Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

Определить корни уравнения графически и уточнить один из них методом итераций с точностью до 0,001.

Сначала нужно отделить решения. Удобно записать уравнение в виде и построить графики двух элементарных функций

Из графика следует, что корень один: x * ∈ [0;1].

Представим уравнение в форме:

Найдем максимальное значение производной от функции
f(x) = x*(x+1) 2 -1

Значение λ = 1/(8) ≈ 0.125

Таким образом, решаем следующее уравнение:

Поскольку F(0)*F(1)
Остальные расчеты сведем в таблицу.

Ответ: x = 0.46359395923842; F(x) = -0.00693
Сходимость:

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом касательных с точностью до 0,001

Сначала нужно отделить решения. Удобно записать уравнение в виде и построить графики двух элементарных функций

Из графика следует, что корень множество, возьмем: x * ∈ [0;1].

Сначала нужно выбрать начальное приближение.

Вычислим несколько приближений:

Решение получено за 4 итерации, так как поправка стала меньше заданной точности:

Методом итераций решить систему линейныx уравнений с точностью до 0,001.

Приведем к виду:

На главной диагонали матрицы присутствует нулевой элемент. Его необходимо исключить.
Вычисления заканчиваются по критерию:

a = 0.348+0.522+1.391 = 2.2609

Поскольку 2.2609>1, то скорость итерационного процесса будет низкой. Необходимо сделать так, чтобы a → 0. Руководствуясь этим соображением, целесообразно сделать диагональное преобладание возможно более значительным (например, умножить какую-нибудь строку на коэффициент и прибавить к другой).
Покажем вычисления на примере нескольких итераций.

N=1
x ₁ =-5.261 — 0*(-0.609) — 0*0.261 — 0*(-0.522)=-5.261
x ₂ =2.25 — 0*0.375 — 0*0 — 0*(-0.563)=2.25
x ₃ =2.522 — 0*0.348 — 0*(-0.522) — 0*1.391=2.522
x ₄ =-1.56 — 0*0.25 — 0*0.22 — 0*0.14=-1.56

N=2
x ₁ =-5.261 — 2.25*(-0.609) — 2.522*0.261 — (-1.56)*(-0.522)=-5.363
x ₂ =2.25 — (-5.261)*0.375 — 2.522*0 — (-1.56)*(-0.563)=3.345
x ₃ =2.522 — (-5.261)*0.348 — 2.25*(-0.522) — (-1.56)*1.391=7.696
x ₄ =-1.56 — (-5.261)*0.25 — 2.25*0.22 — 2.522*0.14=-1.093

N=3
x ₁ =-5.261 — 3.345*(-0.609) — 7.696*0.261 — (-1.093)*(-0.522)=-5.802
x ₂ =2.25 — (-5.363)*0.375 — 7.696*0 — (-1.093)*(-0.563)=3.646
x ₃ =2.522 — (-5.363)*0.348 — 3.345*(-0.522) — (-1.093)*1.391=7.653
x ₄ =-1.56 — (-5.363)*0.25 — 3.345*0.22 — 7.696*0.14=-2.033

Остальные расчеты сведем в таблицу.

Для оценки погрешности вычисляем коэффициент α:

max[|x 20 ,x 21 |] = ρ(x 20 , x 21 ) = |-2.029 — (-2.028)| = 0.000908

Методом Гаусса-Зейделя решить с точностью 0,001 систему линейных уравнений, приведя ее к виду, удобному для итераций.

Приведем к виду:

Покажем вычисления на примере нескольких итераций.

N=1
x ₁ =-1.143 — 0*1.214 — 0*2.071=-1.143
x ₂ =0.767 — (-1.143)*0.164 — 0*(-0.315)=0.955
x ₃ =-1.216 — (-1.143)*(-0.405) — 0.955*(-0.622)=-1.086

N=2
x ₁ =-1.143 — 0.955*1.214 — (-1.086)*2.071=-0.0531
x ₂ =0.767 — (-0.0531)*0.164 — (-1.086)*(-0.315)=0.434
x ₃ =-1.216 — (-0.0531)*(-0.405) — 0.434*(-0.622)=-0.968

N=3
x ₁ =-1.143 — 0.434*1.214 — (-0.968)*2.071=0.336
x ₂ =0.767 — 0.336*0.164 — (-0.968)*(-0.315)=0.407
x ₃ =-1.216 — 0.336*(-0.405) — 0.407*(-0.622)=-0.827

Остальные расчеты сведем в таблицу.

Для оценки погрешности вычисляем коэффициент α:

max[|x 9 ,x 10 |] = ρ(x 9 , x 10 ) = |-0.88 — (-0.88)| = 0.000131

Видео:Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать

Метод половинного деления. Один из методов уточнения корней уравнения (1) – метод половинного деления

Один из методов уточнения корней уравнения (1) – метод половинного деления. Исходные данные: уравнение f(x)=0; отрезок [a,b], на котором существует единственный корень уравнения (корень отделен), т.е. f(x) удовлетворяет условиям: f(x) непрерывна на [a,b], монотонна нем и f(a)f(b) 0 (знаки функции f(x) в точках a и c одинаковы), то левый конец отрезка заменяется на середину (а=с) иначе правый конец заменяется на середину (b=c).

4. Если длина отрезка не превосходит заданной точности (b-a 4 -x 3 -2x 2 +3x-3=0.

Полагая f(x)= x 4 -x 3 -2x 2 +3x-3, имеем f’(x)=4x 3 -3x 2 -4x+3.

Найдем нули производной: 4x 3 -3x 2 -4x+3=0; 4x(x 2 -1)-3(x 2 -1)=0;(x 2 -1)(4x-3)=0;

Составим таблицу знаков функции f(x):

Из таблицы видно, что уравнение имеет два действительных корня x₁ (-∞;-1) и x₂ (1;+ ∞). Уменьшим промежутки, на которых находятся корни, до единичной длины:

Следовательно, x₁ (-2;-1) и x₂ (1;2).

Уточним один из корней, например, x₁, методом половинного деления до сотых долей. Все вычисления удобно производить, используя следующую таблицу:

Второй корень, уточняемый аналогичным образом, равен 1,73.

2. Отделить корни графически и уточнить их методом половинного деления.

Перепишем уравнение в виде . Обозначим , и построим графики этих функций:

Из рисунка видно, что уравнение имеет три корня: точный x=0 и еще два, расположенных симметрично на отрезках [-3;-2] и [2;3].

Уточним корень на отрезке [2;3]:

Задания

1)Отделить корни аналитически и уточнить их методом половинного деления до 0,01, используя электронные таблицы.

1. 3x 4 +4x 3 -12x 2 -5=0

2. 2x 3 -9x 2 -60x+1=0

5. 3x 4 +3x 3 +6x 2 -10=0

7. x 4 +4x 3 -3x 2 -17=0

8. x 4 -x 3 -2x 2 +3x-3=0

9. 3x 4 +4x 3 -12x 2 +1=0

10. 3x 4 -8x 3 -18x 2 +2=0

11. 2x 4 -3x 3 +8x 2 -1=0

12. 2x 4 +8x 3 +3x 2 -1=0

13. x 4 -4x 3 -8x 2 +1=0

14. 3x 4 +4x 3 -12x 2 -5=0

15. 2x 3 -8x 2 -30x+1=0

17. 2x 4 -2x 2 -7=0

18. 3x 4 +8x 3 +6x 2 -10=0

19. x 4 -18x 2 +6=0

20. x 4 +4x 3 -3x-7=0

21. x 4 -2x 3 -x 2 +3x-3=0

22. 3x 4 +4x 3 -3x 2 -17=0

23. 2x 4 -5x 3 -12x 2 +2=0

24. 3x 4 +9x 3 -14x 2 +1=0

25. x 4 +2x 3 -x-1=0

26. x 4 +8x 3 -6x 2 -72x=0

28. x 4 -3x 2 +75x-10000=0

2) Отделить корни графически и уточнить их методом половинного деления до 0.01, используя электронные таблицы.

Лабораторная работа №3

Решение нелинейных уравнений методом хорд

Краткая теория

Будем рассматривать уравнения вида f(x)=0 (1). Пусть корень уравнения отделен и находится на отрезке [a,b]. Уточним этот корень методом хорд. Геометрически метод хорд означает замену на отрезке [a,b] графика функции y=f(x) хордой, проведенной через точки (a,f(a)) и (b,f(b)):

Здесь ξ — точный корень уравнения (1), ­­x — начальное приближение к корню, x -точка пересечения хорды с осью Ох – первое приближение к корню. Далее метод хорд применяется на отрезке [a, x ] и получается второе приближение к корню — x . В случае, изображенном на рис.1, конец отрезка а остается неподвижным. Из уравнения хорды и условия, что точка (x ,0) принадлежит хорде, получается формула для вычисления n-го приближения к корню для случая, когда а – неподвижный конец: x =b,

x =a- (2)

Для случая неподвижного конца b используется формула: x =a,

x =x — (3)

Правило определения неподвижного конца хорды:

Если знаки первой и второй производных функции f(x) на отрезке [a, b] совпадают, то неподвижным являются конец b, иначе — конец a.

Метод хорд обеспечивает на n-м шаге абсолютную погрешность приближения к корню уравнения (1), не превосходящую длину n-го отрезка:

1. Определить, какой конец отрезка будет неподвижным и принять за x другой конец отрезка.

2. Вычислить новое приближение к корню x по формуле (2) или (3).

3. Если длина отрезка [x , x ] не превосходит заданной точности, то процесс заканчивается и в качестве точного корня можно взять x или x , иначе идти к п.2

Решение одного варианта

1.Отделить корни графически и уточнить их методом хорд с точностью до 0.001: tg(0.5x+0.1)=x .

Отделим корень графически. Построим графики функций

y =tg(0.5x+0.1) и y =x :

Таким образом, уравнение имеет два корня

x [0.5; 1] и x [-0.5; 0]

Чтобы уточнить этот корень методом хорд, определим знаки первой и второй производной функции f(x)= tg(0.5x+0.1)-x на промежутке [0.5;1]. Имеем

f ‘(x)=0.5/cos (0.5x+0.1)-2x;

3. ­_­­

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13. x lgx — 1.2 = 0

14. 1.8x 2 – sin10x = 0

15. ctgx – x / 4 = 0

16. tg(0.3x + 0.4) = x 2

17. x – 20sinx = 0

18. ctgx – x / 3 = 0

19. tg(0.47x + 0.2) = x 2

20. x 2 + 4sinx = 0

21. ctgx – x / 2 = 0

22. 2x – lgx – 7 = 0

24. 3x – cosx – 1 = 0

26. 10cosx-0,1x 2 =0

2)Отделить корни аналитически и уточнить их методом хорд до 0.001:

📽️ Видео

Алгебра 8 класс (Урок№6 - Решение уравнений графическим способом.)Скачать

Найти корень уравнения на заданном интервале (MathCad)Скачать

Метод половинного деления. ДихотомияСкачать

14 Метод половинного деления Ручной счет Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСССкачать

Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать

АЛГЕБРА 7 класс : Уравнение и его корни | ВидеоурокСкачать

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Метод половинного деления решение нелинейного уравненияСкачать

Как найти корни уравнения в Excel с помощью Подбора параметраСкачать

Как решать дробно-рациональные уравнения? | МатематикаСкачать

Метод касательных (метод Ньютона)Скачать

Графический метод решения уравнений 8 классСкачать

8 класс, 21 урок, Графическое решение уравненийСкачать

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать

Метод хордСкачать