Отделить корни уравнения графически и уточнить методом итераций с точностью до 0 001

Определить корни уравнения графически и уточнить один из них методом итераций с точностью до 0,001.

Сначала нужно отделить решения. Удобно записать уравнение в виде и построить графики двух элементарных функций

Из графика следует, что корень один: x * ∈ [0;1].

Представим уравнение в форме:

Найдем максимальное значение производной от функции
f(x) = x*(x+1) 2 -1

Значение λ = 1/(8) ≈ 0.125

Таким образом, решаем следующее уравнение:

Поскольку F(0)*F(1)
Остальные расчеты сведем в таблицу.

Ответ: x = 0.46359395923842; F(x) = -0.00693
Сходимость:

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом касательных с точностью до 0,001

Сначала нужно отделить решения. Удобно записать уравнение в виде и построить графики двух элементарных функций

Из графика следует, что корень множество, возьмем: x * ∈ [0;1].

Сначала нужно выбрать начальное приближение.

Вычислим несколько приближений:

Решение получено за 4 итерации, так как поправка стала меньше заданной точности:

Методом итераций решить систему линейныx уравнений с точностью до 0,001.

Приведем к виду:

На главной диагонали матрицы присутствует нулевой элемент. Его необходимо исключить.
Вычисления заканчиваются по критерию:

a = 0.348+0.522+1.391 = 2.2609

Поскольку 2.2609>1, то скорость итерационного процесса будет низкой. Необходимо сделать так, чтобы a → 0. Руководствуясь этим соображением, целесообразно сделать диагональное преобладание возможно более значительным (например, умножить какую-нибудь строку на коэффициент и прибавить к другой).
Покажем вычисления на примере нескольких итераций.

N=1
x ₁ =-5.261 — 0*(-0.609) — 0*0.261 — 0*(-0.522)=-5.261
x ₂ =2.25 — 0*0.375 — 0*0 — 0*(-0.563)=2.25
x ₃ =2.522 — 0*0.348 — 0*(-0.522) — 0*1.391=2.522
x ₄ =-1.56 — 0*0.25 — 0*0.22 — 0*0.14=-1.56

N=2
x ₁ =-5.261 — 2.25*(-0.609) — 2.522*0.261 — (-1.56)*(-0.522)=-5.363
x ₂ =2.25 — (-5.261)*0.375 — 2.522*0 — (-1.56)*(-0.563)=3.345
x ₃ =2.522 — (-5.261)*0.348 — 2.25*(-0.522) — (-1.56)*1.391=7.696
x ₄ =-1.56 — (-5.261)*0.25 — 2.25*0.22 — 2.522*0.14=-1.093

N=3
x ₁ =-5.261 — 3.345*(-0.609) — 7.696*0.261 — (-1.093)*(-0.522)=-5.802
x ₂ =2.25 — (-5.363)*0.375 — 7.696*0 — (-1.093)*(-0.563)=3.646
x ₃ =2.522 — (-5.363)*0.348 — 3.345*(-0.522) — (-1.093)*1.391=7.653
x ₄ =-1.56 — (-5.363)*0.25 — 3.345*0.22 — 7.696*0.14=-2.033

Остальные расчеты сведем в таблицу.

Для оценки погрешности вычисляем коэффициент α:

max[|x 20 ,x 21 |] = ρ(x 20 , x 21 ) = |-2.029 — (-2.028)| = 0.000908

Методом Гаусса-Зейделя решить с точностью 0,001 систему линейных уравнений, приведя ее к виду, удобному для итераций.

Приведем к виду:

Покажем вычисления на примере нескольких итераций.

N=1
x ₁ =-1.143 — 0*1.214 — 0*2.071=-1.143
x ₂ =0.767 — (-1.143)*0.164 — 0*(-0.315)=0.955
x ₃ =-1.216 — (-1.143)*(-0.405) — 0.955*(-0.622)=-1.086

N=2
x ₁ =-1.143 — 0.955*1.214 — (-1.086)*2.071=-0.0531
x ₂ =0.767 — (-0.0531)*0.164 — (-1.086)*(-0.315)=0.434
x ₃ =-1.216 — (-0.0531)*(-0.405) — 0.434*(-0.622)=-0.968

N=3
x ₁ =-1.143 — 0.434*1.214 — (-0.968)*2.071=0.336
x ₂ =0.767 — 0.336*0.164 — (-0.968)*(-0.315)=0.407
x ₃ =-1.216 — 0.336*(-0.405) — 0.407*(-0.622)=-0.827

Остальные расчеты сведем в таблицу.

Для оценки погрешности вычисляем коэффициент α:

max[|x 9 ,x 10 |] = ρ(x 9 , x 10 ) = |-0.88 — (-0.88)| = 0.000131

Определить корни уравнения графически и уточнить один из них итерационным методом с точностью 0

№1. Определить корни уравнения графически и уточнить один из них итерационным методом с точностью 0,01. x3 +0,5x – 1=0 метод деления пополам.
Решение:
Определим корни уравнения графическим методом. Для этого построим график функции fx=x3+0.5x-1.

По чертежу видно, что корень уравнения x3+0.5x-1=0 расположен в диапазоне 0.5 ε
Шаг 2. a1;b1=[0.75;1]. x2=a1+b12=0.75+12=1.752=0.875.
Так как fa1=f0.75=-0.203, fx2=f0.875=0.107, fb1=f1=0.5 то полагаем
a2=0.75, b2=0.875, d2=b2-a2=0.125>ε
Шаг 3. a2;b2=[0.75;0.875]. x3=a2+b22=0.75+0.8752=1.6252=0.8125.
Так как fa2=f0.75=-0.203, fx3=f0.8125=-0.057, fb1=f0.875=0.107 то полагаем
a3=0.8125, b3=0.875, d3=b3-a3=0.06>ε
Шаг 4. a3;b3=[0.8125;0.875]. x4=a2+b22=0.8125+0.8752=1.68752=0.84375.
Так как fa3=f0.8125=-0.057, fx4=f0.84375=0.22, fb3=f0.875=0.107 то полагаем
a4=0.8125, b4=0.84375, d4=b4-a4=0.03>ε
Шаг 5. a4;b4=[0.8125;0.84375]. x5=a2+b22=0.8125+0.843752=1.656252=0.828125.
Так как fa4=f0.8125=-0.057, fx5=f0.828125=-0.02, fb4=f0.84375=0.22 то полагаем
a5=0.828125, b5=0.84375, d5=b5-a5=0.02>ε
Шаг 6. a5;b5=[0.828125;0.84375]. x6=a2+b22=0.828125+0.843752=1.6718752=0.8359375.
Так как fa5=f0.828125=-0.02, fx6=f0.8359375=0.002,
fb5=f0.84375=0.22 то полагаем
a6=0.828125, b6=0.8359375, d6=b6-a6=0.007

Ksunya266 4.3

Высшее образование в направлении менеджмент. Среднее специальное — государственное и муниципальное управление. В школе училась хорошо. Разбираюсь в большей части предметов начиная со школьных и заканчивая профильными.Буду рада Вам помочь!