Памятка по решению тригонометрических уравнений

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

19.1. Уравнение cos x = a

Объяснение и обоснование

1. Корни уравненияcosx=a.

При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n ∈ Z (3)

2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.

Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).

Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда

Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,

Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,

Примеры решения задач

Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:

19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a

Объяснение и обоснование

1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a

Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x₁ = arctg a и для этого корня tg x = a.

Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:

При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈ Z).

Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x₁=arсctg a.

Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:

таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни

Примеры решения задач

Вопросы для контроля

1. Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
2. Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
3. Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
4. Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.

Упражнения

Решите уравнение (1-11)

Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Памятка для решений всех видов тригонометрических уравнений

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Основные приемы решения тригонометрических уравнений.

Данная памятка призвана помочь учащимся старших классов в подготовке к ЕГЭ по математике по теме «Тригонометрические уравнения», а также преподавателям для систематизации и обобщению знаний по указанной теме.

Уравнения вида a sin 2 x + b sin x + c = 0; в которые входит только один вид тригонометрических функций.

Замена sin x = t ,

Решение квадратного уравнения относительно t ,

Возвращение к переменной х

Уравнения вида a sin 2 x + b cos x + c = 0; в которые входят разные виды тригонометрических функций.

Замена sin 2 x =1- cos 2 x ,

Решение квадратного уравнения относительно t , где t = cos x

Возвращение к переменной х

Уравнения вида a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0;

Деление на cos 2 x , (значения при которых cos x равен нулю не являются решениями уравнения данного вида, т.к. если cos x =0, то и sin x =0, но синус и косинус одновременно не могут равняться нулю)

Решение квадратного уравнения относительно t , где t = tg x

Возвращение к переменной х

Уравнения вида a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = d; (a не равно d )

a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = d(sin 2 x+ cos 2 x) , т . к . sin 2 x+ cos 2 x=1

a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x – d sin 2 x- d cos 2 x=0

(a-d) sin 2 x + b sin x cos x +( c-d) cos 2 x =0

Деление на cos 2 x , (значения при которых cos x равен нулю не являются решениями уравнения данного вида, т.к. если cos x =0, то и sin x =0, но синус и косинус одновременно не могут равняться нулю)

Решение квадратного уравнения относительно t , где t = tg x

Возвращение к переменной х

Уравнения вида a sin x + b cos x = 0;

Деление на cos x , (значения при которых cos x равен нулю не являются решениями уравнения данного вида, т.к. если cos x =0, то и sin x =0, но синус и косинус одновременно не могут равняться нулю)

Решение простейшего уравнения а tg x + b =0

Уравнения вида a sin а x + b cos в x = 0;

Использовать формулы суммы(разности) тригонометрических функций

Применить правило равенства нулю произведения

Уравнения вида a sin x + b cos x + с = 0;

Введем вспомогательный аргумент t = x /2, получим a sin 2 t + b cos 2 t + с = 0;

Применяя формулы двойных углов и приведя подобные слагаемые получаем уравнение третьего вида (из данной памятки)

Уравнения вида sin а x + sin в x = sin cx + sin dx ;

1.Использовать формулу понижения степени,

2. Применяя формулы суммы(разности) тригонометрических функций и вынося общий множитель за скобки, получаем уравнение шестого вида (из данной памятки)

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 956 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 572 281 материал в базе

Другие материалы

• 11.11.2015
• 393
• 0

• 11.11.2015
• 1085
• 0

• 11.11.2015
• 494
• 0

• 11.11.2015
• 1289
• 2

• 11.11.2015
• 641
• 0

• 11.11.2015
• 511
• 0

• 11.11.2015
• 643
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 11.11.2015 1239
• DOCX 15.5 кбайт
• 8 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Солотова Елена Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 3 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 4578
• Всего материалов: 6

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.Скачать

Тригонометрические уравнения — формулы, решения, примеры

Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Метод вспомогательного угла. 10 класс.Скачать

Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.

1. Уравнение `sin x=a`.

При `|a|>1` не имеет решений.

При `|a| leq 1` имеет бесконечное число решений.

Формула корней: `x=(-1)^n arcsin a + pi n, n in Z`

2. Уравнение `cos x=a`

При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При `|a| leq 1` имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: `x=pm arccos a + 2pi n, n in Z`

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение `tg x=a`

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arctg a + pi n, n in Z`

4. Уравнение `ctg x=a`

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arcctg a + pi n, n in Z`

Видео:Решение тригонометрических уравнений. 10 класс.Скачать

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:Для косинуса:Для тангенса и котангенса:Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Видео:Решение тригонометрических уравнений и их систем. 10 класс.Скачать

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

• с помощью тригонометрических формул преобразовать его до простейшего;
• решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.

Рассмотрим на примерах основные методы решения.

Алгебраический метод.

В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.

Пример. Решить уравнение: `2cos^2(x+frac pi 6)-3sin(frac pi 3 — x)+1=0`

Решение. Используя формулы приведения, имеем:

`2cos^2(x+frac pi 6)-3cos(x+frac pi 6)+1=0`,

делаем замену: `cos(x+frac pi 6)=y`, тогда `2y^2-3y+1=0`,

находим корни: `y_1=1, y_2=1/2`, откуда следуют два случая:

1. `cos(x+frac pi 6)=1`, `x+frac pi 6=2pi n`, `x_1=-frac pi 6+2pi n`.

2. `cos(x+frac pi 6)=1/2`, `x+frac pi 6=pm arccos 1/2+2pi n`, `x_2=pm frac pi 3-frac pi 6+2pi n`.

Ответ: `x_1=-frac pi 6+2pi n`, `x_2=pm frac pi 3-frac pi 6+2pi n`.

Разложение на множители.

Пример. Решить уравнение: `sin x+cos x=1`.

Решение. Перенесем влево все члены равенства: `sin x+cos x-1=0`. Используя формулы двойного угла, преобразуем и разложим на множители левую часть:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =pi n`, `x_1=2pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ pi n`, `x/2=pi/4+ pi n`, `x_2=pi/2+ 2pi n`.

Ответ: `x_1=2pi n`, `x_2=pi/2+ 2pi n`.

Приведение к однородному уравнению

Вначале нужно данное тригонометрическое уравнение привести к одному из двух видов:

`a sin x+b cos x=0` (однородное уравнение первой степени) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однородное уравнение второй степени).

Потом разделить обе части на `cos x ne 0` — для первого случая, и на `cos^2 x ne 0` — для второго. Получим уравнения относительно `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, которые нужно решить известными способами.

Пример. Решить уравнение: `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=1`.

Решение. Запишем правую часть, как `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени, разделим его левую и правую части на `cos^2 x ne 0`, получим:

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Введем замену `tg x=t`, в результате `t^2 + t — 2=0`. Корни этого уравнения: `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогда:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+pi n`, `n in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+pi n`, `x_2=pi/4+pi n`, ` n in Z`.

Ответ. `x_1=arctg (-2)+pi n`, `n in Z`, `x_2=pi/4+pi n`, `n in Z`.

Переход к половинному углу

Пример. Решить уравнение: `11 sin x — 2 cos x = 10`.

Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Применив описанный выше алгебраический метод, получим:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2pi n`, `n in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2pi n`, `n in Z`.

Ответ. `x_1=2 arctg 2+2pi n, n in Z`, `x_2=arctg 3/4+2pi n`, `n in Z`.

Введение вспомогательного угла

В тригонометрическом уравнении `a sin x + b cos x =c`, где a,b,c — коэффициенты, а x — переменная, разделим обе части на `sqrt `:

Коэффициенты в левой части имеют свойства синуса и косинуса, а именно сумма их квадратов равна 1 и их модули не больше 1. Обозначим их следующим образом: `frac a<sqrt >=cos varphi`, ` frac b<sqrt > =sin varphi`, `frac c<sqrt >=C`, тогда:

`cos varphi sin x + sin varphi cos x =C`.

Подробнее рассмотрим на следующем примере:

Пример. Решить уравнение: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Разделим обе части равенства на `sqrt `, получим:

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Обозначим `3/5 = cos varphi` , `4/5=sin varphi`. Так как `sin varphi>0`, `cos varphi>0`, то в качестве вспомогательного угла возьмем `varphi=arcsin 4/5`. Тогда наше равенство запишем в виде:

`cos varphi sin x+sin varphi cos x=2/5`

Применив формулу суммы углов для синуса, запишем наше равенство в следующем виде:

`x+varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ pi n`, `n in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ pi n`, `n in Z`.

Ответ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ pi n`, `n in Z`.

Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Это равенства с дробями, в числителях и знаменателях которых есть тригонометрические функции.

Пример. Решить уравнение. `frac =1-cos x`.

Решение. Умножим и разделим правую часть равенства на `(1+cos x)`. В результате получим:

Учитывая, что знаменатель равным быть нулю не может, получим `1+cos x ne 0`, `cos x ne -1`, ` x ne pi+2pi n, n in Z`.

Приравняем к нулю числитель дроби: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=pi n`, `n in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=pi /2+2pi n, n in Z`.

Учитывая, что ` x ne pi+2pi n, n in Z`, решениями будут `x=2pi n, n in Z` и `x=pi /2+2pi n`, `n in Z`.

Ответ. `x=2pi n`, `n in Z`, `x=pi /2+2pi n`, `n in Z`.

Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.

🎦 Видео

Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать

Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часаСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 7 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.Скачать

10 класс, 22 урок, Простейшие тригонометрические уравнения неравенстваСкачать

Решение тригонометрических уравнений. 10 класс.Скачать

Тригонометрические уравнения | Борис ТрушинСкачать

Тригонометрия в ЕГЭ может быть простойСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических уравнение в ЕГЭ для новичков | ЕГЭ Математика | Аня Матеманя | ТопскулСкачать

Тригонометрия для Чайников, 10 класс, Уравнения, Урок 7Скачать

Решение тригонометрических уравнений. Метод понижения порядка. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических уравнений. Практическая часть. 10 класс.Скачать