Почему точное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки можно заменить приближенным уравнением (8 видео)

Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

В § 7.5 было получено дифференциальное уравнение изогнутой оси балки, связывающее ее прогибы с изгибающими моментами М_г:

где J_z — момент инерции поперечного сечения балки относительно его нейтральной оси; Е — модуль упругости материала балки. Произведение EJ_z называется жесткостью балки при изгибе (из- гибной жесткостью). Чаще всего она бывает постоянной или ступенчато-постоянной по длине.

Уравнение (9.1) получено для случая чистого изгиба балки, когда изгибающий момент имеет постоянное значение, а поперечная сила равна нулю. Однако это уравнение используется и в случае поперечного изгиба, что равносильно пренебрежению искривлением поперечных сечений балки за счет сдвигов.

Левая часть уравнения (9.1) представляет собой приближенное выражение для кривизны изогнутой оси балки:

где р — радиус кривизны изогнутой оси (рис. 9.3).

Выражение (9.2) можно использовать при весьма малой кривизне изогнутой оси, что всегда имеет место в реальных строительных конструкциях. В силу изложенного уравнение (9.1) можно считать приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси балки, справедливым при малых прогибах.

Если прогибы балки не малы по сравнению с ее длиной, то в левой части уравнения (9.1) надо использовать точное выражение для кривизны изогнутой оси:

При этом дифференциальное уравнение изогнутой оси балки становится нелинейным, что существенно усложняет его интегрирование. В дальнейшем будем использовать только приближенное уравнение (9.1), поскольку оно позволяет получать практически точные решения для большинства задач изгиба балок.

Знак минус в уравнении (9.1) соответствует принятому положительному направлению оси Оу (вниз) и правилу знаков для изгибающих моментов. При этом кривизна изогнутой оси балки и изгибающий момент имеют противоположные знаки (рис. 9.3, а, б).

Введем еще одно упрощение, связанное с углами поворота поперечных сечений. Если изогнутая ось балки является очень пологой кривой, то углы поворота можно с достаточной степенью точности принимать равными первой производной от прогиба:

Из этой формулы следует, что прогиб балки может иметь экстремальное значение (максимум или минимум) в сечении, где угол поворота равен нулю. Таких сечений может быть несколько.

Видео:Сопротивление материалов. Лекция: дифференциальное уравнение изогнутой оси балкиСкачать

СОПРОМАТ ОН-ЛАЙН

Меню сайта

Расчет геометрических характеристик сечений он-лайн NEW — считает любые сечения (сложные). Определяет: площадь сечения, моменты инерции, моменты сопротивления.

Расчет балок на прочность он-лайн — построение эпюр Mx, Qy, нахождение максимального изгибающего момента Mx, максимальной сдвигающей силы Qy, расчет прогибов, подбор профиля и др. Все просто, все он-лайн.
+ Полное расписанное решение!
Теперь и для статически неопределимых балок!

Расчет рам, ферм балок он-лайн NEW — эпюры Q, M, N, перемещения узлов. Удобный графический интерфейс. Считает любые схемы.

Лекции — теория, практика, задачи.

Справочная информация — ГОСТы, сортамент проката, свойства материалов и другое.

Программы по сопромату (построение эпюр, различные калькуляторы, шпоры и другое).

Книги — разная литература по теме.

Базовый курс лекций по сопромату, теория, практика, задачи.

4. Изгиб. определение перемещений.

4.1. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки и его интегрирование.

При изгибе ось балки искривляется, а поперечные сечения перемещаются поступательно и поворачиваются вокруг нейтральных осей, оставаясь при этом нормальными к изогнутой продольной оси (рис. 8.22). Деформированная (изогнутая) продольная ось балки называется упругой линией, а поступательные перемещения сечений, равные перемещениям y = y ( x ) их центров тяжести сечений – прогибами балки.

Между прогибами y ( x ) и углами поворота сечений θ ( x ) существует определенная зависимость. Из рис. 8.22 видно, что угол поворота сечения θ равен углу φ наклона касательной к упругой линии ( θ и φ — углы с взаимноперпендикулярными сторонами). Но согласно геометрическому смыслу первой производной y / = tg θ . Следовательно, tg θ = tg φ = y / .

В пределах упругих деформаций прогибы балок обычно значительно меньше высоты сечения h , а углы поворота θ не превышают 0.1 – 0.15 рад. В этом случае связь между прогибами и углами поворота упрощается и принимает вид θ = y / .

Определим теперь форму упругой линии. Влияние перерезывающих сил Q на прогибы балок, как правило, незначительно. Поэтому с достаточной точностью можно принять, что при поперечном изгибе кривизна упругой линии зависит только от величины изгибающего момента M z и жесткости EI z (см. уравнение (8.8)):

В то же время в неподвижной системе координат кривизна упругой линии, как и всякой плоской кривой,

Приравнивая правые части (8.26) и (8.27) и учитывая, что правила знаков для M z и y // были приняты независимо друг от друга, получаем

Это равенство называется дифференциальным уравнением упругой линии. При малых деформациях второе слагаемое в знаменателе мало по сравнению с единицей (при θ = 0.1 рад ( y / ) 2 =0.01 ) и им можно пренебречь. В результате получим приближенное дифференциальное уравнение упругой линии балки

Выбор знака в правой части (8.29) определяется направлением координатной оси y , так как от этого направления зависит знак второй производной y // . Если ось направлена вверх, то, как видно из рис. 8.23, знаки y // и M z совпадают, и в правой части надо оставить знак плюс. Если же ось направлена вниз, то знаки y // и M z противоположны, и это заставляет выбрать в правой части знак минус.

Заметим, что уравнение (8.29) справедливо только в пределах применимости закона Гука и лишь в тех случаях, когда плоскость действия изгибающего момента M z содержит одну из главных осей инерции сечения.

Интегрируя (8.29), находим сначала углы поворота сечений

а после второго интегрирования – прогибы балки

Постоянные интегрирования определяются из граничных условий. На участках с различными аналитическими выражениями для изгибающих моментов дифференциальные уравнения упругой линии также различны. Интегрирование этих уравнений при n участках дает 2 n произвольных постоянных. Для их определения к граничным условиям на опорах добавляются условия равенства прогибов и углов поворота на стыке двух смежных участков балки.

Видео:Сопротивление материалов. Лекция: универсальное уравнение изогнутой оси балкиСкачать

Изогнутая ось балки

Изогнутая ось балки

Изгиб балки сопровождается искривлением ее оси. При этом точки оси получают поперечные перемещения или прогибы, а поперечные сечения поворачиваются относительно своих нейтральных осей. Углы поворота поперечных сечений принимаются равными углам наклона j касательной к изогнутой оси балки. Прогибы и углы поворота в балках часто называются линейными и угловыми перемещениями.

Почему точное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки можно заменить приближенным уравнением

— закон изменения прогиба оси балки;

АМВ – изогнутая ось (упругая линия) – кривая, в которую превращается прямолинейная до деформации ось балки после приложения нагрузки;

— угол наклона касательной.

Прогибы и углы поворота в балках являются переменными величинами, т. е. функциями координаты х.

О знаке :

j — положительно, если при совмещении оси балки с касательной идет движение по часовой стрелке.

На часть конструкций часто накладываются жесткие ограничения на перемещения, например для балочных мостов, кран-балок и т. д., т. е. возникает необходимость рассмотрения геометрической стороны задачи при изгибе.

I . Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

Вид ИОБ определяется

1. действием нагрузки, которая вызывает внутренние усилия M , Q , N ;

2. геометрической характеристикой I ;

Значит

I – момент инерции поперечного сечения балки относительно его нейтральной оси;

Е – модуль упругости материала балки.

, E , I – от x не зависят.

В лекции «Напряжения в случае плоского поперечного изгиба балки» (прошлый семестр) рассматривалось «Определение нормальных напряжений». При этом было рассмотрено 3 стороны задачи:

1. геометрическая сторона задачи;

2. физическая сторона задачи;

3. статическая сторона задачи.

При рассмотрении геометрической стороны задачи была установлена зависимость

, где

— относительная деформация;

— прогиб оси балки;

— радиус кривизны ИОБ.

При рассмотрении физической стороны задачи была использована гипотеза о том, что продольные волокна балки не давят друг на друга, т. е. что изгиб сводится к деформациям продольных волокон, которые деформируются изолированно, испытывая простое одноосное растяжение (сжатие). Эта гипотеза делает возможным для связи деформаций и напряжений при изгибе использование закона Гука.

В статической стороне задачи было рассмотрено следующее сечение

Суммарное действие внутренних напряжений должно быть равно внешним воздействиям.

Имеет место 2 условия равновесия:

— сила по элементарным площадкам;

— сила по всему сечению.

Отсюда (1),

— радиус кривизны ИОБ;

— жесткость балки при изгибе (изгибная жесткость).

Так как в выражение (1) вошли все 3 фактора M , E , I , то осталось выразить через y .

Для этого воспользуемся выражением из высшей математики

(2)

Приравниваем (1) и (2).

(3) точное дифференц. уравнение ИОБ

Так как в реальных конструкциях нормами проектирования допускаются сравнительно малые прогибы, а именно

, то ИОБ в реальности пологая.

Угол

Поскольку , а , то этим слагаемым в выражении (3) можно пренебречь.

(4)

Эта формула устанавливает зависимость между ,и 2-ой производной от прогиба.

Известно, что , когда момент, растягивая нижние волокна, обращает балку выпуклостью вниз.

Тогда из математики (вторая производная от функции отрицательна, если кривая обращена выпуклостью в положительную сторону оси y ).

Таким образом, при положительном изгибающем моменте, 2-ая производная должна быть отрицательной, следовательно в уравнении (4) удерживается знак «-» и формула имеет вид

(5) приближенное дифференц. уравнение ИОБ

Основные дифференциальные зависимости

Ранее известные зависимости:

(6)

(7)

Уравнения (7) позволяют, имея q , Q и M (а эти величины всегда возможно определить, построив эпюры в балках), получить значения y (прогиба) и j (угла поворота).

II . Методы решения дифференциальных уравнений ИОБ

Существует 3 метода решения дифференциальных уравнений ИОБ:

1. Метод непосредственного интегрирования

2. Метод начальных параметров

1. Метод непосредственного интегрирования

Метод непосредственного интегрирования заключается в непосредственном интегрировании уравнения (5).