Парабола ее виды и уравнения

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:ЭЛЕМЕНТАРНО, ВАТСОН! Квадратичная Функция и ее график ПараболаСкачать

Основные понятия

Функция — это зависимость «y» от «x», при которой «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию означает определить правило в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

• Табличный способ. Помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
• Графический способ: наглядно.

• Аналитический способ, через формулы. Компактно и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
• Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить в функцию произвольные значения и найти координаты этих точек.

Еще быстрее разобраться в теме и научиться строить график квадратичной функции можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Видео:Всё о квадратичной функции. Парабола | Математика TutorOnlineСкачать

Построение квадратичной функции

Квадратичная функция задается формулой y = ax 2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. В уравнении существует следующее распределение:

График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x 2 :

Точки, обозначенные зелеными кружками называют базовыми точками. Чтобы найти их координаты для функции y = x 2 , нужно составить таблицу:

x

y

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x 2 при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции y = –x 2 выглядит, как перевернутая парабола:

Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:

x

y

Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:

• Если старший коэффициент больше нуля a > 0, то ветви параболы напрaвлены вверх.
• Если старший коэффициент меньше нуля a 2 + bx + c, для построения которой нужно решить квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. В процессе найдем дискриминант D = b 2 — 4ac, который даст нам информацию о количестве корней квадратного уравнения.

Рассмотрим три случая:

1. Если D 0,то график выглядит так:

1. Если D = 0, то уравнение имеет одно решение, а парабола пересекает ось ОХ в одной точке. Если a > 0, то график имеет такой вид:
2. Если D > 0, то уравнение имеет два решения, а парабола пересекает ось ОХ в двух точках, которые можно найти следующим образом:

Если a > 0, то график выглядит как-то так:

0″ height=»671″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/8ryBuyxmK9S2EbnsNc4AE5PEl_NpIg0RAM_Y_V8wUP-zREEHNgi9QoQTl8FXxoujjWRAvf3s-MPRsXsoepaLLSTHDX-ReGtrsnLQp4dW3WaEyPF2ywjVpYFXlDIpAEHoIiwlxiB7″ width=»602″>

На основе вышеизложенного ясно, что зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, у нас есть понимание, как будет выглядеть график конкретной функции.

Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:

Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.

Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:

Видео:Функция у=х² и у=х³ и их графики. Алгебра, 7 классСкачать

Алгоритм построения параболы

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.

Видео:ТЕПЕРЬ ТЫ ЛЕГКО ПОЙМЕШЬ свойства квадратичной функции — ПараболаСкачать

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax 2 + bx + c.

Разберем общий алгоритм на примере y = 2x 2 + 3x — 5.

Как строим:

1. Определим направление ветвей параболы. Так как а = 2 > 0, ветви параболы направлены вверх.
2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2x 2 + 3x — 5.

D = b 2 — 4ac = 9 — 4 * 2 * (-5) = 49 > 0

В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:

