Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них

Определить корни уравнения графически и уточнить один из них методом итераций с точностью до 0,001.

Сначала нужно отделить решения. Удобно записать уравнение в виде и построить графики двух элементарных функций

Из графика следует, что корень один: x * ∈ [0;1].

Представим уравнение в форме:

Найдем максимальное значение производной от функции
f(x) = x*(x+1) 2 -1

Значение λ = 1/(8) ≈ 0.125

Таким образом, решаем следующее уравнение:

Поскольку F(0)*F(1)
Остальные расчеты сведем в таблицу.

Ответ: x = 0.46359395923842; F(x) = -0.00693
Сходимость:

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом касательных с точностью до 0,001

Сначала нужно отделить решения. Удобно записать уравнение в виде и построить графики двух элементарных функций

Из графика следует, что корень множество, возьмем: x * ∈ [0;1].

Сначала нужно выбрать начальное приближение.

Вычислим несколько приближений:

Решение получено за 4 итерации, так как поправка стала меньше заданной точности:

Методом итераций решить систему линейныx уравнений с точностью до 0,001.

Приведем к виду:

На главной диагонали матрицы присутствует нулевой элемент. Его необходимо исключить.
Вычисления заканчиваются по критерию:

a = 0.348+0.522+1.391 = 2.2609

Поскольку 2.2609>1, то скорость итерационного процесса будет низкой. Необходимо сделать так, чтобы a → 0. Руководствуясь этим соображением, целесообразно сделать диагональное преобладание возможно более значительным (например, умножить какую-нибудь строку на коэффициент и прибавить к другой).
Покажем вычисления на примере нескольких итераций.

N=1
x ₁ =-5.261 — 0*(-0.609) — 0*0.261 — 0*(-0.522)=-5.261
x ₂ =2.25 — 0*0.375 — 0*0 — 0*(-0.563)=2.25
x ₃ =2.522 — 0*0.348 — 0*(-0.522) — 0*1.391=2.522
x ₄ =-1.56 — 0*0.25 — 0*0.22 — 0*0.14=-1.56

N=2
x ₁ =-5.261 — 2.25*(-0.609) — 2.522*0.261 — (-1.56)*(-0.522)=-5.363
x ₂ =2.25 — (-5.261)*0.375 — 2.522*0 — (-1.56)*(-0.563)=3.345
x ₃ =2.522 — (-5.261)*0.348 — 2.25*(-0.522) — (-1.56)*1.391=7.696
x ₄ =-1.56 — (-5.261)*0.25 — 2.25*0.22 — 2.522*0.14=-1.093

N=3
x ₁ =-5.261 — 3.345*(-0.609) — 7.696*0.261 — (-1.093)*(-0.522)=-5.802
x ₂ =2.25 — (-5.363)*0.375 — 7.696*0 — (-1.093)*(-0.563)=3.646
x ₃ =2.522 — (-5.363)*0.348 — 3.345*(-0.522) — (-1.093)*1.391=7.653
x ₄ =-1.56 — (-5.363)*0.25 — 3.345*0.22 — 7.696*0.14=-2.033

Остальные расчеты сведем в таблицу.

Для оценки погрешности вычисляем коэффициент α:

max[|x 20 ,x 21 |] = ρ(x 20 , x 21 ) = |-2.029 — (-2.028)| = 0.000908

Методом Гаусса-Зейделя решить с точностью 0,001 систему линейных уравнений, приведя ее к виду, удобному для итераций.

Приведем к виду:

Покажем вычисления на примере нескольких итераций.

N=1
x ₁ =-1.143 — 0*1.214 — 0*2.071=-1.143
x ₂ =0.767 — (-1.143)*0.164 — 0*(-0.315)=0.955
x ₃ =-1.216 — (-1.143)*(-0.405) — 0.955*(-0.622)=-1.086

N=2
x ₁ =-1.143 — 0.955*1.214 — (-1.086)*2.071=-0.0531
x ₂ =0.767 — (-0.0531)*0.164 — (-1.086)*(-0.315)=0.434
x ₃ =-1.216 — (-0.0531)*(-0.405) — 0.434*(-0.622)=-0.968

N=3
x ₁ =-1.143 — 0.434*1.214 — (-0.968)*2.071=0.336
x ₂ =0.767 — 0.336*0.164 — (-0.968)*(-0.315)=0.407
x ₃ =-1.216 — 0.336*(-0.405) — 0.407*(-0.622)=-0.827

Остальные расчеты сведем в таблицу.

Для оценки погрешности вычисляем коэффициент α:

max[|x 9 ,x 10 |] = ρ(x 9 , x 10 ) = |-0.88 — (-0.88)| = 0.000131

Видео:7 класс, 35 урок, Графическое решение уравненийСкачать

Метод половинного деления. Один из методов уточнения корней уравнения (1) – метод половинного деления

Один из методов уточнения корней уравнения (1) – метод половинного деления. Исходные данные: уравнение f(x)=0; отрезок [a,b], на котором существует единственный корень уравнения (корень отделен), т.е. f(x) удовлетворяет условиям: f(x) непрерывна на [a,b], монотонна нем и f(a)f(b) 0 (знаки функции f(x) в точках a и c одинаковы), то левый конец отрезка заменяется на середину (а=с) иначе правый конец заменяется на середину (b=c).

4. Если длина отрезка не превосходит заданной точности (b-a 4 -x 3 -2x 2 +3x-3=0.

Полагая f(x)= x 4 -x 3 -2x 2 +3x-3, имеем f’(x)=4x 3 -3x 2 -4x+3.

Найдем нули производной: 4x 3 -3x 2 -4x+3=0; 4x(x 2 -1)-3(x 2 -1)=0;(x 2 -1)(4x-3)=0;

Составим таблицу знаков функции f(x):

Из таблицы видно, что уравнение имеет два действительных корня x₁ (-∞;-1) и x₂ (1;+ ∞). Уменьшим промежутки, на которых находятся корни, до единичной длины:

Следовательно, x₁ (-2;-1) и x₂ (1;2).

Уточним один из корней, например, x₁, методом половинного деления до сотых долей. Все вычисления удобно производить, используя следующую таблицу:

Второй корень, уточняемый аналогичным образом, равен 1,73.

2. Отделить корни графически и уточнить их методом половинного деления.

Перепишем уравнение в виде . Обозначим , и построим графики этих функций:

Из рисунка видно, что уравнение имеет три корня: точный x=0 и еще два, расположенных симметрично на отрезках [-3;-2] и [2;3].

Уточним корень на отрезке [2;3]:

Задания

1)Отделить корни аналитически и уточнить их методом половинного деления до 0,01, используя электронные таблицы.

1. 3x 4 +4x 3 -12x 2 -5=0

2. 2x 3 -9x 2 -60x+1=0

5. 3x 4 +3x 3 +6x 2 -10=0

7. x 4 +4x 3 -3x 2 -17=0

8. x 4 -x 3 -2x 2 +3x-3=0

9. 3x 4 +4x 3 -12x 2 +1=0

10. 3x 4 -8x 3 -18x 2 +2=0

11. 2x 4 -3x 3 +8x 2 -1=0

12. 2x 4 +8x 3 +3x 2 -1=0

13. x 4 -4x 3 -8x 2 +1=0

14. 3x 4 +4x 3 -12x 2 -5=0

15. 2x 3 -8x 2 -30x+1=0

17. 2x 4 -2x 2 -7=0

18. 3x 4 +8x 3 +6x 2 -10=0

19. x 4 -18x 2 +6=0

20. x 4 +4x 3 -3x-7=0

21. x 4 -2x 3 -x 2 +3x-3=0

22. 3x 4 +4x 3 -3x 2 -17=0

23. 2x 4 -5x 3 -12x 2 +2=0

24. 3x 4 +9x 3 -14x 2 +1=0

25. x 4 +2x 3 -x-1=0

26. x 4 +8x 3 -6x 2 -72x=0

28. x 4 -3x 2 +75x-10000=0

2) Отделить корни графически и уточнить их методом половинного деления до 0.01, используя электронные таблицы.

Лабораторная работа №3

Решение нелинейных уравнений методом хорд

Краткая теория

Будем рассматривать уравнения вида f(x)=0 (1). Пусть корень уравнения отделен и находится на отрезке [a,b]. Уточним этот корень методом хорд. Геометрически метод хорд означает замену на отрезке [a,b] графика функции y=f(x) хордой, проведенной через точки (a,f(a)) и (b,f(b)):

Здесь ξ — точный корень уравнения (1), ­­x — начальное приближение к корню, x -точка пересечения хорды с осью Ох – первое приближение к корню. Далее метод хорд применяется на отрезке [a, x ] и получается второе приближение к корню — x . В случае, изображенном на рис.1, конец отрезка а остается неподвижным. Из уравнения хорды и условия, что точка (x ,0) принадлежит хорде, получается формула для вычисления n-го приближения к корню для случая, когда а – неподвижный конец: x =b,

x =a- (2)

Для случая неподвижного конца b используется формула: x =a,

x =x — (3)

Правило определения неподвижного конца хорды:

Если знаки первой и второй производных функции f(x) на отрезке [a, b] совпадают, то неподвижным являются конец b, иначе — конец a.

Метод хорд обеспечивает на n-м шаге абсолютную погрешность приближения к корню уравнения (1), не превосходящую длину n-го отрезка:

1. Определить, какой конец отрезка будет неподвижным и принять за x другой конец отрезка.

2. Вычислить новое приближение к корню x по формуле (2) или (3).

3. Если длина отрезка [x , x ] не превосходит заданной точности, то процесс заканчивается и в качестве точного корня можно взять x или x , иначе идти к п.2

Решение одного варианта

1.Отделить корни графически и уточнить их методом хорд с точностью до 0.001: tg(0.5x+0.1)=x .

Отделим корень графически. Построим графики функций

y =tg(0.5x+0.1) и y =x :

Таким образом, уравнение имеет два корня

x [0.5; 1] и x [-0.5; 0]

Чтобы уточнить этот корень методом хорд, определим знаки первой и второй производной функции f(x)= tg(0.5x+0.1)-x на промежутке [0.5;1]. Имеем

f ‘(x)=0.5/cos (0.5x+0.1)-2x;

3. ­_­­

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13. x lgx — 1.2 = 0

14. 1.8x 2 – sin10x = 0

15. ctgx – x / 4 = 0

16. tg(0.3x + 0.4) = x 2

17. x – 20sinx = 0

18. ctgx – x / 3 = 0

19. tg(0.47x + 0.2) = x 2

20. x 2 + 4sinx = 0

21. ctgx – x / 2 = 0

22. 2x – lgx – 7 = 0

24. 3x – cosx – 1 = 0

26. 10cosx-0,1x 2 =0

2)Отделить корни аналитически и уточнить их методом хорд до 0.001:

🔍 Видео

Алгебра 8 класс (Урок№6 - Решение уравнений графическим способом.)Скачать

Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСССкачать

Найти корень уравнения на заданном интервале (MathCad)Скачать

Метод половинного деления. ДихотомияСкачать

14 Метод половинного деления Ручной счет Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

Метод половинного деления решение нелинейного уравненияСкачать

Как найти корни уравнения в Excel с помощью Подбора параметраСкачать

АЛГЕБРА 7 класс : Уравнение и его корни | ВидеоурокСкачать

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать

8 класс, 21 урок, Графическое решение уравненийСкачать

Метод касательных (метод Ньютона)Скачать

Как решать дробно-рациональные уравнения? | МатематикаСкачать

Графический метод решения уравнений 8 классСкачать

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать

Метод хордСкачать