Отделите корни заданного уравнения пользуясь графическим методом схематически на бумаге

Пример 2.1. Отделить корни уравнения sin5x + x 2 – 1 = 0.

Решение. Построим таблицу значений функции y = sin5x + x 2 – 1 на отрезке [–4; 4] с шагом изменения аргумента h = 1, пользуясь калькулятором или электронными таблицами (табл. 2.1).

Табл. 2.1 показывает, что данное уравнение имеет корни в интервалах
(–1; 0) и (1; 2), так как функция меняет знак в этих промежутках. Пока мы не можем утверждать, что в найденных интервалах содержится ровно по одному корню и, что в других интервалах корней нет. Чтобы уточнить информацию о числе корней можно построить таблицу значений функции с меньшим шагом, например h = 0,1.

Для отделения корней уравнения естественно применять графический метод. График функции y = f(x) с учетом свойств функции дает много информации для определения числа корней уравнения f(x) = 0.

Построим для примера 2.1 график функции в программе Excel на отрезке [–1, 2] с шагом изменения аргумента h = 0,1. Для этого выполним следующие действия в программе Excel:

1) В диапазоне A2:A32 введем значения переменной x. Для этого в ячейке A2 запишем –1, в ячейке A3 — значение –1,9. После этого выделим диапазон A2:A3 и с помощью маркера заполнения присвоим значения остальным ячейкам до ячейки A32.

2) В ячейку B2 введем формулу =SIN(5*A2)+A2^2–1 и скопируем B2 с помощью маркера заполнения в остальные ячейки до ячейки B32.

3) Выделим диапазон A2:B32 и с помощью мастера диаграмм (тип диаграммы «Точечная, точечная диаграмма со значениями, соединенными отрезками без маркеров») построим график функции.

Полученный график представлен на рис. 2.1.

Из графика видно, что на отрезке [0; 0,5] есть два корня. Из таблицы A2:B32 значений функции заключаем, что уравнение имеет четыре корня в интервалах [–0,8; –0,7], [0,2; 0,3], [0,4; 0,5], [1,1; 1,2].

Чтобы убедиться в том, что больше корней нет, преобразуем уравнение к виду sin 5x = 1 – x 2 и построим графики двух функций f₁(x) = sin 5x и
f₂(x) = 1 – x 2 . Корням соответствуют абсциссы точек пересечения этих графиков. Так как значения первой функции ограничены и принадлежат отрезку [–1; 1], то подберем отрезок значений x для построения графиков так, чтобы за пределами этого отрезка значения второй функции были по абсолютной величине больше единицы. Искомые корни могут находиться только внутри этого отрезка. Очевидно, что отрезок [–2; 2] удовлетворяет этим условиям, так как при |x| > 2 выполнено неравенство |f₂(x)| > 1. Построим графики этих функций на отрезке [–2; 2] с шагом h = 0,2. Для этого в программе Excel выполним следующие действия:

1) В ячейке A2 запишем –2, в ячейке A3 значение –1,8. Выделим диапазон A2:A3 и с помощью маркера заполнения присвоим значения остальным ячейкам до появления значения 2 (до ячейки A42).

2) В ячейку B2 введем формулу =SIN(5*A2) и скопируем B2 с помощью маркера заполнения в остальные ячейки до ячейки B42.В ячейку C2 введем формулу =1–A2^2 и скопируем C2 с помощью маркера заполнения в остальные ячейки до ячейки C42.

3) Выделим диапазон A2:C42 и с помощью мастера диаграмм (тип диаграммы «Точечная») построим графики функций.

Из рис. 2.2 видно, что графики пересекаются в четырех точках и данное уравнение имеет ровно четыре корня, что подтверждает предыдущие выводы.

До настоящего времени графический метод предлагалось применять для нахождения грубого значения корня или нахождения интервала, содержащего корень, и затем применять итерационные методы, т.е. методы пос­­ледовательных приближений для уточнения значения корня. С появлением математических пакетов и электронных таблиц стало возможным вычислять таблицы значений функции с любым шагом и строить графики с высокой точностью. Это позволяет уточнять очередной знак в приближенном значении корня при помощи следующего алгоритма:

1) Если функция f(x) на концах отрезка [a, b] принимает значения разных знаков, то делим отрезок на 10 равных частей и находим ту часть, которая содержит корень (таким способом мы можем уменьшить длину отрезка, содержащего корень, в 10 раз).

2) Повторим действия предыдущего пункта для полученного отрезка.

Этот процесс можно продолжать до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданной погрешности.

Пример 2.2. Отделить корни уравнения sin x + x – 1 = 0.

Решение. Найдем производную функции f(x) = sin x + x – 1 и её корни:

Функция f(x) = sin x + x – 1 монотонна на отрезках [– π + 2πk, π + 2πk]. Очевидно, что лишь отрезок [– π, π] содержит корень и он единственный.

Пример 2. 3.Вычислить графически с точностью до 0,0001 корень уравнения sin5x + x 2 – 1 = 0, принадлежащий интервалу (0,4; 0,5).

