Ответы учи ру 8 класс алгебра уравнения выделение полного квадрата

Биквадратные уравнения

Биквадратным уравнением называется уравнение вида:

$$ ax^4+bx^2+c = 0, a neq 0 $$

Алгоритм решения биквадратного уравнения

Шаг 1. Ввести новую переменную: $z = x^2 ge 0$.

Переписать уравнение для новой переменной: $az^2+bz+c = 0$

Шаг 2. Решить полученное квадратное уравнение.

Если $D gt 0$, $z_ = frac<-b pm sqrt> $. Проверить условие $z ≥ 0$, если положительных корней нет, решений нет, переход на шаг 4.

Если D = 0,$z_0 = -frac$. Проверить условие $z ge 0$, если корень отрицательный, решений нет, переход на шаг 4.

Если $D lt 0$, решений нет, переход на шаг 4.

Шаг 3.Если после шага 2 остались положительные корни, найти x: $x = pm sqrt$.

Шаг 4. Работа завершена.

Шаг 1. $z = x^2 ge 0, z^2+7z-30 = 0$

$z_1 = -10 lt 0, z_2 = 3 gt 0 $

Шаг 3. Находим корни из положительного $z: x_ = pm sqrt$

Метод разложения на множители

Решение уравнений, в которые переменная x входит с различными натуральными степенями и вещественными коэффициентами, по существу, является поиском корней многочлена.

Число $x_0$ называют корнем многочлена $P_n (x) = a_n x^n+a_ x^ + ⋯ + a_1 x+a_0$ если $P_n (x_0 ) = 0$.

Для многочлена $P_n$ (x) произвольной степени n справедливо следующее.

Если $x = x_0$ является корнем многочлена $P_n$ (x), то $P_n (x) = (x-x_0) P_ (x)$, где $P_ (x)$ — многочлен степени n-1.

Таким образом, разными способами находя корни и формируя скобки, можно постепенно добиваться понижения степени «оставшегося» многочлена, пока не будут найдены все корни.

При разложении многочлена

• множители вида (x-a) называют линейными множителями ;
• множители вида $ (x^2+bx+c)$, для которых $D lt 0$, называют неприводимыми квадратичными множителями .

Любой многочлен $P_n$ (x) можно представить в виде конечного числа линейных и/или неприводимых квадратичных множителей.

Причём, такое представление единственно с точностью до порядка множителей.

Для разложения многочленов на множители применяются разные методы:

• вынесение общего множителя за скобку (см. §19 справочника для 7 класса);
• группировка (см. §20 справочника для 7 класса);
• формулы сокращенного умножения (см. §25 справочника для 7 класса);
• метод неопределённых коэффициентов;
• выделение полного квадрата и т.п.

Решим уравнение $2x^3-x^2-8x+4 = 0$.

Раскладываем на множители: $x^2 (2x-1)-4(2x-1) = 0$

$$ (x^2-4)(2x-1) = 0 Rightarrow (x-2)(x+2)(2x-1) = 0 $$

Корни уравнения: $x_1 = 2, x_2 = -2, x_3 = frac$

Метод замены переменной

Замена переменной – это уравнение, с помощью которого можно упростить исходное уравнение, и перейти к решению системы из двух более простых уравнений:

$Исходное quad сложное quad уравнение iff <left< begin Новая quad переменная quad (урав. quad связи quad со quad старой quad переменной \ Исходное quad урав. quad в quad «упрощ.» quad виде end right.>$

Например, для биквадратных уравнений:

$$ ax^4+bx^2+c = 0 iff <left< begin z = x^2 ge 0 \ az^2+bz+c = 0 end right.> $$

Можно предложить аналогичные схемы для других уравнений:

$$ ax+b sqrt+c = 0 iff <left< begin z = sqrt ge 0 \ az^2+bz+c = 0 end right.> $$

И, в общем виде, для любой рациональной степени n:

$$ ax^+bx^n+c = 0 iff <left< begin z = x^n \ az^2+bz+c = 0 end right.> , n in Bbb Q $$

В других случаях замена переменной не настолько очевидна.

Но при удачном выборе, этот метод очень упрощает задачу.

Раскроем скобки:$ x^2-x = frac$. Сделаем замену:

$$ z = frac Rightarrow z(z-2) = 24 Rightarrow z^2-2z-24 = 0 Rightarrow (z-6)(z+4) = 0 Rightarrow left[ begin z_1 = -4 \ z_2 = 6 end right.$$

Возвращаемся к исходной переменной x:

$$ left[ begin x^2-x = -4 \ x^2-x = 6 end right. Rightarrow left[ begin x^2-x+4 = 0 \ x^2-x-6 = 0 end right. Rightarrow left[ begin D lt 0, x in varnothing \ (x-3)(x+2) = 0 end right. Rightarrow left[ begin x_1 = -2 \ x_2 = 3 end right. $$

При использовании метода замены переменной не забывайте возвращаться к исходной переменной.

Выделение полного квадрата

Метод выделения полного квадрата является одним из методов разложения на множители. Его идея – представить многочлен в виде разности квадратов двух других многочленов степенью пониже, и разложить разность на две скобки:

$$ P_n (x) = Q_k^2 (x)-R_m^2 (x) = (Q_k (x)-R_m (x))(Q_k (x)+R_m (x)) $$

Такое разложение не всегда возможно.

Рассмотрим выделение полного квадрата для квадратного трёхчлена:

$$ = a Biggl(x+frac Biggr)^2 — frac = a Biggl(x+ frac Biggr)^2- frac, D = b^2-4ac $$

Нами выделен полный квадрат $(x+frac)^2$.

Данное выражение используется для построения и анализа графиков парабол (см. §28 данного справочника).

А его разложение на две линейные скобки, известное как теорема Виета (см. §26 данного справочника), возможно только при условии $D ge 0$.

Решить уравнение $x^4+4x^2-1 = 0$

Выделим полный квадрат и разложим на множители:

$$ left[ begin x^2+2-sqrt = 0 \ x^2+2+sqrt = 0 end right. Rightarrow left[ begin x^2 = sqrt -2 gt 0 \ x^2 = -(2+sqrt) lt 0 end right. Rightarrow x_1,2 = pm sqrt<sqrt-2> $$

Примеры

Пример 1. Решите биквадратные уравнения:

Делаем замену: $2x^4+7x^2-4 = 0 iff <left< begin z = x^2 ge 0 \ 2z^2+7z-4 = 0 end right.>$

Решаем квадратное уравнение: $D = 7^2-4 cdot 2 cdot (-4) = 49+32 = 81 = 9^2$

$$ z = frac = left[ begin z_1 = -4 lt 0 \ z_2 = frac gt 0 end right. $$

Выбираем положительный z и возвращаемся к исходной переменной x:

Делаем замену: $(x+3)^4-10(x+3)^2+24 = 0 iff <left< begin z = (x+3)^2 ge 0 \ z^2-10z+24 = 0 end right.>$

Решаем квадратное уравнение: $z^2-10z+24 = 0 Rightarrow (z-4)(z-6) = 0 Rightarrow left[ begin z_1 = 4 \ z_2 = 6 end right.$

Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.

$$ left[ begin (x+3)^2 = 4 \ (x+3)^2 = 6 end right. Rightarrow left[ begin x+3 = pm sqrt \ x+3 = pm sqrt end right. Rightarrow left[ begin x_ = -3 pm 2 \ x_ = -3 pm sqrt end right. Rightarrow left[ begin x_1 = -5 \ x_2 = -1 \ x_ = -3 pm sqrt end right. $$

Пример 2. Решите уравнения аналогичные биквадратным:

Делаем замену: $x+4 sqrt-60 = 0 iff <left< begin z = sqrt ge 0 \ z^2+4z-60 = 0 end right.>$

Решаем квадратное уравнение: $ z^2+4z-60 = 0 Rightarrow (z+10)(z-6) = 0 Rightarrow left[ begin z_1 = -10 \ z_2 = 6 end right.$

Выбираем положительный корень и возвращаемся к исходной переменной:

Делаем замену: $(x-1)^6-7(x-1)^3-8 = 0 iff <left< begin z = (x-1)^3 \ z^2-7z-8 = 0 end right.>$

Решаем квадратное уравнение: $ z^2-7z-8 = 0 Rightarrow (z+1)(z-8) = 0 Rightarrow left[ begin z_1 = -1 \ z_2 = 8 end right.$

При замене куба знак z может быть любым, берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.

$$ left[ begin (x-1)^3 = -1 \ (x-1)^3 = 8 end right. Rightarrow left[ begin x-1 = -1 \ x-1 = 2 end right. Rightarrow left[ begin x_1 = 0 \ x_2 = 3 end right. $$

Пример 3. Решите уравнения с помощью замены переменной:

Заметим, что $(x+3)^2 = x^2+6x+9$. Получаем:

$$ (x^2+6x)^2-(x^2+6x+9) = 33 Rightarrow (x^2+6x)^2-(x^2+6x)-42 = 0 $$

Решаем квадратное уравнение: $ z^2-z-42 = 0 Rightarrow (z+6)(z-7) = 0 Rightarrow left[ begin z_1 = -6 \ z_2 = 7 end right.$

Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.

$$ left[ begin x^2+6x = -6 \ x^2+6x = 7 end right. Rightarrow left[ begin x^2+6x+6 = 0 \ x^2+6x-7=0 end right. Rightarrow left[ begin D = 12, x = frac<-6 pm 2 sqrt> \ (x+7)(x-1) = 0 end right. Rightarrow left[ begin x_ = -3 pm sqrt \ x_3 = -7 \ x_4 = 1 end right. $$

Делаем замену: $ frac + frac = 2 iff left[ begin z = x^2+3 ge 3 \ frac + frac = 2 end right.$

Решаем уравнение относительно z:

$$ frac + frac = 2 Rightarrow frac = frac Rightarrow 4(z+1)+5z = 2z(z+1) $$

$$ 2z^2+2z-9z-4 = 0 Rightarrow 2z^2-7z-4 = 0 $$

$$ D = 7^2-4 cdot 2 cdot (-4) = 49+32 = 81 = 9^2 $$

$$ z = frac = left[ begin z_1 = — frac lt 3 \ z_2 = 4 gt 3 end right. $$

Выбираем корень больше 3 и возвращаемся к исходной переменной:

$$ x^2+3 = 4 Rightarrow x^2 = 1 Rightarrow x_ = pm 1$$

Пример 4*. Решите уравнения:

Приведём это уравнение к биквадратному.

В линейных множителях (x+a) выберем все a =

Найдем их среднее арифметическое (см. §52 справочника для 7 класса)

Замена переменных $z = x+a_$:

Упрощаем уравнение, используя формулу разности квадратов:

$$ (z^2-9)(z^2-1) = 945 Rightarrow z^4-10z^2+9 = 945 Rightarrow z^4-10z^2-936 = 0 $$

Получили биквадратное уравнение.

Делаем замену: $z^4-10z^2-936 = 0 iff <left< begin t = z^2 ge 0 \ t^2-10t-936 = 0 end right.> $

Решаем квадратное уравнение:

$$ D = 100+4 cdot 936 = 3844 = 62^2, t = frac = left[ begin t_1 = -26 lt 0 \ t_2 = 36 gt 0 end right. $$

Выбираем положительный корень и возвращаемся к переменной z:

$$ z = pm sqrt = pm sqrt = pm 6 $$

Возвращаемся к исходной переменной x:

$$ x = z-4 = pm 6-4 = left[ begin x_1 = -10 \ x_2 = 2 end right. $$

$$ z- frac =2,1 |times z (z neq 0) $$

$$ z^2-2,1z-1 = 0 Rightarrow D = 2,1^2+4 = 8,41 = 2,9^2; z = frac = left[ begin z_1 = -0,4 \ z_2 = 2,5 end right. $$

Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.

$$ left[ begin frac = -0,4 \ frac = 2,5 end right. Rightarrow left[ begin x^2+1 = -0,4x \x^2+1 = 2,5x end right. Rightarrow left[ begin x^2+0,4x+1 = 0 \ x^2-2,5x+1 = 0 end right. $$

В первом уравнении $D = 0,4^2-4 lt 0$, решений нет.

Во втором уравнении (x-2)(x-1/2) = 0 $Rightarrow left[ begin x_1 = frac \ x_2 = 2 end right.$

Видео:Метод выделения полного квадрата / Как решать квадратные уравнения?Скачать

Разложение многочленов на множители. Метод выделения полного квадрата. Комбинация методов

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке мы вспомним все ранее изученные методы разложения многочлена на множители и рассмотрим примеры их применения, кроме того, изучим новый метод — метод выделения полного квадрата и научимся применять его при решении различных задач.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»

Видео:Метод выделения полного квадрата. 8 класс.Скачать

Ответы учи ру 8 класс алгебра уравнения выделение полного квадрата

Описание метода выделения полного квадрата

§2. Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена

Описание метода выделения полного квадрата

Выражения вида 2 x 2 + 3 x + 5 , `-4x^2+5x+7` носят название квадратного трёхчлена. В общем случае квадратным трёхчленом называют выражение вида a x 2 + b x + c , где a , b , c a, b, c – произвольные числа, причём a ≠ 0 .

Рассмотрим квадратный трёхчлен x 2 — 4 x + 5 . Запишем его в таком виде: x 2 — 2 · 2 · x + 5 . Прибавим к этому выражению 2 2 и вычтем 2 2 , получаем: x 2 — 2 · 2 · x + 2 2 — 2 2 + 5 . Заметим, что x 2 — 2 · 2 · x + 2 2 = ( x — 2 ) 2 , поэтому

x 2 — 4 x + 5 = ( x — 2 ) 2 — 4 + 5 = ( x — 2 ) 2 + 1 .

Преобразование, которое мы сделали, носит название «выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена».

Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена 9 x 2 + 3 x + 1 .

Заметим, что 9 x 2 = ( 3 x ) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Тогда

Прибавим и вычтем к полученному выражению `(1/2)^2`, получаем

Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена для разложения квадратного трёхчлена на множители.

Разложите на множители квадратный трёхчлен 4 x 2 — 12 x + 5 .

Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена:

2 x 2 — 2 · 2 x · 3 + 3 2 — 3 2 + 5 = 2 x — 3 2 — 4 = ( 2 x — 3 ) 2 — 2 2 .

Теперь применяем формулу a 2 — b 2 = ( a — b ) ( a + b ) , получаем:

( 2 x — 3 — 2 ) ( 2 x — 3 + 2 ) = ( 2 x — 5 ) ( 2 x — 1 ) .

Разложите на множители квадратный трёхчлен — 9 x 2 + 12 x + 5 .

— 9 x 2 + 12 x + 5 = — 9 x 2 — 12 x + 5 . Теперь замечаем, что 9 x 2 = 3 x 2 , — 12 x = — 2 · 3 x · 2 .

Прибавляем к выражению 9 x 2 — 12 x слагаемое 2 2 , получаем:

— 3 x 2 — 2 · 3 x · 2 + 2 2 — 2 2 + 5 = — 3 x — 2 2 — 4 + 5 = — 3 x — 2 2 + 4 + 5 = = — 3 x — 2 2 + 9 = 3 2 — 3 x — 2 2 .

Применяем формулу для разности квадратов, имеем:

— 9 x 2 + 12 x + 5 = 3 — 3 x — 2 3 + ( 3 x — 2 ) = ( 5 — 3 x ) ( 3 x + 1 ) .

Разложите на множители квадратный трёхчлен 3 x 2 — 14 x — 5 .

Мы не можем представить выражение 3 x 2 как квадрат какого-то выражения, т. к. ещё не изучали этого в школе. Это будете проходить позже, и уже в Задании №4 будем изучать квадратные корни. Покажем, как можно разложить на множители заданный квадратный трёхчлен:

Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата для нахождения наибольшего или наименьшего значений квадратного трёхчлена.
Рассмотрим квадратный трёхчлен x 2 — x + 3 . Выделяем полный квадрат:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Заметим, что при `x=1/2` значение квадратного трёхчлена равно `11/4`, а при `x!=1/2` к значению `11/4` добавляется положительное число, поэтому получаем число, большее `11/4`. Таким образом, наименьшее значение квадратного трёхчлена равно `11/4` и оно получается при `x=1/2`.

Найдите наибольшее значение квадратного трёхчлена — 16 x 2 + 8 x + 6 .

Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена: — 16 x 2 + 8 x + 6 = — 4 x 2 — 2 · 4 x · 1 + 1 — 1 + 6 = — 4 x — 1 2 — 1 + 6 = = — 4 x — 1 2 + 7 .

При `x=1/4` значение квадратного трёхчлена равно 7 , а при `x!=1/4` из числа 7 вычитается положительное число, то есть получаем число, меньшее 7 . Таким образом, число 7 является наибольшим значением квадратного трёхчлена, и оно получается при `x=1/4`.

Разложите на множители числитель и знаменатель дроби `/` и сократите эту дробь.

Заметим, что знаменатель дроби x 2 — 6 x + 9 = x — 3 2 . Разложим числитель дроби на множители, применяя метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена.

x 2 + 2 x — 15 = x 2 + 2 · x · 1 + 1 — 1 — 15 = x + 1 2 — 16 = x + 1 2 — 4 2 = = ( x + 1 + 4 ) ( x + 1 — 4 ) = ( x + 5 ) ( x — 3 ) .

Данную дробь привели к виду `/(x-3)^2` после сокращения на ( x — 3 ) получаем `(x+5)/(x-3)`.

Разложите многочлен x 4 — 13 x 2 + 36 на множители.

Применим к этому многочлену метод выделения полного квадрата.

Разложите на множители многочлен 4 x 2 + 4 x y — 3 y 2 .

Применяем метод выделения полного квадрата. Имеем:

( 2 x ) 2 + 2 · 2 x · y + y 2 — y 2 — 3 y 2 = ( 2 x + y ) 2 — 2 y 2 = = ( 2 x + y + 2 y ) ( 2 x + y — 2 y ) = ( 2 x + 3 y ) ( 2 x — y ) .

Применяя метод выделения полного квадрата, разложите на множители числитель и знаменатель и сократите дробь `/`.

🎬 Видео

7 класс, 25 урок, Метод выделения полного квадратаСкачать

Полный квадрат. Где и когда он может пригодиться? | Математика TutorOnlineСкачать

Выделение полного квадратаСкачать

Алгебра 7 класс (Урок№28 - Выделение полного квадрата.)Скачать

Математика - Выделение полного квадратаСкачать

Математика 8 класс: выделение полного квадратаСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

8 класс. Метод выделения полного квадрата. Алгебра.Скачать

Математика Без Ху!ни. Метод выделения полного квадрата.Скачать

2017-02-13 Алгебра 7 класс. Выделение полного квадрата.Скачать

Как решать любое квадратное уравнение Полное Неполное квадр ур x^2+2x-3=0 5x^2-2x=0 2x^2-2=0 3x^2=0Скачать

Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Математика| Разложение квадратного трехчлена на множители.Скачать

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

Метод выделения полного квадрата. Математика. #EGECrushСкачать

Как решить квадратное уравнение за 30 секунд#математика #алгебра #уравнение #дискриминант #репетиторСкачать

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Метод выделения полного квадрата | Упрощение иррациональных выражений | Математика ЕГЭ, ЦТ, ЦЭСкачать