2x 2 + 3x — 5 = 0 2 + 3x — 5 = 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAPoAAAAyCAYAAAB1V8bkAAAJyElEQVR4Ae2c16sUwRLGfdRX/wXFB30QFFQUQUyIKCIGBEEQzCCoKIgB01ExZwVz4JpzztljwJxzzjlnrcuvL33unD2zOzO7OzvuThU0u5N6uuvrr7u6unrKiYpqQDVQ8BooV/A11AqqBlQDokTXRqAaiIEGlOgxAFmrqBpQomsbUA3EQANK9BiArFVUDSjRtQ2oBmKgASV6DEDWKqoGlOjaBlQDMdBAQRH9z58/8vv3b5P+/v2bMXy/fv0S8kxMGWesGRgNpIMXz7jhkg28CxmWgiH69+/f5dSpU7JixQpZtmyZXLx4UX7+/JkUOxoGjSaVTJw4UVatWiUbNmwoSYcPH071iF7zqYGgeNlsT58+LZMnTy7BA2y2bNkib9++tbfor4sGCobogD19+nR5/fq1nDx5Upo0aSLHjh2TZD39x48f5ebNmy4q+d8pRo327dtLo0aNTF6NGzeWevXqCeRXyVwDQfHijXTMmzZtMjiAL6lu3brSuXNnuXfvXuaFKuAcCobojOQDBgwwgD948EAg5ubNm42Z54bfjRs3ZMqUKW6XzDk6jP379wsjD/LmzRtZt26dvHr1KukzesG/BoLiRc5gceXKFZM4/vbtmxw6dEguXbokP3788P/yGN5ZMET/8uWLvHv3Tt6/f2/Muh49esj169eTQupF9MQHIfm1a9cST+txmhoIipfba86fPy9Hjx4VrDOV1BooGKJTTYh++fJlGTt2rCxevNgcJ6t+EKIz3587d26yrPR8mhoIglfiK549e2Y6dHBU8dZA3hH9+PHjYhNmnFO+fv1qTOwDBw5Ily5dhF+nQ47ndu/ebdLChQule/fuJcecp9E477d5d+zYUW7fvm0P9TeABixW/AbBCz+LffbChQtl3rh69WpZsmSJjuZlNON+Iu+IDkGZW+N427Ztm6nVp0+f5MiRI6Zh2Dl1hw4dZOjQoaVGdebc1oM+a9Ys48Sxx/y6zfUePnwoVapUcdeenvXUQLp4LV261OA8bdo0g5nzRR8+fJBhw4YJeav400DeEf3Ro0dmZGD+/fLlS1NLzLjhw4fLmDFjhEaA4DHv16+fGeHdVOHXdKczqVy5slsWes6HBtLF6/HjxwZn/CLPnz8v9aZbt25Jt27dlOiltJL6IO+I7lYdTPY1a9bIjBkz5M6dO7Jjxw5hRN++fXtSb6xfos+ZM0cqVark9trQzrEmXFxc7LnOH1oBQs44HbycRTpz5oy0a9funyA6DkGW/NavX19mauIsc+J/OkCmJliRL168ME7FVM7jxOeDHhcE0ak05KD3P3v2rFkWO3HihHz+/DmpPlh3XbRoUdLr9gL5LF++3B6G+nv//n3ZuHGjDBw4UDp16pS0kwq1EDnKPChezmI9efJEtm7dmnJVxXl/WP8PHjxopoxXr141RG3Tpo0JsPLzPqaaLVq0kDp16kjDhg2lb9++JgbEz7Pp3FMwRKfyBLkwX2fpxivqjbm8Nf1TKY77WK/NhVBuGvGoUaNMHID1N+Ti3VG8IwhezvIR5gwm/EYlrBgMGTJE9u3bZxy4YDV69Gjf/py9e/fKypUrjSVKLEDYqwcFRfSoQM/2e2fOnGmivgqd6NnWWy7zI3CqefPmUlRUVOIXgrzly5cXfEZewr2Y/XTuyaI3vfIIcj1tolM4lpyIBZ83b56MGzdO9uzZY0YjwkSfPn0apBx6r0MDYRBd8XIoOAt/sRiZU0N4az2OHz9eKlSo4MvSgOgs6RKIBYdIYUraRMfsYpkL84m5cc+ePY1DYv78+dKnTx/B2eAlmKldu3b1TISy5luII8s/XnWbNGmSMC9PlDCIrniJcXB6YcJ15s9+JHEkrlq1qixYsMDPowLRcRqzSgSHiOkI0xeUNtHpxXBUIQQ3tGrVKnLniC8N58FNYRBd8QoOPES2Php8Agw2dvR25gZRcaaNHDnSeTrlf/JxdhTsuMQacJ5LmUHAi2kT3b6HyrNBoXXr1uYUBXVThr3f+YuCcGp4JZRsFYAV8K8lt1hremqveuE4RAeJEgbR7Tvigpfb1JG6e2HCde5DCJbCM16rVi2T2D9BiLVT6Agwv3GsgSXPumHqfAZ+sLqCNWfbNQ455ve8MwxJm+gsXeF0YFcXPRlRaAiebD/OCO5l/XDQoEGeCTPHhqZWq1ZN/rVElF2iTJ061bNemHkEhiRKGESPG141atRIVKtZevXT3tjz7kcYgIioZDRmtyM6Zk09sf0zbYIndkBgabFt27ZmeZeYAgQzvmLFimWe9VMOP/ekTXTWMXv37m16uF69esmECRNMZdgDzgcgVIJrwLm8Vr9+fSECjM4wG6J4ZUOL/8+DgQdSwwGccIRkk4jITBRGaZZM8V/ZlRRGdIJlwJzBsX///gKPwpK0iY7HkArSgKgwu8XYMnju3LmkgSr0ZNZUCatCfvLFtKIHtj2sn2dycY8NmCGcF6cQIwXx+dmQfMMLfEj/qjA1Yx29ZcuWpRLmfaLcvXtXBg8eLCNGjChxUoM1mBAdt3btWmP9ZatTT3w/x2kTHcKytAB5EeYmyYiDecpWz9mzZyf9EIRb4cI6Rw/KikGcLI98w4vlWkKYC0Uw5xkEMeGt4A/Akc28P+wBMG2i28L6+WV7IruRmjVrVmK6+HkujHuYL+3atcuUhbm/SlkNRI0Xn/iqWbOmaTNlS5d/ZzDzITOhslFJTohO5Rg98WDaOUoUFabXpBExV2JThBI9OQpR4YX1x3SQb/UxOBSCYO2yA48RPCqJFdGZmxN8w/q/Ej11k4uK6ERXMqflw4+FQvTUms7N1VgRnYgndq2RlOipG1gURCf2myhLpldNmzZVoqeGKNDV2BAdj+bOnTuNcpTo3m0k10THrCVohCAiRInujVGQO2JDdJYA8bQTpIJHt3bt2mZtk1FEpawGck10PrRB4BEf4QQjgqIIK2UbqErmGsgJ0fE2AmL16tWFj/oRwpprYcRgVCcR+URsPkELBCyolNZAFHgRVcZyrcWoQYMGwtd97KfBSpdQj4JqICdEZ3kBkwwQIZZXLHDQSvi9H687G/wJgyREkl+7McdvHnG4L0q8WG9mUOCDnASf4DxVyVwDOSF65sXMXg6QnYbMMh+/fjfgZK8EmlMqDYAPzji7WyyqQSFVGfPxWuyIno8gaZlVA5lqQImeqQb1edVAHmhAiZ4HIGkRVQOZakCJnqkGI3m+WIrKlZOi45G8XF+ahxpQouchaKbIx4uU6PmKXQTlVqJHoPTMX/lM/tOuSIozz0hziIkGlOgxAVqrGW8NKNHjjb/WPiYaUKLHBGitZrw1oESPN/5a+5hoQIkeE6C1mvHWwH8BSUfSiO3XWNEAAAAASUVORK5CYII=»>

1. Координаты вершины параболы:

1. Точка пересечения с осью OY находится: (0; -5) и ей симметричная.
2. Нанести эти точки на координатную плоскость и построить график параболы:
   2 + 3x — 5 = 0″ height=»671″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/TYyA5dFfh0ZKINaPSps3Y_X1mCv8Mhv_8bNG3_dPbZud1AEsvo7UBFmVQNm1GcR1CQFo6HE1lNjYaAgepQUTQiK_ay_Fnuv7LEsB53woHkFO66W0R1PP8QfGsFcYzaR_h4AJdLxC» width=»602″>

Видео:Парабола. Квадратичная функцияСкачать

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a * (x — x₀) 2 + y₀

Координаты его вершины: (x₀; y₀). В уравнении квадратичной функции y = 2x 2 + 3x — 5 при а = 1, то второй коэффициент является четным числом.

Рассмотрим пример: y = 2 * (x — 1) 2 + 4.

Как строим:

1. Воспользуемся линейным преобразованием графиков функций. Для этого понадобится:

• построить y = x 2 ,
• умножить ординаты всех точек графика на 2,
• сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
• сдвинуть его вдоль оси OY на 4 единицы вверх.

1. Построить график параболы для каждого случая. 2 + y₀» height=»431″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/_zgF-CXWf4Yy0p2OnBYSJkUm0zO-mNetq5feU6LIPEbIgSrO9kdr2ti_tr7Gg3yTMOlJVnuZgG0HleAFfAzG7yr7ELHT6KSMqMrRHkHqt-VcgIiSZx80cVj0zlPMBzEM0wAWQ-L6″ width=»602″>

Видео:Как строить параболу? | TutorOnlineСкачать

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) × (x + b)

Рассмотрим следующий пример: y = (x − 2) × (x + 1).

Как строим:

Данный вид уравнения позволяет быстро найти нули функции:

(x − 2) × (x + 1) = 0, отсюда х₁ = 2, х₂ = −1.

Определим координаты вершины параболы:

Найти точку пересечения с осью OY:

с = ab = (−2) × (1) = −2 и ей симметричная.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим плавной прямой.

Видео:Квадратичная функция и ее график. 8 класс.Скачать

Парабола — свойства, формулы и примеры построения

Видео:Парабола | Квадратный трёхчлен #2 | Ботай со мной #021 | Борис ТрушинСкачать

Основные определения

Параболой называется кривая второго порядка, состоящая из множества точек, которые удалены на равные расстояния от директрисы и вершины. Ее еще называют функцией квадратичного типа. Не следует путать с гиперболой, поскольку она является прямой второго порядка, но ее называют кубической.

Директриса — условная прямая, относительно которой строится кубическая парабола. Она не указывается на чертеже, но полезна при нахождении неизвестных параметров, когда требуется выполнить дополнительное построение.

Вершина (фокус) — ближайшая точка к директрисе. Из нее исходят симметричные ветви кривой, на которой располагаются точки, имеющие одинаковое значение ординат, а их абсциссы равны между собой по модулю и являются противоположными числами.

Полезные свойства

Парабола, как и любое геометрическое тело, обладает определенными свойствами:

1. Ветви проходят в зависимости от коэффициента, стоящего перед аргументом старшей степени A: A 0 — вверх.
2. Геометрическая фигура, принадлежащая к кривым ll порядка.
3. Симметричность.
4. Изделия, изготовленные в форме параболы, всегда отражают свет, аккумулируя его в одной точке — вершине.
5. Отрезок, соединяющий среднюю точку хорды и точку, где пересекаются прямые-касательные, всегда перпендикулярен директрисе.
6. Подобие всех кубических парабол.

Свойства помогают находить некоторые параметры кривой, доказывать утверждения и теоремы. Однако этого недостаточно для решения задач. Следует разобрать математические формы записи параболы.

Формула кривой

Формула параболы — математическая запись, описывающая ее поведение в пространстве. В физико-математических дисциплинах описаны 3 основные формы: каноническая, квадратичная и общая. В первом случае уравнение выглядит у^2=2nх, где у — ордината, х — абсцисса и n — параметр, равный отрезку между директрисой и вершиной кривой.

Следует отметить, что р>0. Чтобы вывести формулу параболы, следует применить алгоритм:

1. Записать формулу директрисы. Она параллельна OУ (ординате): х+n/2=0.
2. Координаты вершины — (n/2;0).
3. Отметить произвольную точку М на одной из ветвей кривой, а затем соединить с вершиной (фокусом — F). В результате получится отрезок FМ.
4. Длина FM: FM=[(х-n/2)^2+у^2]^0.5.
5. Также FМ записывается при помощи такого тождества: х+n/2.
6. Поставить знак равенства между тождествами в четвертом и пятом пунктах: х+n/2=[(х-n/2)^2+у^2]^0.5.
7. Возвести обе части во вторую степень, а затем привести подобные коэффициенты: y^2 = 2pn.

Вторая форма математической записи — квадратичная функция. Последняя имеет вид обыкновенного квaдратного трехчлена, т. е. y=Ах^2+Bx+C, где А, В и С — некоторые коэффициенты. Иногда формула рассматривается без дополнительных элементов В и С, т. е. y= ax^2 . В этом случае вершина кривой II порядка находится по формулам:

1. Абсцисса: х=-B/2A.
2. Ордината: у=-D/2A, где D — значение дискриминанта D=(-B)^2 — 4AC.

Третье представление (уравнение параболы) — общее. Его можно править следующим образом: Ах^2+Вху+Су^2+Dх+Еу+F = 0. Некоторые коэффициенты могут быть эквивалентны нулю. Кроме того, кривая задается также в полярной системе при помощи соотношения n(1+cos(s))=n. В последнем равенстве параметр «n» эквивалентен отрезку, соединяющему директрису и вершину.

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Методы нахождения координат вершины

Очень часто функция квадратичного типа при решении задач может быть представлена в некотором виде, который следует при помощи математических преобразований привести в читабельную форму. Последний термин обозначает, что требуется преобразовать формулу параболы для удобного построения таблицы и схематического представления. Делается эта операция по следующему алгоритму на примере z=t^2 +4t+2:

1. Приравнять к нулевому значению (квадратное уравнение): t^2 +4t+2=0.
2. Выполнить подготовительную операцию по выделению квадрата: t^2 +4t+2+2=0.
3. Выделить формулу сокращенного умножения — квадрат: (t+2)^2 -2=0.
4. Перенести «-2» вправо, т. е. (t+2)^2=2.
5. Найти вершину исходя из решения тождества без «-2».
6. Определить ординату z: z=-(2), т. е. число из правой части выражения, умноженное на -1.
7. Вычислить координату фокуса (смещение относительно начала координат): (t;z)=(-2;-2).

Методика позволяет найти фокус без дополнительных формул. Однако существует и другой способ определения вершины, где применяется производная функции:

1. Определить производную: z’=2t+4.
2. Приравнять z’ к нулевому значению: 2t+4=0.
3. Найти корень: t=-2.
4. Подставить в первоначальную функцию для нахождения ординаты, т. е. z=-2.
5. Координата вершины: (-2;-2). Она совпадает со значением в предыдущем примере.

Существуют программные продукты для нахождения параметров параболы. Названия имеют английскую номенклатуру, т. е. «parabola».

Видео:Видеоурок "Парабола"Скачать

График функции

Иногда требуется в заданиях графическое представление функции. Для этого необходимо следовать инструкции:

1. Найти вершину любым из способов.
2. Рассчитать координаты точек, в которых происходит пересечение с ординатами и абсциссами в прямоугольной системе координат.
3. Построить вспомогательную таблицу. Специалисты рекомендуют использовать для схематического построения не менее 4 точек, не считая вершины, а для точного — не менее 10. Кроме того, вершина всегда находится посередине значений таблиц.
4. Отметить каждую точку, а затем соединить плавными линиями.

График параболы хорош тем, что позволяет освободиться от большого количества расчетов, поскольку является симметричным. Для таблицы зависимостей достаточно подставить 2 одинаково противоположные величины, а иногда и разные числа превращают значения функции в одинаковые величины.

В первом случае для уравнения z=f^2+1 возможно взять 2 значения аргумента «f» — 1 и -1. При подстановке их в формулу z не изменится, т. е. z1=2 и z2=2. Во втором — 5 и 7 могут давать значение функции, равное 8.

Видео:Как легко составить уравнение параболы из графикаСкачать

Пример решения

Для практического применения теоретических знаний о параболе рекомендуется решать задачи. Условие одной из них формулируется следующим образом: дана формула функции параболы f=(t+2)^2 -3t^2+8t-5+3(t-1)^2, для которой необходимо подготовить данные, чтобы построить график в схематическом виде (8 значений). Решать ее следует по следующей методике:

1. Раскрыть скобки и привести подобные элементы: f=t^+4t-1.
2. Приравнять к 0: t^2+4t-1=0.
3. Выделить квадрат: (t+2)^2-5.
4. Перенос свободного члена: (t+2)^2=5.
5. Вершина с координатами: (-2;-5).
6. Вычислить нули функции с абсциссами: t^2+4t-1=0. Корни: t1=-2-(5)^0.5 и t2=-2+(5)^0.5. Координаты: (-2-(5)^0.5;0) и (-2+(5)^0.5;0)
7. Нули функции (пересечение оси ординат при t=0): (0+2)^2-5=-1. Координата — (0;-1).
8. Построение таблицы.

Можно приступать к построению графика. Специалисты рекомендуют чертить его при помощи карандаша. Отмечать следует только точки, указанные в таблице. Кроме того, необходимо указать на графике нули функции, а также ее пересечения с ординатой. Ветви искомой параболы будут направлены вверх, поскольку коэффициент при квадрате 1>0.

Таким образом, парабола — кривая ll порядка, которая используется для описания некоторых физических явлений, траекторий движения тел в пространстве, а также для описания квадратичной зависимости между двумя величинами.

Видео:§24 Каноническое уравнение параболыСкачать

Парабола

Видео:Графики функций|Парабола, прямая и гиперболаСкачать

Парабола, её форма, фокус и директриса.

Параболой называется линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
y^=2pxlabel
$$
при условии (p > 0).

Из уравнения eqref вытекает, что для всех точек параболы (x geq 0). Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы.

Форма параболы известна из курса средней школы, где она встречается в качестве графика функции (y=ax^). Отличие уравнений объясняется тем, что в канонической системе координат по сравнению с прежней оси координат поменялись местами, а коэффициенты связаны равенством (2p=a^).

Фокусом параболы называется точка (F) с координатами ((p/2, 0)) в канонической системе координат.

Директрисой параболы называется прямая с уравнением (x=-p/2) в канонической системе координат ((PQ) на рис. 8.11).

Рис. 8.11. Парабола.

Видео:Квадратичная функция за 5 минутСкачать

Свойства параболы.

Расстояние от точки (M(x, y)), лежащей на параболе, до фокуса равно
$$
r=x+frac

.label
$$

Вычислим квадрат расстояния от точки (M(x, y)) до фокуса по координатам этих точек: (r^=(x-p/2)^+y^) и подставим сюда (y^) из канонического уравнения параболы. Мы получаем
$$
r^=left(x-frac

right)^+2px=left(x+frac

right)^.nonumber
$$
Отсюда в силу (x geq 0) следует равенство eqref.

Заметим, что расстояние от точки (M) до директрисы также равно
$$
d=x+frac

.nonumber
$$

Следовательно, мы можем сделать следующий вывод.

Для того чтобы точка (M) лежала на параболе, необходимо и достаточно, чтобы она была одинаково удалена от фокуса и от директрисы этой параболы.

Докажем достаточность. Пусть точка (M(x, y)) одинаково удалена от фокуса и от директрисы параболы:
$$
sqrt<left(x-frac

right)^+y^>=x+frac

.nonumber
$$

Возводя это уравнение в квадрат и приводя в нем подобные члены, мы получаем из него уравнение параболы eqref. Это заканчивает доказательство.

Параболе приписывается эксцентриситет (varepsilon=1). В силу этого соглашения формула
$$
frac=varepsilonnonumber
$$
верна и для эллипса, и для гиперболы, и для параболы.

Видео:Построение параболыСкачать

Уравнение касательной к параболе.

Выведем уравнение касательной к параболе в точке (M_(x_, y_)), лежащей на ней. Пусть (y_ neq 0). Через точку (M_) проходит график функции (y=f(x)), целиком лежащий на параболе. (Это (y=sqrt) или же (y=-sqrt), смотря по знаку (y_).) Для функции (f(x)) выполнено тождество ((f(x))^=2px), дифференцируя которое имеем (2f(x)f'(x)=2p). Подставляя (x=x_) и (f(x_)=y_), находим (f'(x_)=p/y_) Теперь мы можем написать уравнение касательной к параболе
$$
y-y_=frac

<y_>(x-x_).nonumber
$$
Упростим его. Для этого раскроем скобки и вспомним, что (y_^=2px_). Теперь уравнение касательной принимает окончательный вид
$$
yy_=p(x+x_).label
$$

Заметим, что для вершины параболы, которую мы исключили, положив (y_ neq 0), уравнение eqref превращается в уравнение (x=0), то есть в уравнение касательной в вершине. Поэтому уравнение eqref справедливо для любой точки на параболе.

Касательная к параболе в точке (M_) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезком, который соединяет (M_) с фокусом, и лучом., выходящим из этой точки в направлении оси параболы (рис. 8.12).

Рассмотрим касательную в точке (M_(x_, y_)). Из уравнения eqref получаем ее направляющий вектор (boldsymbol(y_, p)). Значит, ((boldsymbol, boldsymbol_)=y_) и (cos varphi_=y_/boldsymbol). Вектор (overrightarrow<FM_>) имеет компоненты (x_=p/2) и (y_), а потому
$$
(overrightarrow<FM_>, boldsymbol)=x_y_-frac

y_+py_=y_(x_+frac

).nonumber
$$
Но (|overrightarrow<FM_>|=x_+p/2). Следовательно, (cos varphi_=y_/|boldsymbol|). Утверждение доказано.

Заметим, что (|FN|=|FM_|) (см. рис. 8.12).

🎥 Видео

КАК НАЙТИ ВЕРШИНУ ПАРАБОЛЫСкачать

Как определить уравнение параболы по графику?Скачать

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать

Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnlineСкачать