Отделить корни уравнения графически и уточнить методом итераций с точностью до 0 001

Определить корни уравнения графически и уточнить один из них методом итераций с точностью до 0,001.

Сначала нужно отделить решения. Удобно записать уравнение в виде и построить графики двух элементарных функций

Из графика следует, что корень один: x * ∈ [0;1].

Представим уравнение в форме:

Найдем максимальное значение производной от функции
f(x) = x*(x+1) 2 -1

Значение λ = 1/(8) ≈ 0.125

Таким образом, решаем следующее уравнение:

Поскольку F(0)*F(1)
Остальные расчеты сведем в таблицу.

Ответ: x = 0.46359395923842; F(x) = -0.00693
Сходимость:

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом касательных с точностью до 0,001

Сначала нужно отделить решения. Удобно записать уравнение в виде и построить графики двух элементарных функций

Из графика следует, что корень множество, возьмем: x * ∈ [0;1].

Сначала нужно выбрать начальное приближение.

Вычислим несколько приближений:

Решение получено за 4 итерации, так как поправка стала меньше заданной точности:

Методом итераций решить систему линейныx уравнений с точностью до 0,001.

Приведем к виду:

На главной диагонали матрицы присутствует нулевой элемент. Его необходимо исключить.
Вычисления заканчиваются по критерию:

a = 0.348+0.522+1.391 = 2.2609

Поскольку 2.2609>1, то скорость итерационного процесса будет низкой. Необходимо сделать так, чтобы a → 0. Руководствуясь этим соображением, целесообразно сделать диагональное преобладание возможно более значительным (например, умножить какую-нибудь строку на коэффициент и прибавить к другой).
Покажем вычисления на примере нескольких итераций.

N=1
x ₁ =-5.261 — 0*(-0.609) — 0*0.261 — 0*(-0.522)=-5.261
x ₂ =2.25 — 0*0.375 — 0*0 — 0*(-0.563)=2.25
x ₃ =2.522 — 0*0.348 — 0*(-0.522) — 0*1.391=2.522
x ₄ =-1.56 — 0*0.25 — 0*0.22 — 0*0.14=-1.56

N=2
x ₁ =-5.261 — 2.25*(-0.609) — 2.522*0.261 — (-1.56)*(-0.522)=-5.363
x ₂ =2.25 — (-5.261)*0.375 — 2.522*0 — (-1.56)*(-0.563)=3.345
x ₃ =2.522 — (-5.261)*0.348 — 2.25*(-0.522) — (-1.56)*1.391=7.696
x ₄ =-1.56 — (-5.261)*0.25 — 2.25*0.22 — 2.522*0.14=-1.093

N=3
x ₁ =-5.261 — 3.345*(-0.609) — 7.696*0.261 — (-1.093)*(-0.522)=-5.802
x ₂ =2.25 — (-5.363)*0.375 — 7.696*0 — (-1.093)*(-0.563)=3.646
x ₃ =2.522 — (-5.363)*0.348 — 3.345*(-0.522) — (-1.093)*1.391=7.653
x ₄ =-1.56 — (-5.363)*0.25 — 3.345*0.22 — 7.696*0.14=-2.033

Остальные расчеты сведем в таблицу.

Для оценки погрешности вычисляем коэффициент α:

max[|x 20 ,x 21 |] = ρ(x 20 , x 21 ) = |-2.029 — (-2.028)| = 0.000908

Методом Гаусса-Зейделя решить с точностью 0,001 систему линейных уравнений, приведя ее к виду, удобному для итераций.

Приведем к виду:

Покажем вычисления на примере нескольких итераций.

N=1
x ₁ =-1.143 — 0*1.214 — 0*2.071=-1.143
x ₂ =0.767 — (-1.143)*0.164 — 0*(-0.315)=0.955
x ₃ =-1.216 — (-1.143)*(-0.405) — 0.955*(-0.622)=-1.086

N=2
x ₁ =-1.143 — 0.955*1.214 — (-1.086)*2.071=-0.0531
x ₂ =0.767 — (-0.0531)*0.164 — (-1.086)*(-0.315)=0.434
x ₃ =-1.216 — (-0.0531)*(-0.405) — 0.434*(-0.622)=-0.968

N=3
x ₁ =-1.143 — 0.434*1.214 — (-0.968)*2.071=0.336
x ₂ =0.767 — 0.336*0.164 — (-0.968)*(-0.315)=0.407
x ₃ =-1.216 — 0.336*(-0.405) — 0.407*(-0.622)=-0.827

Остальные расчеты сведем в таблицу.

Для оценки погрешности вычисляем коэффициент α:

max[|x 9 ,x 10 |] = ρ(x 9 , x 10 ) = |-0.88 — (-0.88)| = 0.000131

Видео:Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать

Определить корни уравнения графически и уточнить один из них итерационным методом с точностью 0

№1. Определить корни уравнения графически и уточнить один из них итерационным методом с точностью 0,01. x3 +0,5x – 1=0 метод деления пополам.
Решение:
Определим корни уравнения графическим методом. Для этого построим график функции fx=x3+0.5x-1.

По чертежу видно, что корень уравнения x3+0.5x-1=0 расположен в диапазоне 0.5 ε
Шаг 2. a1;b1=[0.75;1]. x2=a1+b12=0.75+12=1.752=0.875.
Так как fa1=f0.75=-0.203, fx2=f0.875=0.107, fb1=f1=0.5 то полагаем
a2=0.75, b2=0.875, d2=b2-a2=0.125>ε
Шаг 3. a2;b2=[0.75;0.875]. x3=a2+b22=0.75+0.8752=1.6252=0.8125.
Так как fa2=f0.75=-0.203, fx3=f0.8125=-0.057, fb1=f0.875=0.107 то полагаем
a3=0.8125, b3=0.875, d3=b3-a3=0.06>ε
Шаг 4. a3;b3=[0.8125;0.875]. x4=a2+b22=0.8125+0.8752=1.68752=0.84375.
Так как fa3=f0.8125=-0.057, fx4=f0.84375=0.22, fb3=f0.875=0.107 то полагаем
a4=0.8125, b4=0.84375, d4=b4-a4=0.03>ε
Шаг 5. a4;b4=[0.8125;0.84375]. x5=a2+b22=0.8125+0.843752=1.656252=0.828125.
Так как fa4=f0.8125=-0.057, fx5=f0.828125=-0.02, fb4=f0.84375=0.22 то полагаем
a5=0.828125, b5=0.84375, d5=b5-a5=0.02>ε
Шаг 6. a5;b5=[0.828125;0.84375]. x6=a2+b22=0.828125+0.843752=1.6718752=0.8359375.
Так как fa5=f0.828125=-0.02, fx6=f0.8359375=0.002,
fb5=f0.84375=0.22 то полагаем
a6=0.828125, b6=0.8359375, d6=b6-a6=0.007

Ksunya266 4.3

Высшее образование в направлении менеджмент. Среднее специальное — государственное и муниципальное управление. В школе училась хорошо. Разбираюсь в большей части предметов начиная со школьных и заканчивая профильными.Буду рада Вам помочь!

🔥 Видео

Метод итерацийСкачать

Метод простых итераций пример решения нелинейных уравненийСкачать

Метод половинного деления. ДихотомияСкачать

1 3 Решение нелинейных уравнений методом простых итерацийСкачать

10 Численные методы решения нелинейных уравненийСкачать

Отбор корней по окружностиСкачать

14 Метод половинного деления Ручной счет Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

Метод простой итерации Пример РешенияСкачать

Как найти корни уравнения в Excel с помощью Подбора параметраСкачать

Найти корень уравнения на заданном интервале (MathCad)Скачать

7 класс, 35 урок, Графическое решение уравненийСкачать

Алгоритмы С#. Метод простых итерацийСкачать

Метод Ньютона (Метод касательных)Скачать

Метод половинного деления решение нелинейного уравненияСкачать

15 Метод Ньютона (Метод касательных) Ручной счет Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

Численные методы - Занятие 1: Численное решение уравнения методом дихотомииСкачать

Численное решение уравнений, урок 2/5. Метод деления отрезка пополамСкачать