Глава 16. Динамика твердого тела.

16.1. Дифференциальные уравнения движения твердого тела вокруг неподвидеой оси.

16.1.1. По заданному уравнению вращения φ = 5 t 2 — 2 пластинки, осе­вой момент инерции которой I_z = 0,125 кг • м 2 , определить главный момент внешних сил, действующих на пластинку. (Ответ 1,25)

16.1.2. По заданному уравнению вращения φ = 2(t 2 + 1) наклонного стержня с осевым моментом инерции I_z = 0,05 кг • м 2 опреде­лить главный момент внешних сил, действую­щих на тело. (Ответ 0,2)

16.1.3. Диск вращается вокруг оси O_z по закону φ = t 3 . Определить модуль момента пары сил, приложенной к диску, в момент времени t = 1 с, если момент инерции диска относитель­но оси вращения равен 2 кг • м 2 . (Ответ 12)

16.1.4. По заданному уравнению вращения φ = 3t 2 — t стержня с осевым моментом инер­ции I_z = 1 /₆ кг • м 2 определить главный мо­мент внешних сил, действующих на стержень. (Ответ 1)

16.1.5. По заданному уравнению вращения φ = t 3 — 5t 2 однородного цилиндра радиуса R = 1,41 м, массой m = 60 кг определить главный момент внешних сил, действующих на тело, в момент времени t = 2 с. (Ответ 119)

16.1.6. Конус, масса которого m = 10 кг, а радиус основания R = 1 м, вращается вокруг оси симметрии по закону φ = 4sin 2t. Определить главный момент приложенных к конусу внеш­них сил относительно оси вращения в момент времени t = π/4 с, если момент инерции конуса I_z = 0,3 mR 2 . (Ответ -48)

16.1.7. По заданному уравнению вращения φ = 2sin(πt/2) однородной прямоугольной пли­ты с моментом инерции относительно оси вра­щения I_z = 10 кг • м 2 определить главный мо­мент внешних сил, действующих на тело, в момент времени t = 1 с. (Ответ -49,3)

16.1.8. Вал двигателя вращается с угловой скоростью ω = 90 е -20t + 85 (1 + е -20t ). Определить главный момент внешних сил, действу­ющих на вал, в момент времени t = 0,1 с, если его момент инерции относительно оси вращения равен 1 кг • м 2 . (Ответ -13,5)

16.1.9. Диск вращается вокруг центральной оси с угловым ускорением ϵ = 4 рад/с 2 под дейст­вием пары сил с моментом M₁ и момента сил сопротивления М₂ = 6 Н • м. Определить модуль момента M₁ пары сил, если момент инерции диска относительно оси вращения равен 6 кг • м 2 . (Ответ 30)

16.1.10. Однородный стержень, масса которого m = 2 кг и длина AВ = 1 м, вращается вокруг оси О_z под действием пары сил с моментом М₁ и момента сил сопротивления М₂ = 12 Н м по закону φ = 3t 2 . Определить модуль момента M₁ приложенной пары сил в момент времени t = 1 с. (Ответ 16)

16.1.11. Определить угловое ускорение диска ради­уса r = 0,3 м массой m = 50 кг, если натяже­ния ведущей и ведомой ветвей ремня соответ­ственно равны T₁ = 2Т₂ = 100 Н. Радиус инер­ции диска относительно оси вращения равен 0,2 м. (Ответ 7,5)

16.1.12. Определить угловое ускорение однород­ного тонкого диска радиуса R = 0,6 м, массой 4 кг, вращающегося вокруг вертикальной оси A_z под действием момента M_z = 1,8 Н • м. (Ответ 5)

16.1.13. Определить угловое ускорение однород­ного стержня массой m = 4 кг и длиной l = 1 м, вращающегося вокруг оси O_z, если к стержню приложен вращающий момент M_z = 3Н • м. (Ответ 9)

16.1.14. Определить угловое ускорение вращения вокруг оси O_z однородного стержня массой m = 3 кг и длиной l = 1 м. На стержень дейст­вует пара сил с моментом М₂ = 2 Н • м. (Ответ 2)

16.1.15. Однородный стержень, масса которого m = 8 кг и длина AВ = 1,5 м, вращается вокруг оси O_z под действием пары сил с мо­ментом М = 12 sin (3 π/4)t. Определить угловое ускорение стержня в момент времени t = 2 /₃ c. (Ответ 2)

16.1.16. При разгоне на ротор двигателя действует пара сил с моментом М = 100(1 — ω/200). Определить максимальное значение углового ускорения ротора, если его момент инерции относительно оси вращения равен 2 кг • м 2 . (Ответ 50)

16.1.17. На этапе разгона на ротор двигателя действует пара сил с момен­том М = 40(1 — t/10). Определить максимальное значение углового ускорения ротора, если его момент инерции относительно оси враще­ния равен 0,5 кг • м 2 . (Ответ 80)

16.1.18. Однородный диск радиуса r = 0,1 м под действием силы тяжести начинает вращение в вертикальной плоскости вокруг горизон­тальной оси O_z из положения, когда его радиус ОС горизонтален. В этот момент времени опре­делить угловое ускорение диска. (Ответ 65,4)

Видео:Аналитическая геометрия, 8 урок, Поверхности второго порядкаСкачать

Кинематика точки и твердого тела (стр. 4 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5

По заданному уравнению вращения тела φ = t2 – 3t определить угловую скорость, угловое ускорение и характер вращения тела в момент t1 = 1 с.

1. ω = 1 с–1; ε = – 2 с–2 — замедленное.

2. ω = – 1 с–1; ε = – 2 с–2 — ускоренное.

3. ω = 1 с–1; ε = + 2 с–2 — равноускоренное.

4. ω = – 1 с–1; ε = + 2 с–2 — равнозамедленное.

Основная задача кинематики твердого тела:

1) определить положение тела в выбранной системе отсчета;

2) вычислить кинематические характеристики тела;

3) определить положение тела в выбранной системе отсчета, кинематические характеристики всего тела, а затем каждой его точки.

Простейшими видами движения твердого тела являются:

2) плоскопараллельное движение.

Тема 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧЕК ВРАЩАЮЩЕГОСЯ

ТВЕРДОГО ТЕЛА И ИХ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

Изучив движение всего тела в целом и установив кинематические характеристики его, перейдем к изучению движения и кинематических характеристик каждой точки тела.

Рассмотрим движение какой-либо точки М вращающегося тела (рис. 44). Эта точка при вращении тела будет описывать окружность в плоскости, перпендикулярной оси вращения, и с центром О, лежащим на оси вращения. Расстояние от точки до оси вращения называется радиусом вращения. Обозначим его через R (OM = R). Выберем за начало отсчета дуговых координат точку O1, лежащую в плоскости I, а за положительное направление — направление вращения тела. Тогда

S = = R φ.

Найдем скорость точки

vM = = R = R ω.

Называется эта скорость линейной скоростью точки. Изобразим траекторию точки М в плоскости нашего листа. Получим такое изображение (рис. 45), где вектор направлен по касательной к траектории точки М.

Вывод. Линейная скорость точки пропорциональна радиусу вращения и направлена перпендикулярно ему. Для различных точек тела при вращательном движении скорости будут различны. Распределение скоростей таких точек можно увидеть на рис. 46 (для точек прямой MM1).

Определим ускорение точки М (линейное). Так как точка М движется по кривой, то ускорение ее будет складываться из касательного и нормального:

Изобразим траекторию точки М и расставим эти векторы (рис. 47). Вектор āτ направлен, как и , перпендикулярно радиусу вращения, а ān — по радиусу к оси вращения. ā cоставляет с радиусом угол α, tg α = |aτ|/an. Найдем величину этих векторов (из кинематики точки):

an = v2/ρ; aτ = dv/dt; .

an = v2/R = R2ω2/R = R ω2; ;

tg α = |ε|/ω2;

. (14)

Вывод. Линейное ускорение точки пропорционально радиусу вращения и составляет с ним угол α, tg α = |ε|/ω2.

Для различных точек вращающегося тела ускорения различны. Распределение ускорений показано на рис. 48 (для точек прямой MM1).

Угловая скорость и угловое ускорение тела как векторные величины

Доказательство некоторых теорем кинематики и динамики, если рассматривать угловую скорость и угловое ускорение как векторные величины, можно упростить. Вектор (рис. 49), изображающий угловую скорость, строят на оси вращения, направляя его вдоль оси в ту сторону, чтобы, глядя с его конца, видеть вращение происходящим против часовой стрелки. Начало его можно поместить в любой точке оси, — вектор скользящий. Модуль || = |dφ/dt| = | | равен абсолютной величине угловой скорости.

Вектор = d/dt.

Если взять орт оси z — , то ω = φ и = (d/ dt) или = , т. е. вектор углового ускорения направлен, как и , по оси z и равен по модулю | |. Точку приложения можно поместить в любую точку оси вращения, — скользящий вектор.

Вектор может совпадать по направлению с , может не совпадать. Если вращение ускоренное, то оба вектора направлены в одну сторону (рис. 50), если замедленное — в разные (рис. 51).

Пользуясь векторными понятиями угловой скорости и углового ускорения, выразим линейную скорость и линейное ускорение в виде векторных произведений.

Выражение линейной скорости и ускорения в виде векторных

Пусть мы имеем тело, вращающееся около неподвижной оси. Изобразим его угловую скорость и угловое ускорение в виде векторов и . Начало их поместим в точку О оси вращения. Возьмем в теле любую точки М. Проведем из точки О радиус-вектор точки М — . Угол между осью z и обозначим через α. Покажем, что вектор линейной скорости точки М .

В этом нетрудно убедиться, вспомнив определение векторного произведения двух векторов. Векторное произведение двух векторов есть новый вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат два данных вектора, и равен по модулю произведению их модулей на синус угла между ними. Вектор (рис. 52) перпендикулярен плоскости ΔOMO1 и равен ωr sin α = ωR (R = r sin α из ΔOMO1).

Вектор линейной скорости v = ω R, и направлен перпендикулярно R, т. е. плоскости ΔOMO1 в ту сторону, чтобы поворот и происходил против часовой стрелки. Следовательно, векторы и равны, что и требовалось доказать.

(15)

— основная формула кинематики или формула Эйлера.

Вектор линейного ускорения получим как производную от вектора скорости по времени:

ā = dv/dt = d()/dt = (d/dt)´ + ´ (d/dt) = =´ + ´,

так как d/dt = ; d/dt = .

Вектор ā равен сумме двух векторов. Покажем, что ´ — есть āτ, ´ — ān — векторы касательного и нормального ускорений. Вектор ´ равен по модулю εr sin α = εR и направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат и , т. е. плоскости ΔOMO1, следовательно, ´ есть вектор, перпендикулярный радиусу вращения и равный произведению углового ускорения на радиус вращения, т. е. этот вектор равен āτ.

Вектор ´ по модулю равен ωv sin β, нo β = 90° и ωv sin β = ωv = ω2R, так как v = ω R.

Направлен он перпендикулярно плоскости, в которой лежат и , т. е. по радиусу к центру (рис. 53).

