По корням приведенного квадратного уравнения x2 px q 0 найдите

I. Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 +px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Найти корни приведенного квадратного уравнения, используя теорему Виета.

Пример 1) x 2 -x-30=0. Это приведенное квадратное уравнение ( x 2 +px+q=0), второй коэффициент p=-1, а свободный член q=-30. Сначала убедимся, что данное уравнение имеет корни, и что корни (если они есть) будут выражаться целыми числами. Для этого достаточно, чтобы дискриминант был полным квадратом целого числа.

Находим дискриминант D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121=11 2 .

Теперь по теореме Виета сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, т.е. (-p), а произведение равно свободному члену, т.е. (q). Тогда:

x₁+x₂=1; x₁∙x₂=-30. Нам надо подобрать такие два числа, чтобы их произведение было равно -30, а сумма – единице. Это числа -5 и 6. Ответ: -5; 6.

Пример 2) x 2 +6x+8=0. Имеем приведенное квадратное уравнение со вторым коэффициентом р=6 и свободным членом q=8. Убедимся, что есть целочисленные корни. Найдем дискриминант D₁, так как второй коэффициент – четное число. D₁=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Дискриминант D₁ является полным квадратом числа 1, значит, корни данного уравнения являются целыми числами. Подберем корни по теореме Виета: сумма корней равна –р=-6, а произведение корней равно q=8. Это числа -4 и -2.

На самом деле: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Ответ: -4; -2.

Пример 3) x 2 +2x-4=0. В этом приведенном квадратном уравнении второй коэффициент р=2, а свободный член q=-4. Найдем дискриминант D₁, так как второй коэффициент – четное число. D₁=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Дискриминант не является полным квадратом числа, поэтому, делаем вывод: корни данного уравнения не являются целыми числами и найти их по теореме Виета нельзя. Значит, решим данное уравнение, как обычно, по формулам (в данном случае по формулам для частного случая с четным вторым коэффициентом). Получаем:

Пример 4). Составьте квадратное уравнение по его корням, если x₁=-7, x₂=4.

Решение. Искомое уравнение запишется в виде: x 2 +px+q=0, причем, на основании теоремы Виета –p=x₁+x₂=-7+4=-3 → p=3; q=x₁∙x₂=-7∙4=-28. Тогда уравнение примет вид: x 2 +3x-28=0.

Пример 5). Составьте квадратное уравнение по его корням, если:

II. Теорема Виета для полного квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0.

Сумма корней равна минус b, деленному на а, произведение корней равно с, деленному на а:

Пример 6). Найти сумму корней квадратного уравнения 2x 2 -7x-11=0.

Решение.

Убеждаемся, что данное уравнение будет иметь корни. Для этого достаточно составить выражение для дискриминанта, и, не вычисляя его, просто убедиться, что дискриминант больше нуля. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0. А теперь воспользуемся теоремой Виета для полных квадратных уравнений.

Пример 7). Найдите произведение корней квадратного уравнения 3x 2 +8x-21=0.

Решение.

Найдем дискриминант D₁, так как второй коэффициент (8) является четным числом. D₁=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0. Квадратное уравнение имеет 2 корня, по теореме Виета произведение корней x₁∙x₂=c:a=-21:3=-7.

Видео:Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать

Корни приведённого квадратного уравнения X2 + px + q = 0 можно найти по формуле?

Алгебра | 5 — 9 классы

Корни приведённого квадратного уравнения X2 + px + q = 0 можно найти по формуле.

Решите уравнение воспользовавшись этой формулой.

X2 — 8x + 12 = 0 x = X1 = X2 =.

D = b² — 4ac = 8² — 4 * 1 * 12 = 64 — 48 = 16 = 4²

х = ( — b±√D) / 2a = (8±4) / 2

х₁ = (8 + 4) / 2 = 12 / 2 = 6

х₂ = (8 — 4) / 2 = 4 / 2 = 2

будут вопросы, пиши

отметь, как лучшее, пожавлуйста.

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Не используя формулу корней, решите квадратное уравнение x2 — 8x — 9 = 0?

Не используя формулу корней, решите квадратное уравнение x2 — 8x — 9 = 0.

Видео:Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Формула корней квадратных уравнений : 2х ^ — 5х + 1 = 0?

Формула корней квадратных уравнений : 2х ^ — 5х + 1 = 0.

Видео:ТЕОРЕМА ВИЕТА ЗА 2 МИНУТЫСкачать

Формула корней квадратного уравнения 3х2 — 2х — 1 = 0?

Формула корней квадратного уравнения 3х2 — 2х — 1 = 0.

Видео:Быстрый способ решения квадратного уравненияСкачать

Помогите, решите уравнения 3z ^ 2 = 198 + 15zТема : Формула корней квадратного уравнения ?

Помогите, решите уравнения 3z ^ 2 = 198 + 15z

Тема : Формула корней квадратного уравнения .

Видео:Как решать любое квадратное уравнение Полное Неполное квадр ур x^2+2x-3=0 5x^2-2x=0 2x^2-2=0 3x^2=0Скачать

Не используя формулу корней, найдите корни квадратного уравнения : Как найти не используя формулы корней ?

Не используя формулу корней, найдите корни квадратного уравнения : Как найти не используя формулы корней ?

X ^ + 8x + 7 = 0 x ^ — 19x + 18 = 0.

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Решите квадратное уравнение по общей формуле?

Решите квадратное уравнение по общей формуле.

Видео:Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Помогите пожалуйста?

Я не могу решить 135 номер.

Меня на этой тебе не было в школе.

Знаю только формулу — дискриминант.

И тему проходим в данный момент — «Приведённое квадратное уравнение.

Формулы корней квадратного уравнения.

Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

По какой формуле можно найти корни квадратного уравнения решаемого при помощи дискрименанта?

По какой формуле можно найти корни квадратного уравнения решаемого при помощи дискрименанта?

Видео:Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать

Запишите формулу корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом?

Запишите формулу корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом.

Видео:Алгебра 8 класс (Урок№19 - Уравнение х² = а.)Скачать

Выведите формулу для суммы и произведений корней квадратного уравнения?

Выведите формулу для суммы и произведений корней квадратного уравнения.

На этой странице вы найдете ответ на вопрос Корни приведённого квадратного уравнения X2 + px + q = 0 можно найти по формуле?. Вопрос соответствует категории Алгебра и уровню подготовки учащихся 5 — 9 классов классов. Если ответ полностью не удовлетворяет критериям поиска, ниже можно ознакомиться с вариантами ответов других посетителей страницы или обсудить с ними интересующую тему. Здесь также можно воспользоваться «умным поиском», который покажет аналогичные вопросы в этой категории. Если ни один из предложенных ответов не подходит, попробуйте самостоятельно сформулировать вопрос иначе, нажав кнопку вверху страницы.

62 1)не является так как получается m в10 степени 2)не является = m в 12 3)не является a в 4 и a в 4 = a в 8 4)является(c в 7) в 2 = c в 14×c4 = c в 18.

На одной полке стоит в три раза больше книг чем на другой. Если все первые убрать семь книг она второй поставили книгу на полку покажется одинаковое количество книг сколько книг стояла на первой полке.

1)(x + 2) ^ 2 + y ^ 2 = 4 график — окружность с центром в точке ( — 2, 0) и радиусом 2. 2)y = x ^ 2 — 4x + 3 парабола, корни 1, 3 вершина x0 = 2 y0 = — 1минимум, при х = 0 у = 3.

A) Квадратное уравнение имеет два различных корня когда дискриминант больше нуля. (2p + 8)x² + 4px + 4 = 0 D = (4p)² — 4 * 4 * (2p + 8) = 16p² — 32p — 128 16p² — 32p — 128 > 0 p² — 2p — 8 > 0 (p — 4)(p + 2) > 0 _____________________ + — 2 — 4 + p ∈ ..

3xy² + (2xy² + 7x — 2y) + (2xy² + 3x) 3xy² + 2xy² + 7x — 2y + 2xy² + 3x 7xy² + 10x — 2y (Если что, из (a — b)² можно 10x + 7xy² — 2y = (√(10x) + √( — 2y))²).

3а + в — 1 7м² 1 125 — 456 645 — 2728 + 1976 + 2755.

Видео:РАЗБИРАЕМ ДИСКРИМИНАНТ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #дискриминантСкачать

Теорема Виета

Теорема Виета:

Сумма корней приведённого квадратного уравнения

равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену

Если приведённое квадратное уравнение имеет вид

то его корни равны:

,

где D = p 2 — 4q. Чтобы доказать теорему, сначала найдём сумму корней:

,

а теперь найдём их произведение:

Равенства, показывающие зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения:

называются формулами Виета.

Примечание: если дискриминант равен нулю (D = 0), то подразумевается, что уравнение имеет не один корень, а два равных корня.

Видео:САМЫЙ ПРОСТОЙ СПОСОБ ПОНЯТЬ ТЕОРЕМУ ВИЕТА #shorts #математика #егэ #огэ #теорема #теоремавиетаСкачать

Обратная теорема

Теорема:

Если сумма двух чисел равна -p, а их произведение равно q, то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения:

Это доказывает, что число x₁ является корнем уравнения x 2 + px + q = 0. Точно так же можно доказать, что и число x₂ является корнем для этого уравнения.

Видео:Теорема Виета. 8 класс.Скачать

Решение примеров

Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения позволяет в некоторых случаях находить корни уравнения устно, не используя формулу корней.

Пример 1. Найти корни уравнения:

Решение: Так как

очевидно, что корни равны 1 и 2:

Подставив числа 1 и 2 в уравнение, убедимся, что корни найдены правильно:

1 2 — 3 · 1 + 2 = 0

2 2 — 3 · 2 + 2 = 0.

Пример 2. Найти корни уравнения:

Методом подбора находим, что корни равны -3 и -5:

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, можно составлять квадратное уравнение по его корням.

Пример 1. Составить квадратное уравнение по его корням:

Решение: Так как x₁ = -3, x₂ = 6 корни уравнения x 2 + px + q = 0, то по теореме, обратной теореме Виета, составим уравнения:

Следовательно, искомое уравнение:

Пример 2. Записать приведённое квадратное уравнение, имеющее корни:

📺 Видео

Не решая квадратное уравнение, найдите сумму кубов его корнейСкачать

Квадратное уравнение. 8 класс.Скачать

Многочлены. 10 класс.Скачать

Теорема Виета. Алгебра, 8 классСкачать

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числаСкачать

Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать