Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

Численные методы решения нелинейных уравнений

В этом разделе приведены примеры решенных задач по теме нахождения корней нелинейных уравнений численными методами. На первом этапе обычно происходит локализация (отделение) корней (графически или аналитически), на втором — уточнение (поиск) корней разными методами: Ньютона, Стеффенсена, секущих, хорд, касательных, простой итерации.

Видео:Отделение корней уравнений аналитическим методом. Уточнение корней методом половинного деленияСкачать

Отделение корней уравнений аналитическим методом. Уточнение корней методом половинного деления

Примеры приближенных решений нелинейных уравнений онлайн

Задача 1. Методом бисекции найти решение нелинейного уравнения на отрезке $[a;b]$ с точностью $varepsilon = 10^$. Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью $varepsilon=10^$. Для метода простой итерации обосновать сходимость и оценить достаточное для достижения заданной точности число итераций.

Задача 2. Отделить корни нелинейного уравнения аналитически $2 arcctg x -x+3=0$.

Задача 3. Отделить корни нелинейного уравнения аналитически и уточнить один из них методом проб с точностью до 0,01. $$3x^4-8x^3-18x^2+2=0.$$

Задача 4. Отделить корни нелинейного уравнения графически (например, в среде EXCEL) уточнить один из них методом проб с точностью до 0,01. $$x^2-20 sin x =0.$$

Задача 5. Отделите корни уравнения графически и уточните один из них методом хорд с точностью до 0,001. Уточните один из корней этого уравнения методом касательных с точностью до 0,001. $$ sqrt — cos 0.387 x =0.$$

Задача 6.Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом итераций с точностью до 0,001. $$sqrt=frac.$$

Задача 7. На отрезке $[0;2]$ методом Ньютона найти корень уравнения $-x^3-2x^2-4x+10=0$ с точностью 0,01.

Задача 8. Методом хорд найти отрицательный корень уравнения $x^3-2x^2-4x+7=0$ с точностью 0,0001. Требуется предварительное построение графика функции и отделение корней.

Задача 9. Решить нелинейные уравнения с точностью до 0.001. $$1), x^3-12x-5=0, (x gt 0), , 2), tan x -1/x=0. $$

Видео:7 класс, 35 урок, Графическое решение уравненийСкачать

7 класс, 35 урок, Графическое решение уравнений

математика. Контрольная работа № 1. Задание 1 Определить корни уравнения графически и уточнить один из них методом итераций с точностью до 0,001. Решение

НазваниеЗадание 1 Определить корни уравнения графически и уточнить один из них методом итераций с точностью до 0,001. Решение
Анкорматематика
Дата19.03.2022
Размер89.95 Kb.
Формат файлаОтделить корни уравнения графически и уточнить один из них
Имя файлаКонтрольная работа № 1.docx
ТипРешение
#404383
Подборка по базе: практическое задание №4 Изъюров Л.С..docx, Практическое задание 1.doc, Практическое задание_2математика_Зейналова_Лейла.doc, Аналитическое задание педагогика ипз.docx, Практическое задание 2.rtf, Домашнее задание по колледжу.docx, Ответ на задание 1.1.docx, Практическое задание к теме 2.docx, Практическое задание №1.docx, Практическая работа №3. Задание №1.docx

Определить корни уравнения графически и уточнить один из них методом итераций с точностью до 0,001.

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

Сначала нужно отделить решения. Удобно записать уравнение в виде Отделить корни уравнения графически и уточнить один из нихи построить графики двух элементарных функций

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

Из графика следует, что корень один: x * ∈ [0;1].

Представим уравнение в форме:

Найдем максимальное значение производной от функции
f(x) = x*(x+1) 2 -1

Значение λ = 1/(8) ≈ 0.125

Таким образом, решаем следующее уравнение:

Поскольку F(0)*F(1)
Остальные расчеты сведем в таблицу.

NXF(x)
10-1
20.125-0.8418
30.2302-0.6516
40.3117-0.4638
50.3696-0.3066
60.408-0.1913
70.4319-0.1145
80.4462-0.0668
90.4545-0.03833
100.4593-0.02178
110.4621-0.01231
120.4636-0.00693

Ответ: x = 0.46359395923842; F(x) = -0.00693
Сходимость:
Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом касательных с точностью до 0,001

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

Сначала нужно отделить решения. Удобно записать уравнение в виде Отделить корни уравнения графически и уточнить один из нихи построить графики двух элементарных функций

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

Из графика следует, что корень множество, возьмем: x * ∈ [0;1].

Сначала нужно выбрать начальное приближение.

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

Вычислим несколько приближений:

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

Решение получено за 4 итерации, так как поправка стала меньше заданной точности: Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

Методом итераций решить систему линейныx уравнений с точностью до 0,001.

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

Приведем к виду:

На главной диагонали матрицы присутствует нулевой элемент. Его необходимо исключить.
Вычисления заканчиваются по критерию:

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них
a = 0.348+0.522+1.391 = 2.2609
Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

Поскольку 2.2609>1, то скорость итерационного процесса будет низкой. Необходимо сделать так, чтобы a → 0. Руководствуясь этим соображением, целесообразно сделать диагональное преобладание возможно более значительным (например, умножить какую-нибудь строку на коэффициент и прибавить к другой).
Покажем вычисления на примере нескольких итераций.

N=1
x 1 =-5.261 — 0*(-0.609) — 0*0.261 — 0*(-0.522)=-5.261
x 2 =2.25 — 0*0.375 — 0*0 — 0*(-0.563)=2.25
x 3 =2.522 — 0*0.348 — 0*(-0.522) — 0*1.391=2.522
x 4 =-1.56 — 0*0.25 — 0*0.22 — 0*0.14=-1.56

N=2
x 1 =-5.261 — 2.25*(-0.609) — 2.522*0.261 — (-1.56)*(-0.522)=-5.363
x 2 =2.25 — (-5.261)*0.375 — 2.522*0 — (-1.56)*(-0.563)=3.345
x 3 =2.522 — (-5.261)*0.348 — 2.25*(-0.522) — (-1.56)*1.391=7.696
x 4 =-1.56 — (-5.261)*0.25 — 2.25*0.22 — 2.522*0.14=-1.093

N=3
x 1 =-5.261 — 3.345*(-0.609) — 7.696*0.261 — (-1.093)*(-0.522)=-5.802
x 2 =2.25 — (-5.363)*0.375 — 7.696*0 — (-1.093)*(-0.563)=3.646
x 3 =2.522 — (-5.363)*0.348 — 3.345*(-0.522) — (-1.093)*1.391=7.653
x 4 =-1.56 — (-5.363)*0.25 — 3.345*0.22 — 7.696*0.14=-2.033

Остальные расчеты сведем в таблицу.

Nx1x2x3e1e2e3
00000
1-5.2612.252.522-1.565.2612.252.5221.56
2-5.3633.3457.696-1.0930.1021.0955.174-0.467
3-5.8023.6467.653-2.0330.4390.301-0.0430.94
4-6.0983.2839.27-1.9830.296-0.3641.617-0.0496
5-6.7163.4219.115-2.0550.6180.139-0.1560.0724
6-6.6283.6129.503-1.91-0.08740.1910.388-0.146
7-6.5373.6619.369-2.028-0.0910.0492-0.1340.118
8-6.5343.5619.527-2.043-0.00311-0.1010.1580.0149
9-6.6453.5519.495-2.0440.11-0.00953-0.03290.000829
10-6.6423.5929.529-2.009-0.002350.04090.0345-0.0343
11-6.6093.6119.502-2.024-0.03380.0184-0.02720.0144
12-6.5983.599.52-2.032-0.0108-0.02080.01790.00869
13-6.623.5819.517-2.0330.0219-0.00892-0.00250.000629
14-6.6253.5899.521-2.0250.005110.007840.00382-0.00777
15-6.6173.5959.516-2.026-0.007830.00629-0.004950.000983
16-6.6123.5929.518-2.029-0.00461-0.003490.001920.00265
17-6.6163.5889.518-2.030.00401-0.003220.0002620.000653
18-6.6193.5899.519-2.0280.002370.001140.000624-0.00167
19-6.6173.5919.518-2.028-0.00140.00183-0.000912-0.000255
20-6.6163.5919.518-2.028-0.00148-0.0003820.0001130.000625
21-6.6163.599.518-2.0290.000588-0.0009080.0001540.000303

Для оценки погрешности вычисляем коэффициент α:
Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них
max[|x 20 ,x 21 |] = ρ(x 20 , x 21 ) = |-2.029 — (-2.028)| = 0.000908

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

Методом Гаусса-Зейделя решить с точностью 0,001 систему линейных уравнений, приведя ее к виду, удобному для итераций.

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

Приведем к виду:

Покажем вычисления на примере нескольких итераций.

N=1
x 1 =-1.143 — 0*1.214 — 0*2.071=-1.143
x 2 =0.767 — (-1.143)*0.164 — 0*(-0.315)=0.955
x 3 =-1.216 — (-1.143)*(-0.405) — 0.955*(-0.622)=-1.086

N=2
x 1 =-1.143 — 0.955*1.214 — (-1.086)*2.071=-0.0531
x 2 =0.767 — (-0.0531)*0.164 — (-1.086)*(-0.315)=0.434
x 3 =-1.216 — (-0.0531)*(-0.405) — 0.434*(-0.622)=-0.968

N=3
x 1 =-1.143 — 0.434*1.214 — (-0.968)*2.071=0.336
x 2 =0.767 — 0.336*0.164 — (-0.968)*(-0.315)=0.407
x 3 =-1.216 — 0.336*(-0.405) — 0.407*(-0.622)=-0.827

Остальные расчеты сведем в таблицу.

Nx1x2x3e1e2e3
0000
1-1.1430.955-1.0861.1430.9551.086
2-0.05310.434-0.968-1.09-0.521-0.118
30.3360.407-0.8270.283-0.0269-0.141
40.07640.494-0.878-0.260.08710.0511
50.07640.478-0.8883.3E-5-0.01610.00999
60.1170.468-0.8780.0402-0.00976-0.0102
70.1070.473-0.879-0.009370.004770.000834
80.1030.473-0.88-0.004060.0004050.0014
90.1060.472-0.880.0024-0.000834-0.000454
100.1060.473-0.887.2E-50.000131-0.000111

Для оценки погрешности вычисляем коэффициент α:

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них
max[|x 9 ,x 10 |] = ρ(x 9 , x 10 ) = |-0.88 — (-0.88)| = 0.000131

Видео:Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать

Метод Ньютона (метод касательных) Пример Решения

Метод половинного деления. Один из методов уточнения корней уравнения (1) – метод половинного деления

Один из методов уточнения корней уравнения (1) – метод половинного деления. Исходные данные: уравнение f(x)=0; отрезок [a,b], на котором существует единственный корень уравнения (корень отделен), т.е. f(x) удовлетворяет условиям: f(x) непрерывна на [a,b], монотонна нем и f(a)f(b) 0 (знаки функции f(x) в точках a и c одинаковы), то левый конец отрезка заменяется на середину (а=с) иначе правый конец заменяется на середину (b=c).

4. Если длина отрезка не превосходит заданной точности (b-a 4 -x 3 -2x 2 +3x-3=0.

Полагая f(x)= x 4 -x 3 -2x 2 +3x-3, имеем f’(x)=4x 3 -3x 2 -4x+3.

Найдем нули производной: 4x 3 -3x 2 -4x+3=0; 4x(x 2 -1)-3(x 2 -1)=0;(x 2 -1)(4x-3)=0;

Составим таблицу знаков функции f(x):

x-∞-13/4+∞
f(x)++

Из таблицы видно, что уравнение имеет два действительных корня x1 Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них(-∞;-1) и x2 Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них(1;+ ∞). Уменьшим промежутки, на которых находятся корни, до единичной длины:

x-2-1
f(x)++

Следовательно, x1 Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них(-2;-1) и x2 Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них(1;2).

Уточним один из корней, например, x1, методом половинного деления до сотых долей. Все вычисления удобно производить, используя следующую таблицу:

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

Второй корень, уточняемый аналогичным образом, равен 1,73.

2. Отделить корни графически и уточнить их методом половинного деления.

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

Перепишем уравнение в виде Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них. Обозначим Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них, Отделить корни уравнения графически и уточнить один из нихи построим графики этих функций:

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них Отделить корни уравнения графически и уточнить один из нихОтделить корни уравнения графически и уточнить один из них

Из рисунка видно, что уравнение имеет три корня: точный x=0 и еще два, расположенных симметрично на отрезках [-3;-2] и [2;3].

Уточним корень на отрезке [2;3]:

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

Задания

1)Отделить корни аналитически и уточнить их методом половинного деления до 0,01, используя электронные таблицы.

1. 3x 4 +4x 3 -12x 2 -5=0

2. 2x 3 -9x 2 -60x+1=0

5. 3x 4 +3x 3 +6x 2 -10=0

7. x 4 +4x 3 -3x 2 -17=0

8. x 4 -x 3 -2x 2 +3x-3=0

9. 3x 4 +4x 3 -12x 2 +1=0

10. 3x 4 -8x 3 -18x 2 +2=0

11. 2x 4 -3x 3 +8x 2 -1=0

12. 2x 4 +8x 3 +3x 2 -1=0

13. x 4 -4x 3 -8x 2 +1=0

14. 3x 4 +4x 3 -12x 2 -5=0

15. 2x 3 -8x 2 -30x+1=0

17. 2x 4 -2x 2 -7=0

18. 3x 4 +8x 3 +6x 2 -10=0

19. x 4 -18x 2 +6=0

20. x 4 +4x 3 -3x-7=0

21. x 4 -2x 3 -x 2 +3x-3=0

22. 3x 4 +4x 3 -3x 2 -17=0

23. 2x 4 -5x 3 -12x 2 +2=0

24. 3x 4 +9x 3 -14x 2 +1=0

25. x 4 +2x 3 -x-1=0

26. x 4 +8x 3 -6x 2 -72x=0

28. x 4 -3x 2 +75x-10000=0

2) Отделить корни графически и уточнить их методом половинного деления до 0.01, используя электронные таблицы.

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

Лабораторная работа №3

Решение нелинейных уравнений методом хорд

Краткая теория

Будем рассматривать уравнения вида f(x)=0 (1). Пусть корень уравнения отделен и находится на отрезке [a,b]. Уточним этот корень методом хорд. Геометрически метод хорд означает замену на отрезке [a,b] графика функции y=f(x) хордой, проведенной через точки (a,f(a)) и (b,f(b)):

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

Здесь ξ — точный корень уравнения (1), ­­x Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них— начальное приближение к корню, x Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них-точка пересечения хорды с осью Ох – первое приближение к корню. Далее метод хорд применяется на отрезке [a, x Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них] и получается второе приближение к корню — x Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них. В случае, изображенном на рис.1, конец отрезка а остается неподвижным. Из уравнения хорды и условия, что точка (x Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них,0) принадлежит хорде, получается формула для вычисления n-го приближения к корню для случая, когда а – неподвижный конец: x Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них=b,

x Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них=a- Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них (2)

Для случая неподвижного конца b используется формула: x Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них=a,

x Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них=x Отделить корни уравнения графически и уточнить один из нихОтделить корни уравнения графически и уточнить один из них (3)

Правило определения неподвижного конца хорды:

Если знаки первой и второй производных функции f(x) на отрезке [a, b] совпадают, то неподвижным являются конец b, иначе — конец a.

Метод хорд обеспечивает на n-м шаге абсолютную погрешность приближения к корню уравнения (1), не превосходящую длину n-го отрезка: Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

1. Определить, какой конец отрезка будет неподвижным и принять за x Отделить корни уравнения графически и уточнить один из нихдругой конец отрезка.

2. Вычислить новое приближение к корню x Отделить корни уравнения графически и уточнить один из нихпо формуле (2) или (3).

3. Если длина отрезка [x Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них, x Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них] не превосходит заданной точности, то процесс заканчивается и в качестве точного корня можно взять x Отделить корни уравнения графически и уточнить один из нихили x Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них, иначе идти к п.2

Решение одного варианта

1.Отделить корни графически и уточнить их методом хорд с точностью до 0.001: tg(0.5x+0.1)=x Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них.

Отделим корень графически. Построим графики функций

y Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них=tg(0.5x+0.1) и y Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них=x Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них:

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

Таким образом, уравнение имеет два корня

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из нихx Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них[0.5; 1] и x Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них[-0.5; 0]

Чтобы уточнить этот корень методом хорд, определим знаки первой и второй производной функции f(x)= tg(0.5x+0.1)-x Отделить корни уравнения графически и уточнить один из нихна промежутке [0.5;1]. Имеем

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из нихf ‘(x)=0.5/cos Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них(0.5x+0.1)-2x;

3. Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них­­­

6. Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

7. Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

8. Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

9. Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

10. Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

11. Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

12. Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

13. x lgx — 1.2 = 0

14. 1.8x 2 – sin10x = 0

15. ctgx – x / 4 = 0

16. tg(0.3x + 0.4) = x 2

17. x – 20sinx = 0

18. ctgx – x / 3 = 0

19. tg(0.47x + 0.2) = x 2

20. x 2 + 4sinx = 0

21. ctgx – x / 2 = 0

22. 2x – lgx – 7 = 0

24. 3x – cosx – 1 = 0

26. 10cosx-0,1x 2 =0

2)Отделить корни аналитически и уточнить их методом хорд до 0.001:

🎦 Видео

Метод половинного деления. ДихотомияСкачать

Метод половинного деления. Дихотомия

14 Метод половинного деления Ручной счет Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

14 Метод половинного деления Ручной счет Численные методы решения нелинейного уравнения

Найти корень уравнения на заданном интервале (MathCad)Скачать

Найти корень уравнения на заданном интервале (MathCad)

Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСССкачать

Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСС

Алгебра 8 класс (Урок№6 - Решение уравнений графическим способом.)Скачать

Алгебра 8 класс (Урок№6 - Решение уравнений графическим способом.)

Как найти корни уравнения в Excel с помощью Подбора параметраСкачать

Как найти корни уравнения в Excel с помощью Подбора параметра

Метод половинного деления решение нелинейного уравненияСкачать

Метод половинного деления решение нелинейного уравнения

АЛГЕБРА 7 класс : Уравнение и его корни | ВидеоурокСкачать

АЛГЕБРА 7 класс : Уравнение и его корни | Видеоурок

Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать

Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnline

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.

Метод касательных (метод Ньютона)Скачать

Метод касательных (метод Ньютона)

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?

8 класс, 21 урок, Графическое решение уравненийСкачать

8 класс, 21 урок, Графическое решение уравнений

Как решать дробно-рациональные уравнения? | МатематикаСкачать

Как решать дробно-рациональные уравнения? | Математика

Графический метод решения уравнений 8 классСкачать

Графический метод решения уравнений   8 класс

Метод хордСкачать

Метод хорд

Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать

Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?
Поделиться или сохранить к себе: