Видео:Сопротивление материалов. Лекция: дифференциальное уравнение изогнутой оси балкиСкачать
Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
В § 7.5 было получено дифференциальное уравнение изогнутой оси балки, связывающее ее прогибы с изгибающими моментами Мг:
где Jz — момент инерции поперечного сечения балки относительно его нейтральной оси; Е — модуль упругости материала балки. Произведение EJz называется жесткостью балки при изгибе (из- гибной жесткостью). Чаще всего она бывает постоянной или ступенчато-постоянной по длине.
Уравнение (9.1) получено для случая чистого изгиба балки, когда изгибающий момент имеет постоянное значение, а поперечная сила равна нулю. Однако это уравнение используется и в случае поперечного изгиба, что равносильно пренебрежению искривлением поперечных сечений балки за счет сдвигов.
Левая часть уравнения (9.1) представляет собой приближенное выражение для кривизны изогнутой оси балки:
где р — радиус кривизны изогнутой оси (рис. 9.3).
Выражение (9.2) можно использовать при весьма малой кривизне изогнутой оси, что всегда имеет место в реальных строительных конструкциях. В силу изложенного уравнение (9.1) можно считать приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси балки, справедливым при малых прогибах.
Если прогибы балки не малы по сравнению с ее длиной, то в левой части уравнения (9.1) надо использовать точное выражение для кривизны изогнутой оси:
При этом дифференциальное уравнение изогнутой оси балки становится нелинейным, что существенно усложняет его интегрирование. В дальнейшем будем использовать только приближенное уравнение (9.1), поскольку оно позволяет получать практически точные решения для большинства задач изгиба балок.
Знак минус в уравнении (9.1) соответствует принятому положительному направлению оси Оу (вниз) и правилу знаков для изгибающих моментов. При этом кривизна изогнутой оси балки и изгибающий момент имеют противоположные знаки (рис. 9.3, а, б).
Введем еще одно упрощение, связанное с углами поворота поперечных сечений. Если изогнутая ось балки является очень пологой кривой, то углы поворота можно с достаточной степенью точности принимать равными первой производной от прогиба:
Из этой формулы следует, что прогиб балки может иметь экстремальное значение (максимум или минимум) в сечении, где угол поворота равен нулю. Таких сечений может быть несколько.
Видео:Перемещения при изгибе. Часть 1. Дифференциальное уравнение изогнутой оси бруса.Скачать
СОПРОМАТ ОН-ЛАЙН
Меню сайта
Расчет геометрических характеристик сечений он-лайн NEW — считает любые сечения (сложные). Определяет: площадь сечения, моменты инерции, моменты сопротивления.
Расчет балок на прочность он-лайн — построение эпюр Mx, Qy, нахождение максимального изгибающего момента Mx, максимальной сдвигающей силы Qy, расчет прогибов, подбор профиля и др. Все просто, все он-лайн.
+ Полное расписанное решение!
Теперь и для статически неопределимых балок!
Расчет рам, ферм балок он-лайн NEW — эпюры Q, M, N, перемещения узлов. Удобный графический интерфейс. Считает любые схемы.
Лекции — теория, практика, задачи.
Справочная информация — ГОСТы, сортамент проката, свойства материалов и другое.
Программы по сопромату (построение эпюр, различные калькуляторы, шпоры и другое).
Книги — разная литература по теме.
Базовый курс лекций по сопромату, теория, практика, задачи.
4. Изгиб. определение перемещений.
4.1. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки и его интегрирование.
При изгибе ось балки искривляется, а поперечные сечения перемещаются поступательно и поворачиваются вокруг нейтральных осей, оставаясь при этом нормальными к изогнутой продольной оси (рис. 8.22). Деформированная (изогнутая) продольная ось балки называется упругой линией, а поступательные перемещения сечений, равные перемещениям y = y ( x ) их центров тяжести сечений – прогибами балки.
Между прогибами y ( x ) и углами поворота сечений θ ( x ) существует определенная зависимость. Из рис. 8.22 видно, что угол поворота сечения θ равен углу φ наклона касательной к упругой линии ( θ и φ — углы с взаимноперпендикулярными сторонами). Но согласно геометрическому смыслу первой производной y / = tg θ . Следовательно, tg θ = tg φ = y / .
В пределах упругих деформаций прогибы балок обычно значительно меньше высоты сечения h , а углы поворота θ не превышают 0.1 – 0.15 рад. В этом случае связь между прогибами и углами поворота упрощается и принимает вид θ = y / .
Определим теперь форму упругой линии. Влияние перерезывающих сил Q на прогибы балок, как правило, незначительно. Поэтому с достаточной точностью можно принять, что при поперечном изгибе кривизна упругой линии зависит только от величины изгибающего момента M z и жесткости EI z (см. уравнение (8.8)):
.
В то же время в неподвижной системе координат кривизна упругой линии, как и всякой плоской кривой,
.
Приравнивая правые части (8.26) и (8.27) и учитывая, что правила знаков для M z и y // были приняты независимо друг от друга, получаем
.
Это равенство называется дифференциальным уравнением упругой линии. При малых деформациях второе слагаемое в знаменателе мало по сравнению с единицей (при θ = 0.1 рад ( y / ) 2 =0.01 ) и им можно пренебречь. В результате получим приближенное дифференциальное уравнение упругой линии балки
.
Выбор знака в правой части (8.29) определяется направлением координатной оси y , так как от этого направления зависит знак второй производной y // . Если ось направлена вверх, то, как видно из рис. 8.23, знаки y // и M z совпадают, и в правой части надо оставить знак плюс. Если же ось направлена вниз, то знаки y // и M z противоположны, и это заставляет выбрать в правой части знак минус.
Заметим, что уравнение (8.29) справедливо только в пределах применимости закона Гука и лишь в тех случаях, когда плоскость действия изгибающего момента M z содержит одну из главных осей инерции сечения.
Интегрируя (8.29), находим сначала углы поворота сечений
,
а после второго интегрирования – прогибы балки
.
Постоянные интегрирования определяются из граничных условий. На участках с различными аналитическими выражениями для изгибающих моментов дифференциальные уравнения упругой линии также различны. Интегрирование этих уравнений при n участках дает 2 n произвольных постоянных. Для их определения к граничным условиям на опорах добавляются условия равенства прогибов и углов поворота на стыке двух смежных участков балки.
Видео:Сопротивление материалов. Лекция: универсальное уравнение изогнутой оси балкиСкачать
Изогнутая ось балки
Изогнутая ось балки
Изгиб балки сопровождается искривлением ее оси. При этом точки оси получают поперечные перемещения или прогибы, а поперечные сечения поворачиваются относительно своих нейтральных осей. Углы поворота поперечных сечений принимаются равными углам наклона j касательной к изогнутой оси балки. Прогибы и углы поворота в балках часто называются линейными и угловыми перемещениями.
 |
— закон изменения прогиба оси балки;
АМВ – изогнутая ось (упругая линия) – кривая, в которую превращается прямолинейная до деформации ось балки после приложения нагрузки;
— угол наклона касательной.
Прогибы и углы поворота в балках являются переменными величинами, т. е. функциями координаты х.
О знаке :
j — положительно, если при совмещении оси балки с касательной идет движение по часовой стрелке.
 |
На часть конструкций часто накладываются жесткие ограничения на перемещения, например для балочных мостов, кран-балок и т. д., т. е. возникает необходимость рассмотрения геометрической стороны задачи при изгибе.
I . Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
Вид ИОБ определяется
1. действием нагрузки, которая вызывает внутренние усилия M , Q , N ;
2. геометрической характеристикой I ;
Значит 
I – момент инерции поперечного сечения балки относительно его нейтральной оси;
Е – модуль упругости материала балки.
, E , I – от x не зависят.
В лекции «Напряжения в случае плоского поперечного изгиба балки» (прошлый семестр) рассматривалось «Определение нормальных напряжений». При этом было рассмотрено 3 стороны задачи:
1. геометрическая сторона задачи;
2. физическая сторона задачи;
3. статическая сторона задачи.
При рассмотрении геометрической стороны задачи была установлена зависимость
, где
— относительная деформация;
— прогиб оси балки;
— радиус кривизны ИОБ.
При рассмотрении физической стороны задачи была использована гипотеза о том, что продольные волокна балки не давят друг на друга, т. е. что изгиб сводится к деформациям продольных волокон, которые деформируются изолированно, испытывая простое одноосное растяжение (сжатие). Эта гипотеза делает возможным для связи деформаций и напряжений при изгибе использование закона Гука.
В статической стороне задачи было рассмотрено следующее сечение
Суммарное действие внутренних напряжений должно быть равно внешним воздействиям.
Имеет место 2 условия равновесия:
1. 
2. 
— сила по элементарным площадкам;
— сила по всему сечению.
Отсюда 
(1),
— радиус кривизны ИОБ;
— жесткость балки при изгибе (изгибная жесткость).
Так как в выражение (1) вошли все 3 фактора M , E , I , то осталось выразить 
через y .
Для этого воспользуемся выражением из высшей математики
(2)
Приравниваем (1) и (2).
(3) точное дифференц. уравнение ИОБ
Так как в реальных конструкциях нормами проектирования допускаются сравнительно малые прогибы, а именно
, то ИОБ в реальности пологая.
Угол 
Поскольку 
, а 
, то этим слагаемым в выражении (3) можно пренебречь.
(4)
Эта формула устанавливает зависимость между 
,и 2-ой производной 
от прогиба.
Известно, что 
, когда момент, растягивая нижние волокна, обращает балку выпуклостью вниз.
Тогда из математики 
(вторая производная от функции отрицательна, если кривая обращена выпуклостью в положительную сторону оси y ).
 |
Таким образом, при положительном изгибающем моменте, 2-ая производная должна быть отрицательной, следовательно в уравнении (4) удерживается знак «-» и формула имеет вид
(5) приближенное дифференц. уравнение ИОБ
Основные дифференциальные зависимости
Ранее известные зависимости:
(6)
, 
(7)
Уравнения (7) позволяют, имея q , Q и M (а эти величины всегда возможно определить, построив эпюры в балках), получить значения y (прогиба) и j (угла поворота).
II . Методы решения дифференциальных уравнений ИОБ
Существует 3 метода решения дифференциальных уравнений ИОБ:
1. Метод непосредственного интегрирования
2. Метод начальных параметров
1. Метод непосредственного интегрирования
Метод непосредственного интегрирования заключается в непосредственном интегрировании уравнения (5).
(8)
Зная закон изменения можно определить y как функцию от x ().
Интегрирование ведется по участкам, для которых должны быть известны аналитические выражения изгибающих моментов .
В результате двукратного интегрирования на каждом участке появляются 2 произвольные постоянные С1 и С2.
Если балка разбивается на n участков, то постоянных интегрирования будет 2 × n .
Их определяют из
1. граничных условий (способов закрепления);
2. условий сопряжения участков.
1. Условия закрепления (граничные условия)
1) жесткое защемление
При 
Þ 
и 
2) шарнирное опирание
При Þ и 
При 
Þ и
Таким образом, с учетом граничных условий осталось 
неизвестных.
2. Условия сопряжения граничных участков
при 
Þ 
, 
Таким образом, всегда можно составить условия сопряжения и найти уравнение ИОБ.
💡 Видео
Дифференциальные уравнения и прогиб балкиСкачать
Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решатьСкачать
1. Что такое дифференциальное уравнение?Скачать
Перемещения при изгибе. Часть 2. Непосредственное интегрирование уравнения изогнутой осиСкачать
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать
Прогиб балки путем интегрирования диф уравненияСкачать
Линейное дифференциальное уравнение Коши-ЭйлераСкачать
Прогиб консоли (2). Уравнение осиСкачать
Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать
Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать
Дифференциальные уравнения не разрешенные относительно производной | poporyadku.schoolСкачать
11. Уравнения в полных дифференциалахСкачать
2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.Скачать
Решение физических задач с помощью дифференциальных уравненийСкачать
Дифференциальные уравнения с разделенными переменными. 11 класс.Скачать
Дифференциальные уравнения, 2 урок, Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменнымиСкачать
