Параметрическое уравнение плоскости из общего

Одним из подпунктов темы «Уравнение прямой на плоскости» является вопрос составления параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. В статье ниже рассматривается принцип составления подобных уравнений при определенных известных данных. Покажем, как от параметрических уравнений переходить к уравнениям иного вида; разберем решение типовых задач.

Видео:Лекция 25. Виды уравнений плоскости в пространстве.Скачать

Вывод параметрических уравнений прямой на плоскости

Конкретная прямая может быть определена, если задать точку, которая принадлежит этой прямой, и направляющий вектор прямой.

Допустим, нам задана прямоугольная система координат O x y . А также заданы прямая а с указанием лежащей на ней точки М 1 ( x 1 , y 1 ) и направляющий вектор заданной прямой a → = ( a x , a y ) . Дадим описание заданной прямой a , используя уравнения.

Используем произвольную точку М ( x , y ) и получим вектор М 1 М → ; вычислим его координаты по координатам точек начала и конца: M 1 M → = ( x — x 1 , y — y 1 ) . Опишем полученное: прямая задана множеством точек М ( x , y ) , проходит через точку М 1 ( x 1 , y 1 ) и имеет направляющий вектор a → = ( a x , a y ) . Указанное множество задает прямую только тогда, когда векторы M 1 M → = ( x — x 1 , y — y 1 ) и a → = ( a x , a y ) являются коллинеарными.

Существует необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов, которое в данном случае для векторов M 1 M → = ( x — x 1 , y — y 1 ) и a → = ( a x , a y ) возможно записать в виде уравнения:

M 1 M → = λ · a → , где λ – некоторое действительное число.

Уравнение M 1 M → = λ · a → называют векторно-параметрическим уравнением прямой.

В координатной форме оно имеет вид:

M 1 M → = λ · a → ⇔ x — x 1 = λ · a x y — y 1 = λ · a y ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ

Уравнения полученной системы x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ носят название параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. Суть названия в следующем: координаты всех точек прямой возможно определить по параметрическим уравнениям на плоскости вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ при переборе всех действительных значений параметра λ

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Составление параметрических уравнений прямой на плоскости

Согласно вышесказанному, параметрические уравнения прямой на плоскости x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ определяют прямую линию, которая задана в прямоугольной системе координат, проходит через точку М 1 ( x 1 , y 1 ) и имеет направляющий вектор a → = ( a x , a y ) . Следовательно, если заданы координаты некоторой точки прямой и координаты ее направляющего вектора, то возможно сразу записать параметрические уравнения заданной прямой.

Необходимо составить параметрические уравнения прямой на плоскости в прямоугольной системе координат, если заданы принадлежащая ей точка М 1 ( 2 , 3 ) и ее направляющий вектор a → = ( 3 , 1 ) .

Решение

На основе исходных данных получим: x 1 = 2 , y 1 = 3 , a x = 3 , a y = 1 . Параметрические уравнения будут иметь вид:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + 1 · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ

Ответ: x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ

Необходимо отметить: если вектор a → = ( a x , a y ) служит направляющим вектором прямой а, а точки М 1 ( x 1 , y 1 ) и М 2 ( x 2 , y 2 ) принадлежат этой прямой, то ее возможно определить, задав параметрическими уравнениями вида: x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , а также и таким вариантом: x = x 2 + a x · λ y = y 2 + a y · λ .

К примеру, нам заданы направляющий вектор прямой a → = ( 2 , — 1 ) , а также точки М 1 ( 1 , — 2 ) и М 2 ( 3 , — 3 ) , принадлежащие этой прямой. Тогда прямую определяют параметрические уравнения: x = 1 + 2 · λ y = — 2 — λ или x = 3 + 2 · λ y = — 3 — λ .

Следует обратить внимание и на такой факт: если a → = ( a x , a y ) — направляющий вектор прямой a , то ее направляющим вектором будет и любой из векторов μ · a → = ( μ · a x , μ · a y ) , где μ ϵ R , μ ≠ 0 .

Таким образом, прямая а на плоскости в прямоугольной системе координат может быть определена параметрическими уравнениями: x = x 1 + μ · a x · λ y = y 1 + μ · a y · λ при любом значении μ , отличном от нуля.

Допустим, прямая а задана параметрическими уравнениями x = 3 + 2 · λ y = — 2 — 5 · λ . Тогда a → = ( 2 , — 5 ) — направляющий вектор этой прямой. А также любой из векторов μ · a → = ( μ · 2 , μ · — 5 ) = 2 μ , — 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 станет направляющим вектором для заданной прямой. Для наглядности рассмотрим конкретный вектор — 2 · a → = ( — 4 , 10 ) , ему соответствует значение μ = — 2 . В таком случае заданную прямую можно также определить параметрическими уравнениями x = 3 — 4 · λ y = — 2 + 10 · λ .

Видео:Написать канонические и параметрические уравнения прямой в пространствеСкачать

Переход от параметрических уравнений прямой на плоскости к прочим уравнениям заданной прямой и обратно

В решении некоторых задач применение параметрических уравнений является не самым оптимальным вариантом, тогда возникает необходимость перевода параметрических уравнений прямой в уравнения прямой другого вида. Рассмотрим, как же это сделать.

Параметрическим уравнениям прямой вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ будет соответствовать каноническое уравнение прямой на плоскости x — x 1 a x = y — y 1 a y .

Разрешим каждое из параметрических уравнений относительно параметра λ , приравняем правые части полученных равенств и получим каноническое уравнение заданной прямой:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x — x 1 a x λ = y — y 1 a y ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y

При этом не должно смущать, если a x или a y будут равны нулю.

Необходимо осуществить переход от параметрических уравнений прямой x = 3 y = — 2 — 4 · λ к каноническому уравнению.

Решение

Запишем заданные параметрические уравнения в следующем виде: x = 3 + 0 · λ y = — 2 — 4 · λ

Выразим параметр λ в каждом из уравнений: x = 3 + 0 · λ y = — 2 — 4 · λ ⇔ λ = x — 3 0 λ = y + 2 — 4

Приравняем правые части системы уравнений и получим требуемое каноническое уравнение прямой на плоскости:

x — 3 0 = y + 2 — 4

Ответ: x — 3 0 = y + 2 — 4

В случае, когда необходимо записать уравнение прямой вида A x + B y + C = 0 , при этом заданы параметрические уравнения прямой на плоскости, необходимо сначала осуществить переход к каноническому уравнению, а затем к общему уравнению прямой. Запишем всю последовательность действий:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x — x 1 a x λ = y — y 1 a y ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ ⇔ a y · ( x — x 1 ) = a x · ( y — y 1 ) ⇔ A x + B y + C = 0

Необходимо записать общее уравнение прямой, если заданы определяющие ее параметрические уравнения: x = — 1 + 2 · λ y = — 3 · λ

Решение

Для начала осуществим переход к каноническому уравнению:

x = — 1 + 2 · λ y = — 3 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y — 3 ⇔ x + 1 2 = y — 3

Полученная пропорция идентична равенству — 3 · ( x + 1 ) = 2 · y . Раскроем скобки и получим общее уравнение прямой: — 3 · x + 1 = 2 · y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .

Ответ: 3 x + 2 y + 3 = 0

Следуя вышеуказанной логике действий, для получения уравнения прямой с угловым коэффициентом, уравнения прямой в отрезках или нормального уравнения прямой необходимо получить общее уравнение прямой, а от него осуществлять дальнейший переход.

Теперь рассмотрим обратное действие: запись параметрических уравнений прямой при другом заданном виде уравнений этой прямой.

Самый простой переход: от канонического уравнения к параметрическим. Пусть задано каноническое уравнение вида: x — x 1 a x = y — y 1 a y . Каждое из отношений этого равенства примем равным параметру λ :

x — x 1 a x = y — y 1 a y = λ ⇔ λ = x — x 1 a x λ = y — y 1 a y

Разрешим полученные уравнения относительно переменных x и y :

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ

Необходимо записать параметрические уравнения прямой, если известно каноническое уравнение прямой на плоскости: x — 2 5 = y — 2 2

Решение

Приравняем части известного уравнения к параметру λ : x — 2 5 = y — 2 2 = λ . Из полученного равенства получим параметрические уравнения прямой: x — 2 5 = y — 2 2 = λ ⇔ λ = x — 2 5 λ = y — 2 5 ⇔ x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2 · λ

Ответ: x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2 · λ

Когда необходимо осуществить переход к параметрическим уравнениям от заданного общего уравнения прямой, уравнения прямой с угловым коэффициентом или уравнения прямой в отрезках, необходимо исходное уравнение привести к каноническому, а после осуществлять переход к параметрическим уравнениям.

Необходимо записать параметрические уравнения прямой при известном общем уравнении этой прямой: 4 x — 3 y — 3 = 0 .

Решение

Заданное общее уравнение преобразуем в уравнение канонического вида:

4 x — 3 y — 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Приравняем обе части равенства к параметру λ и получим требуемые параметрические уравнения прямой:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 · λ y = — 1 3 + 4 · λ

Ответ: x = 3 · λ y = — 1 3 + 4 · λ

Видео:Уравнение плоскости. 11 класс.Скачать

Примеры и задачи с параметрическими уравнениями прямой на плоскости

Рассмотрим чаще всего встречаемые типы задач с использованием параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат.

1. В задачах первого типа заданы координаты точек, принадлежащих или нет прямой, описанной параметрическими уравнениями.

Решение таких задач опирается на следующий факт: числа ( x , y ) , определяемые из параметрических уравнений x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ при некотором действительном значении λ , являются координатами точки, принадлежащей прямой, которая описывается этими параметрическими уравнениями.

Необходимо определить координаты точки, которая лежит на прямой, заданной параметрическими уравнениями x = 2 — 1 6 · λ y = — 1 + 2 · λ при λ = 3 .

Решение

Подставим в заданные параметрические уравнения известное значение λ = 3 и осуществим вычисление искомых координат: x = 2 — 1 6 · 3 y = — 1 + 2 · 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Ответ: 1 1 2 , 5

Также возможна следующая задача: пусть задана некоторая точка M 0 ( x 0 , y 0 ) на плоскости в прямоугольной системе координат и нужно определить, принадлежит ли эта точка прямой, описываемой параметрическими уравнениями x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ .

Чтобы решить подобную задачу, необходимо подставить координаты заданной точки в известные параметрические уравнения прямой. Если будет определено, что возможно такое значение параметра λ = λ 0 , при котором будут верными оба параметрических уравнения, тогда заданная точка является принадлежащей заданной прямой.

Заданы точки М 0 ( 4 , — 2 ) и N 0 ( — 2 , 1 ) . Необходимо определить, являются ли они принадлежащими прямой, определенной параметрическими уравнениями x = 2 · λ y = — 1 — 1 2 · λ .

Решение

Подставим координаты точки М 0 ( 4 , — 2 ) в заданные параметрические уравнения:

4 = 2 · λ — 2 = — 1 — 1 2 · λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Делаем вывод, что точка М 0 принадлежит заданной прямой, т.к. соответствует значению λ = 2 .

Далее по аналогии проверим заданную точку N 0 ( — 2 , 1 ) , подставив ее координаты в заданные параметрические уравнения:

— 2 = 2 · λ 1 = — 1 — 1 2 · λ ⇔ λ = — 1 λ = — 4

Очевидно, что не существует такого параметра λ , которому будет соответствовать точка N 0 . Другими словами, заданная прямая не проходит через точку N 0 ( — 2 , 1 ) .

Ответ: точка М 0 принадлежит заданной прямой; точка N 0 не принадлежит заданной прямой.

1. В задачах второго типа требуется составить параметрические уравнения прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. Самый простой пример такой задачи (при известных координатах точки прямой и направляющего вектора) был рассмотрен выше. Теперь разберем примеры, в которых сначала нужно найти координаты направляющего вектора, а потом записать параметрические уравнения.

Пример 8

Задана точка M 1 1 2 , 2 3 . Необходимо составить параметрические уравнения прямой, проходящей через эту точку и параллельной прямой x 2 = y — 3 — 1 .

Решение

По условию задачи прямая, уравнение которой нам предстоит опередить, параллельна прямой x 2 = y — 3 — 1 . Тогда в качестве направляющего вектора прямой, проходящей через заданную точку, возможно использовать направляющий вектор прямой x 2 = y — 3 — 1 , который запишем в виде: a → = ( 2 , — 1 ) . Теперь известны все необходимые данные для того, чтобы составить искомые параметрические уравнения:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 1 2 + 2 · λ y = 2 3 + ( — 1 ) · λ ⇔ x = 1 2 + x · λ y = 2 3 — λ

Ответ: x = 1 2 + x · λ y = 2 3 — λ .

Задана точка М 1 ( 0 , — 7 ) . Необходимо записать параметрические уравнения прямой, проходящей через эту точку перпендикулярно прямой 3 x – 2 y – 5 = 0 .

Решение

В качестве направляющего вектора прямой, уравнение которой надо составить, возможно взять нормальный вектор прямой 3 x – 2 y – 5 = 0 . Его координаты ( 3 , — 2 ) . Запишем требуемые параметрические уравнения прямой:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 0 + 3 · λ y = — 7 + ( — 2 ) · λ ⇔ x = 3 · λ y = — 7 — 2 · λ

Ответ: x = 3 · λ y = — 7 — 2 · λ

1. В задачах третьего типа требуется осуществить переход от параметрических уравнений заданной прямой к прочим видам уравнений, которые ее определяют. Решение подобных примеров мы рассматривали выше, приведем еще один.

Пример 10

Дана прямая на плоскости в прямоугольной системе координат, определяемая параметрическими уравнениями x = 1 — 3 4 · λ y = — 1 + λ . Необходимо найти координаты какого-либо нормального вектора этой прямой.

Решение

Чтобы определить искомые координаты нормального вектора, осуществим переход от параметрических уравнений к общему уравнению:

x = 1 — 3 4 · λ y = — 1 + λ ⇔ λ = x — 1 — 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x — 1 — 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 · x — 1 = — 3 4 · y + 1 ⇔ x + 3 4 y — 1 4 = 0

Коэффициенты переменных x и y дают нам требуемые координаты нормального вектора. Таким образом, нормальный вектор прямой x = 1 — 3 4 · λ y = — 1 + λ имеет координаты 1 , 3 4 .

Видео:11. Прямая в пространстве и ее уравненияСкачать

Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам

Напомним, что три или более векторов называются компланарными , если существует плоскость, которой они параллельны. Эту плоскость будем называть компланарной заданным векторам .

Направляющими векторами плоскости называются два неколлинеарных вектора, компланарных этой плоскости, т.е. принадлежащих плоскости или параллельных ей.

Пусть в координатном пространстве заданы:

б) два неколлинеарных вектора (рис.4.15).

Требуется составить уравнение плоскости, компланарной векторам и проходящей через точку

Выберем на плоскости произвольную точку . Обозначим — радиус-векторы точек и (рис.4.16).

Условие компланарности векторов (рис.4.16) можно записать, используя свойства смешанного произведения Применяя формулу (1.17), получаем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и компланарной двум неколлинеарным векторам:

Видео:3. Частные случаи общего уравнения плоскости Неполные уравнения плоскостиСкачать

Параметрическое уравнение плоскости

Пусть в координатном пространстве заданы:

б) два неколлинеарных вектора (рис.4.15).

Требуется составить параметрическое уравнение вида (4.10) плоскости, компланарной векторам и проходящей через точку

Выберем на плоскости произвольную точку . Обозначим -радиус-векторы точек и (рис.4.16).

Точка принадлежит заданной плоскости тогда и только тогда, когда векторы и компланарны (см. разд. 1.3.2). Запишем условие компланарности: где — некоторые действительные числа (параметры). Учитывая, что получим векторное параметрическое уравнение плоскости :

где — направляющие векторы плоскости, а — радиус-вектор точки, принадлежащей плоскости.

Координатная форма записи уравнения (4.19) называется параметрическим уравнением плоскости:

где и — координаты направляющих векторов и соответственно. Параметры в уравнениях (4.19),(4.20) имеют следующий геометрический смысл: величины пропорциональны расстоянию от заданной точки до точки принадлежащей плоскости. При точка совпадает с заданной точкой . При возрастании (или ) точка перемещается в направлении вектора (или ), а при убывании (или ) — в противоположном направлении.

1. Поскольку направляющие векторы плоскости неколлинеарны, то они ненулевые.

2. Любой вектор , коллинеарный плоскости, ортогонален нормальному вектору для этой плоскости. Поэтому их скалярное произведение равно нулю:

Следовательно, координаты и направляющих векторов и плоскости и ее нормали связаны однородными уравнениями:

3. Направляющие векторы плоскости определяются неоднозначно.

4. Для перехода от общего уравнения плоскости (4.15) к параметрическому (4.20) нужно выполнить следующие действия:

1) найти любое решение уравнения определяя тем самым координаты точки принадлежащей плоскости;

2) найти любые два линейно независимых решения однородного уравнения определяя тем самым координаты решения и направляющих векторов и плоскости;

3) записать параметрическое уравнение (4.20).

5. Чтобы перейти от параметрического уравнения плоскости к общему , достаточно либо записать уравнение (4.18) и раскрыть определитель, либо найти нормаль как результат векторного произведения направляющих векторов:

и записать общее уравнение плоскости в форме (4.14):

6. Векторное параметрическое уравнение плоскости (4.19), полученное в прямоугольной системе координат, имеет тот же вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнении остается прежним.

Пример 4.8. В координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) заданы точки и (см. рис.4.11). Требуется:

а) составить параметрическое уравнение плоскости, перпендикулярной отрезку и проходящей через его середину;

б) составить общее уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка и компланарной радиус-векторам и

Решение. а) Общее уравнение искомой плоскости было получено в примере 4.5: Составим параметрическое уравнение:

1) находим любое решение уравнения , например, следовательно, точка принадлежит плоскости;

2) находим два линейно независимых (непропорциональных) решения однородного уравнения например и следовательно, векторы являются направляющими для плоскости;

3) записываем параметрическое уравнение плоскости (4.20):

б) Координаты середины отрезка были найдены в примере 4.5. Нормаль к искомой плоскости получим как векторное произведение ее направляющих векторов и

Составляем уравнение (4.14):

Тот же результат можно получить, записывая уравнение (4.18):

Видео:4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примерыСкачать

Уравнения прямых и плоскостей

Видео:1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать

Поверхности и линии первого порядка.

Уравнение первой степени, или линейное уравнение, связывающее координаты точки в пространстве, имеет вид
$$
Ax+By+Cz+D = 0,label
$$
причем предполагается, что коэффициенты при переменных не равны нулю одновременно, то есть (A^+B^+C^ neq 0). Аналогично, линейное уравнение, связывающее координаты точки на плоскости, — это уравнение
$$
Ax+By+C = 0,label
$$
при условии (A^+B^ neq 0).

В школьном курсе доказывается, что в декартовой прямоугольной системе координат уравнения eqref и eqref определяют соответственно плоскость и прямую линию на плоскости. Из теорем о порядке алгебраических линий и поверхностей следует, что то же самое верно и в общей декартовой системе координат. Точнее, имеют место следующие теоремы.

В общей декартовой системе координат в пространстве каждая плоскость может быть задана линейным уравнением
$$
Ax+By+Cz+D = 0.nonumber
$$
Обратно, каждое линейное уравнение в общей декартовой системе координат определяет плоскость.

В общей декартовой системе координат на плоскости каждая прямая может быть задана линейным уравнением
$$
Ax+By+C = 0,nonumber
$$
Обратно, каждое линейное уравнение в общей декартовой системе координат на плоскости определяет прямую.

Эти теоремы полностью решают вопрос об уравнениях плоскости и прямой линии на плоскости. Однако ввиду важности этих уравнений мы рассмотрим их в других формах. При этом будут получены независимые доказательства теорем этого пункта.

Видео:Видеоурок "Параметрические уравнения прямой"Скачать

Параметрические уравнения прямой и плоскости.

Мы будем предполагать, что задана декартова система координат в пространстве (или на плоскости, если мы изучаем прямую в планиметрии). Это, в частности, означает, что каждой точке сопоставлен ее радиус-вектор относительно начала координат.

Рис. 6.1

Вектор (overrightarrow<M_M> = boldsymbol-boldsymbol_), начало которого лежит на прямой, параллелен прямой тогда и только тогда, когда (M) также лежит на прямой. В этом и только этом случае для точки (M) найдется такое число (t), что
$$
boldsymbol-boldsymbol_ = tboldsymbol.label
$$

Наоборот, какое бы число мы ни подставили в формулу eqref в качестве (t), вектор (boldsymbol) в этой формуле определит некоторую точку на прямой.

Уравнение eqref называется векторным параметрическим уравнением прямой, а переменная величина (t), принимающая любые вещественные значения, называется параметром.

Векторное параметрическое уравнение выглядит одинаково и в планиметрии, и в стереометрии, но при разложении по базису оно сводится к двум или трем скалярным уравнениям, смотря по тому, сколько векторов составляют базис.

Получим теперь параметрические уравнения плоскости. Обозначим через (boldsymbol

) и (boldsymbol) ее направляющие векторы, а через (boldsymbol_) — радиус-вектор ее начальной точки (M_). Пусть точка (M) с радиус-вектором (boldsymbol) — произвольная точка пространства (рис. 6.2).

Рис. 6.2

Вектор (overrightarrow<M_M> = boldsymbol-boldsymbol_), начало которого лежит на плоскости, параллелен ей тогда и только тогда, когда его конец (M) также лежит на плоскости. Так как (boldsymbol

) и (boldsymbol) не коллинеарны, в этом и только этом случае (boldsymbol-boldsymbol_) может быть по ним разложен. Поэтому, если точка (M) лежит в плоскости (и только в этом случае), найдутся такие числа (t_) и (t_), что
$$
boldsymbol-boldsymbol_ = t_boldsymbol

+t_boldsymbol.label
$$

Это уравнение называется параметрическим уравнением плоскости. Каждой точке плоскости оно сопоставляет значения двух параметров (t_) и (t_). Наоборот, какие бы числа мы ни подставили как значения (t_) и (t_), уравнение eqref определит некоторую точку плоскости.

Пусть ((x, y, z)) и ((x_, y_, z_)) — координаты точек (M) и (M_) соответственно, а векторы (boldsymbol

) и (boldsymbol) имеют компоненты ((p_, p_, p_)) и ((q_, q_, q_)). Тогда, раскладывая по базису обе части уравнения eqref, мы получим параметрические уравнения плоскости
$$
x-x_ = t_p_+t_q_, y-y_ = t_p_+t_q_, z-z_ = t_p_+t_q_.label
$$

Отметим, что начальная точка и направляющий вектор прямой образуют на ней ее внутреннюю декартову систему координат. Значение параметра (t), соответствующее какой-то точке, является координатой этой точки во внутренней системе координат. Точно так же на плоскости начальная точка и направляющие векторы составляют внутреннюю систему координат, а значения параметров, соответствующие точке, — это ее координаты в этой системе.

Видео:Видеоурок "Уравнение плоскости в отрезках"Скачать

Прямая линия на плоскости.

Поэтому мы можем сформулировать следующее утверждение.

В любой декартовой системе координат на плоскости уравнение прямой с начальной точкой (M_(x_, y_)) и направляющим вектором (boldsymbol(a_, a_)) может быть записано в виде eqref.

Уравнение eqref линейное. Действительно, после преобразования оно принимает вид (a_x-a_y+(a_y_-a_x_) = 0), то есть (Ax+By+C = 0), где (A = a_), (B = -a_) и (C = a_y_-a_x_).

Вектор с координатами ((-B, A)) можно принять за направляющий вектор прямой с уравнением eqref в общей декартовой системе координат, а точку eqref за начальную точку.

Если система координат декартова прямоугольная, то вектор (boldsymbol(A, B)) перпендикулярен прямой с уравнением eqref.

Действительно, в этом случае ((boldsymbol, boldsymbol) = -BA+AB = 0).

Пусть в уравнении прямой (Ax+By+C = 0) коэффициент (B) отличен от нуля. Это означает, что отлична от нуля первая компонента направляющего вектора, и прямая не параллельна оси ординат. В этом случае уравнение прямой можно представить в виде
$$
y = kx+b,label
$$
где (k = -A/B), а (b = -C/B). Мы видим, что к равно отношению компонент направляющего вектора: (k = a_/a_) (рис. 6.3).

Рис. 6.3. k=-1. Прямая y=-x+1/2

Отношение компонент направляющего вектора (a_/a_) называется угловым коэффициентом прямой.

Угловой коэффициент прямой в декартовой прямоугольной системе координат равен тангенсу угла, который прямая образует с осью абсцисс. Угол этот отсчитывается от оси абсцисс в направлении кратчайшего поворота от (boldsymbol_) к (boldsymbol_) (рис. 6.4).

Рис. 6.4. (k=operatornamevarphi = -1). Прямая (y=-x+1/2)

Положив (x = 0) в уравнении eqref, получаем (y = b). Это означает, что свободный член уравнения (b) является ординатой точки пересечения прямой с осью ординат.

Если же в уравнении прямой (B = 0) и ее уравнение нельзя представить в виде eqref, то обязательно (A neq 0). В этом случае прямая параллельна оси ординат и ее уравнению можно придать вид (x = x_), где (x_ = -C/A) — абсцисса точки пересечения прямой с осью абсцисс.

Видео:Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать

Векторные уравнения плоскости и прямой.

Параметрическое уравнение плоскости утверждает, что точка (M) лежит на плоскости тогда и только тогда, когда разность ее радиус-вектора и радиус-вектора начальной точки (M_) компланарна направляющим векторам (boldsymbol

) и (boldsymbol). Эту компланарность можно выразить и равенством
$$
(boldsymbol-boldsymbol_, boldsymbol

, boldsymbol) = 0.label
$$
Вектор (boldsymbol = [boldsymbol

, boldsymbol]) — ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости. Используя его, мы можем записать уравнение eqref в виде
$$
(boldsymbol-boldsymbol_, boldsymbol) = 0.label
$$

Уравнения eqref и eqref называют векторными уравнениями плоскости. Им можно придать форму, в которую не входит радиус-вектор начальной точки. Например, положив в eqref (D = -(boldsymbol_, boldsymbol)), получим
$$
(boldsymbol, boldsymbol)+D = 0.label
$$

Для прямой на плоскости можно также написать векторные уравнения, аналогичные eqref и eqref,
$$
(boldsymbol-boldsymbol_, boldsymbol) = 0 mbox (boldsymbol, boldsymbol)+C = 0.nonumber
$$
Первое из них выражает тот факт, что вектор (boldsymbol-boldsymbol_) перпендикулярен ненулевому вектору (boldsymbol), перпендикулярному направляющему вектору (boldsymbol), и потому коллинеарен (boldsymbol).

Пусть (x, y, z) — компоненты вектора (boldsymbol) в общей декартовой системе координат. Тогда скалярное произведение ((boldsymbol-boldsymbol_, boldsymbol)) при (boldsymbol neq 0) записывается линейным многочленом (Ax+By+Cz+D), где ((A^+B^+C^ neq 0)).

Обратно, для любого линейного многочлена найдутся такие векторы (boldsymbol_) и (boldsymbol neq 0), что в заданной общей декартовой системе координат (Ax+By+Cz+D = (boldsymbol-boldsymbol_, boldsymbol)).

Первая часть предложения очевидна: подставим разложение вектора (boldsymbol) по базису в данное скалярное произведение:
$$
(xboldsymbol_+yboldsymbol_+zboldsymbol_-boldsymbol_, boldsymbol),nonumber
$$
раскроем скобки и получим многочлен (Ax+By+Cz+D), в котором (D = -(boldsymbol_, boldsymbol)) и
$$
A = (boldsymbol_, boldsymbol), B = (boldsymbol_, boldsymbol), C = (boldsymbol_, boldsymbol)label
$$
(A), (B) и (C) одновременно не равны нулю, так как ненулевой вектор (boldsymbol) не может быть ортогонален всем векторам базиса.

Для доказательства обратного утверждения найдем сначала вектор (boldsymbol) из равенств eqref, считая (A), (B) и (C) заданными. Из ранее доказанного утверждения 10 следует, что
$$
boldsymbol = frac<A[boldsymbol_, boldsymbol_]><(boldsymbol_, boldsymbol_, boldsymbol_)>+frac<B[boldsymbol_, boldsymbol_]><(boldsymbol_, boldsymbol_, boldsymbol_)>+frac<C[boldsymbol_, boldsymbol_]><(boldsymbol_, boldsymbol_, boldsymbol_)>.label
$$

Вектор (boldsymbol_) должен удовлетворять условию (D = -(boldsymbol_, boldsymbol)). Один из таких векторов можно найти в виде (boldsymbol_ = lambda boldsymbol). Подставляя, видим, что (-lambda(boldsymbol, boldsymbol) = D), откуда (boldsymbol_ = -Dboldsymbol/|boldsymbol|^).

Итак, мы нашли векторы (boldsymbol) и (boldsymbol_) такие, что линейный многочлен записывается в виде
$$
x(boldsymbol_, boldsymbol)+y(boldsymbol_, boldsymbol)+z(boldsymbol_, boldsymbol)-(boldsymbol_, boldsymbol),nonumber
$$
который совпадает с требуемым ((boldsymbol-boldsymbol_, boldsymbol)).

Если система координат декартова прямоугольная, то вектор с компонентами (A), (B), (C) является нормальным вектором для плоскости с уравнением (Ax+By+Cz+D = 0).

Это сразу вытекает из формул eqref и доказанного ранее утверждения о нахождении компонент в ортогональном базисе.

Любые два неколлинеарных вектора, удовлетворяющие уравнению eqref, можно принять за направляющие векторы плоскости.

Утверждение 5 нетрудно доказать и непосредственно, рассматривая координаты вектора, параллельного плоскости, как разности соответствующих координат двух точек, лежащих в плоскости.

Все, сказанное о плоскостях, почти без изменений может быть сказано и о прямых на плоскости. В частности, верно следующее утверждение.

Действительно, (alpha_, alpha_), должны быть пропорциональны компонентам — (B), (A) направляющего вектора прямой.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Параллельность плоскостей и прямых на плоскости.

Ниже, говоря о параллельных прямых или плоскостях, мы будем считать, что параллельные плоскости (или прямые) не обязательно различны, то есть что плоскость (прямая) параллельна самой себе.

Прямые линии, задаваемые в общей декартовой системе координат уравнениями
$$
Ax+By+C = 0, A_x+B_y+C_ = 0,nonumber
$$
параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны, то есть существует такое число (lambda), что
$$
A_ = lambda A, B_ = lambda B.label
$$

Прямые совпадают в том и только том случае, когда их уравнения пропорциональны, то есть помимо уравнения eqref выполнено (с тем же (lambda)) равенство
$$
C_ = lambda C.label
$$

Первая часть предложения прямо следует из того, что векторы с компонентами ((-B, A)) и ((-B_, A_)) — направляющие векторы прямых.

Докажем вторую часть. В равенствах eqref и eqref (lambda neq 0), так как коэффициенты в уравнении прямой одновременно нулю не равны. Поэтому, если эти равенства выполнены, уравнения эквивалентны и определяют одну и ту же прямую.

Обратно, пусть прямые параллельны. В силу первой части предложения их уравнения должны иметь вид (Ax+By+C = 0) и (lambda(Ax+By)+C_ = 0) при некотором (lambda). Если, кроме того, существует общая точка (M_(x_, y_)) обеих прямых, то (Ax_+By_+C = 0) и (lambda(Ax_+By_)+C_ = 0). Вычитая одно равенство из другого, получаем (C_ = lambda C), как и требовалось.

Плоскости, задаваемые в общей декартовой системе координат уравнениями
$$
Ax+By+Cz+D = 0, A_x+B_y+C_z+D_ = 0nonumber
$$
параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны, то есть существует такое число (lambda), что
$$
A_ = lambda A, B_ = lambda B, C_ = lambda C.label
$$

Плоскости совпадают в том и только том случае, когда их уравнения пропорциональны, то есть помимо уравнений eqref выполнено (с тем же (lambda)) равенство
$$
D_ = lambda D.label
$$

Если плоскости параллельны, то их нормальные векторы (boldsymbol) и (boldsymbol_) коллинеарны, и существует такое число (lambda), что (boldsymbol_ = lambdaboldsymbol). В силу уравнений eqref (A_ = (boldsymbol_, boldsymbol_) = lambda(boldsymbol_, boldsymbol) = lambda A). Аналогично доказываются и остальные равенства eqref. Обратно, если равенства eqref выполнены, то из формулы eqref следует, что (boldsymbol_ = lambdaboldsymbol). Это доказывает первую часть предложения. Вторая его часть доказывается так же, как вторая часть предложения 7.

Условия eqref выражают не что иное, как коллинеарность векторов с компонентами ((A, B)) и ((A_, B_)). Точно так же условия eqref означают коллинеарность векторов с компонентами ((A, B, C)) и ((A_, B_, C_)). Поэтому согласно ранее доказанным этому и этому утверждениям условие параллельности прямых на плоскости можно записать в виде
$$
begin
A& B\
A_& B_
end
= 0,label
$$
а условие параллельности плоскостей — в виде
$$
begin
B& C\
B_& C_
end =
begin
C& A\
C_& A_
end =
begin
A& B\
A_& B_
end
= 0.label
$$

Утверждению 7 можно придать чисто алгебраическую формулировку, если учесть, что координаты точки пересечения прямых — это решение системы, составленной из их уравнений.

При условии eqref система линейных уравнений
$$
Ax+By+C = 0, A_x+B_y+C_ = 0,nonumber
$$
не имеет решений или имеет бесконечно много решений (в зависимости от (C) и (C_). В последнем случае система равносильна одному из составляющих ее уравнений. Если же
$$
begin
A& B\
A_& B_
end
neq 0.nonumber
$$
то при любых (C) и (C_) система имеет единственное решение ((x, y)).

Видео:5. Нормальное уравнение плоскости выводСкачать

Уравнения прямой в пространстве.

Прямая линия в пространстве может быть задана как пересечение двух плоскостей и, следовательно, в общей декартовой системе координат определяется системой уравнений вида
$$
left<begin
Ax+By+Cz+D = 0,\
A_x+B_y+C_z+D_ = 0.
endright.label
$$
Пересечение плоскостей — прямая линия тогда и только тогда, когда они не параллельны, что согласно eqref означает, что хоть один из детерминантов отличен от нуля:
$$
begin
B& C\
B_& C_
end^ +
begin
C& A\
C_& A_
end^ +
begin
A& B\
A_& B_
end^
neq 0.label
$$

Разумеется, систему eqref можно заменить на любую, ей эквивалентную. При этом прямая будет представлена как пересечение двух других проходящих через нее плоскостей.

Вспомним параметрические уравнения прямой eqref. Допустим, что в них ни одна из компонент направляющего вектора не равна нулю. Тогда
$$
t = frac<x-x_><alpha_>, t = frac<y-y_><alpha_>, t = frac<z-z_><alpha_>,nonumber
$$
и мы получаем два равенства
$$
frac<y-y_><alpha_> = frac<z-z_><alpha_>, frac<x-x_><alpha_> = frac<z-z_><alpha_>,label
$$
или, в более симметричном виде,
$$
frac<x-x_><alpha_> = frac<y-y_><alpha_> = frac<z-z_><alpha_>,label
$$
Уравнения eqref представляют прямую как линию пересечения двух плоскостей, первая из которых параллельна оси абсцисс (в ее уравнение не входит переменная (x)), а вторая параллельна оси ординат.

Если обращается в нуль одна из компонент направляющего вектора, например, (alpha_), то уравнения прямой принимают вид
$$
x = x_, frac<y-y_><alpha_> = frac<z-z_><alpha_>,label
$$
Эта прямая лежит в плоскости (x = x_) и, следовательно, параллельна плоскости (x = 0). Аналогично пишутся уравнения прямой, если в нуль обращается не (alpha_), а другая компонента.

Когда равны нулю две компоненты направляющего вектора, например, (alpha_) и (alpha_), то прямая имеет уравнения
$$
x = x_, y = y_.label
$$
Такая прямая параллельна одной из осей координат, в нашем случае — оси аппликат.

Важно уметь находить начальную точку и направляющий вектор прямой, заданной системой линейных уравнений eqref. По условию eqref один из детерминантов отличен от нуля. Допустим для определенности, что (AB_-A_B neq 0). В силу утверждения 9 при любом фиксированном (z) система уравнений будет иметь единственное решение ((x, y)), в котором (x) и (y), разумеется, зависят от (z). Они — линейные многочлены от (z): (x = alpha_z+beta_), (y = alpha_z+beta_).

Не будем доказывать этого, хотя это и не трудно сделать. Для ясности, заменяя (z) на (t), получаем параметрические уравнения прямой
$$
x = alpha_t+beta_, y = alpha_t+beta_, z = t.nonumber
$$

Первые две координаты начальной точки прямой (M_(beta_, beta_, 0)) можно получить, решая систему eqref при значении (z = 0).

Из параметрических уравнений видно, что в этом случае направляющий вектор имеет координаты ((alpha_, alpha_, 1)). Найдем его компоненты в общем виде. Если система координат декартова прямоугольная, векторы с компонентами ((A, B, C)) и (A_, B_, C_) перпендикулярны соответствующим плоскостям, а потому их векторное произведение параллельно прямой eqref, по которой плоскости пересекаются. Вычисляя векторное произведение в ортонормированном базисе, мы получаем компоненты направляющего вектора
$$
begin
B& C\
B_& C_
end,
begin
C& A\
C_& A_
end,
begin
A& B\
A_& B_
end.label
$$

Вектор с компонентами eqref есть направляющий вектор прямой с уравнениями eqref, какова бы ни была декартова система координат.

Согласно утверждению 5 каждый ненулевой вектор, компоненты которого ((alpha_, alpha_, alpha_)) удовлетворяют уравнению (Aalpha_+Balpha_+Calpha_ = 0), параллелен плоскости с уравнением (Ax+By+Cz+D = 0). Если, кроме того, он удовлетворяет уравнению (A_alpha_+B_alpha_+C_alpha_ = 0), то он параллелен и второй плоскости, то есть может быть принят за направляющий вектор прямой. Вектор с компонентами eqref ненулевой в силу неравенства eqref. Непосредственно легко проверить, что его компоненты удовлетворяют обоим написанным выше условиям. На этом доказательство заканчивается.

📺 Видео

Видеоурок "Уравнение плоскости по трем точкам"Скачать

13. Общие уравнения прямой в пространстве / приведение к каноническому видуСкачать

Лекция 23. Виды уравнений прямой на плоскости.Скачать

3 серия "Параметрическое уравнение плоскости" из курса видеолекций "Метод координат"Скачать

Видеоурок "Общее уравнение плоскости"Скачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать