Ответы на учи ру 8 класс алгебра уравнения что такое дискриминант (3 видео)

Квадратные уравнения (8 класс)

Содержание

Уравнение называют квадратным, если его можно записать в виде (ax^2+bx+c=0), где (x) неизвестная, (a), (b) и (с) коэффициенты (то есть, некоторые числа, причем (a≠0)).
Коэффициент (a) называют первым или старшим коэффициентом, (b) – вторым коэффициентом, (c) – свободным членом уравнения.
Виды квадратных уравнений
Если в квадратном уравнении присутствуют все три его члена, его называют полным. В ином случае уравнение называется неполным.
Как решать квадратные уравнения
Формула корней квадратного уравнения
Формула корней квадратного уравнения
Частный случай полного квадратного уравнения
Дискриминант квадратного уравнения
Решение квадратных уравнений через дискриминант
📽️ Видео

Уравнение называют квадратным, если его можно записать в виде (ax^2+bx+c=0), где (x) неизвестная, (a), (b) и (с) коэффициенты (то есть, некоторые числа, причем (a≠0)).

В первом примере (a=3), (b=-26), (c=5). В двух других (a),(b) и (c) не выражены явно. Но если эти уравнения преобразовать к виду (ax^2+bx+c=0), они обязательно появятся.

Коэффициент (a) называют первым или старшим коэффициентом, (b) – вторым коэффициентом, (c) – свободным членом уравнения.

Видео:КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ дискриминантСкачать

Виды квадратных уравнений

Если в квадратном уравнении присутствуют все три его члена, его называют полным. В ином случае уравнение называется неполным.

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Как решать квадратные уравнения

В данной статье мы рассмотрим вопрос решения полных квадратных уравнений. Про решение неполных — смотрите здесь .

Итак, стандартный алгоритм решения полного квадратного уравнения:

Преобразовать уравнение к виду (ax^2+bx+c=0).

Выписать значения коэффициентов (a), (b) и (c).
Пока не отработали решение квадратных уравнений до автоматизма, не пропускайте этот этап! Особенно обратите внимание, что знак перед членом берется в коэффициент. То есть, для уравнения (2x^2-3x+5=0), коэффициент (b=-3), а не (3).

Вычислить значение дискриминанта по формуле (D=b^2-4ac).

Решите квадратное уравнение (2x(1+x)=3(x+5))
Решение:

Теперь переносим все слагаемые влево, меняя знак.

Уравнение приняло нужный нам вид. Выпишем коэффициенты.

Найдем дискриминант по формуле (D=b^2-4ac).

Найдем корни уравнения по формулам (x_1=frac<-b + sqrt>) и (x_2=frac<-b — sqrt>).

Решите квадратное уравнение (x^2+9=6x)
Решение:

Тождественными преобразованиями приведем уравнение к виду (ax^2+bx+c=0).

Найдем дискриминант по формуле (D=b^2-4ac).

Найдем корни уравнения по формулам (x_1=frac<-b + sqrt>) и (x_1=frac<-b — sqrt>).

В обоих корнях получилось одинаковое значение. Нет смысла писать его в ответ два раза.

Решите квадратное уравнение (3x^2+x+2=0)
Решение:

Уравнение сразу дано в виде (ax^2+bx+c=0), преобразования не нужны. Выписываем коэффициенты.

Найдем дискриминант по формуле (D=b^2-4ac).

Найдем корни уравнения по формулам (x_1=frac<-b + sqrt>) и (x_1=frac<-b — sqrt>).

Оба корня невычислимы, так как арифметический квадратный корень из отрицательного числа не извлекается.

Обратите внимание, в первом уравнении у нас два корня, во втором – один, а в третьем – вообще нет корней. Это связано со знаком дискриминанта (подробнее смотри тут ).

Также многие квадратные уравнения могут быть решены с помощью обратной теоремы Виета . Это быстрее, но требует определенного навыка.

Пример. Решить уравнение (x^2-7x+6=0).
Решение: Согласно обратной теореме Виета, корнями уравнения будут такие числа, которые в произведении дадут (6), а в сумме (7). Простым подбором получаем, что эти числа: (1) и (6). Это и есть наши корни (можете проверить решением через дискриминант).
Ответ: (x_1=1), (x_2=6).

Данную теорему удобно использовать с приведенными квадратными уравнениями, имеющими целые коэффициенты (b) и (c).

Видео:Как решить квадратное уравнение за 30 секунд#математика #алгебра #уравнение #дискриминант #репетиторСкачать

Формула корней квадратного уравнения

Корни уравнения первой степени находят по формуле через коэффициенты: ax+b=0 → ax=-b → x=-b/a. Для уравнений второй степени тоже существует формула, которая позволяет вычислять корни через коэффициенты.

Так как a≠0, то умножим обе части квадратного уравнения на выражение 4a. Тогда получим уравнение равносильное первоначальному: ax 2 +bx+c=0 → 4a 2 x 2 +4abx+4ac=0.

Далее прибавим и отнимем b 2 для выделения квадрата суммы: 4a 2 x 2 +4abx+b 2 –b 2 +4ac=0 → (2ax+b) 2 =b 2 -4ac.

Выражение в правой части уравнения b 2 -4ac называют дискриминантом и записывают как D: (2ax+b) 2 =D. Наличие и число корней квадратного уравнения связано со знаком дискриминанта. Очевидно, что дискриминант может быть отрицательным, положительным, равным нулю. Рассмотрим подробнее эти варианты.

Видео:Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Формула корней квадратного уравнения

При D 2 >0.
При D=0 квадратное уравнение имеет одно решение: (2ax+b) 2 =0 → 2ax+b=0 → x=-b/2a.
При D>0 квадратное уравнение имеет два корня: (2ax+b) 2 =D → (2ax+b) 2 =(√D) 2 → 2ax+b=±√D. Отсюда

Итак, квадратное уравнение при D 0 – два корня:

Последняя формула верна при D=0 как частный случай:

Таким образом, для решения квадратных уравнений применяют следующий алгоритм:

вычисляют дискриминант;
при отрицательном дискриминанте делают запись, что решений нет;
при неотрицательном дискриминанте находят корни по формуле корней квадратного уравнения.

Видео:Как решать любое квадратное уравнение Полное Неполное квадр ур x^2+2x-3=0 5x^2-2x=0 2x^2-2=0 3x^2=0Скачать

Частный случай полного квадратного уравнения

В случае, когда второй параметр квадратного уравнения целое четное число, удобно применять формулу, с помощью которой поиск корней несколько легче.

Заменим коэффициент b на 2k (k – целое число), тогда получим уравнение ax 2 +2kx+c=0 с дискриминантом D=4k 2 –4ac=4(k 2 –ac). Для удобства заменим выражение k 2 –ac на D₁. Тогда при D₁≥0 имеем:

Задание. Найти корни: 1) 5x 2 –4x–9=0; 2) -0,25x 2 +x–1=0 3) 2x 2 +3x–11=0; 4) 3x 2 +9x+13=0.

Второй коэффициент четный, поэтому воспользуемся упрощенной формулой:

Найдем дискриминант: D=1–4(0,25)∙1=1–1=0. Единственный корень x=-1/(-0,25∙2)=2.
D=3 2 –4∙2∙(-11)=9+88=97.

D=9 2 –4∙3∙13=81–156=-75. Так как дискриминант отрицателен, то исходное уравнение не имеет корней.

Видео:Алгебра 8 класс (Урок№29 - Решение задач с помощью квадратных уравнений.)Скачать

Дискриминант квадратного уравнения

Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, находящееся под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант обозначается латинской буквой D.

Вид уравнения	Формула корней	Формула дискриминанта
ax 2 + bx + c = 0		b 2 — 4ac
ax 2 + 2kx + c = 0		k 2 — ac
x 2 + px + q = 0
x 2 + px + q = 0		p 2 — 4q

Все формулы нахождения корней квадратных уравнений можно записать короче с помощью дискриминанта:

Вид уравнения	Формула
ax 2 + bx + c = 0	, где D = b 2 — 4ac
ax 2 + 2kx + c = 0	, где D = k 2 — ac
x 2 + px + q = 0	, где D =
x 2 + px + q = 0	, где D = p 2 — 4q

Дискриминант позволяет определить, имеет ли уравнение корни и сколько их, не решая само уравнение:

Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня.
Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.
Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет корней.

Несмотря на то, что есть несколько формул дискриминанта, чаще всего используют первую:

так как она относится к формуле:

которая является универсальной формулой нахождения корней квадратного уравнения. Данная формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

Видео:Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Решение квадратных уравнений через дискриминант

Для решения квадратного уравнения по формуле можно сначала вычислить дискриминант и сравнить его с нулём. В зависимости от результата, либо искать корни по формуле, либо сделать вывод, что корней нет.

Пример 1. Решить уравнение:

Определим, чему равны коэффициенты:

D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 · 3 · 2 = 16 — 24 = -8,

Определим, чему равны коэффициенты:

D = b 2 — 4ac = (-6) 2 — 4 · 1 · 9 = 36 — 36 = 0,

Уравнение имеет всего один корень: