Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

Содержание
  1. Привести каноническое уравнение прямой к общему виду
  2. Приведение канонического уравнения прямой на плоскости к параметрическому виду
  3. Приведение канонического уравнения прямой на плоскости к общему виду
  4. Понятие канонического уравнения прямой
  5. Канонические уравнения прямой на плоскости с a x или a y , равными нулю
  6. Преобразование канонического уравнения прямой в другие виды уравнений
  7. Как решать задачи на составление канонических уравнений
  8. Параметрическое уравнение прямой на плоскости
  9. Приведение параметрического уравнения на плоскости к каноническому виду
  10. Приведение параметрического уравнения на плоскости к общему виду
  11. Прямая в пространстве – виды уравнения прямой в пространстве
  12. Параметрическое и каноническое уравнение прямой в пространстве
  13. Уравнение прямой в пространстве, которая проходит через две заданные точки
  14. Общее уравнение прямой – переход к каноническому уравнению
  15. Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
  16. Примеры решения задач
  17. 📸 Видео

Видео:Каноническое уравнение прямой в пространстве Преход от общего уравненияСкачать

Каноническое уравнение прямой в пространстве  Преход от общего уравнения

Привести каноническое уравнение прямой к общему виду

Рассмотрим переход от общего уравнения прямой (10) к каноническим уравнениям (11).

Данный переход осуществляется по АЛГОРИТМУ 1

АЛГОРИТМ 1 Переход от общего уравнения прямой к каноническим уравнениям Дано: Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическимПривести к каноническому виду общее уравнение прямой Решение Выполним схематичный чертеж общего уравнения прямой (рис. 18 ) Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическимРис.18 1 Найдем координаты направляющего вектора Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим. Так как прямая l лежит в плоскости α1, то вектор Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическимтакже лежит в плоскости α1, тогда Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим– нормальный вектор плоскости α1. Аналогично Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическимИмеем Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим, тогда Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим2 Найдем точку М , через которою проходит прямая. За точку М принимают точку пересечения прямой с одной из координатных плоскостей. Пусть М = l∩ХОУ, тогда Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим, подставим координаты точки Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическимв уравнение (9), получим систему уравнений: Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическимРешим полученную систему, найдем координаты точки Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим. 3 Составим уравнение прямой Подставим координаты точки Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическими вектора Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическимв канонические уравнения прямой(10), получим Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическимГоворят, чтобы найти точку, через которую проходит прямая нужно одну из переменных в общем уравнение прямой приравнять нулю и решить полученную систему уравнений.

Задача 16 Привести к каноническому виду общее уравнение прямой

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим.

Решение

Найдём направляющий вектор прямой. Так как он должен быть перпендикулярен нормальным векторам Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическими Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическимзаданных плоскостей, то за Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическимможно принять векторное произведение векторов Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическими Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

Таким образом, Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

В качестве точки Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим, через которую проходит прямая, можно взять точку пересечения её с любой из координатных плоскостей, например, с плоскостью XOY,так как при этом Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим, то Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическимПереход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическими Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическимэтой точки определяется из системы уравнений заданных плоскостей, если в них положить Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

Решая эту систему, находим: Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим, Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим, т.е. Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

Подставим найденные координаты точки М и направляющего вектора S в уравнение (2), получим

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим.

Ответ: Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

Выполните самостоятельно

Задача 16.1 Привести к каноническому виду общее уравнение прямой:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

Ответ: Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 9508 — Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим| 7341 — Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическимили читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

В данной статье мы рассмотрим каноническое уравнение прямой на плоскости. Определим понятие направляющего вектора прямой. Рассмотрим примеры построения канонического уравнения прямой, если известны две точки этой прямой или если известна одна точка и направляющий вектор этой прямой. Представим метод преобразования уравнения в каноническом виде в параметрический и общий виды.

Определение 1. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой называется направляющим вектором этой прямой.

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

На рисунке Рис.1 представлена прямая L и векторы q1, q2, q3, q4. Из определения следует, что векторы q1, q2, q4 являются направляющими векторами прямой L, а q3 − нет.

Каноническое уравнение прямой L на плоскости представляется следующей формулой:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим(1)

где x1, y1 координаты некоторой точки M1 на прямой L. Вектор q= является направляющим вектором прямой L.

Надо отметить, что при записи уравнения прямой в каноническом виде, допускается, чтобы один из чисел m и p была равна нулю (одновременно m и p не могут быть равным нулю, т.к. направляющий вектор прямой не должен быть нулевым вектором). Равенство нулю одного из знаменателей означает равенство нулю соответствующего числителя. В этом можно убедится, записав уравнение (1) в следующем виде:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим.(2)

Выше мы отметили, что прямая L проходит через точку M1(x1, y1). В этом можно убедится, подставив x=x1, y=y1 в уравнение (1).

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим.(3)

Чтобы убедится, что точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2) находятся на прямой L, поочередно подставим в уравнение (3) координаты точек M1 и M2. Получим тождества, следовательно эти точки принадлежат прямой L.

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

Сравним уравнения (1) и (3). Тогда можно записать q= = . На рисунке Рис.2 представлен вектор q, которая является разностью векторов, соответствующих точкам M2 и M1. Этот вектор является направляющим вектором прямой L. Следовательно, для определения направляющего вектора прямой, достаточно взять две точки на данной прямой и найти разность между соответсвующими координатами этих точек.

Таким образом, прямая на плоскости определяется точкой и направляющим вектором или двумя точками.

Онлайн калькулятор, для построения прямой через две точки находится тут.

Пример 1. Прямая проходит через точку M=(3,−1) и имеет направляющий вектор q= . Построить каноническое уравнение прямой.

Решение. Для построения канонического уравнения прямой, подставим координаты точки и направляющего вектора в уравнение (1):

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим.
Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим.

Пример 2. Прямая проходит через точку M=(2, 2) и имеет направляющий вектор q= . Построить каноническое уравнение прямой.

Решение. Для построения канонического уравнения прямой, подставим координаты точки и направляющего вектора в уравнение (1):

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим.
Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим.

На рисунке Рис.3 изображена прямая L, точка M=(2, 2) и направляющий вектор q= . Прямая проходит через точку M и параллельна направляющему вектору q.

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

Пример 3. Прямая проходит через точки M1=(−7, 2) и M2=(−4, 4). Построить каноническое уравнение прямой. Воспользуемся формулой (3). Подставим координаты точек в уравнение (3):

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим.

Упростим полученное уравнение:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим.
Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Приведение канонического уравнения прямой на плоскости к параметрическому виду

Для приведения канонического уравнения прямой на плоскости к параметрическому виду, обозначим каждую часть уравнения (1) переменным t:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим.

Выразим переменные x и y через t:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим,(4)

где t называется параметром, а уравнение (4) называется параметрическим уравнением прямой.

Для построения уравнения прямой, представленной параметрическом виде (4), достаточно задать параметру t любые значения и вычислить из уравнений (4) соответствующие координаты x и y некоторых точек. Затем провести через эти точки прямую.

Обратное преобразование смотрите здесь.

Пример 4. Каноническое уравнение прямой задана следующим уравнением:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим.(5)

Найти параметрическое уравнение прямой.

Решение. Обозначим через t левую и правую части уравнения (5):

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим.

Выразим переменные x и y через t:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим.
Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим.

Видео:Написать канонические и параметрические уравнения прямой в пространствеСкачать

Написать канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве

Приведение канонического уравнения прямой на плоскости к общему виду

Пусть прямая на плоскости задана каноническим уравнением прямой (1). Преобразовав (1) получим:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим,
Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим.(6)

Сделаем следующие обозначения:

A=p, B=−m, C=−px1+my1.

Тогда уравнение (6) можно записать в следующем виде:

Ax+By+C=0,

где n= − называется нормальным вектором прямой.

Нетрудно заметить, что нормальный и направляющий векторы прямой перепендикулярны, т.е. скалярное произведение этих векторов равно нулю:

(n,q)=( , ) =( , )=pm−mp=0.

Обратное преобразование смотрите здесь.

Пример 5. Каноническое уравнение прямой задана следующим уравнением:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим.(7)

Записать общее уравнение прямой.

Решение. Сделаем преобразования уравнения (7):

Прямую линию в прямоугольной системе координат можно задать с помощью канонического уравнения. В этой статье мы расскажем, что это такое, приведем примеры, рассмотрим связи канонических уравнений с другими типами уравнений для этой прямой. В последнем пункте мы разберем несколько задач на закрепление темы.

Видео:Видеоурок "Канонические уравнения прямой"Скачать

Видеоурок "Канонические уравнения прямой"

Понятие канонического уравнения прямой

Допустим, что у нас есть декартова (прямоугольная) система координат, в которой задана прямая. Нам известны координаты произвольно взятой точки этой прямой M 1 ( x 1 , y 1 ) , а также ее направляющего вектора a → = ( a x , a y ) . Попробуем составить уравнение, которое описывало бы эту прямую.

Возьмем плавающую точку M ( x , y ) . Тогда вектор M 1 M → можно считать направляющим для исходной прямой. Его координаты будут равны x — x 1 , y — y 1 (если нужно, повторите материал о том, как правильно вычислять координаты вектора с помощью координат отдельных его точек).

Множество произвольно взятых точек M ( x , y ) будут определять нужную нам прямую с направляющим вектором a → = ( a x , a y ) только в одном случае – если векторы M 1 M → и a → = ( a x , a y ) будут коллинеарны по отношению друг к другу. Посмотрите на картинку:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

Таким образом, мы можем сформулировать необходимое и достаточное коллинеарности этих двух векторов:

M 1 M → = λ · a → , λ ∈ R

Если преобразовать полученное равенство в координатную форму, то мы получим:

x — x 1 = λ · a x y — y 1 = λ · a y

При условии, что a x ≠ 0 и a y ≠ 0 , получим:

x — x 1 = λ · a x y — y 1 = λ · a y ⇔ λ = x — x 1 a x λ = y — y 1 a y ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y

Итог наших преобразований и будет каноническим уравнением прямой на плоскости. Запись вида x — x 1 a x = y — y 1 a y также называют уравнением прямой в каноническом виде.

Таким образом, с помощью уравнения x — x 1 a x = y — y 1 a y можно задать в прямоугольной системе координат на плоскости прямую, которая имеет направляющий вектор a → = ( a x , a y ) и проходит через точку M 1 ( x 1 , y 1 ) .

Примером уравнения подобного типа является, например, x — 2 3 = y — 3 1 . Прямая, которая задана с его помощью, проходит через M 1 ( 2 , 3 ) и имеет направляющий вектор a → = 3 , 1 . Ее можно увидеть на рисунке:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

Из определения канонического уравнения нужно сделать несколько важных выводов. Вот они:

1. Если прямая, имеющая направляющий вектор a → = ( a x , a y ) , проходит через две точки – M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) , то уравнение для нее может быть записано как в виде x — x 1 a x = y — y 1 a y , так и x — x 2 a x = y — y 2 a y .

2. Если заданная прямая имеет направляющий вектор с координатами a → = ( a x , a y ) , то множество всех ее векторов можно обозначить как μ · a → = ( μ · a x , μ · a y ) , μ ∈ R , μ ≠ 0 . Таким образом, любое уравнение прямой в каноническом виде x — x 1 μ · a x = y — y 1 μ · a y будет соответствовать этой прямой.

Разберем важный пример задачи на нахождение канонического уравнения.

В прямоугольной системе координат на плоскости задана прямая, которая проходит через точку M 1 ( 2 , — 4 ) и имеет направляющий вектор с координатами a → = ( 1 , — 3 ) . Запишите каноническое уравнение, описывающее данную прямую.

Решение

Для начала вспомним общий вид нужного нам канонического уравнения – x — x 1 a x = y — y 1 a y . Подставим в него имеющиеся значения x 1 = 2 , y 1 = — 4 , a x = 1 , a y = — 3 и подсчитаем:

x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ x — 2 1 = y — ( — 4 ) — 3 ⇔ x — 2 1 = y + 4 — 3

Получившееся в итоге равенство и будет нужным ответом.

Ответ: x — 2 1 = y + 4 — 3

Видео:13. Общие уравнения прямой в пространстве / приведение к каноническому видуСкачать

13. Общие уравнения прямой в пространстве / приведение к каноническому виду

Канонические уравнения прямой на плоскости с a x или a y , равными нулю

Если значение хотя бы одной переменной a является нулевым, то уравнение плоскости используют в первоначальном виде. Сразу две переменные нулевыми не могут быть по определению, поскольку нулевой вектор не бывает направляющим. В таком случае мы можем считать запись x — x 1 a x = y — y 1 a y условной и понимать ее как равенство a y ( x — x 1 ) = a x ( y — y 1 ) .

Разберем случаи канонических уравнений на плоскости с одним нулевым a более подробно. Допустим, что x — x 1 0 = y — y 1 a y при a x = 0 , а исходная прямая будет проходить через M 1 ( x 1 , y 1 ) . В таком случае она является параллельной оси ординат (если x 1 = 0 , то она будет с ней совпадать). Докажем это утверждение.

Для этой прямой вектор a → = ( 0 , a y ) будет считаться направляющим. Этот вектор является коллинеарным по отношению к координатному вектору j → = ( 0 , 1 ) .

Если же нулевым является значение второго параметра, то есть a y = 0 , то мы получаем равенство вида x — x 1 a x = y — y 1 0 . Это уравнение описывает прямую, проходящую через M 1 ( x 1 , y 1 ) , которая расположена параллельно оси абсцисс. Это утверждение верно, поскольку a → = ( a x , 0 ) является для этой прямой направляющим вектором, а он в свою очередь является коллинеарным по отношению к координатному вектору i → = ( 1 , 0 ) .

Проиллюстрируем два частных случая канонического уравнения, описанные выше:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

На плоскости задана прямая, параллельная оси O y . Известно, что она проходит через точку M 1 2 3 , — 1 7 . Запишите каноническое уравнение для нее.

Решение

Если прямая по отношению оси ординат является параллельной, то мы можем взять координатный вектор j → = ( 0 , 1 ) в качестве направляющего для нее. В таком случае искомое уравнение выглядит следующим образом:

x — 2 3 0 = y — — 1 7 1 ⇔ x — 2 3 0 = y + 1 7 1

Ответ: x — 2 3 0 = y + 1 7 1

На рисунке изображена прямая. Запишите ее каноническое уравнение.

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

Решение

Мы видим, что исходная прямая проходит параллельно оси O x через точку M 1 ( 0 , 3 ) . Мы берем координатный вектор i → = ( 1 , 0 ) в качестве направляющего. Теперь у нас есть все данные, чтобы записать нужное уравнение.

x — 0 1 = y — 3 0 ⇔ x 1 = y — 3 0

Ответ: x 1 = y — 3 0

Видео:Параметрические уравнения прямойСкачать

Параметрические уравнения прямой

Преобразование канонического уравнения прямой в другие виды уравнений

Мы уже выяснили, что в прямоугольной системе координат на плоскости заданную прямую можно описать с помощью канонического уравнения. Оно удобно для решения многих задач, однако иногда лучше производить вычисления с помощью другого типа уравнений. Сейчас мы покажем, как преобразовать каноническое уравнение в другие виды, если это требуется по ходу решения.

Стандартной форме записи канонического уравнения x — x 1 a x = y — y 1 a y можно поставить в соответствие систему параметрических уравнений на плоскости x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ . Чтобы преобразовать один вид уравнения в другой, нам надо приравнять правую и левую часть исходного равенства к параметру λ . После этого надо выполнить разрешение получившихся равенств относительно переменных x и y :

x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y = λ ⇔ ⇔ x — x 1 a x = λ y — y 1 a y = λ ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ

Покажем на примере, как именно выполняется это действие с конкретными числами.

У нас есть прямая, заданная на плоскости с помощью канонического уравнения x + 2 3 = y — 1 11 . Запишите параметрические уравнения исходной прямой.

Решение

Сначала поставим знак равенства между отдельными частями уравнения и переменной λ и получим x + 2 3 = λ y — 1 11 = λ .

Далее можно перейти к формулированию необходимых параметрических уравнений:

x + 2 3 = λ y — 1 11 = λ ⇔ x + 2 = 3 · λ y — 1 = 11 · λ ⇔ x = — 2 + 3 · λ y = 1 + 11 · λ

Ответ: x = — 2 + 3 · λ y = 1 + 11 · λ

Из канонического уравнения можно получить не только параметрические, но и общие уравнения прямой. Вспомним понятие пропорции: запись a b = c d можно представить в виде a · d = b · c с сохранением смысла. Значит, что x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ a y ( x — x 1 ) = a x ( y — y 1 ) ⇔ a y x — a x y — a y x 1 + a x y 1 = 0 .

Это и есть общее уравнение прямой. Это станет более очевидно, если мы добавим в него значения параметров a y = A , — a x = B , — a y x 1 + a x y 1 = C .

Прямая на плоскости описана с помощью канонического уравнения x — 1 2 = y + 4 0 . Вычислите общее уравнение этой прямой.

Решение

Делаем указанные выше действия по порядку.

x — 1 2 = y + 4 0 ⇔ 0 · ( x — 1 ) = 2 · ( y + 4 ) ⇔ y + 4 = 0

Ответ: y + 4 = 0 .

Также из канонического уравнения мы можем получить уравнение прямой в отрезках, прямой с угловым коэффициентом или нормальное уравнение прямой, но это действие выполняется в два шага: первым делом мы получаем общее уравнение прямой, а вторым – преобразуем его в уравнение указанного типа. Разберем пример такой задачи.

На плоскости задана прямая с помощью уравнения x + 3 3 = y — 2 2 . Запишите уравнение этой же прямой в отрезках.

Решение

Для начала преобразуем исходное каноническое уравнение в общее уравнение прямой.

x + 3 3 = y — 2 2 ⇔ 2 · ( x + 3 ) = 3 · ( y — 2 ) ⇔ 2 x — 3 y + 6 + 2 3 = 0

Далее переходим к формулировке уравнения прямой в отрезках.

2 x — 3 y + 6 + 2 3 = 0 ⇔ 2 x — 3 y = — 6 + 2 3 ⇔ ⇔ 2 — ( 6 + 2 3 ) x — 3 — ( 6 + 2 3 ) y = 1 ⇔ x — 6 + 2 3 2 + y 6 + 2 3 3 = 1 ⇔ x — 3 + 3 + y 3 3 + 2 = 1

Ответ: x — 3 + 3 + y 3 3 + 2 = 1

Достаточно легко решить и задачу, обратную этой, т.е. привести уравнение прямой на плоскости обратно к каноническому. Допустим, у нас есть общее уравнение прямой в стандартной формулировке – A x + B y + C = 0 . При условии A ≠ 0 мы можем перенести B y вправо с противоположным знаком. Получим A x + C = — B y . Теперь выносим A за скобки и преобразуем равенство так:

Получившееся уравнение мы записываем в виде пропорции: x + C A — B = y A .

У нас получилось нужное нам каноническое уравнение прямой на плоскости.

А как сделать преобразование, если B ≠ 0 ? Переносим все слагаемые, кроме A x , вправо с противоположными знаками. Получаем, что A x = — B y — C . Выносим — B за скобки:

Формируем пропорцию: x — B = y + C B A

Есть общее уравнение прямой x + 3 y — 1 = 0 . Перепишите его в каноническом виде.

Решение

Оставим с левой стороны только одну переменную x . Получим:

Теперь вынесем — 3 за скобки: x = — 3 y — 1 3 . Преобразуем равенство в пропорцию и получим необходимый ответ:

Ответ: x — 3 = y — 1 3 1

Таким же образом мы поступаем, если нам нужно привести к каноническому виду уравнение прямой в отрезках и уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Наиболее простая задача – переход от параметрических уравнений к каноническим. Нужно просто выразить параметр λ в системе уравнений x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ и приравнять обе части равенств. Схема решения выглядит так:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x — x 1 a x λ = y — y 1 a y ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y

Если значение одного из параметров a будет нулевым, мы поступаем точно таким же образом.

Прямая на плоскости описана с помощью системы параметрических уравнений x = 3 + 0 · λ y = — 2 — 4 · λ . Запишите каноническое уравнение для этой прямой.

Решение

Для начала преобразуем исходные уравнения в систему x = 3 + 0 · λ y = — 2 — 4 · λ . Следующим шагом будет выражение параметра в каждом уравнении:

x = 3 + 0 · λ y = — 2 — 4 · λ ⇔ λ = x — 3 0 λ = y + 2 — 4

Ставим знак равенства между получившимися частями и получаем нужное нам каноническое уравнение: x — 3 0 = y + 2 — 4

Ответ: x — 3 0 = y + 2 — 4

Видео:11. Прямая в пространстве и ее уравненияСкачать

11. Прямая в пространстве и ее уравнения

Как решать задачи на составление канонических уравнений

В первую очередь канонические уравнения используются для тех задач, где нужно выяснить, принадлежит ли некоторая точка заданной прямой или нет. Вспомним, что в случае, если точка лежит на прямой, ее координаты будут удовлетворять уравнению этой прямой.

На плоскости задана прямая, каноническое уравнение которой имеет вид x — 1 2 = y + 1 2 — 3 . Выясните, лежат ли на ней точки M 1 3 , — 3 1 2 и M 2 ( 5 , — 4 ) .

Решение

Для проверки принадлежности необходимо подставить координаты точки в исходное уравнение и проверить, получим ли мы в итоге верное равенство.

3 — 1 2 = — 3 1 2 + 1 2 — 2 ⇔ 1 = 1

Результат говорит нам, что точка M 1 3 , — 3 1 2 принадлежит исходной прямой.

Точно так же поступим и с координатами второй точки:

5 — 1 2 = — 4 + 1 2 — 3 ⇔ 2 = 7 6

Получившееся в итоге равенство не является верным, значит, эта точка заданной прямой не принадлежит.

Ответ: первая точка лежит на заданной прямой, а вторая нет.

Есть две точки M 1 ( 2 , 4 ) и M 2 ( — 1 , 3 ) . Будет ли прямая, которая задана в той же плоскости с помощью уравнения x — 2 0 = y — 3 2 , проходить через них?

Решение

Вспомним, что запись x — 2 0 = y — 3 2 можно понимать как 2 · ( x — 2 ) = 0 · ( y — 3 ) ⇔ x — 2 = 0 . Подставим координаты заданных точек в это равенство и проверим.

Начнем с первой точки M 1 ( 2 , 4 ) : 2 — 2 = 0 ⇔ 0 = 0

Равенство верное, значит, эта точка расположена на заданной прямой.

Подставляем данные второй точки: — 1 — 2 = 0 ⇔ — 3 = 0 .

Равенство неверное, значит, точка M 2 ( — 1 , 3 ) не лежит на исходной прямой.

Ответ: через точку M 1 ( 2 , 4 ) прямая проходит, а через M 2 ( — 1 , 3 ) нет.

Далее мы посмотрим, какие еще типичные задачи на нахождение канонического уравнения можно встретить. Возьмем примеры с разными условиями.

Наиболее простыми являются задачи на нахождение канонического уравнения прямой на плоскости, в которых уже заданы координаты некой точки, лежащей на прямой. В первой части материала мы уже приводили пример решения такой задачи.

Чуть сложнее будет найти нужное уравнение, если нам предварительно нужно будет вычислить координаты направляющего вектора исходной прямой. Чаще всего встречаются задачи, в которой нужная прямая проходит через две точки с известными координатами.

Прямая на плоскости проходит через точку M 1 ( 0 , — 3 ) и через точку M 2 ( 2 , — 2 ) . Сформулируйте для этой прямой канонической уравнение.

Решение

Eсли у нас есть координаты двух точек, то мы можем вычислить по ним координаты вектора M 1 M 2 → = 2 , 1 . По отношению к прямой, чье уравнение мы составляем, он будет направляющим вектором. После этого мы можем записать следующее:

x — 0 2 = y — ( — 3 ) 1 ⇔ x 2 = y + 3 1

Также можно использовать координаты второй точки. Тогда мы получим: x — 2 2 = y — ( — 2 ) 1 ⇔ x — 2 2 = y + 2 1

Ответ: x 2 = y + 3 1

Посмотрим, как нужно составлять канонические уравнения прямой на плоскости в том случае, если направляющий вектор этой прямой нужно вычислять исходя из параллельных или перпендикулярных ей прямых.

Известно, что точка M 1 ( 1 , 3 ) принадлежит некоторой прямой, которая параллельна второй прямой, заданной с помощью уравнения x 2 = y — 5 . Запишите каноническое уравнение первой прямой.

Решение

Для первой прямой можно определить направляющий вектор a → = 2 , — 5 . Его можно рассматривать и в качестве направляющего для второй прямой, что следует из самого определения направляющих векторов. Это позволяет нам получить всю информацию, нужную для записи искомого уравнения: x — 1 2 = y — 3 — 5

Ответ: x — 1 2 = y — 3 — 5

Через точку M 1 ( — 1 , 6 ) проходит прямая, которая является перпендикулярной другой прямой, определенной на плоскости с помощью уравнения 2 x — 4 y — 7 = 0 . Запишите каноническое уравнение первой прямой.

Решение

Из данного уравнения мы можем взять координаты нормального вектора второй прямой – 2 , 4 . Мы знаем, что этот вектор является направляющим по отношению к первой. Тогда мы можем записать искомое уравнение:

x — ( — 1 ) 2 = y — 6 4 ⇔ x + 1 1 = y — 6 2

Видео:Видеоурок "Параметрические уравнения прямой"Скачать

Видеоурок "Параметрические уравнения прямой"

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

В данной статье мы рассмотрим параметрическое уравнение прямой на плоскости. Приведем примеры построения параметрического уравнения прямой, если известны две точки этой прямой или если известна одна точка и направляющий вектор этой прямой. Представим методы преобразования уравнения в параметрическом виде в канонический и общий виды.

Параметрическое уравнение прямой L на плоскости представляется следующей формулой:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим(1)

Отметим что при записи уравнения прямой в параметрическом виде, направляющий вектор прямой не должен быть нулевым вектором, т.е хотя бы один координат направляющего вектора q должен быть отличным от нуля.

Для построения прямой на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат, заданной параметрическим уравнением (1), достаточно задать параметру t две разные значения, вычислить x и y и провести через эти точки прямую линию. При t=0 имеем точку M1(x1, y1) при t=1, получим точку M2(x1+m, y1+p).

Для составления параметрического уравнения прямой на плоскости L достаточно иметь точку на прямой L и направляющий вектор прямой или две точки, принадлежащие прямой L. В первом случае, для построения параметрического уравнения прямой нужно координаты точки и направляющего вектора вставить в уравнение (1). Во втором случае сначала нужно найти направляющий вектор прямой q=<m, p>, вычисляя разности соответствующих координатов точек M1 и M2: m=x2x1, p=y2y1(Рис.1). Далее, аналогично первому случаю, подставить координаты одной из точек (не имеет значение какой именно) и направляющего вектора q прямой в (1).

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

Можно также вывести формулу параметрического уравнения прямой, проходящей через две точки. Для этого подставим значения m=x2x1, p=y2y1 в (1), получим параметрическое уравнение прямой на плоскости, проходящей через точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2):

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим(2)

Пример 1. Прямая проходит через точку M=(3,−1) и имеет направляющий вектор q=. Построить параметрическое уравнение прямой.

Решение. Для построения параметрического уравнения прямой, подставим координаты точки и направляющего вектора в уравнение (1):

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим
Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

Пример 2. Прямая проходит через точки M1=(−5, 2) и M2=(−2, 3). Построить параметрическое уравнение прямой.

Решение. Воспользуемся формулой (2). Подставим координаты точек M1 и M2 в уравнение (2):

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

Упростим полученное уравнение:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим
Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Приведение параметрического уравнения на плоскости к каноническому виду

Выразим параметр t в (1) через переменные x и y:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим(3)

Из выражений (3), можем записать каноническое уравнение прямой на плоскости:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим.(4)

Обратное преобразование смотрите здесь.

Пример 3. Прямая на плоскости представлена следующим параметрческим уравнением:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

Привести данное уравнение прямой к каноническому виду.

Решение: Выразим параметр t через переменные x и y:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим(5)

Из выражений (5), можем записать:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим
Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

Видео:Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямой

Приведение параметрического уравнения на плоскости к общему виду

Для приведения параметрического уравнения прямой на плоскости к общему виду, в формулах (1) выразим из второго уравнения параметр t через переменную y и подставим в первое уравнение:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим
Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим(6)

Умножим обе части уравнения (6) на p и группируем элементы уравнения:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим.(7)

Сделаем обозначения: A=p, B=−m, C=−px1+my1. Тогда получим общее уравнение прямой:

Обратное преобразование смотрите здесь.

Пример 4. Прямая на плоскости представлена следующим параметрческим уравнением:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим(9)

Привести данное уравнение прямой к общему виду.

Решение: В уравнении (9) имеем: x1=−5, y1=0, m=4, p=−2. Подставим эти значения в формулу (7):

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим(10)

Упростив выражение (10) получим общее уравнение прямой (9):

Видео:Уравнение прямой в пространстве через 2 точки. 11 класс.Скачать

Уравнение прямой в пространстве через 2 точки. 11 класс.

Прямая в пространстве – виды уравнения прямой в пространстве

Прямая в пространстве – это линия, которая проходит от одной точки к другой, а также за пределы этих точек в бесконечность. Есть несколько видов уравнения прямой в пространстве: каноническое, параметрическое, угол между двумя прямыми в пространстве и т. д. Про это расскажем в данной статье и для наглядности предоставим несколько примеров.

Видео:Лекция 23. Виды уравнений прямой на плоскости.Скачать

Лекция 23. Виды уравнений прямой на плоскости.

Параметрическое и каноническое уравнение прямой в пространстве

Параметрическое и каноническое уравнение прямой рассматривается практически так, как и для прямой на плоскости. Значит, нужно составить уравнение прямой Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим, которая проходит через данную точку Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическимпараллельно направляющему вектору Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим.

Пусть, Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим– произвольная точка прямой, тогда векторы Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическими Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическимколлинеарные, а это значит, что координаты их пропорциональны, поэтому получаем:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

это и есть канонические уравнения прямой.

Приравнивая каждую из дробей (1) к параметру Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим, запишем параметрические уравнения прямой:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

Видео:Видеоурок "Общие уравнения прямой"Скачать

Видеоурок "Общие уравнения прямой"

Уравнение прямой в пространстве, которая проходит через две заданные точки

Уравнение прямой в пространстве – тема очень лёгкая, так как здесь самое важное – знать нужную формулу. Тогда легко можно решить любую задачу.

Итак, через две точки Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическими Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическимможно не только геометрично провести линию, но и сложить её уравнения.

За направляющий вектор возьмём Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим, тогда по формуле (1) у нас получается:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

уравнение прямой в пространстве, которые проходят через две заданные точки.

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Видео:9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямой

Общее уравнение прямой – переход к каноническому уравнению

Объяснение про общее уравнение прямой начнём с прямой, которая задана двумя плоскостями, что пересекаются по этой прямой.

Пусть известны их уравнения:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

Тогда система (4) называется общим уравнением прямой.

Чтобы перейти к каноническим уравнениям вида (1), необходимо найти вектор Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическими точку Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическимэтой прямой.

Точку Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическимнаходим, как один из решений системы (4). Например, положив в (4) Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическимнаходим Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим, тогда и точку Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим. Направляющий вектор Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим, который параллелен к каждой из плоскостей Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическими Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическими перпендикулярен к их нормальным векторам Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическими Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим, то есть Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим, Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим. (см. рис. 1). Поэтому вектор Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическимможно найти при помощи векторного произведения Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическими Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим= Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическимx Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим= Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

Найдены координаты Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическими Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическимподставим в каноническое уравнение (1).

Например, от общих уравнений прямой:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

Перейдём к каноническим, положив в системе Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим(при нём относительно больше коэффициенты). найдём Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим. Нормальные векторы Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическими Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим. Тогда направляющий вектор

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическимx Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим= Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим,

и канонические уравнения станут:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.

Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Угол между двумя прямыми Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическими Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

равен углу между их направляющими векторами Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическими Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим, поэтому

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим= Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

Условия параллельности и перпендикулярности прямых соответственно запишутся:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическими Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим.

Видео:Видеоурок "Общее уравнение прямой"Скачать

Видеоурок "Общее уравнение прямой"

Примеры решения задач

Давайте рассмотрим первый пример, где можно двумя способами построить прямую:

Задача

При точке Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическими направляющем векторе Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическимнеобходимо:

  1. составить каноническое уравнение прямой;
  2. построить эту прямую.

Решение

1) По формуле (1) запишем каноническое уравнение прямой Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим= Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим.

2) Рассмотрим два способа построения прямой Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим.

Первый способ

В системе координат Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическимстроим вектор Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическими точку Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическими проводим через точку Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическимпрямую параллельную вектору Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим.

Второй способ

По формуле (2) запишем каноническое уравнение прямой в параметрическом виде:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

На рисунке видно, что при произвольных значениях Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическимиз системы находим координаты соответствующих точек, которые принадлежат прямой Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим. Так при Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическимнаходим координаты Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим. Через две точки Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическими Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическимпроводим прямую Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим.

Очевидно, что найти острый угол между прямыми совершенно не сложно при знании темы и определённых формул. Давайте разберём такой пример:

Задача

Найти острый угол между прямыми:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим, Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

Решение

По формуле (7) получаем:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим= Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим= Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим= Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим

Так как Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим, тогда угол Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическимтупой, Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим, а острый угол Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим.

Ответ

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим.

Рассмотрим последний пример, где нужно составить уравнение. Здесь, как и в каждой задаче, важно знать и понимать, какой формулой нужно воспользоваться.

Задача

Составить уравнение прямой Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим, которая проходит через точку Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическими параллельна прямой Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим.

Решение

От параметрического уравнения переходим к каноническому Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическимПри условии параллельности прямых Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическимто есть направляющим вектором новой прямой может служить известный вектор Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическими по формуле (1) у нас получается:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим.

Ответ

Переход от общих уравнений прямой к каноническим и параметрическим.

📸 Видео

12. Уравнения прямой в пространстве Решение задачСкачать

12. Уравнения прямой в пространстве Решение задач

Каноническое уравнение прямой в пространстве. 11 класс.Скачать

Каноническое уравнение прямой в пространстве. 11 класс.

Уравнение прямой в пространстве. 11 класс.Скачать

Уравнение прямой в пространстве. 11 класс.

9. Уравнения линии в пространстве. Виды уравнений прямой в пространстве. Основные понятияСкачать

9. Уравнения линии в пространстве. Виды уравнений прямой в пространстве. Основные понятия
Поделиться или сохранить к себе: