Оценка качества подбора нелинейного уравнения регрессии производится на основе показателя

В случае нелинейной регрессии существенно усложняется процесс нахождения адекватной зависимости. В случае парной регрессии по- прежнему можно подбирать модель, основываясь на анализе корреляционного поля. Однако в большинстве случаев расположению точек на корреляционном поле приблизительно соответствует несколько различных функций, из которых надо выбрать наилучшую. В случае множественной регрессии ситуация еще более неоднозначная.

Так, например, при построении кривой Филлипса, указывающей, что зависимость между заработной платой у и безработицей х является обратной, возможны следующие модели:

Правильный выбор вида зависимости является необходимым элементом для качественного исследования. Последствия ошибки в выборе вида зависимости (неправильной спецификации) будут весьма серьезными. Обычно такая ошибка приводит либо к получению смещенных оценок, либо к ухудшению статистических свойств оценок коэффициентов регрессии и других показателей качества уравнения. В первую очередь это вызвано нарушением условий Гаусса-Маркова для отклонений. Прогнозные качества модели в этом случае будут невысоки.

Можно предложить несколько признаков «хорошей» модели [7].

• 1. Модель всегда является упрощением реальности, поэтому должна быть достаточно проста. Из двух моделей, приблизительно одинаково соответствующих данным, предпочтение скорее следует отдать более простой модели, содержащей, например, меньшее число объясняющих переменных.
• 2. Модель должна соответствовать теоретическим предпосылкам и сущности рассматриваемого явления. В §4.1 уже кратко обсуждались основные случаи использования рассматриваемых зависимостей. При выборе вида модели важно иметь в виду интерпретацию параметров зависимости.

Так, в линейных моделях коэффициент при объясняющей переменной показывает изменение зависимой переменной при увеличении объясняющей переменной на единицу или предельный эффект объясняющего фактора.

При анализе регрессионных моделей часто вычисляют коэффициенты эластичности, характеризующие влияние фактора на зависимую переменную: коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится у при изменении д: на 1%. Коэффициент эластичности, в общем случае, вычисляется по формуле

На практике часто вычисляют средний коэффициент эластичности

показывающий, на сколько процентов изменится у, если д- изменится на 1 % от среднего значения.

Для парной линейной регрессии коэффициент эластичности равен

Нетрудно видеть, что коэффициент эластичности для линейной зависимости непостоянен, зависит от значения д-, поэтому в таких случаях обычно рассчитывается средний коэффициент эластичности.

Среди нелинейных зависимостей в эконометрических исследованиях широко используется степенная зависимость (4.1.5). Это, в частности, связано с гем, что коэффициент /? имеет четкое экономическое обоснование — он является коэффициентом эластичности, только для степенной зависимости коэффициент эластичности представляет собой постоянную вели-

Степенную зависимость имеет смысл использовать тогда, когда есть основания предполагать постоянство эластичности.

Для линейно логарифмической зависимости (4.1.4) коэффициент при объясняющей переменной показывает, на сколько единиц возрастет у, если д- увеличится на 1 % (при интерпретации коэффициент следует делить на 100). Эластичность для этой модели убывает с ростом у.

Для логарифмически линейных зависимостей (4.1.8) коэффициент при независимой переменной показывает, на сколько процентов возрастает у при возрастании л; на одну единицу (при интерпретации коэффициент следует умножать на 100%). Эластичность для логлинейной зависимости

растет с ростом х. Если в качестве объясняющей переменной рассматривать время, то коэффициент при времени выражает темп прироста (часто говорят «темп роста») и показывает, на сколько процентов (если его умножить на 100%) возрастает у за единицу времени (например, ежегодно).

3. Модель должна хорошо соответствовать данным. Уравнение тем лучше, чем большую часть разброса зависимой переменной оно может объяснить.

Для оценки качества нелинейной регрессии аналогично линейной зависимости используют индекс детерминации

Видео:Эконометрика. Оценка значимости параметров уравнения регрессии. Критерий Стьюдента.Скачать

ОЦЕНКА КАЧЕСТВА УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ

Качество модели регрессии связывают с ее адекватностью наблюдаемым (эмпирическим) данным. Проверка адекватности (или соответствия) модели регрессии наблюдаемым данным проводится на основе анализа остатков е_г

После построения уравнения регрессии мы можем разбить значение Yв каждом наблюдении на две составляющие — j>, и е

Остаток e_j представляет собой отклонение фактического значения зависимой переменной от ее значения, полученного расчетным путем:

Если e_i = 0 (/ = 1, п), то для всех наблюдений фактические значения зависимой переменной совпадают с расчетными (теоретическими) значениями. Графически это означает, что теоретическая линия регрессии (линия, построенная по функции у _<= 6с + (к,) проходит через все точки корреляционного поля, что возможно только при строго функциональной связи. Следовательно, результативный признак Y полностью обусловлен влиянием фактора X.

На практике, как правило, имеет место некоторое рассеивание точек корреляционного поля относительно теоретической линии регрессии, т.е. отклонения эмпирических данных от теоретических (e_i Ф 0). Величина этих отклонений и лежит в основе расчета показателей качества (адекватности) уравнения регрессии.

При анализе качества модели регрессии используется основное положение дисперсионного анализа [13], согласно которому общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от среднего значения у может быть разложена на две составляющие — объясненную и не объясненную уравнением регрессии:

где у, — значения у, вычисленные по модели

Часто уравнение (3.3.11) записывают в следующих обозначениях:

где — общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от ее среднего выборочного значения;

— объясненная регрессией сумма квадратов отклонений;

— не объясненная регрессией (остаточная) сумма квадратов отклонений.

Разделив правую и левую части уравнения (3.3.11) на,

получим

Коэффициент детерминации определяют следующим образом:

Данный коэффициент показывает долю вариации результативного признака, находящегося под воздействием изучаемых факторов, т.е. определяет, какая доля вариации признака Yучтена в модели и обусловлена влиянием на него факторов.

Чем ближе R 2 к единице, тем выше качество модели.

Для оценки качества регрессионных моделей целесообразно также использовать коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции):

Данный коэффициент универсален, так как он отражает тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи переменных.

Для парной модели регрессии индекс корреляции равен коэффициенту парной корреляции:

Очевидно, что чем меньше влияние неучтенных факторов, тем лучше модель соответствует фактическим данным.

Для оценки качества регрессионных моделей используется также средняя относительная ошибка аппроксимации:

Чем меньше рассеяние эмпирических точек вокруг теоретической линии регрессии, тем меньше средняя ошибка аппроксимации; Е_ОТН 2 = 0. Альтернативная гипотеза о значимости уравнения — гипотеза о неравенстве нулю параметров регрессии.

Для проверки значимости модели регрессии используется /’-критерий Фишера, вычисляемый как отношение дисперсии исходного ряда и несмещенной дисперсии остаточной компоненты. Если расчетное значение с = к и v₂ = п — к — 1 степенями свободы, где к — количество факторов, включенных в модель, больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

Для модели парной регрессии

В качестве меры точности применяют несмещенную оценку дисперсии остаточной компоненты 2 _е, которая представляет собой отношение суммы квадратов уровней остаточной компоненты к величине (п — k — 1), где к — количество факторов, включенных в модель. Квадратный корень из этой величины называется стандартной ошибкой’.

Для модели парной регрессии

Во-вторых, необходим анализ статистической значимости параметров модели парной регрессии у₍ = ос + (Зх,- + г_г

Значения у_р соответствующие данным x_j при теоретических значениях а и (3, являются случайными. Случайными являются и рассчитанные по ним значения коэффициентов а и |3.

Надежность получаемых оценок а и (3 зависит от дисперсии случайных отклонений (ошибок).

По данным выборки эти отклонения и, соответственно, их дисперсия не оцениваются — в расчетах используются отклонения зависимой переменной y_t от ее расчетных значений у<.

Так как ошибки (остатки) e_t нормально распределены, то среднеквадратическое отклонение ошибок используется для измерения этой вариации.

Среднеквадратические отклонения коэффициентов известны как стандартные ошибки коэффициентов’.

где х — среднее значение независимой переменной х; а_е — стандартная ошибка, вычисляемая по формуле (3.3.16).

Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии связана с определением расчетных значений /-критерия (/-статистики) для соответствующих коэффициентов регрессии:

Затем расчетные значения /_расч сравниваются с табличными /_табл. Табличное значение критерия определяется при (п — 2) степенях свободы (п — число наблюдений) и соответствующем уровне значимости а.

Если расчетное значение /-критерия с (п — к — 1) степенями свободы больше его табличного значения при заданном уровне значимости, коэффициент регрессии считается значимым. В противном случае фактор, соответствующий этому коэффициенту, должен быть исключен из модели, а оставшиеся в модели параметры пересчитаны.

Интервальная оценка параметров модели выполняется для значимого уравнения по формулам

где о_&, о^ — стандартные ошибки параметров модели. Полученные

таким образом доверительные интервалы с вероятностью (1 — а) накрывают истинные значения параметров аир.

Видео:Эконометрика. Оценка значимости уравнения регрессии. Критерий ФишераСкачать

Нелинейные модели регрессии. Виды нелинейных уравнений регрессии. Линеаризация нелинейных моделей регрессии. Оценка качества нелинейных уравнений регрессии.

При исследовании социально-экономических явлений и процессов далеко не все зависимости можно описать с помощью линейной связи. Поэтому в эконометрическом моделировании широко используется класс нелинейных моделей регрессии, которые делятся на два класса:

1) модели регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ независимых переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

2) модели регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

К моделям регрессии, нелинейным относительно включённых в анализ независимых переменных (но линейных по оцениваемым параметрам), относятся полиномы выше второго порядка и гиперболическая функция.

Модели регрессии, нелинейным относительно включённых в анализ независимых переменных, характеризуются тем, что зависимая переменная yi линейно связана с параметрами β0…βn модели.

Полиномы или полиномиальные функции применяются при анализе процессов с монотонным развитием и отсутствием пределов роста. Данному условию отвечают большинство экономических показателей (например, натуральные показатели промышленного производства). Полиномиальные функции характеризуются отсутствием явной зависимости приростов факторных переменных от значений результативной переменной yi.

Общий вид полинома n-го порядка (n-ой степени):

Чаще всего в эконометрическом моделировании применяется полином второго порядка (параболическая функция), характеризующий равноускоренное развитие процесса (равноускоренный рост или снижение уровней):

Полиномы, чей порядок выше четвёртого, в эконометрических исследованиях обычно не применяются, потому что они не способны точно отразить существующую зависимость между результативной и факторными переменными.

Гиперболическая функция характеризует нелинейную зависимость между результативной переменной yi и факторной переменной xi, однако, данная функция является линейной по оцениваемым параметрам β0 и β1.

Гиперболоид или гиперболическая функция имеет вид:

Данная гиперболическая функция является равносторонней.

В качестве примера эконометрической модели в виде гиперболической функции можно привести модель зависимости затрат на единицу продукции от объёма производства.

Неизвестные параметры β0…βn модели регрессии, нелинейной по факторным переменным, можно найти только после того, как модели будет приведена к линейному виду.

Для того чтобы оценить неизвестные параметры β0…βn нелинейной регрессионной модели необходимо привести её к линейному виду. Суть процесс линеаризации нелинейных по факторным переменным моделей регрессии заключается в замене нелинейных факторных переменных на линейные переменные.

Рассмотрим процесс линеаризации полиномиальной функции порядка n:

Заменим все факторные переменные на линейные следующим образом:

Тогда модель множественной регрессии можно записать в виде:

yi=β0+β1c1i+ β2c2i+…+ βncni+εi.

Рассмотрим процесс линеаризации гиперболической функции:

Данная функция может быть приведена к линейному виду путём замены нелинейной факторной переменной 1/x на линейную переменную с. Тогда модель регрессии можно записать в виде:

Следовательно, модели регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ независимых переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, могут быть преобразованы к линейному виду. Это позволяет применять к линеаризованным моделям регрессии классические методы определения неизвестных параметров модели (метод наименьших квадратов), а также методы проверки различных гипотез

Характеристика временных рядов. Временные ряды данных. Структура временного ряда. Аддитивная и мультипликативная модели временных рядов. Модели стационарных и нестационарных временных рядов и их идентификация.

Система одновременных уравнений. Общие понятие о системах уравнений, используемых эконометрике. Классификация систем уравнений. Идентификация систем эконометрических уравнений. Методы оценки параметров систем одновременных уравнений.

Видео:Простые показатели качества модели регрессии (R2, критерии Акаике и Шварца)Скачать

Нелинейные модели регрессии / Оценка качества нелинейных уравнений регрессии

Задание N 16. Качество подбора нелинейного уравнения регрессии можно охарактеризовать на основе показателей …

Варианты ответа: коэффициента эластичности индекса детерминации коэффициента линейной корреляции средней ошибки аппроксимации

Решение:

Для оценки качества нелинейного уравнения может быть использован индекс детерминации, который характеризует долю дисперсии результативного признака, объясненную нелинейной регрессией, в общей доле дисперсии результативного признака. Оценка качества прогностической силы нелинейного уравнения может быть выполнена с использованием показателя средней ошибки аппроксимации.

Расчет коэффициента линейной корреляции для оценки нелинейного уравнения проводить нецелесообразно, так как он оценивает тесноту линейной связи. Значение коэффициента эластичности не характеризует прогностическую силу построенной нелинейной модели, поэтому этот показатель в данном случае не применяется.

Дата добавления: 2015-11-14 ; просмотров: 335 | Нарушение авторских прав

🎥 Видео

Интерпретация коэффициента при логарифмировании в уравнениях регрессииСкачать

Критерий Фишера для проверки адекватности построенной регрессииСкачать

Эконометрика. Линейная парная регрессияСкачать

Нелинейная регрессия в MS Excel. Как подобрать уравнение регрессии? Некорректное значение R^2Скачать

Парная регрессия: линейная зависимостьСкачать

Эконометрика. Нелинейная регрессия. Степенная функция.Скачать

Регрессия в ExcelСкачать

Линейная регрессия. Оценка качества моделиСкачать

Эконометрика Линейная регрессия и корреляцияСкачать

Эконометрика. Нелинейная регрессия. Полулогарифмические функции.Скачать

Регрессия - как строить и интерпретировать. Примеры линейной и множественной регрессии.Скачать

Эконометрика. Построение модели множественной регрессии в Excel. Часть 1.Скачать

Парная нелинейная регрессияСкачать

Уравнение линейной регрессии. Интерпретация стандартной табличкиСкачать

Нелинейная регрессияСкачать

Коэффициент детерминации. Основы эконометрикиСкачать

РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. Статистика в ТрейдингеСкачать