Итак, ´ = ān; ´= āτ; ā = āτ + ān;

āτ = ´; (16)

ān = ´. (17)

Пример. На шкив радиусом R = 0,5 м навернут торс, к свободному концу которого подвешен груз А (рис. 54). Груз опускается из состояния покоя равноускоренно с ускорением aA = 2 м/с2 и приводит во вращение шкив. Найти закон вращательного движения шкива, угловую скорость, угловое ускорение его в произвольный момент времени t, а также скорость и ускорение āM точки М, лежащей на ободе шкива. Груз движется равноускоренно, значит, можно найти его скорость vA = aAt = 2t м/с. Скорость груза равна скорости точек обода, т. е. vM = vA = 2t, тогда ω = vM /R = 4t c–1, угловое ускорение ε = dω/dt = 4 c–1, т. е. ε = const и вращение шкива равноускоренное. ω0 = 0 и потому закон вращения:

Ускорение āМ = āτM + ānM, но aτM = R ε = 2 м/с, anM = R ω2 = 0,5∙16 t2 = 8 t2 м/с2, тогда = м/с2.

Рядовая зубчатая передача

Вращательное движение широко распространено в различных машинах и механизмах. Вращение может передаваться на расстояние посредством гибких связей (ременные передачи) или непосредственным соприкосновением (фрикционные или зубчатые передачи). В ременных и фрикционных передачах используются силы трения, а в зубчатых — механическое зацепление. В каждом из этих видов передач имеется ведущее звено, которое сообщает движение, и ведомые звенья, которые получают движение от ведущего звена. Рассмотрим рядовую зубчатую передачу или рядовое соединение зубчатых колес.

Соединение зубчатых колес, у которых все валы вращаются в неподвижных подшипниках, называется рядовым соединением или рядовой зубчатой передачей (рис. 55).

Расстояние между двумя соседними зубьями называют шагом зубчатой передачи h:

; ,

где R1, z1 — радиус и число зубьев I колеса; R2, z2 — радиус и число зубьев II колеса.

Рядовая передача характеризуется передаточным числом. Передаточное число i1,2 зубчатой передачи равно отношению угловой скорости ведущего колеса ω1 к угловой скорости ведомого ω2. i1,2 = ω1/ω2.

Передаточное число может быть выражено отношением радиусов колеса, т. к. vA = ω1 R1 и
vA = ω2 R2, тогда ω1 R1 = ω2 R2 или

, но и .

Если в зацеплении находится n колес, то передаточное число такой передачи равно произведению передаточных чисел сцепленных пар:

i1n = i12 i23 … i(n–1)n; или ,

где m — число внешних зацеплений.

При внутреннем зацеплении (рис. 56) передаточное число положительно, при внешнем — отрицательно.

Зубчатый редуктор состоит из трех зубчатых колес (рис. 57). Первое колесо имеет диаметр 0,2 м и делает 7 200 об/мин. Второе колесо — 4 000 об/мин, а третье — 600 об/мин. Определить диаметры второго и третьего колеса.

1. d2 = 0,36 м; d3 = 2,4 м.

2. d2 = 0,18 м; d3 = 1,2 м.

3. Нет верного ответа.

Колесо радиусом 0,8 м, вращающееся в период разгона равноускоренно из состояния покоя, совершило за некоторое время 750 оборотов. Определить время разгона, если скорости точек на ободе достигли при этом 200 м/с.

Колесо радиусом 0,5 м, вращаясь равноускоренно, имеет через 10 с угловую скорость n = 120 об/мин (n0 = 0). Определить ускорение точки А обода колеса в момент t = 1 мин.

3. аА = 2 880 м/с2.

№49

Рукоятка ОА (рис. 58) вращается по закону φ = 5t. Определить, за какое время груз поднимается на высоту 5 м, если r1 = 0,2 м; r2 = 0,3 м; r3 = 0,15 м.

Вращение тела вокруг неподвижной оси задано уравнением φ = 1,5t2 – 4t. Определить скорость и ускорение точки тела, отстоящей от оси вращения на 0,2 м в момент t1 = 2 с.

Чему равно линейное ускорение точки вращающегося тела?

3. .

Маховик радиусом R = 1,2 м вращается равномерно, делая n = 90 об/мин. Определить скорость и ускорение точки, лежащей на ободе маховика.

1. v = const = 3,6π м/с; a = 0.

2. v = const = 3,6π м/с; a = const = 10,8π2 м/с2.

3. v ≠ const; a = const = 10,8π2 м/с2; v = at = 10,8π2 м/с/

Груз B приводит во вращение вал радиусом r и сидящую на одной оси с валом шестерню 1 радиусом r1 (рис. 59). Движение груза начинается из состояния покоя и происходит с постоянным ускорением a. Определить закон вращения шестерни 2 радиусом r2.

1. .

2. .

3. .

Как распределятся ускорения точек вращающегося тела при его равномерном вращении (рис. 60–62)?

Диск вращается вокруг неподвижной оси в течение некоторого промежутка так, что ускорения всех точек составляют с их скоростями одинаковые углы, равные 45˚. Определить угловую скорость диска как функцию времени, если в момент t = 0 она была равна ω0.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ

Способы задания движения точки

Движение точки при координатном способе задается ее координатами, которые выражаются функциями времени. В выбранной системе отсчета точка М будет иметь координаты

,

где φ = 2t. Подставив значение φ, получим

.

Ответ 2 задает движение этой точки естественным способом, ответ 3 — векторным. Следовательно, они здесь не являются верными.

При естественном способе движение точки задается дуговой координатой S = О1М, которая выражается функцией времени. В данной задаче известен угол φ = 2t, через него и выразим дугу О1М. S = R φ = 2tR; S = О1М = 2Rt — закон движения данной точки М.

Ответ 3 верен, 1 и 2 неверны, они задают движение векторным и координатным способами, а не естественным.

3. Неверно найдены уравнения движения точки Д. Их просто определить, если найти , тогда

, но .

1. Неверный. Вы перепутали название координатных осей.

2. Неверный. Ответ неполный. Вы не указали область изменения координат.

3. Неверный. Неверно указана область изменения координаты z. Так как z = t, а всегда t ≥ 0, то условие – ∞ ≤ z 0, то x и y должны быть больше нуля. Траектория — правая часть параболы. Верен ответ 2. Остальные неверны. Вы ошиблись в расчетах, проверьте их снова.

Чтобы задать движение точки естественным способом, нужно дуговую координату S = выразить функцией времени. Учитывая, что S = Rφ, имеем S = = 10t 4 = 40t (м).

Верен ответ 2. Ответ 1 задает движение координатным способом, ответ 3 — векторным. Они для данного случая неверны.

Чтобы найти уравнение движения ползунов А и В, нужно их координаты xA и yA выразить функциями времени: xA = ОА = 2l cos φ = 2l cos 3t (из ΔОАС), а yB = OB = 2l sin φ = 2l sin 3t (из ΔОАВ) (см. рис. 11).

Это и будут уравнения движения ползунов А и В.

Остальные ответы неверны. Ответ 1 — координаты перепутаны, а 2 и 3 будут верны только в момент, когда φ = 45˚.

Чтобы задать движение точки М координатным способом, нужно ее координаты выразить функциями времени. Это можно сделать, учитывая, что φ = 10 t.

Рассмотрим ΔОМК, ОК = xM = r cos φ = 4 cos 10t (м),

Это и будут уравнения движения точки М. Верен ответ 2. Ответы 1 и 3 неверны. Ответ 1 задает движение точки естественным способом, а 3 — векторным.

Верен ответ 3. Стержень движется так же, как точка А его. Ее закон движения будет и законом движения стержня. Найдем этот закон. Точка А движется только по оси x, и ее положение определяется одной координатой

x = OA = OC cos φ + = a cos kt + .

Ответ 2 определяет движение точки С. В ответе 1 sin и cos переставлены. Эти ответы неверны.

1. Неверно. Вы, видимо, находили ответ, используя неверную формулу

v = (S – S0)/t = (5 + 6t + t3 – 5)/t = 6 + t2 для v = const, затем = 9, 6 + t2 =9,

t = t1 = с; S1 =5 + 6 + 3 = (5 + 9) м.

Скорость равна производной по времени от дуговой координаты:

2. Неверно. Вы, видимо не знаете, чему равна скорость точки при естественном способе движения в данный момент времени: = , либо неверен был сам ход решения задачи. Либо вообще не знаете, как решать эту задачу. Надо было найти, используя приведенную выше формулу скорости точки, момент времени t1, когда скорость достигает 9 м/с, а затем для найденного момента дуговую координату: 6 + 3 t2 = 9, t1 = 1 с, St1 = 5 + 6 + 1 = 12 м.

3. Верно, St1 = 12 м.

4. Вы нашли путь, который прошла точка к моменту времени, когда скорость равна 9 м/с, П = |S – S0| = 7 м; но П ≠ S.

1. Неверно. Вы неверно определяете момент времени, соответствующий пройденному пути. Здесь надо было воспользоваться формулой пути П:

S1 = – 2 м — значение дуговой координаты в момент времени t1 = 4 c, в который скорость изменяет свой знак, а S2 = 0,5 м — значение дуговой координаты в тот момент времени (t1), когда точка пройдет путь, который задан. Положить П = 10,5 м, а не S =10,5 м. 10,5 = |– 2 – 6| + | S2+ 2|; S2 = 0,5 м.

t2 – 8t + 12 – 1 = 0; t2,3 = 4 ±= 4 ± c/

Теоретическая механика:
Вращательное движение твердого тела

Смотрите также решения задач по теме «Вращательное движение» в онлайн решебниках Яблонского, Мещерского, Чертова (с примерами и методичкой для заочников), Иродова и Савельева.

При поступательном движении тела (§ 60 в учебнике Е. М. Никитина) все его точки движутся по одинаковым траекториям и в каждый данный момент они имеют равные скорости и равные ускорения.

Поэтому поступательное движение тела задают движением какой-либо одной точки, обычно движением центра тяжести.

Рассматривая в какой-либо задаче движение автомобиля (задача 147) или тепловоза (задача 141), фактически рассматриваем движение их центров тяжести.

Вращательное движение тела (Е. М. Никитин, § 61) нельзя отождествить с движением какой-либо одной его точки. Ось любого вращающегося тела (маховика дизеля, ротора электродвигателя, шпинделя станка, лопастей вентилятора и т. п.) в процессе движения занимает в пространстве относительно окружающих неподвижных тел одно и то же место.

Движение материальной точки или поступательное движение тела характеризуют в зависимости от времени линейные величины s (путь, расстояние), v (скорость) и а (ускорение) с его составляющими a_t и a_n.

Вращательное движение тела в зависимости от времени t характеризуют угловые величины : φ (угол поворота в радианах), ω (угловая скорость в рад/сек) и ε (угловое ускорение в рад/сек 2 ).

Закон вращательного движения тела выражается уравнением
φ = f (t).

Угловая скорость – величина, характеризующая быстроту вращения тела, определяется в общем случае как производная угла поворота по времени
ω = dφ/dt = f’ (t).

Угловое ускорение – величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости, определяется как производная угловой скорости
ε = dω/dt = f» (t).

Приступая к решению задач на вращательное движение тела, необходимо иметь в виду, что в технических расчетах и задачах, как правило, угловое перемещение выражается не в радианах φ, а в оборотах φ_об.

Поэтому необходимо уметь переходить от числа оборотов к радианному измерению углового перемещения и наоборот.

Так как один полный оборот соответствует 2π рад, то
φ = 2πφ_об и φ_об = φ/(2π).

Угловая скорость в технических расчетах очень часто измеряется в оборотах, произведенных в одну минуту (об/мин), поэтому необходимо отчетливо уяснить, что ω рад/сек и n об/мин выражают одно и то же понятие – скорость вращения тела (угловую скорость), но в различных единицах – в рад/сек или в об/мин.

Переход от одних единиц угловой скорости к другим производится по формулам
ω = πn/30 и n = 30ω/π.

При вращательном движении тела все его точки движутся по окружностям, центры которых расположены на одной неподвижной прямой (ось вращающегося тела). Очень важно при решении задач, приведенных в этой главе, ясно представлять зависимость между угловыми величинами φ, ω и ε, характеризующими вращательное движение тела, и линейными величинами s, v, a_t и a_n, характеризующими движение различных точек этого тела (рис 205).

Если R – расстояние от геометрической оси вращающегося тела до какой-либо точки А (на рис. 205 R=OA), то зависимость между φ – углом поворота тела и s – расстоянием, пройденным точкой тела за то же время, выражается так:
s = φR.

Зависимость между угловой скоростью тела и скоростью точки в каждый данный момент выражается равенством
v = ωR.

Касательное ускорение точки зависит от углового ускорения и определяется формулой
a_t = εR.

Нормальное ускорение точки зависит от угловой скорости тела и определяется зависимостью
a_n = ω 2 R.

При решении задачи, приведенной в этой главе, необходимо ясно понимать, что вращением называется движение твердого тела, а не точки. Отдельно взятая материальная точка не вращается, а движется по окружности – совершает криволинейное движение.

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

§ 33. Равномерное вращательное движение

Если угловая скорость ω=const, то вращательное движение называется равномерным.

Уравнение равномерного вращения имеет вид
φ = φ₀ + ωt.

В частном случае, когда начальный угол поворота φ₀=0,
φ = ωt.

Угловую скорость равномерно вращающегося тела
ω = φ/t
можно выразить и так:
ω = 2π/T,
где T – период вращения тела; φ=2π – угол поворота за один период.

Видео:Поверхности второго порядкаСкачать

§ 34. Равнопеременное вращательное движение

Вращательное движение с переменной угловой скоростью называется неравномерным (см. ниже § 35). Если же угловое ускорение ε=const, то вращательное движение называется равнопеременным . Таким образом, равнопеременное вращение тела – частный случай неравномерного вращательного движения.

Уравнение равнопеременного вращения
(1) φ = φ₀ + ω₀t + εt 2 /2
и уравнение, выражающее угловую скорость тела в любой момент времени,
(2) ω = ω₀ + εt
представляют совокупность основных формул вращательного равнопеременного движения тела.

В эти формулы входят всего шесть величин: три постоянных для данной задачи φ₀, ω₀ и ε и три переменных φ, ω и t. Следовательно, в условии каждой задачи на равнопеременное вращение должно содержаться не менее четырех заданных величин.

Для удобства решения некоторых задач из уравнений (1) и (2) можно получить еще две вспомогательные формулы.

Исключим из (1) и (2) угловое ускорение ε:
(3) φ = φ₀ + (ω + ω₀)t/2.

Исключим из (1) и (2) время t:
(4) φ = φ₀ + (ω 2 — ω₀ 2 )/(2ε).

В частном случае равноускоренного вращения, начавшегося из состояния покоя, φ₀=0 и ω₀=0. Поэтому приведенные выше основные и вспомогательные формулы принимают такой вид:
(5) φ = εt 2 /2;
(6) ω = εt;
(7) φ = ωt/2;
(8) φ = ω 2 /(2ε).

Видео:§64 Поверхности вращенияСкачать

§ 35. Неравномерное вращательное движение

Рассмотрим пример решения задачи, в которой задано неравномерное вращательное движение тела.

💥 Видео

Вращательное движение твёрдого тела. Задачи 1, 2, 3Скачать

Вращательное движение. 10 класс.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Цилиндрические поверхностиСкачать

Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.Скачать

Первая основная задача динамики. Задачи 1, 2, 3, 4Скачать

Уравнение плоскости через 2 точки параллельно векторуСкачать

Момент силы относительно точки и осиСкачать

Урок 44. Вращение твердого тела. Линейная и угловая скорость. Период и частота вращения.Скачать

14. Что такое параметрически заданная функция, производная параметрически заданной функции.Скачать

Урок 103. Задачи на вращение твердого тела (ч.2)Скачать

Кинематика вращательного движения. ТермехСкачать