменной х — это выражение вида ах п , где а — некоторое число, п — целое неотрицательное число. Если а 0, то показатель степени п переменной х называется степенью одночлена. Например, 25х 6 —одночлен шестой степени, — х 2 /3— одночлен второй степени. Если одночлен является числом, не равным нулю, то его степень считается равной нулю. Для одночлена, заданного числом 0, понятие степени не определяется (поскольку 0 = 0 • х = 0 • х 2 = 0 • х 3 . ).

По определению многочлен от одной переменной х — это сумма одночленов от одной переменной х (в которой приведены подобные слагаемые, то есть все одночлены-слагаемые имеют различную степень). Поэтому

Определение 1. Многочленом от одной переменной х называется выражение вида

Если а_n 0, то этот многочлен называют многочленом п-й степени от переменной х. При этом член а_nх п называют старшим членом многочлена f (х), число а_n — коэффициентом при старшем члене, а член а₀ — свободным членом. Например, 5х 3 — 2х + 1 — многочлен третьей степени, у которого свободный член равен 1, а коэффициент при старшем члене равен 5.

Заметим, что иногда нумерацию коэффициентов многочлена начинают с начала записи выражения (1), и тогда общий вид многочлена f (х) записывают так:

Т е о р е м а 1. Одночлены ах n , где а ≠ 0, и bx m , где b ≠ 0, тождественно равны тогда и только тогда, когда а = b и п = т.д.

Одночлен ах n тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда а = 0.

Поскольку равенство одночленов

aх n = bх n (2)

выполняется при всех значениях х (по условию эти одночлены тождественно равны), то, подставляя в это равенство х = 1, получаем, что a = b. Сокращая обе части равенства (2) на a (где a ≠ 0 по условию), получаем x n =x m . При х = 2 из этого равенства имеем: 2 n = 2 m . Поскольку 2 n = 2• 2•. • 2 (n раз),

а 2 m = 2 • 2 •. • 2 (m раз), то равенство 2 n = 2 m возможно только тогда, когда n = m.

Таким образом, из тождественного равенства ax n = bx m (a 0, b 0) получаем, что a = b и n = m.

Если известно, что ax n = 0 для всех х, то при х = 1 получаем a = 0. Поэтому одночлен ax п тождественно равен нулю при a = 0 (тогда ax n = 0 • x n = 0).

Далее любой одночлен вида 0 • х n будем заменять на 0.

Т е о р ем а 2. Если многочлен f (x) тождественно равен нулю (то
есть принимает нулевые значения при всех значениях х), то все
его коэффициенты равны нулю.

Для доказательства используем метод математической индукции.

При n = 0 имеем f (х) = a₀ = 0, поэтому a₀ = 0. То есть в этом случае утверждение теоремы выполняется.

Предположим, что при n = k это утверждение также выполняется: если многочлен a_kх k + a_k_-1х k-1 + . + a₁х + a₀ тождественно равен 0, то

Докажем, что данное утверждение выполняется и при n = k + 1. Пусть

Поскольку равенство (3) выполняется при всех значениях х, то, подставляя в это равенство х = 0, получаем, что a₀ = 0. Тогда равенство (3) обращается в следующее равенство: a_k₊₁x k +1 + a_kx k + . + a₁x = 0. Вынесем х в левой части этого равенства за скобки и получим

Равенство (4) должно выполняться при всех значениях х. Для того чтобы оно выполнялось при х 0, должно выполняться тождество a_k₊₁x k + a_kx k -1 + . + a₁ = 0.

В левой части этого тождества стоит многочлен со степенями переменной от х 0 до x k .Тогда по предположению индукции все его коэффициенты равны нулю: a_k ₊ ₁ = a_k = …= a₁ = 0. Но мы также доказали, что a₀ = 0,

поэтому наше утверждение выполняется и при n = k + 1. Таким образом, утверждение теоремы справедливо для любого целого неотрицательного n, то есть для всех многочленов.

Определение 2. Многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю, обычно называют нулевым многочленом, или нуль-многочленом, и обозначают 0 (х) или просто 0 (поскольку 0 (х) = 0).

Теорема 3. Если два многочлена f (x) и g (x) тождественно равны,
то они совпадают (то есть их степени одинаковы и коэффициенты при одинаковых степенях равны).

Пусть многочлен f (х) = а_nх n + а_n-1х n — 1 + . + а₂х 2 + а₁х + а₀, а многочлен g (x) = b_mx m + b_m _— ₁x m — 1 + . + b₂x 2 + b₁x + b₀. Рассмотрим многочлен f (x) — g (x). Поскольку многочлены f (x) и g (x) по условию тождественно равны, то многочлен f (x) — g (x) тождественно равен 0. Таким образом, все его коэффициенты равны нулю.

Тогда a₀ — b₀ = 0, a₁ — b₁ = 0, а₂ — b₂ = 0, . . Отсюда a₀ = b₀, a₁ = b_1s а₂ = b₂, . . Как видим, если допустить, что у какого-то из двух данных многочленов степень выше, чем у второго многочлена (например, n больше m), то коэффициенты разности будут равны нулю. Поэтому начиная с (m + 1)-го номера все коэффициенты a_t также будут равны нулю. То есть действительно многочлены f (x) и g (x) имеют одинаковую степень и соответственно равные коэффициенты при одинаковых степенях.

Теорема 3 является основанием так называемого метода неопределенных коэффициентов. Покажем его применение на следующем примере.

Пример. Докажите, что выражение (х + 2)(х + 4)(х + 6)(х + 8) + 16 является полным квадратом.

Данное выражение может быть записано в виде многочлена четвертой степени, поэтому оно может быть полным квадратом только многочлена второй степени вида ах 2 + bх + с (а ≠ 0).

Раскрывая скобки в левой и правой частях этого тождества и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему равенств. Этот этап решения удобно оформлять в следующем виде:

2-4-6 + 2-4-8 + 2-6-8 + 4-6-8 = 2bc

Из первого равенства получаем а = 1 или а = -1.

При а = 1 из второго равенства имеем b = 10, а из третьего — с = 20. Как видим, при этих значениях а, b и с последние два равенства также выполняются. Следовательно, тождество (5) выполняется при а = 1, b = 10, с = 20 (аналогично можно также получить а = -1, b = -10, с = -20).

1. Зная, что многочлены f (x) и g (x) тождественно равны, найдите значение
коэффициентов а, b, с, d:

3. Докажите тождество:

2)1+х 4 =(1+х +х 2 )(1-х +х 2 ).
4. Докажите, что данное выражение является полным квадратом:

5. Найдите такие а и b, чтобы при любых значениях х выполнялось равенство: 3х 4 + 4х 3 + 8х 2 + 3х + 2 = (3х 2 + ах + 1)(х 2 + х + b).

6. Запишите алгебраическую дробь 2/15х 2 +x-2 как сумму двух алгебраических дробей вида a/3x-1 и b/5x+2

10.2. ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН С ОСТАТКОМ

Сложение и умножение многочленов от одной переменной выполняется с помощью известных правил сложения и умножения многочленов. В результате выполнения действий сложения или умножения над многочленами от одной переменной всегда получаем многочлен от той же переменной.

Из определения произведения двух многочленов вытекает, что старший член произведения двух многочленов равен произведению старших членов множителей, а свободный член произведения равен произведению свободных членов множителей. Отсюда получаем, что степень произведения двух многочленов равна сумме степеней множителей.

При сложении многочленов одной степени можно получить многочлен этой же степени или многочлен меньшей степени.

При сложении многочленов разных степеней всегда получаем многочлен, степень которого равна большей из степеней слагаемых.

Деление многочлена на многочлен определяется аналогично делению целых чисел. Напомним, что число а делится на число b (b≠ 0), если существует такое число q, что а = b • q.

Определение 3. Многочлен А (х) делится на многочлен В (х) (где В (х) —не нулевой многочлен), если существует такой многочлен Q (x), что

Как и для целых чисел, операция деления многочлена на многочлен выполняется не всегда, поэтому во множестве многочленов вводится операция деления с остатком

Разделить с остатком многочлен А (х) на многочлен В (х) (где В (х) — не нулевой многочлен) — это означает найти такую пару многочленов Q (x) и R (x), что А (х) = В (х) • Q (x) + R (x), причем степень остатка R (x) меньше степени делителя В (х) (в этом случае многочлен Q (х) называют неполным частным.)

Например, поскольку х 3 — 5х + 2 = (х 2 — 5) х + 2, то при делении многочлена х 3 — 5х + 2 на многочлен х 2 — 5 получаем неполное частное х и остаток 2.

Иногда деление многочлена на многочлен удобно выполнять «уголком», как и деление многозначных чисел, пользуясь следующим алгоритмом:

Алгоритм. При делении многочленов от одной переменной переменные в делимом и в делителе размещают по убыванию степеней и делят старший член делимого на старший член делителя. Потом полученный результат умножают на делитель, и это произведение вычитают из делимого. С полученной разностью выполняют аналогичную операцию: делят ее старший член на старший член делителя и полученный результат снова умножают на делитель и т. д. Этот процесс продолжают до тех пор, пока не получится в остатке 0 (если один многочлен делится на другой) или пока в остатке не получится многочлен, степень которого меньше степени делителя.

Докажем, что полученный результат действительно является результатом деления А (х) на В (х) с остатком.

Если обозначить результат выполнения первого шага алгоритма через f₁ (x), второго шага — через f₂ (x), третьего — через f₃ (x), то операцию деления, выполненную выше, можно записать в виде системы равенств:

Сложим почленно равенства (1), (2), (3) и получим

Учитывая, что степень многочлена f₃ (x) = х + 4 меньше степени делителя

В (х) = х 2 — 2х + 3, обозначим f₃ (x) = R (x) (остаток), а х 2 — 3х — 8 = Q (x) (неполное частное). Тогда из равенства (4) имеем: А (х) = В (х) — Q (x) + R (x), то есть х 4 — 5х 3 + х 2 + 8х — 20 = (х 2 — 2х + 3)(х 2 — 3х — 8) + х + 4, а это и означает, что мы разделили А (х) на В (х) с остатком.

Очевидно, что приведенное обоснование можно провести для любой пары многочленов А (х) и В (х) в случае их деления столбиком. Поэтому описанный выше алгоритм позволяет для любых делимого А (х) и делителя В (х) (где В (х) — не нулевой многочлен) найти неполное частное Q (x) и остаток R (x).

То есть, имеет место следующая теорема.

Теорема 4. Для любой пары многочленов А (х) и В (х) (где В (х) — не нулевой многочлен) существует и притом единственная пара многочленов
Q(x) и R(x), такая, что А(х)=В(х)*Q(x) + R(x), причем сте-
пень R (x) меньше степени В (х) (или R (x) — нулевой многочлен).

Отметим, что в случае, когда степень делимого А (х) меньше степени делителя В (х), считают, что неполное частное Q (x) = 0, а остаток R (x) = А (х).

1.Выполните деление многочлена на многочлен:

1)3х 3 — 5х 2 + 2х — 8 на х — 2; 2) х 10 + 1 на х 2 + 1;

2. Выполните деление многочлена на многочлен с остатком:

1)4х 4 — 2х 3 + х 2 — х + 1 на x 2 + x + 2;

2)х 5 + х 4 + х 3 + х 2 + 1 на х 2 — х — 2.

3.При каких значениях а и b многочлен А (х) делится без остатка на многочлен В(х)?

4.Найдите неполное частное и остаток при делении многочлена А(х) на многочлен В(х) методом неопределенных коэффициентов:

10.3. ТЕОРЕМА БЕЗУ. КОРНИ МНОГОЧЛЕНА. ФОРМУЛЫ ВИЕТА

Рассмотрим деление многочлена f (x) на двучлен (х – а). Поскольку степень делителя равна 1, то степень остатка, который мы получим, должна быть меньше 1, то есть в этом случае остатком будет некоторое число R. Таким образом, если разделить многочлен f (x) на двучлен (х – а), то получим

Это равенство выполняется тождественно, то есть при любом значении х. При х = а имеем f (а) = R. Полученный результат называют теоремой Безу.

Те о р е м а 1 (теорема Безу). Остаток от деления многочлена f (х) на двучлен (х – а) равен f (а) (то есть значению многочлена при х = а).

Задача 1. Докажите, что х 5 – 3х 4 + 2х 3 + 4х – 4 делится на х – 1 без остатка.

Подставив в f (х) = х 5 – 3х 4 + 2х 3 + 4х – 4 вместо х значение 1, получаем: f (1) = 0. Таким образом, остаток от деления f (х) на (х – 1) равен 0, то есть f (x) делится на (х – 1) без остатка.

О п р е д е л е н и е. Число α называют корнем многочлена f (x), если f (α) = 0.

Если многочлен f (х) делится на (х – α), то α — корень этого многочлена.

Действительно, если f (х) делится на (х – α), то f (х) = (х – α)*Q (x) и поэтому f (α) = (α – α)*Q (α) = 0. Таким образом, α — корень многочлена f (х).

Справедливо и обратное утверждение. Оно является следствием теоремы Безу.

Т е о р е м а 2. Если число α является корнем многочлена f (x), то этот многочлен делится на двучлен (х – α) без остатка.

По теореме Безу остаток от деления f (x) на (х – α) равен f (α). Но по условию α — корень f (x), таким образом, f (α) = 0.

Обобщением теоремы 2 является следующее утверждение.

Те о р е м а 3. Если многочлен f (x) имеет попарно разные корни α₁, α₂, . α_n, то он делится без остатка на произведение

Для доказательства используем метод математической индукции.

При n= 1 утверждение доказано в теореме 2. Допустим, что утверждение справедливо при n = k. То есть если α₁, α₂, . α_k — попарно разные корни многочлена f (x), то он делится на произведение (х – α₁)(х – α₂)*…*(х – α_k). Тогда

Докажем, что утверждение теоремы справедливо и при n = k + 1. Пусть α₁, α₂, . α_k, α_{k + 1} — попарно разные корни многочлена f (x). Поскольку α_{k + 1} — корень f (x), то f (α_{k + 1)} = 0.

Принимая во внимание равенство (1), которое выполняется согласно предположению индукции, получаем:

По условию все корни α₁, α₂, . α_k, α_{k + 1} разные, поэтому ни одно из чисел α_{k + 1} – α₁, α_{k + 1} – α₂, . α_{k + 1} – α_k не равно нулю. Тогда Q (α_{k + 1}) = 0. Таким образом, α_{k + 1} — корень многочлена Q (x). Тогда по теореме 2 Q (x) делится на (х – α_{k + 1}), то есть Q (x) = (х – α_{k + 1})*Q₁ (x) и из равенства (1) имеем

Это означает, что f (х) делится на произведение

то есть теорема доказана и при n = k + 1.

Таким образом, теорема справедлива для любого натурального n.

С л е д с т в и е. Многочлен степени n имеет не больше n разных корней.

Пусть теперь многочлен n-й степени f (x) = а_nх n + а_n_{– 1} х n –1 + . + а₂х 2 + а₁х + а₀ (a_n ≠ 0) имеет n разных корней α₁, α₂, . α_n. Тогда этот многочлен делится без остатка на произведение (х – α₁)(х – α₂)*. *(х – α_n). Это произведение является многочленом той же n-й степени. Таким образом, в результате деления можно получить только многочлен нулевой степени, то есть число. Таким образом,

Если раскрыть скобки в правой части равенства (2) и приравнять коэффициенты при старших степенях, то получим, что b = а_n, то есть

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях тождества (3), получаем соотношения между коэффициентами уравнения и его корнями, которые называют формулами Виета:

Например, при n = 2 имеем:

Выполнение таких равенств является необходимым и достаточным условием того, чтобы числа α₁, α₂, …, α_n были корнями многочлена f (x) = а_nх n + а_n _{– 1} х n – 1 + . + а₂х 2 + а₁х + а₀ (a_n ≠ 0). Формулы (3) и (4) справедливы не только для случая, когда все корни многочлена f (x) разные. Введем понятие кратного корня многочлена.

Если многочлен f (x) делится без остатка на (х – α) k , но не делится без остатка на (х – α) k + 1 , то говорят, что число α является корнем кратности k многочлена f (x).

Например, если произведение (х + 2) 3 (х – 1) 2 (х + 3) записать в виде многочлена, то для этого многочлена число (–2) является корнем кратности 3, число 1 — корнем кратности 2, а число (–3) — корнем кратности 1.

При использовании формул Виета в случае кратных корней необходимо каждый корень записать такое количество раз, которое равно его кратности.

Задача 2. Проверьте справедливость формул Виета для многочлена

f (x) = х 3 + 2х 2 – 4х – 8.

f(x) = х 3 + 2х 2 – 4х – 8 = х 2 (х + 2) – 4 (х + 2) = (х + 2)(х 2 – 4) = (х – 2)(х + 2) 2 .

Поэтому f (х) имеет корни: α₁ = 2, α₂ = –2, α₃ = –2 (поскольку (–2) — корень кратности 2). Проверим справедливость формулы (5).

Как видим, все равенства выполняются, поэтому формулы Виета справедливы для данного многочлена.

Задача 3. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней уравнения х 2 – 8х + 4 = 0.

Обозначим корни уравнения х 2 – 8х + 4 = 0 через х₁ и х₂. Тогда корнями искомого уравнения должны быть числа a₁=x₁ 2 и a2=x2 2 . Поэтому искомое уравнение имеет вид х 2 + рх + q = 0,

По формулам Виета имеем х₁ + х₂ = 8 и х₁х₂ = 4. Отсюда находим, что

Таким образом, искомое уравнение имеет вид х 2 – 56х + 16 = 0.

Упражнения

Найдите остаток от деления многочлена х 5 – 4х 4 + 2х 3 – 5х + 1 на х + 2.
Найдите коэффициент а, зная, что остаток от деления многочлена х 3 – ах 2 + 5х – 3 на х – 1 равен 6.
Многочлен f (х) при делении на х – 1 дает остаток 4, а при делении на х – 3 дает остаток 6. Найдите остаток от деления многочлена f (х) на х 2 – 4х + 3.
При каких значениях а и b многочлен х 4 + 2х 3 + ах 2 – bх + 2 делится без остатка на х + 2, а при делении на х – 1 имеет остаток, который равен 3?
Остаток от деления многочлена f (x) на 3х 2 – 5х + 2 равен 7х + 1. Найдите остаток от деления этого многочлена на двучлены х – 1 и 3х – 2.
Запишите формулы Виета при n = 4.
Составьте кубический многочлен, который имеет корни 5, –2, 1 и коэффициент при старшем члене –2. Решите задачу двумя способами.
При каких значениях а сумма квадратов корней трехчлена х 2 – (а + 2) х + 3а равна 12?
Какую кратность имеет корень 2 для многочлена

f (х) = х 5 – 5х 4 + 7х 3 – 2х 2 + 4х – 8?

Составьте кубический многочлен, который имеет корень 3 кратности 2 и корень (–1), а коэффициент при старшем члене 2.
Найдите такие а и b, чтобы число 3 было корнем кратности не меньше чем 2 для многочлена f (х) = х 3 – 5х 2 + ах + b.
Составьте квадратное уравнение, корни которого противоположны корням уравнения х 2 – 5х + 1 = 0.
Составьте квадратное уравнение, корни которого обратны корням уравнения 2х 2 – 5х + 1 = 0.
Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней уравнения х 2 + 6х + 3 = 0.

10.4. СХЕМА ГОРНЕРА

Делить многочлен f (x) на двучлен (х – а) иногда удобно с помощью специальной схемы, которую называют схемой Горнера.

f (x) = а₀х

+ а₁х

– 1

+ . + а

_{– 1}

х + а

(a₀ ≠ 0)

(х – а).

Q (x) = b₀x

– 1

+ b₁x

– 2

+ . + b

_{– 2}

x + b

_{– 1}

, где b₀ ≠ 0

а₀х

+ а₁х

– 1

+ . + а

_{– 1}

х + а

= = (х – а)*(b₀x

– 1

+ b₁x

– 2

+ . + b

_{– 2}

x + b

_{– 1}

) + R

a₁+a₂+a₃= — a₂/a_3;

Как видим, первый коэффициент неполного частного равен первому коэффициенту делимого. Остальные коэффициенты неполного частного и остаток находятся одинаково: для того чтобы найти коэффициент b_{k + 1} неполного частного, достаточно предыдущий найденный коэффициент b_k умножить на а и добавить k-й коэффициент делимого. Эту процедуру целесобразно оформлять в виде специальной схемы-таблицы, которую называют схемой Горнера.

Пример 1. Разделите по схеме Горнера многочлен f (х) = 3х 4 – 2х 3 – 4х + 1 на двучлен х – 2.
Запишем сначала все коэффициенты многочлена f (х) (если в данном многочлене пропущена степень 2, то соответствующий коэффициент считаем равным 0), а потом найдем коэффициенты неполного частного и остаток по указанной схеме:

Таким образом, 3х 4 – 2х 3 – 4х +1 = (х – 2)(3х 3 + 4х 2 + 8х + 12) + 25.

Пример 2. Проверьте, является ли х = –3 корнем многочлена f (х) = 2х 4 + 6х 3 + 4х 2 – 2х – 42.

По теореме Безу остаток от деления многочлена f (х) на х – а равен f (а), поэтому найдем с помощью схемы Горнера остаток от деления f (х) на х – (–3) = х + 3

Поскольку f (–3) = 0, то х = –3 — корень многочлена f (х).

Упражнения

Используя схему Горнера, найдите неполное частное и остаток от деления многочлена А (х) на двучлен В (х):

1) А (х) = х 3 + 3х 2 + 3х + 1; В (х) = х + 1;

2) А (х) = 5х 3 – 26х 2 + 25х – 4; В (х) = х – 5;

3) А (х) = х 4 – 15х 2 + 10х + 24; В (х) = х + 3.

Используя схему Горнера, проверьте, делится ли многочлен f (x) на двучлен q (x):

1) f (х) = 4х 3 – х 2 – 27х – 18; q (x) = x + 2;

2) f (х) = х 4 – 8х 3 + 15х 2 + 4х – 20; q (x) = x – 2.

Разделите многочлен А (х) на двучлен В (х):

1) А (х) = 2х 3 – 19х 2 + 32х + 21; В (х) = х – 7;

2) А (х) = 4х 3 – 24х 2 + 21х – 5; В (х) = 2х – 1.

10.5. НАХОЖДЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНА С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

Умножим обе части равенства (1) на (q ≠ 0). Получаем

В равенстве (2) все слагаемые, кроме последнего, делятся на р. Поэтому

Но когда мы записываем рациональное число в виде p/q, то эта дробь считается несократимой, то есть р и q не имеют общих делителей. Произведение a₀q n может делиться на р (если р и q — взаимно простые числа) только тогда, когда a₀ делится на р. Таким образом, р — делитель свободного члена a₀.

Аналогично все слагаемые равенства (2), кроме первого, делятся на q. Тогда

Отметим два следствия из этой теоремы. Если взять q = 1, то корнем многочлена будет целое число р — делитель a₀. Таким образом, имеет место:

Следствие 1. Любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Если в заданном многочлене f (х) коэффициент а_n = 1, то делителями а_n могут быть только числа ±1, то есть q =±1, и имеет место:

Следствие 2. Если коэффициент при старшем члене уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни этого уравнения (если они существуют) — целые числа.

Задача 1 Найдите рациональные корни многочлена 2х 3 – х 2 + 12х – 6.

Пусть несократимая дробь p/q является корнем многочлена. Тогда р необходимо искать среди делителей свободного члена, то есть среди чисел ±1, ±2, ±3, ±6, а q — среди делителей старшего коэффициента: ±1, ±2.

Таким образом, рациональные корни многочлена необходимо искать среди чисел ±1/2, ±1, +±3/2, ±2, ±3, ±6. Проверять, является ли данное число корнем многочлена, целесообразно с помощью схемы Горнера. При x = 1/2 имеем следующую таблицу.

Кроме того, по схеме Горнера можно записать, что

Многочлен 2х 2 + 12 не имеет действительных корней (а тем более рациональных), поэтому заданный многочлен имеет единственный рациональный корень x =1/2.

Задача 2 Разложите многочлен Р (х) = 2х 4 + 3х 3 – 2х 2 – х – 2 на множители.

Ищем целые корни многочлена среди делителей свободного члена: ±1, ±2. Подходит 1. Делим Р (х) на х – 1 с помощью схемы Горнера.

Тогда Р (х) = (х – 1)(2х3 + 5х 2 + 3х + 2). Ищем целые корни кубического многочлена 2х 3 + 5х 2 + 3х + 2 среди делителей его свободного члена: ±1, ±2. Подходит (–2). Делим на х + 2

Квадратный трехчлен 2х 2 + х +1 не имеет действительных корней и на линейные множители не раскладывается.

Ответ: Р (х) = (х – 1)(х + 2)(2х 2 + х +1).

Отметим, что во множестве действительных чисел не всегда можно найти все корни многочлена (например, квадратный трехчлен х 2 + х + 1 не имеет действительных корней). Таким образом, многочлен n-й степени не всегда можно разложить на линейные множители. В курсах высшей алгебры доказывается, что многочлен нечетной степени всегда можно разложить на линейные и квадратные множители, а многочлен четной степени представить в виде произведения квадратных трехчленов.

Например, многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов. Для нахождения коэффициентов этого разложения иногда можно применить метод неопределенных коэффициентов.

Задача 3 Разложите на множители многочлен х 4 + х 3 + 3х 2 + х + 6.

Попытка найти рациональные корни ничего не дает: многочлен не имеет рациональных (целых) корней.

Попытаемся разложить этот многочлен в произведение двух квадратных трехчленов. Поскольку старший коэффициент многочлена равен 1, то и у квадратных трехчленов возьмем старшие коэффициенты равными 1. То есть будем искать разложение нашего многочлена в виде:

где а, b, с и d — неопределенные (пока что) коэффициенты. Многочлены, стоящие в левой и правой частях этого равенства, тождественно равны, поэтому и коэффициенты при одинаковых степенях х у них равны. Раскроем скобки в правой части равенства и приравняем соответствующие коэффициенты. Это удобно записать так:

Попытка решить эту систему методом подстановки приводит к уравнению 4-й степени, поэтому попробуем решить систему (4) в целых числах. Из последнего равенства системы (4) получаем, что b и d могут быть только делителями числа 6. Все возможные варианты запишем в таблицу.

Коэффициенты b и d в равенстве (3) равноправны, поэтому мы не рассматриваем случаи b = 6 и d = 1 или b = –6 и d = –1 и т. д.

Для каждой пары значений b и d из третьего равенства системы (4) найдем ас = 3 – (b + d), а из второго равенства имеем а + с = 1.

Зная а + с и ас, по теореме, обратной теореме Виета, находим а и с как корни квадратного уравнения. Найденные таким образом значения а, b, с, d подставим в четвертое равенство системы (4) bс + ad = 1, чтобы выбрать те числа, которые являются решениями системы (4). Удобно эти рассуждения оформить в виде таблицы:

Как видим, системе (4) удовлетворяет набор целых чисел а = –1, b = 2, с = 2, d = 3. Тогда равенство (3) имеет вид

Поскольку квадратные трехчлены х 2 – х + 2 и х 2 + 2х + 3 не имеют не только рациональных, но и действительных корней, то равенство (5) дает окончательный ответ.

Упражнения

Найдите целые корни многочлена:

Найдите рациональные корни уравнения:

Разложите многочлен на множители:

Найдите действительные корни уравнения:

5*. Разложите многочлен на множители методом неопределенных коэффициентов:

6*. Разложите многочлен на множители, заранее записав его с помощью метода неопределенных коэффициентов в виде (х 2 + bх + с) 2 – (mх + n) 2 : :

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К РАЗДЕЛУ 1

Область определения функции y = f (x) ¾ отрезок [– 2; 1]. Найдите область определения функции:

Постройте график функции:

Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному условию:

4 (МТУСИ). Решите уравнение:

5 (МЭСИ). Решите систему уравнений:

8 (СТАНКИН). Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет точно три корня.

9 (МГАТХТ). Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений не имеет решений.

10 (МГУ, ИСАиА). Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

11 (МИСиС). При каких значениях параметра а неравенство

выполняется для всех отрицательных значений х?

12 (МГУ, мех.-мат. ф-т). При каких значениях параметра а уравнение

имеет точно три различных корня?

При каких значениях параметра а уравнение имеет три действительных корня, которые образуют геометрическую прогрессию?

Решите задачи (14–25) на составление уравнений или неравенств и их систем.

14 (МГТУ). Рабочий должен был по плану изготовить за несколько дней 72 детали. Так как каждый день он изготавливал на 2 детали меньше плана, то закончил работу через 3 дня после срока. Сколько деталей в день должен был изготовлять рабочий по плану?

15 (МГУ, хим. ф-т). Три одинаковых комбайна, работая вместе, убрали первое поле, а затем два из них убрали второе поле (другой площади). Вся работа заняла 12 часов. Если бы три комбайна выполнили половину всей работы, а затем оставшуюся часть сделал один из них, то работа заняла бы 20 часов. За какое время два комбайна могут убрать первое поле?

16 (РЭА). Производительность первого станка на 25 % больше производительности второго станка. Второй станок сделал деталей на 4 % больше, чем первый. На сколько процентов время, затраченное вторым станком на выполнение своей работы, больше времени первого станка?

17 (ГФА). Первая из труб наполняет бассейн водой в два раза быстрее, чем другая. Если половину бассейна наполнить только из первой трубы, а оставшуюся часть — только из второй, то для наполнения бассейна потребуется 6 час. За сколько часов можно наполнить бассейн только из первой трубы?

18 (МГУПБ). Два велосипедиста выезжают одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 30 км, и встречаются через час. Не останавливаясь, они продолжают путь с той же скоростью, и первый прибывает в пункт В на 1,5 часа раньше, чем второй в пункт А. Определить скорость первого велосипедиста.

19 (МГУПБ). В течение 7 ч 20 мин судно прошло вверх по реке 35 км и вернулось обратно. Скорость течения равна 4 км в час. С какой скоростью судно шло по течению?

20 (ПГУ). Смешали 30 %-ный раствор соляной кислоты с 10 %-ным и получили 600 г 15 %-го раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

21 (ВШЭ). Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40 % олова, а второй — 26 % меди. Процентное содержание цинка в первом и во втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30 % цинка. Определить, сколько килограммов олова содержится в новом сплаве.

22 (МАИ). Найти такое двузначное число, в котором число его единиц на два больше числа десятков, а произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144.

23 (ЛТА). Около дома посажены березы и липы, причем общее их количество более 14. Если количество лип увеличить вдвое, а количество берез увеличить на 18, то берез станет больше. Если увеличить вдвое количество берез, не изменяя количества лип, то лип все равно будет больше. Сколько берез и сколько лип было посажено?

24 (МГУ, эк. ф-т, ВШЭ). Группу людей пытались построить в колонну по 8 человек в ряд, но один ряд оказался неполным. Когда ту же группу людей перестроили по 7 человек в ряд, то все ряды оказались полными, а число рядов оказалось на 2 больше. Если бы тех же людей построили по 5 человек в ряд, то рядов было бы еще на 7 больше, причем один ряд был бы неполным. Сколько людей было в группе?

25 (МГУ, эк. ф-т). В магазине продаются гвоздики и розы. Гвоздика стоит 1 руб. 50 коп., роза — 2 руб. На покупку гвоздик и роз можно затратить не более 30 руб. 50 коп. При этом число гвоздик не должно отличаться от числа роз более чем на 6. Необходимо купить максимально возможное суммарное количество цветов, при этом гвоздик нужно купить как можно меньше. Сколько гвоздик и сколько роз будет куплено при указанных условиях?