Параметры а0 и а1 уравнения регрессии

Линейное уравнение регрессии имеет вид y=bx+a+ε
Здесь ε — случайная ошибка (отклонение, возмущение).
Причины существования случайной ошибки:
1. Невключение в регрессионную модель значимых объясняющих переменных;
2. Агрегирование переменных. Например, функция суммарного потребления – это попытка общего выражения совокупности решений отдельных индивидов о расходах. Это лишь аппроксимация отдельных соотношений, которые имеют разные параметры.
3. Неправильное описание структуры модели;
4. Неправильная функциональная спецификация;
5. Ошибки измерения.
Так как отклонения ε_i для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то:
1) по наблюдениям x_i и y_i можно получить только оценки параметров α и β
2) Оценками параметров α и β регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т.к. соответствуют случайной выборке;
Тогда оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где e_i – наблюдаемые значения (оценки) ошибок ε_i, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.
Для оценки параметров α и β — используют МНК (метод наименьших квадратов).
Система нормальных уравнений.

Для наших данных система уравнений имеет вид:

10a + 356b = 49
356a + 2135b = 9485

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение
Получаем b = 68.16, a = 11.17

Уравнение регрессии:
y = 68.16 x — 11.17

1. Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.

1.1. Коэффициент корреляции
Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0.1 Y фактором X весьма высокая и прямая.

1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 68.16 x -11.17
Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл. Коэффициент уравнения регрессии показывает, на сколько ед. изменится результат при изменении фактора на 1 ед.
Коэффициент b = 68.16 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у ) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 68.16.
Коэффициент a = -11.17 формально показывает прогнозируемый уровень у , но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.
Но если х=0 находится далеко от выборочных значений x , то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.
Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения x , можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.
Связь между у и x определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе — обратная). В нашем примере связь прямая.

1.3. Коэффициент эластичности.
Коэффициенты регрессии (в примере b) нежелательно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного показателя у и факторного признака х.
Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета — коэффициенты. Коэффициент эластичности находится по формуле:

Он показывает, на сколько процентов в среднем изменяется результативный признак у при изменении факторного признака х на 1%. Он не учитывает степень колеблемости факторов.
В нашем примере коэффициент эластичности больше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится более чем на 1%. Другими словами — Х существенно влияет на Y.
Бета – коэффициент показывает, на какую часть величины своего среднего квадратичного отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину его среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных:

Т.е. увеличение x на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего Y на 0.9796 среднеквадратичного отклонения этого показателя.

1.4. Ошибка аппроксимации.
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.

1.6. Коэффициент детерминации.
Квадрат (множественного) коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака.
Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.
R 2 = 0.98 2 = 0.9596, т.е. в 95.96 % случаев изменения x приводят к изменению у . Другими словами — точность подбора уравнения регрессии — высокая. Остальные 4.04 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели.

2. Оценка параметров уравнения регрессии.
2.1. Значимость коэффициента корреляции.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=7 находим t_крит:
t_крит = (7;0.05) = 1.895
где m = 1 — количество объясняющих переменных.
Если t_набл > t_критич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически — значим
В парной линейной регрессии t 2 _r = t 2 _b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

2.3. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.
Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S 2 _y = 94.6484 — необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).
S_y = 9.7287 — стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).
S _a — стандартное отклонение случайной величины a.

S_b — стандартное отклонение случайной величины b.

2.4. Доверительные интервалы для зависимой переменной.
Экономическое прогнозирование на основе построенной модели предполагает, что сохраняются ранее существовавшие взаимосвязи переменных и на период упреждения.
Для прогнозирования зависимой переменной результативного признака необходимо знать прогнозные значения всех входящих в модель факторов.
Прогнозные значения факторов подставляют в модель и получают точечные прогнозные оценки изучаемого показателя. (a + bx_p ± ε) где
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X _p = 1 (-11.17 + 68.16*1 ± 6.4554)
(50.53;63.44)
С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

Индивидуальные доверительные интервалы для Y при данном значении X.
(a + bx _i ± ε)
где

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

2.5. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.
Проверим гипотезу H₀ о равенстве отдельных коэффициентов регрессии нулю (при альтернативе H₁ не равно) на уровне значимости α=0.05.
t_крит = (7;0.05) = 1.895

Поскольку 12.8866 > 1.895, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Поскольку 2.0914 > 1.895, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:
(b — t_крит S_b; b + t_крит S_b)
(68.1618 — 1.895 • 5.2894; 68.1618 + 1.895 • 5.2894)
(58.1385;78.1852)
С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.
(a — t_a)
(-11.1744 — 1.895 • 5.3429; -11.1744 + 1.895 • 5.3429)
(-21.2992;-1.0496)
С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

2) F-статистики. Критерий Фишера.
Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.
Если расчетное значение с lang=EN-US>n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

где m – число факторов в модели.
Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:
1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H₀: R 2 =0 на уровне значимости α.
2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:

где m=1 для парной регрессии.
3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.
4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=7, Fkp = 5.59
Поскольку фактическое значение F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

Проверка на наличие автокорреляции остатков.
Важной предпосылкой построения качественной регрессионной модели по МНК является независимость значений случайных отклонений от значений отклонений во всех других наблюдениях. Это гарантирует отсутствие коррелированности между любыми отклонениями и, в частности, между соседними отклонениями.
Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные ряды). Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов и очень редко при использовании перекрестных данных.
В экономических задачах значительно чаще встречается положительная автокорреляция, нежели отрицательная автокорреляция. В большинстве случаев положительная автокорреляция вызывается направленным постоянным воздействием некоторых неучтенных в модели факторов.
Отрицательная автокорреляция фактически означает, что за положительным отклонением следует отрицательное и наоборот. Такая ситуация может иметь место, если ту же зависимость между спросом на прохладительные напитки и доходами рассматривать по сезонным данным (зима-лето).
Среди основных причин, вызывающих автокорреляцию, можно выделить следующие:
1. Ошибки спецификации. Неучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости обычно приводят к системным отклонениям точек наблюдения от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию.
2. Инерция. Многие экономические показатели (инфляция, безработица, ВНП и т.д.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Поэтому изменение показателей происходит не мгновенно, а обладает определенной инертностью.
3. Эффект паутины. Во многих производственных и других сферах экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом).
4. Сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его интервалам. Это может привести к определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматриваемого периода, что в свою очередь может служить причиной автокорреляции.
Последствия автокорреляции схожи с последствиями гетероскедастичности: выводы по t- и F-статистикам, определяющие значимость коэффициента регрессии и коэффициента детерминации, возможно, будут неверными.

Обнаружение автокорреляции

1. Графический метод
Есть ряд вариантов графического определения автокорреляции. Один из них увязывает отклонения e_i с моментами их получения i. При этом по оси абсцисс откладывают либо время получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения e_i (либо оценки отклонений).
Естественно предположить, что если имеется определенная связь между отклонениями, то автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости скоре всего будет свидетельствовать об отсутствии автокорреляции.
Автокорреляция становится более наглядной, если построить график зависимости e_i от e_i-1.

Видео:Эконометрика. Оценка значимости параметров уравнения регрессии. Критерий Стьюдента.Скачать

Парная регрессия

Взаимосвязанные признаки подразделяются на факторные (под их воздействием изменяются другие, зависящие от них признаки) и результативные (изменяющихся под воздействием факторных признаков).

Если причинная зависимость проявляется не в каждом отдельном случае, а в общем, при большом количестве наблюдений, то такая зависимость называется стохастической. Частным случаем стохастической связи является корреляционная связь, при которой изменение среднего значения результативного признака обусловлено изменением факторных признаков.

Прямолинейная зависимость в этом случае может быть выражена уравнением прямой:

Параметр a₁ называется коэффициентом регрессии и показывает, насколько в среднем отклоняется величина результативного признака y при отклонении величины факторного признака x на одну единицу.

Параметр a₀ показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных (не выделенных для исследования) факторов.

Алгоритм выполнения индивидуального задания 2

Парная регрессия характеризует связь между двумя признаками: результативным (y) факторным (x). Аналитически линейная связь между ними описывается уравнением прямой ;

Скопируйте файл «Численность населения» на лист Excel.

Скопируйте данные своего варианта задания 1 (без регионов) в следующий столбец.

Исключите суммарные итоги по федеральным округам и Российской федерации в целом (удалите эти строки).

Вычислите средние значения по обоим факторам.

Организуйте столбцы Yi-Yсред, (Yi-Yсред) 2 , Xi-Xсред, (Xi-Xсред) 2 , (Yi-Yсред)*(Xi-Xсред). Произведите расчеты этих столбцов.

Рассчитайте суммарные значения столбцов

Рассчитайте коэффициент регрессии а₁.

В уравнениях регрессии параметр параметр а₁ — коэффициент регрессии показывает, насколько изменяется в среднем значение результативного признака при изменении факторного на единицу его собственного измерения.

Коэффициент регрессии а₁ рассчитается коэффициент регрессии а₁ по формуле:

Коэффициент регрессии означает, что при увеличении а₁ – оборота розничной торговли на единицу (один миллиард рублей) численность населения увеличится на 0,05 человека, т.е чтобы численность населения увеличилась на 1 человека, оборот розничной торговли должен увеличится в 20 раз.

Рассчитайте свободный член уравнения регрессии а_{0 .}В уравнениях регрессии параметр а₀ показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных (не выделенных для исследования) факторов.

Свободный член а₀ в уравнении регрессии означает, что если оборота розничной торговли не будет вовсе, численность населения составит 1258,18 человек. Если бы свободный член был отрицательным, то это бы означало, что х не может быть равен нулю или близким к нулю.

Рассчитайте тесноту связи между рассматриваемыми факторами по величине коэффициента корреляции.

Величина коэффициента корреляции

Характер тесноты связи

По направлению выделяют связь прямую и обратную. При прямой связи с увеличением или уменьшением значений факторного признака происходит увеличение или уменьшение значений результативного. В случае обратной связи значения результативного признака изменяются в противоположном направлении по сравнению с изменением факторного признака.

Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле

Коэффициент корреляции показывает, что связь между факторами сильная.

Рассчитайте коэффициент детерминации по формуле r_yx 2 =0,8 2 =0,64, который характеризует долю вариации результативного признака Y под воздействием всех изучаемых факторных признаков, то есть долю дисперсии отклонений зависимой переменной от её среднего значения, объясняемую рассматриваемой моделью связи.

Проведите статистическую оценку надежности (значимости) параметров парной регрессии

Для коэффициента парной регрессии а₁ средняя ошибка оценки

где – расчётные значения результативного признака для i-й единицы;

n- 2 — число степеней свободы (теряются 2 степени свободы, поскольку линейная парная регрессия имеет два параметра).

Рассчитывается столбец с расчётными значениями по уравнению регрессии y=а₀+а₁х=1258,18+0,05x.

находится отношение коэффициента к его средней ошибке, т.е. t-критерий Стьюдента:

Табличное значение t-критерия Стьюдента при 16 – 2 степенях свободы и уровне значимости 0,05 составляет 2,14 (функция СТЬЮДРАСПОБР).

Полученное значение критерия намного больше, следовательно, вероятность нулевого значения коэффициента регрессии менее 0,05, то есть Коэффициент регрессии значим.

32. Произведите статистическую оценку надежности (значимости) коэффициента корреляции.

Для проверки существенности связи между группировочным признаком и вариацией исследуемого признака используется F-критерий Фишера.

В нашем примере Fкр=3,96 (функция FРАСПРОБР) при уровне значимости 0,05, степенях свободы v₁ = m-1; v₂ = N-m;

где m – число факторов (при парной корреляции равно 2,

N – число наблюдений,

Поскольку Fрасч >Fкp, коэффициент корреляции значим, наличие связи доказано, т.е. это говорит о наличии связи между факторным и результативным признаками.

Видео:Эконометрика. Линейная парная регрессияСкачать

Электронная библиотека

Линейная зависимость – наиболее часто используемая форма связи между двумя коррелируемыми признаками и выражается при парной корреляции уравнением прямой:

Гипотеза именно о линейной зависимости между х и у выдвигается в том случае, если результативный и факторный признаки возрастают (или убывают) одинаково, примерно в арифметической прогрессии.

Параметры а₀ и а₁ отыскиваются, решив систему нормальных уравнений МНК для линейного уравнения регрессии:

Для решения этой системы применяется способ определителей 2-го порядка:

Параметр а₁, т.е. коэффициент при х в уравнении линейной регрессии, называется коэффициентом регрессии. Он показывает, насколько (в абсолютном выражении) изменяется значение результативного признака у при изменении факторного признака х на единицу.

Рассмотрим расчет параметров уравнения регрессии между стоимостью основных фондов х и валовым выпуском продукции у.

Исходные данные и расчет необходимых сумм показан в табл. 8.1.

Расчетная таблица для определения параметров уравнения регрессии

Основные фонды, млн. р., х

Валовой выпуск продукции, млн. р., у

🔍 Видео

Эконометрика Линейная регрессия и корреляцияСкачать

Эконометрика. Оценка значимости уравнения регрессии. Критерий ФишераСкачать

РегрессияСкачать

Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Уравнение линейной регрессии. Интерпретация стандартной табличкиСкачать

Парная регрессия: линейная зависимостьСкачать

Множественная регрессия в ExcelСкачать

Метод наименьших квадратов. Линейная аппроксимацияСкачать

Что такое линейная регрессия? Душкин объяснитСкачать

Линейная регрессияСкачать

Парная линейная регрессионная модель. Эконометрика. Лабораторная работа №1. ExcelСкачать

Множественная регрессияСкачать

Эконометрика. Построение модели множественной регрессии в Excel. Часть 1.Скачать

Эконометрика. Множественная регрессия и корреляция.Скачать

Метод наименьших квадратов (МНК)Скачать

Регрессия в ExcelСкачать

Линейная регрессия и L1/L2-регуляризацияСкачать

Линейная регрессияСкачать