Решение. Построим график функции y = sin5x + x 2 – 1 на отрезке
[0,4; 0,5] с шагом h = 0,01 (делим отрезок на 10 частей) в программе Excel:

1) В диапазоне A2:A12 введем значения переменной x. Для этого в ячейке A2 запишем 0,40, в ячейке A3 — значение 0,41. После этого выделим диапазон A2:A3 и с помощью маркера заполнения присвоим значения остальным ячейкам до ячейки A12.

2) В ячейку B2 введем формулу =SIN(5*A2)+A2^2–1 и скопируем B2 с помощью маркера заполнения в остальные ячейки до ячейки B12.

3) Выделим диапазон A2:B12 и с помощью мастера диаграмм (тип диаграммы “Точечная”!) построим график функции.

Видео:Как решать систему уравнений графическим методом? | Математика | TutorOnlineСкачать

Практическая часть. Задание 1. Отделите корни заданного уравнения, пользуясь графическим методом (схематически, на бумаге)

Задание 1. Отделите корни заданного уравнения, пользуясь графическим методом (схематически, на бумаге), а затем с помощью инструментального пакета Excel (см. рис 2.3). Это же задание выполните с помощью функции “Подбор параметра” (см. рис. 2.8).

Задание 2.По методу половинного деления (Ньютона, хорд) вычислите один корень заданного уравнения с точностью 10 -3 (10 -6 для методов Ньютона и хорд)

1. с помощью “ручной” расчетной таблицы и калькулятора;
2. с помощью программы, составленной в Excel (указание: необходимо использовать логические функции Excel “И, ИЛИ, ЕСЛИ”, а также включить функцию “Итерации” в меню Сервис→Параметры→Вычисления, см. Приложение 1).

Сопоставьте и прокомментируйте полученные результаты.

Варианты заданий приведены в табл. 2.1.

Пояснения к выполнению лабораторной работы № 2

При выполнении задания 1 отделение корней заданного уравнения выполняется с помощью схематического графика на бумаге. Во многих случаях задачу графического отделения корня можно упростить, заменив исходное уравнение вида F(x)=0 равносильным ему уравнением .Для решения этой же задачи с помощью компьютера используется инструментальный пакет Excel. Строится таблица значений функции и аргумента с определенным шагом. Задание шага может варьироваться в зависимости от величины выбранного участка и характера поведения функции F(x). Результатом выполнения задания должен быть перечень отрезков, содержащих по одному корню уравнения (см. примеры 2.1, 2.2, а также рис. 4, 5, 6). Затем отделение корней выполняется с помощью функции “Подбор параметра” в меню “Сервис” (см. рис. 11).

При выполнении задания 2 сначала уточняется один корень заданного уравнения по методу половинного деления (Ньютона, хорд) с заданной точностью с помощью “ручной” расчетной таблицы и калькулятора. Если корней несколько, то выбирается любой из участков, содержащий корень, подлежащий уточнению. Форма расчетной таблицы, которую можно использовать для организации “ручных” вычислений, показана ниже (пример приведен для метода половинного деления):

Далее для расчета используется инструментальный пакет Excel, составляется алгоритм для расчета корня уравнения с использованием функций этого пакета. После выполнения заданий требуется сравнить полученные результаты и сопоставить в них верные цифры.

Видео:Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Отделение корней

Приближенное значение корня может быть определено различными способами.

Видео:Алгебра 8 класс (Урок№6 - Решение уравнений графическим способом.)Скачать

Графический метод отделения корней

Пусть требуется отделить корни уравнения (2.1). Строим график функции Дх) = 0. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью ОХ будут приближенными значениями корней уравнения (2.1).

Часто уравнение (2.1) преобразовывают к более простому виду. Допустим:

Строим графики функций: yi = cpi(x); и yi=q>i(x). Корнями уравнения (2.3) будут являться абсциссы пересечения этих графиков.

Пример 2.1. Отделить корни уравнения /(х) = х ? lgx — 1=0. Преобразуем уравнениеДх) к виду:

Построим графики функций у, = lg х ну₂ = 1/х (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Графический метод отделения корней

Точка пересечения графиков дает приближенное значение единственного корня ?, а 2,5.

Видео:7 класс, 35 урок, Графическое решение уравненийСкачать

Аналитический метод отделения корней

Теорема. Если непрерывная функция /(х) принимает значения разных знаков на концах отрезка [а, Ь

При заданных значениях х от — оо до + определяются знаки функции Дх). Результаты поиска приведены в таблице.

🎥 Видео

Отбор корней по окружностиСкачать

Решение системы уравнений графическим методомСкачать

Графический метод решения уравнений 8 классСкачать

Отделение корней уравнений аналитическим методом. Уточнение корней методом половинного деленияСкачать

Построить график ЛИНЕЙНОЙ функции и найти:Скачать

Графический метод решения задачи линейного программирования (ЗЛП)Скачать

8 класс, 21 урок, Графическое решение уравненийСкачать

Как построить график линейной функции.Скачать

3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из ВебиумаСкачать

Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСССкачать

Три способа отбора корней в задании 13 ЕГЭ профильСкачать

Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnlineСкачать

Как построить график функции без таблицыСкачать

Графический метод решения уравнений | Математика легко | ЦТ, ЦЭ, ЕГЭ | Решение задач по математикеСкачать

Графический способ решения уравнений и неравенств | Алгебра 10 классСкачать

Как решают уравнения в России и США!?Скачать