Периодическое решение системы дифференциальных уравнений (6 видео)

Нахождение периодических решений дифференциальных уравнений

Пусть дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

где — функция, периодическая с периодом , разлагающаяся в ряд Фурье

Периодическое решение уравнения (47) ищем в виде

Подставляем ряд (49) в уравнение (47) и подбираем его коэффициенты так, чтобы равенство (47) удовлетворялось формально. Приравнивая свободные члены и коэффициенты при и в левых и правых частях полученного равенства, найдем

Первое из равенств (50) дает необходимое условие существования решения вида (49): если , то необходимо, чтобы . Подставляя (50) в (49), получаем

Когда и , где , периодическое решение будет существовать только при условии

Коэффициенты и при расходятся по формулам (50), а коэффициенты и остаются произвольными, так как выражение является общим решением соответствующего однородного уравнения.

В случае невыполнения условий (52) уравнение (47) периодических решений не имеет (возникает резонанс). При и коэффициент остается неопределенным и уравнение (47) имеет бесконечное множество периодических решений, отличающихся друг от друга постоянным слагаемым.

Если правая часть уравнения (47) имеет период , то надо разлагать по периоду и искать решение уравнения (47) в виде

Формулы (50) при этом соответственно изменятся.

Пример 8. Найти периодические решения уравнения .

Решение. Имеем . Функция не содержит резонирующего члена , значит, уравнение имеет периодические решения, притом бесконечное множество. По формулам (50) находим коэффициенты

Все периодические решения даются формулой

где и — произвольные постоянные.

Пример 9. Найти периодические решения уравнения .

Решение. В данном случае . Проверим выполнимость условий (52). Имеем

Условия (6) существования периодического решения не выполняются. Следовательно, данное уравнение периодических решений не имеет. В самом деле, общее решение уравнения есть

которое, очевидно, не является периодическим из-за наличия слагаемого .

Пример 10. Найти периодическое решение уравнения .

Решение. Функция — периодическая с периодом . Разлагаем ее в ряд Фурье в интервале :

Решение данного уравнения ищем в виде

Формулы (50) дают

Следовательно, уравнение имеет периодическое решение вида

Содержание

Асимптотические методы решения дифференциальных уравнений
Лемма:
Периодическое решение
Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
🎥 Видео

Видео:Видеоурок "Системы дифференциальных уравнений"Скачать

Асимптотические методы решения дифференциальных уравнений

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Асимптотические методы позволяют отыскивать приближенные решения дифференциальных уравнений (или систем), близких к таким уравнениям (или системам), решения которых известны. В прикладных задачах часто бывает, что на течение рассматриваемого физического процесса влияют как основные факторы, определяющие ход процесса, так и другие факторы, оказывающие меньшее влияние и меняющие количественные характеристики процесса.

При учете только основных факторов можно получить точное решение системы уравнений, а при учете всех известных факторов система становится сложной и не решается. В таких случаях асимптотические методы часто позволяют найти решение с нужной точностью. Разложение решения по степеням малого параметра — один из наиболее употребительных асимптотических методов.

Следствие теоремы 2. Пусть при (t,x) выполнены условия теоремы 2, и при решение задачи (1) проходит в области D; t0 £ [tl9t2]- Тогда решение x(t, р) задачи (1) при t разлагается по формуле Тейлора по степеням параметра ц до цт включительно: Асимптотические методы решения дифференциальных уравнений Здесь х(Ь9ц) и v^t) — n-мерные вектор-функции, v0(t) = 0) есть решение системы (1) при i = 0, оно считается известным.

Чтобы найти надо подставить разложение (12) в систему (1) и начальные условия, и разложить правые части по степеням /х до /хт включительно. Далее надо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях /х. Получается для vx. 9vm система дифференциальных уравнений с начальными условиями. Последовательно решая уравнения системы и пользуясь начальными условиями, находим . vm(£). Пример 2. Найти разложение решения задачи по степеням параметра /х до /х2 включительно.

Решение примера. Правая часть уравнения в области х > 0 име- ет производные любого порядка по ж,/х. Условия теоремы 2 выполнены для любого т, пока решение задачи (13) с l = О проходит в области х > 0. При = 0 задача (13) принимает вид dx/dt = t/x, 1, и имеет решение ж(*) = t, оно проходит в области х > 0 при t > 0. Поэтому v0(*) = t (t > 0).

Разложение х = t + /iv1 +/i2v2 + о(/л2) подставляем в уравнение и начальные условия (13), члены порядка o(/i2) не пишем. Разлагаем дробь в (14) по степеням /х, члены с цк, к > 2, не пишем. Подставляем это в (14) и приравниваем коэффициенты слева и справа при одинаковых степенях параметра /х: при v = -^-2t М0 = 4; (16> при Ц = + «2(l) = i (17) Здесь начальные условия получены из (15). Все дифференциаль- ные уравнения для v<9. vm всегда линейные. Из (16) получаем Vj = — у.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Подставляя это в (17), находим v2 = + fj. Итак, Так как условия теоремы 2 выполнены для любого m ^ 2, то следующий член разложения имеет вид p3v3(t) и, не находя vy в (18) вместо o(/i2) можно написать 0(fi3). Задачи для упражнений: [ | 3« | Отыскание периодических решений. Нижеследующие лемма 2 и теорема 3 дают условия существования периодических решений соответственно для линейной системы с периодической правой частью и для нелинейной системы, близкой к линейной, и указывают методы отыскания таких решений.

Лемма:

Пусть при 0 вектор-функция x(t) — решение уравнения х’ = f(t, х), где вектор-функция f и все dfjdxj непрерывный f(t+p, х) = f(t, х). Если х(р) = ж(0), то решение x(t) продолжается на интервал (-оо, оо) с периодом р. Доказательство. Так как Асимптотические методы решения дифференциальных уравнений то продолженная с периодом р функция x(t) 6 С1.

Она всюду удовлетворяет данному уравнению, ибо для любого k € Z имеем Лемма 2. Если для всех собственных значений матрицы А имеем то система х1 = Ах + f(t) для каждой непрерывной функции f(t) с периодом р имеет (и только одно) решение с периодом р. Условие (19) называется условием отсутствия резонанса. Доказательство. Пусть v(£) — частное решение данной системы с v(0) = 0. В силу теоремы 5 § 9 и следствия 1 § 15 общее решение имеет вид х = etAb + v(t), где Ь — произвольный вектор из Rn.

Чтобы это решение имело период р, по лемме 1 надо, чтобы х(р) = ж(0). То есть Это — линейная алгебраическая система относительно неизвестных координат вектора Ь. Для существования единственного решения достаточно, чтобы det (ерА — 1 • Е) Ф 0, то есть чтобы матрица не имела собственных значений, равных 1. Если АР. АП — собственные значения матрицы А> то согласно замечанию в имеет собственные значения Для А = а + /3i имеем = е?» (cos р/3 + tsinp/5). Это число равно 1 только в случае а = 0, рр = 2*кку к = 0,±1,±2.

Поэтому при условии (19) имеем Теорема 3. Пусть функции f(t), g(t9 х, р) непрерывны при имеют период , где т ^ 1. Пусть выполнено условие (19) и решение x°(t) с периодом р уравнения х Ах + f(t) содержится в области D. Тогда при всех достаточно малых |/*| система имеет решение периода р по t, стремящееся Такое решение единственно и принадлежит классу Ст по ц. -7- Доказательство.

Пусть х(ЬЪ,ц) — решение системы (20) с начальным условием ж(0; ц) = Ь. По лемме 1 оно будет иметь период р, если Докажем, что при малых l существует Ь € R», удовлетворяющее уравнению (21). Функция ж(р;Ь, ц) Е Ст по b, i в силу теоремы 2. При /х = 0 уравнение (20) линейное, как в лемме 2, уравнение (21) принимает вид и имеет единственное решение Ь. Далее, якобиан левой части равенства (21) по координатам Ъ<9. Ьп вектора b при /х = 0 совпадает с детерминантом (22), значит, не равен нулю.

Тогда по теореме о неявных функциях уравнение (21) при достаточно малых имеет решение Ь = Ь(ц), стремящееся к Ь° при такое решение единственно и Ъ(ц) 6 Ст.

Пусть дано уравнение с постоянными коэффициентами а,- и непрерывными функциями /, д периода р по t и д € Ст по у, /1, а корни А характеристического уравнения удовлетворяют условию (19). Тогда для отыскания решения периода р не нужно переходить от уравнения (24) к системе, можно сразу отыскать решение в виде (12), где теперь v^t) — скалярные функции с периодом р. 1 Пример 3. Найти с точностью о(ц2) периодическое решение 1 | уравнения [ Решение примера.

Здесь р = 2т, А2 + 3 = О, Л = ±iV3 Ф 2*ki/p = ki (к Е Z), условие (19) выполнено. Ищем периодическое решение в виде х = v0 + /avx + p2v2 + . Подставляя в уравнение (25) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях /*, получаем систему уравнений . Надо найти решения t;0, Vj, v2 с периодом 2т. Для каждого из этих уравнений надо найти лишь частное решение (методой неопределенных коэффициентов), так как по теореме 3 при выполнении условия (19) решение с периодом р единственно.

Замена х = а?0 + ру дает . Так как F(x°) = 0, то по формуле Тейлора Остаточный член г Е С (ибо другие члены в равенстве принадлежат Cm+1), г = ц2д(у, ц). Получаем систему вида (20) Если собственные значения матрицы А удовлетворяют условию (19) (нет резонанса), то по теореме 3 система (27) при достаточно малых |/*| имеет решение с периодом р. I Пример 4. Рассмотрим уравнение Решение примера. При i = 0 положения равновесия х< = 1 и х2 = -1.

Периодическое решение

Найдем периодическое решение, близкое к х = 1, Замена х = 1 + /ху Дает Здесь р = 2х, А = -1 ± i Ф 2*ki/p (к € Z), условие (19) выполнено. Поэтому при малых ц уравнение (29) имеет решение периода 2тг и вида у = v0($) + fivx(t) +..где все имеют период 2т. Подставляя это в (29), получаем, как в примере 3, Асимптотические методы решения дифференциальных уравнений Отсюда находим . Следовательно, Уравнение (28) при малых ц имеет и другое решение с периодом 2х.

Оно близко к неустойчивому положению равновесия х2 = -1 и отыскивается аналогичным способом. Можно доказать, что оно неустойчиво. ч Задачи для упражнений: [12], § 18, № 1079-1083. | 5« | Естественно возникает вопрос, в каких случаях разложения по степеням параметра /х, полученные в следствиях теорем 2 и 3, можно продолжить до бесконечного ряда Тейлора, сходящегося к искомому решению при малых /1.

Этот вопрос решается с помощью теоремы

Пуанкаре об аналитической зависимости решения от параметра, см. [13], гл. 1, §6, теорема 1.3 и [2], гл.6, §2, теорема 6.2.1′ и §3, п. 1. I О методах исследования устойчивости периодических решений, получаемых методом малого параметра, см. [2], гл. 7, § 3 и [33], гл. 3, § 10-15. В частности, при условиях теоремы 3 асимптотическая устойчивость периодического решения при достаточно малых обеспечена, если для матрицы А все собственные значения А.

Имеют Re At. а неустойчивость — если есть хотя бы одно Re At. > 0. Поэтому в примере 4 при малых /1 решение (30) асимптотически устойчиво, а периодическое решение, близкое к х = -1 (для него А = — 1 ± л/3), — неустойчиво. Метод отыскания периодических решений при резонансе, то есть когда условие (19) не выполнено, изложен в [13), гл. 2, §8, пункты 2 и 3; примеры там же; в [2], гл. 5, §3, п. 2 и в [33], гл. 2, §6, 7. Об отыскании периодических решений автономной системы х’ = Ах -f pf(x,p) в случае, когда при р = 0 периодическое решение известно, см. [13], гл.2, §8, пункт 4; [2], гл.5, §3, п. 3 и [33], гл.2, §11-13.

Метод малого параметра применялся к широкому кругу задач, в частности, в [33], главы 4-8. Методы последовательных приближений для уравнений с малым параметром разработаны в [24]. Существенно отличным от предыдущих является случай, когда малый параметр является множителем при производной, например, fix = /(*, у), у =д(х, у). Здесь нет непрерывной зависимости от /1 при р 0, и решения имеют другие свойства, см., например, [13], гл.4, §6 и [15], гл.10, §3,4. Известно много работ, в которых подробно исследуются такие случаи.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

Министерство общего и профессионального образования

Донской Государственный Технический Университет

Линейные системы
дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

доклад по математике

Груздев Владимир Викторович

студент группы У-1-47

Братищев Александр Васильевич

Доклад посвящен теме, которой,по мнению автора,
в курсе дифференциального исчисления уделено
недостаточное внимание,
«СЛДУ с периодическими коэффициентами».

Приведены основные определения, теоремы,
на основе которых можно искать решения
(периодические) подобных систем.

Рассмотрены несколько примеров на тему.

1. Однородная линейная система дифференциальных уравнений
с периодическими коэффициентами…………………….…….…………..4

2. Неоднородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами..…………………………………………6

1. Однородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений

ż = F(t)z (- ¥ 1 , …, d_j n > (см. примечание 1) . Поскольку матрица F(t) периодическая, функции z₁ (t + w) , …, z_n (t + w) также образуют фундаментальную систему решений. Таким образом каждая из функций z_j (t + w) будет линейной комбинацией z_k (t) (k = 1, …, n) с постоянными коэффициентами (см. примечание 2) , поэтому

где с_j k (j, k = 1, …, n) — постоянные. Последние соотношения можно записать в виде

где Z(t) — фундаментальная матрица решений z_j (t) (j = 1, …, n), а С = (с_j k ) — постоянная матрица.

В силу (1) и (2) матрица Z(t) удовлетворяет условиям

Полагая в равенстве (3) t = 0 , получим Z( w) = C .

Матрица Z( w) называется матрицей монодромии системы уравнений (1). Очевидно ç Z( w) ç ¹ 0 . Собственные значения матрицы Z( w) называются мультипликаторами системы уравнений (1).

Отметим, что если матрица F(t) действительная, то матрица монодромии также действительная, однако мультипликаторы будут, вообще говоря, комплексными числами.

Теорема 1. Для того чтобы комплексное число r было мультипликатором системы уравнений (1), необходимо и достаточно, чтобы существовало такое нетривиальное решение j (t) системы (1), для которого

Доказательство. Пусть r — мультипликатор системы уравнений (1), тогда существует такой вектор z₀ ¹ 0 , что

Рассмотрим следующее нетривиальное решение системы уравнений (1):

Необходимость условия сформулированного в теореме, доказана. Докажем достаточность. Из соотношения (5) при t = 0 получим

В силу теоремы единственности

причем j (0) ¹ 0 , так как в противном случае решение j (t) было бы тривиальным. Из равенства (7) в силу (6) следует то, что

Таким образом, j (0) — собственный вектор матрицы Z( ω) , а ρ — мультипликатор системы уравнений (1). Теорема доказана.

Из доказанной теоремы непосредственно вытекает

Следствие. Линейная однородная система уравнений (1) имеет нетривиальное решение с периодом ω в том и только в том случае, когда один из ее мультипликаторов равен единице.

Замечания. 1. Имеет место

Теорема Флоке. Фундаментальная матрица Z(t) допускает следующее представление :

где Ф(t) — периодическая матрица с периодом ω, а А — постоянная матрица.

Периодическое решение системы дифференциальных уравнений

2. Легко видеть, что матрица Ф(t) удовлетворяет следующему условию:

откуда непосредственно следует, что замена переменных z = Ф(t)y переводит систему уравнений (1) в систему уравнений с постоянными коэффициентами (см. примечание 3)

2. Неоднородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.

Рассмотрим система дифференциальных уравнений

2. Любое решение x(t) однородной системы уравнений есть линейная комбинация решений фундаментальной системы решений x₁ (t), …,x_n (t).

3. Все выводы получаются следующим образом:

из Ż = F(t)Z и Z(t) = Ф(t)e At следует то, что, подставляя второе выражение в первое, получим

Теперь рассмотрим несколько примеров на применение рассмотренных в докладе теорем и следствий к ним:

Пример 1 : Показать, что линейное уравнение второго порядка

где f ( t ) — непрерывная периодическая функция с периодом ω, имеет единственное периодическое решение с периодом ω, если

Сведем дифференциальное уравнение к системе и применемтеорему 2:

2. Для применения теоремы 2 нам необходимо составить матрицу монодромии однородной системы и все собственные значения этой матрицы должны быть отличны от единицы; для начала найдем фундаментальную матрицу для однородной системы,соответствующей неоднородной системе (*):

3. Находим мультипликаторы однородной системы:

Итак, если

все мультипликаторы системы уравнений (**) отличны от единицы.Таким образом, выполнены все условия теоремы 2. Из этого следует, что система (*),а значит и исходное дифференциальное уравнение, имеет единственное периодическое решение с периодом ω.

Пример 2: Показать, что линейное уравнение второго порядка

при a ≠2 πk / ω ( k Î R ) имеет единственное периодическое решение с периодом ω (см. пример 1); при a = ± 2 π / ω не имеет периодических решений с периодом ω, а приa =2 πk / ω (k — любое целое число, не равное ± 1 и 0 ) все его решения — периодические с периодом ω.

Очевидно, что здесь необходимо воспользоваться теоремой 2 и замечанием к ней. Решение данного примера необходимо разбить на 3 части (для каждого из условий). Поскольку при нахождении матрицы монодромии в предыдущем примере мы свободный член исходного дифференциального уравнения не использовали и учитывая одинаковые правые части дифференциальных уравнений обоих примеров, можно будет сразу воспользоваться некоторыми выкладками примера 1.

Итак, матрица монодромии имеет следующий вид:

1.[a ≠2 πk / ω ( k Î R ) ] Как мы установили в примере 1, любое линейное уравнение вида при указанных ограничениях действительно имеет единственное периодическое решение с периодом ω.

При данных значениях а однородная система (**) из 1-го примера имеет нетривиальное периодическое решение с периодом ω, тогда в соответствии с замечанием к теореме 2 линейная неоднородная система уравнений, соответствующая заданному дифференциальному уравнению , может или вообще не иметь периодических решений с периодом ω (для случая 2 необходимо установить несовместность системы уравнений (13)), или иметь несколько периодических решений с периодом ω (для случая 3 необходимо установить, что система уравнений (13) имеет бесконечное множество решений).

Сначала мы будем случаи 2 и 3 рассматривать совместно:

Система уравнений (13):

Неоднородная система, соответствующая заданному дифференциальному уравнению:

Далее решать систему будем отдельно для каждого заданного значения а :
если в системе (***) справа будет получена нулевая матрица, то она имеет множество решений, если нет – не имеет их вообще.

3. Подставляем в систему (***)a =2 πk / ω (k — любое целое число, не равное ± 1 и 0 ):

Таким образом,система (13′) имеет бесконечное множество решений для данных значений а Þ исходное дифференциальное уравнение имеет несколько линейно независимых периодических решений с периодом ω.

Замечание. Отдельно стоит рассмотреть случай, когда а=0 (этому случаю соответствует k =0 , если a =2 πk / ω).

Если а=0 , то матрицы, обратной фундаментальной матрице системы (**), не существует, отсюда сразу следует несовместность системы (13′), а значит исходное линейное уравнение второго порядка не имеет периодических решений.

[1]