Пары значений переменных x и y указаны в таблице какие из них являются решениями уравнения (4 видео)

Содержание

ГДЗ учебник по алгебрее 7 класс Макарычев. 40. Линейное уравнение с двумя переменными. Номер №1027
ГДЗ учебник по алгебрее 7 класс Макарычев. 40. Линейное уравнение с двумя переменными. Номер №1027
Решение а
Решение б
Линейное уравнение с двумя переменными
40. Линейное уравнение с двумя переменными
Упражнения
💥 Видео

Видео:Задание № 1027 - Алгебра 7 класс (Макарычев)Скачать

ГДЗ учебник по алгебрее 7 класс Макарычев. 40. Линейное уравнение с двумя переменными. Номер №1027

Пары значений переменных x и y указаны в таблице:

Какие из них являются решениями уравнения:
а) 2 x + y = − 5 ;
б ) x + 3 y = − 5 ?

Видео:№1027 алгебра 7 класс МакарычевСкачать

ГДЗ учебник по алгебрее 7 класс Макарычев. 40. Линейное уравнение с двумя переменными. Номер №1027

Решение а

при : x = − 5 и y = 0 .
2 * (− 5 ) + 0 = − 5
− 10 ≠ − 5 − значит x = − 5 и y = 0 не являются решением уравнения.

при : x = − 4 и y = 3 .
2 * (− 4 ) + 3 = − 5
− 8 + 3 = − 5
− 5 = − 5 − значит x = − 4 и y = 3 являются решением уравнения.

при : x = − 3 и y = 4 .
2 * (− 3 ) + 4 = − 5
− 6 + 4 = − 5
− 2 ≠ − 5 − значит x = − 3 и y = 4 не являются решением уравнения.

при : x = − 1 и y = − 3 .
2 * (− 1 ) − 3 = − 5
− 2 − 3 = − 5
− 5 = − 5 − значит x = − 1 и y = − 3 являются решением уравнения.

при : x = 0 и y = − 5 .
2 * 0 − 5 = − 5
− 5 = − 5 − значит x = 0 и y = − 5 являются решением уравнения.

при : x = 4 и y = − 3 .
2 * 4 − 3 = − 5
8 − 3 = − 5
5 ≠ − 5 − значит x = 4 и y = − 3 не являются решением уравнения.

при : x = 5 и y = 0 .
2 * 5 − 0 = − 5
10 ≠ − 5 − значит x = 5 и y = 0 не являются решением уравнения.

Решение б

при : x = − 5 и y = 0 .
− 5 + 3 * 0 = − 5
− 5 = − 5 − значит x = − 5 и y = 0 являются решением уравнения.

при : x = − 4 и y = 3 .
− 4 + 3 * 3 = − 5
− 4 + 9 = − 5
5 ≠ − 5 − значит x = − 4 и y = 3 не являются решением уравнения.

при : x = − 3 и y = 4 .
− 3 + 3 * 4 = − 5
− 3 + 12 = − 5
9 ≠ − 5 − значит x = − 3 и y = 4 не являются решением уравнения.

при : x = − 1 и y = − 3 .
− 1 + 3 * (− 3 ) = − 5
− 1 − 9 = − 5
− 10 ≠ − 5 − значит x = − 1 и y = − 3 не являются решением уравнения.

при : x = 0 и y = − 5 .
0 + 3 * (− 5 ) = − 5
− 15 ≠ − 5 − значит x = 0 и y = − 5 не являются решением уравнения.

при : x = 4 и y = − 3 .
4 + 3 * (− 3 ) = − 5
4 − 9 = − 5
− 5 = − 5 − значит x = 4 и y = − 3 являются решением уравнения.

при : x = 5 и y = 0 .
5 + 3 * 0 = − 5
5 ≠ − 5 − значит x = 5 и y = 0 не являются решением уравнения.

Видео:№ 1027- Алгебра 7 класс МакарычевСкачать

Линейное уравнение с двумя переменными

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Тема урока: «Линейное уравнение с двумя переменными».

Учебник : Алгебра 7 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.]; под ред. С.А. Теляковского. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2011.

Предметные: познакомить с понятиями: линейное уравнение с двумя переменными, решение линейного уравнения с двумя переменными, равносильные уравнения. Научить решать базовые задачи.

М етапредметные: умения анализировать нестандартные ситуации; развивать логическое и абстрактное мышление.

Личностные: сотрудничать со сверстниками и учителем; формировать умения ставить учебную задачу, работать с текстом учебника, развитие познавательного интереса, внимательности и наблюдательности

Тип урока: урок изучения нового материала.

Место урока в системе уроков данного раздела: 1-й урок в разделе «Системы линейных уравнений».

Изучаемые понятия (термины): линейное уравнение с двумя переменными, решение уравнения с двумя переменными, равносильные уравнения.

Оборудование: учебник, компьютер, мультимедийный проектор, экран

Сосредоточение учащихся на учебном процессе

Коммуникативные: проявлять уважительное отношение к одноклассникам, внимание к личности другого, развивать адекватное межличностное восприятие.

Регулятивные: ставить учебную задачу на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено, и того, что ещё неизвестно.

Познавательные: выбирать смысловые единицы текста и устанавливать соотношения между ними.

Активное включение в общение и взаимодействие со сверстниками на принципах уважения и доброжелательности, взаимопомощи и сопереживания; п роявление дисциплинированности, трудолюбия и упорства в достижении поставленных целей.

Владение свойствами уравнений с двумя переменными и определениями линейных уравнений с двумя переменными и равносильных уравнений.

Изучение нового материала

Формирование понятий: линейное уравнение с двумя переменными, решение уравнения с двумя переменными, равносильных уравнений.

Ознакомление с темой « Линейное уравнение с двумя переменными »

Закрепление изученного материала

Формирование у учащихся умения применять полученные знания при решении задач

Умение применять полученные знания при решении задач по изучаемой теме

Формулировка выводов по изученному материалу

Владение понятийным аппаратом при изучении темы

Выполнение комментариев по домашнему заданию

Приветствие учеников, проверка готовности к уроку организует внимание детей.

— Здравствуйте, ребята, садитесь.

— Откройте свои рабочие тетради и запишите сегодняшнее число, классная работа.

Приветствуют учителя, проверяют готовность к уроку

— Открывают свои тетради и записывают число и классная работа.

Предлагается ответить на вопросы

— Давайте вспомним всё, что мы знаем о линейных уравнениях и попробуем провести параллель между известным нам материалом и новым материалом.

Какой тип уравнения нам известен?

Вспомним определение линейного уравнения с одной переменной.

Что называется корнем линейного уравнения с одной переменной?

Сформулируем все свойства линейного уравнения с одной переменной.

Учащиеся отвечают на вопросы устно:

линейное уравнение с одной переменной;

уравнением с одной переменной, называется равенство, содержащее только одну переменную;

Корнем уравнения называется такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство;

Свойство 1. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, получается уравнение с теми же корнями.

Свойство 2. При умножении или делении обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля, мы получим уравнение с теми же корнями

А сколько решений может иметь линейное уравнение? Какой степени?

Взгляните на эти уравнения. Подумайте, чем они отличаются от линейных уравнений с одной переменной?

Запишите тему урока «Линейное уравнение с двумя переменными».

Пусть известно, что одно из двух чисел на 5 больше другого. Если первое число обозначить буквой x, а второе – буквой y, то соотношение между ними можно записать в виде равенства x-y=5, содержащего две переменные. Такие равенства называются уравнениями с двумя переменными (неизвестными).

Приведем другие прмеры уравнений с двумя переменными . Из этих уравнений первые два имеют вид где a , b и c – числа. Такие уравнения называют линейными уравнениями с двумя переменными.

Запишите определение 1 на странице187 или со слайда.

Опр.: Уравнениями с двумя переменными называются уравнения вида:

ax+by=c, где a,b и c – некоторые числа.

Взгляните на экран

Уравнение x-y=5 при x =8, y =3 обращается в верное равенство 8-3=5. Говорят, что пара значений переменных x =8, y =3 является решением этого уравнения.

Запишите определение 2 на странице 187 или со слайда.

Опр.: Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство

Нетрудно проверить, что решениями уравнения являются также пары:

.Пары значений переменных записывают иногда короче. Например, перечисленные пары можно записать так:

; -1.5). При такой записи необходимо знать, значение какой их переменных стоит на первом месте, а какой — на втором. В записи решений уравнения с переменными x и y условимся на первом месте записывать значения x , а на втором — значения y .

Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Уравнения с двумя переменными, не имеющие решений также считают равносильными. Давайте узнаем какими свойствами обладают линейные уравнения с двумя переменными на странице 188 или взгляните на экран.

Уравнения с двумя переменными обладают такими же свойствами, как и уравнения с одной переменной:

-если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;

— если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то отличное от нуля число, то получится уравнение равносильное данному.

Воспользовавшись свойствами уравнений, выразим из этого уравнения одну переменную через другую, например y через x . Для этого перенесем слагаемое 5 x в правую часть уравнения, изменив его знак:

Разделим обе части этого уравнения на 2:

Уравнение (2) равносильно уравнению (1). Пользуясь формулой можно найти сколько угодно решений уравнения (1). Для этого достаточно взять произвольное х и вычислить соответствующее ему значение у. Например:

Пары чисел — решения уравнения (1). Уравнение (1) имеет бесконечно много решений.

Иногда при решении задачи требуется найти все пары целых чисел или все пары натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению с двумя переменными. В таких случаях говорят, что надо «решить уравнение в целых числах» или «решить уравнение в натуральных числах».

На прошлом занятии я давала задание подготовить историческую справку о греческом ученом Диофанте.

Давайте послушаем, что подготовили ребята и посмотрим презентацию.

-Молодцы ребята! Очень хорошее сообщение и презентация.

Давайте рассмотрим задачу, в которой надо найти натуральные решения уравнения с двумя переменными.

Задача. Группу из 35 туристов решили расселить на теплоходе в трехместные и четырехместные каюты так, чтобы в каютах не оставалось свободных мест. Сколько трехместных и сколько четырехместных надо заказать?

Допустим, что надо заказать трехместных и четырехместных кают. Тогда

Требуется найти все пары натуральных значений переменных х и у, удовлетворяющие этому уравнению.

Из уравнения находим, что

Подставляя в это равенство вместо x последовательно числа 1,2,3 и т.д., найдем при каких натуральных значениях x соответствующие значения y являются натуральными числами:

Других пар натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению нет, так как при других натуральных значениях х соответсвующее значение у является либо дробным положительным числом, либо отрицательным числом.

Значит, надо заказать соответственно трехместных и четырехместных кают либо 1 и 8, либо 5 и 5, либо 9 и 2.

Видео:Задача №269. Алгебра 7 класс Макарычев.Скачать

40. Линейное уравнение с двумя переменными

Пусть известно, что одно из двух чисел на б больше другого. Если первое число обозначить буквой х, а второе — буквой у, то соотношение между ними можно записать в виде равенства х — у = 5, содержащего две переменные. Такие равенства называют уровнениями с двумя переменными или уравнениями с двумя неизвестными.

Приведём другие примеры уравнений с двумя переменными: 5x + 2у = 10, -7х + у = 5, х 2 + у 2 = 20, ху — 12. Из этих уравнений первые два имеют вид ах + by = с, где а, b и с — числа. Такие уравнения называют линейными уравнениями с двумя переменными.

Определение: Линейным уравнением с двумя пе ременными называется уравнение вида ах + by = с, где х и у — переменные, а, b и с — некоторые числа.

Уравнение х — у = 5 при х = 8, у = 3 обращается в верное равенство 8 — 3 = 5. Говорят, что пара значений переменных х = 8, у = 3 является решением этого уравнения.

Определение: Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Нетрудно проверить, что решениями уравнения х — у — 5 являются также пары: х = 105, у — 100; х = 4, у = -1; х = 3,5, у = -1,5. Пары значений переменных записывают иногда короче. Например, перечисленные пары можно записать так: (105; 100), (4; -1), (3,5; -1,5). При такой записи необходимо знать, значение какой из переменных стоит на нервом месте, а какой — на втором. В записи решений уравнения с переменными х и у условимся на первом месте записывать значения х, а на втором — значения у.

Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также считают равносильными.

Уравнения с двумя переменными обладают такими же свойствами, как и уравнения с одной переменной:

если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;

если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Воспользовавшись свойствами уравнений, выразим из этого уравнения одну переменную через другую, например у через х. Для этого перенесём слагаемое 5х в правую часть уравнения, изменив его знак:

Разделим обе части этого уравнения на 2:

Уравнение (2) равносильно уравнению (1). Пользуясь формулой y = -2,5х + 6, можно найти сколько угодно решений уравнения (1). Для этого достаточно взять произвольное х и вычислить соответствующее ему значение у. Например:

если х = 2, то у = -2,5 — 2 + 6 = 1;
если х = 0,4, то у = -2,5 • 0,4 + 6 = 5.

Пары чисел (2; 1), (0,4; 5) — решения уравнения (1). Уравнение (1) имеет бесконечно много решений.

Проблема решения уравнений в натуральных числах подробно рассматривалась в работах известного греческого математика Диофанта (III в.). В его трактате «Арифметика» приводятся остроумные способы решения в натуральных числах самых разнообразных уравнений. В связи с этим уравнения с несколькими переменными, для которых требуется найти решения в натуральных или целых числах, называют диофантовыми уравнениями.

Рассмотрим задачу, в которой надо найти натуральные решения уравнения с двумя переменными.

Задача. Группу из 35 туристов решили расселить на теплоходе в трёхместные и четырёхместные каюты так, чтобы в каютах не оставалось свободных мест. Сколько трёхместных и сколько четырёхместных кают надо заказать?

Решение: Допустим, что надо заказать х трёхместных и у четырёхместных кают. Тогда

Требуется найти все пары натуральных значений переменных х и у, удовлетворяющие этому уравнению.

Из уравнения Зх + 4у = 35 находим, что

Подставляя в это равенство вместо х последовательно числа 1, 2, 3 и т. д., найдём, при каких натуральных значениях х соответствующие значения у являются натуральными числами: если х = 1, то у = 8; если х = 5, то у = 5; если х = 9, то у = 2. Других пар натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению Зх + 4у = 35, нет, так как при других натуральных значениях х соответствующее значение у является либо дробным положительным числом, либо отрицательным числом.

Значит, надо заказать соответственно трёхместных и четырёхместных кают либо 1 и 8, либо 5 и 5, либо 9 и 2.

Упражнения

Является ли уравнение с двумя переменными линейным:

Является ли пара чисел

Пары значений переменных x и y указаны в таблице какие из них являются решениями уравнения

решением уравнения х + у = 6? Укажите ещё два решения этого уравнения.

Пары значений переменных х и у указаны в таблице:

Какие из них являются решениями уравнения:

Является ли решением уравнения 10х + у = 12 пара чисел (3; -20), (-2; 12), (0,1; 11), (1; 2), (2; 1)?

Составьте какое-нибудь линейное уравнение с двумя переменными, решением которого служит пара чисел:

Из линейного уравнения 4х — Зу = 12 выразите:

Из уравнения 2u + v = 4 выразите:

а) переменную v через u;
б) переменную u через v.
Выразите из данного уравнения переменную у через х; используя полученную формулу, найдите три каких-либо решения этого уравнения:

а) Зх + 2у= 12;
б) 5у — 2х = 1.

а) Выразив из уравнения х — 6у = 4 переменную х через у, найдите три каких-либо решения этого уравнения.
б) Выразив переменную у через переменную хУ найдите три каких-либо решения уравнения 3х — у = 10.

Среди решений уравнения х + 2у = 18 найдите такую пару, которая составлена из двух одинаковых чисел.

Найдите значение коэффициента а в уравнении ах + 2у = 8, если известно, что пара х = 2, у = 1 является решением этого уравнения.

Из двухрублёвых и пятирублёвых монет составлена сумма в 28 р. Сколько было взято двухрублёвых монет?

Ученик купил тетради по 5 р. и карандаши по 7 р. Сколько тетрадей купил ученик, если известно, что за всю покупку он заплатил 44 р.?

Хозяйка купила глубокие и мелкие тарелки, уплатив за покупку 320 р. Глубокая тарелка стоит 35 р., а мелкая тарелка стоит 30 р. Сколько глубоких и сколько мелких тарелок купила хозяйка?

Мука расфасована в пакеты но 3 кг и но 2 кг. Сколько пакетов каждого вида надо взять, чтобы получить 20 кг муки?

(Для работы в парах.) Купили тетради в линейку по 10 р. за каждую и тетради в клетку по 15 р. за каждую, затратив на всю покупку 320 р.

а) Выясните, можно ли при указанном условии купить одинаковое количество тетрадей в линейку и тетрадей в клетку.
б) Укажите все возможные пары, которые можно составить из числа тетрадей в линейку и числа тетрадей в клетку при указанном условии.
в) Найдите максимальное количество тетрадей, которые можно купить при указанном условии.
г) Найдите минимальное количество тетрадей, которые можно купить при указанном условии.

1) Выполните совместно задания а) и б).
2) Распределите, кто выполняет задание в), а кто — задание г), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, верно ли выполнены задания, и исправьте ошибки, если они допущены.

В результате перестановки цифр двузначного числа оно увеличилось на 54. Найдите это число.

Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 5 даёт остаток 1, а при делении на 6 — остаток 2.

Найдите значение выражения:

Разложите на множители: