Основы теории максвелла система уравнений максвелла

Теория Д.К. Максвелла лежит в основе объяснения существования и свойств любых электромагнитных волн, таких, как световые волны, радиоволны, инфракрасное и ультрафиолетовое излучения. Эта теория является феноменологической, т.е. в ней не рассматриваются молекулярное строение среды и внутренний механизм процессов, происходящих в среде под действием электрического и магнитного полей. Электрические и магнитные свойства среды характеризуются относительной диэлектрической проницаемостью ε, относительной магнитной проницаемостью m и удельной электрической проводимостью σ. Предполагается, что эти параметры среды определяются из эксперимента.

Теория Максвелла — макроскопическая. Это означает, что рассматриваются макроскопические поля зарядов и токов, пространственные размеры которых неизмеримо больше размеров отдельных молекул и атомов.

Математическим выражением теории Максвелла служит система из четырех уравнений, которые записывают в двух формах — дифференциальной и интегральной.

Дифференциальные уравнения Максвелла получаются из интегральных с помощью двух теорем векторного анализа: теоремы Остроградского-Гаусса и теоремы Стокса.

Рассмотрим теорему Остроградского-Гаусса .

Пусть для характеристики какого-либо поля выбран вектор . Тогда поток вектора через произвольную замкнутую поверхность S, мысленно проведенную в этом поле, равен интегралу от дивергенции вектора , взятому по объему V, ограниченному замкнутой поверхностью S:

(4.1.1)

Операция дивергенции над произвольным вектором сводится к пространственной производной вида:

(4.1.2)

где a_x, a_y, a_z — проекции вектора на оси прямоугольной декартовой системы координат.

Рассмотрим теорему Стокса .

Пусть для характеристики какого-либо поля выбран вектор . Тогда циркуляция вектора вдоль произвольного замкнутого контура L, мысленно проведенного в этом поле, равна потоку вектора rot через поверхность S, ограниченную замкнутым контуром L:

(4.1.3)

Векторная операция rot в декартовых координатах выражается так:

(4.1.4)

Первое уравнение Максвелла

Это уравнение представляет собой обобщение закона электромагнитной индукции Фарадея:

(4.1.5)

Однако для произвольного контура выполняется взаимосвязь:

(4.1.6)

Поскольку в общем случае , то для не изменяющегося во времени контура имеет место соотношение:

(4.1.7)

Сравнивая (4.1.5) и (4.1.7) с учетом (4.1.6), для произвольного контура L, мысленно проведенного в переменном магнитном поле, можно записать:

(4.1.8)

Используя теорему Стокса, преобразуем (4.1.5):

(4.1.9)

Сравнивая подинтегральные выражения в (4.1.7) и в правой части (4.1.9), получим окончательно первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме:

(4.1.10)

Физический смысл этого уравнения: переменное магнитное поле индуцирует вихревое электрическое поле.

Второе уравнение Максвелла

Используем теорему Гаусса для диэлектриков:

(4.1.11)

где — вектор электрической индукции, — вектор поляризации диэлектрика.

Продифференцируем (4.1.11) по времени:

(4.1.12)

Если поверхность S — неподвижна и не деформируется, то изменение во времени потока вектора электрической индукции может быть связано только с изменением по времени самого вектора электрической индукции:

(4.1.13)

Правая часть этой формулы имеет размерность тока, следовательно, величина имеет размерность плотности тока. Максвелл предложил назвать эту величину плотностью тока смещения :

(4.1.14)

Введя представление о токе смещения, Максвелл по-новому подошел к рассмотрению условия замкнутости цепей электрического тока. Как известно, цепи постоянного тока должны быть замкнутыми. Однако для цепей переменного тока это условие уже не является обязательным. Например, при зарядке и разрядке конденсатора постоянный электрический ток протекает по проводнику, соединяющему обкладки, но не проходит через диэлектрик, находящийся между обкладками. Следовательно, цепь не замкнута. Однако, с точки зрения Максвелла, для переменного тока такая цепь замыкается благодаря току смещения, который протекает через такой участок, где нет проводника, т.е. через диэлектрик. На таком участке благодаря наличию переменного тока смещения обязательно возникает переменное магнитное поле. Однако действие тока смещения, приводящее к возникновению магнитного поля, нельзя отделить от действия обычного тока проводимости. Например, для прямолинейного тока проводимости можно записать:

(4.1.15)

Линии магнитного поля направлены по касательным к концентрическим окружностям, окружающим проводник с током. Найдем циркуляцию магнитного поля по замкнутому контуру в виде окружности радиуса r:

(4.1.16)

Следовательно, магнитное поле прямолинейного проводника — вихревое (циркуляция вектора магнитного поля по замкнутому контуру не равна нулю).

Максвелл предположил, что в правой части соотношения (4.1.16) следует добавить ток смещения:

(4.1.17)

где ток смещения легко вычислить, используя (4.1.14):

(4.1.18)

Силу тока проводимости можно также представить в виде:

(4.1.19)

Согласно теореме Стокса для магнитного поля, имеем:

(4.1.20)

Подставляя (4.1.18) и (4.1.19) в (4.1.17) и сравнивая подинтегральные выражения в правой и левой частях, получаем второе уравнение Максвелла:

(4.1.21)

При отсутствии тока проводимости, тем не менее, может существовать переменное магнитное поле, обусловленное только током смещения:

(4.1.22)

Третье уравнение Максвелла

Максвелл обобщил теорему Гаусса для диэлектриков (4.1.11), предположив, что она справедлива для любого электрического поля, как стационарного, так и переменного. Запишем уравнение (4.1.11) в виде:

(4.1.23)

где ρ_своб — объемная плотность свободных зарядов, расположенных в объеме V, ограниченном замкнутой поверхностью S.

Тогда, используя теорему Остроградского-Гаусса для вектора электрической индукции, получим:

(4.1.24)

Сравнивая подинтегральные выражения в (4.1.23) и (4.1.24), получим третье уравнение Максвелла:

(4.1.25)

Четвертое уравнение Максвелла

Поскольку поток вектора магнитной индукции равен нулю:

(4.1.26)

то, используя теорему Остроградского-Гаусса для вектора магнитной индукции, легко получить четвертое уравнение Максвелла:

(4.1.27)

Такое равенство определяется отсутствием магнитных зарядов.

Итак, полная система уравнений Максвелла в дифференциальной форме включает в себя четыре дифференциальных уравнения:

(4.1.28)

Эту систему необходимо дополнить материальными уравнениями , которые характеризуют электрические, и магнитные свойства конкретных сред (веществ).

В случае изотропных несегнетоэлектрических и неферромагнитных сред и макроскопических токов, подчиняющихся закону Ома, эти уравнения в системе СИ имеют вид:

(4.1.29)

где ε₀ и μ₀ — электрическая и магнитная постоянные, ε и μ — относительная диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, σ — удельная электропроводность вещества.

4.1.2. Свойства электромагнитных волн

Электромагнитной волной называется распространяющееся в пространстве с определенной скоростью электромагнитное поле. Как следует из уравнений Максвелла, переменное электрическое поле непременно порождает переменное магнитное поле, которое затем индуктирует переменное электрическое поле. Поэтому следует говорить о неразрывной связи переменных электрического и магнитного полей, называя это явление электромагнитным полем . Очевидно, что такой процесс должен происходить, циклически повторяясь, в течение неограниченного времени, если нет поглощения.

Существование электромагнитных волн непосредственно следует их уравнений Максвелла. Для области пространства, не содержащей свободных электрических зарядов и макроскопических токов, эти уравнения приобретают вид:

(4.1.30)

Используя материальные уравнения (4.1.29), эти уравнения можно представить в виде:

(4.1.31)

Если записать эти уравнения в проекциях на оси декартовой системы координат, то получим:

(4.1.33)

(4.1.34)

Используя первое из уравнений (4.1.33), можно получить:

(4.1.35)

Следовательно, компонента Е_х удовлетворяет волновому уравнению:

(4.1.36)

Если ввести обозначение для дифференциальной операции:

(4.1.37)

то волновое уравнение (4.1.37) можно представить в компактном виде:

(4.1.38)

Аналогичные уравнения могут быть получены и для всех других компонент электрического и магнитного полей. Суммируя результаты, окончательно можно представить волновые уравнения для электрического и магнитного полей в векторном виде:

(4.1.39)

Таким образом, переменное электромагнитное поле распространяется в среде в виде волн, фазовая скорость которых равна:

(4.1.40)

где

(4.1.41)

есть скорость электромагнитной волны в вакууме.

Оказалось, что с = 3·10 8 м/с, что совпадает со скоростью света в вакууме. Поэтому Максвелл задолго до экспериментального обнаружения электромагнитных волн (Г. Герц, 1888 г.) высказал гипотезу о том, что свет — это тоже электромагнитная волна.

Прямой проверкой можно показать, что решениями уравнений (4.1.39) служат плоские синусоидальные волны, которые удобно представить в форме Эйлера:

(4.1.42)

где ω — циклическая частота; — волновой вектор, перпендикулярный фронту плоской волны и задающий направление распространения волны; — радиус-вектор, задающий точки пространства.

Операция ротора может быть сведена к векторному произведению, например:

(4.1.43)

Тогда, используя решения (4.1.42), с помощью (4.1.43) имеем:

(4.1.44)

следовательно, применение этой операции сводится к векторному произведению.

Рассмотрим сейчас операцию:

(4.1.45)

Наконец, операцию дивергенции можно представить так:

(4.1.46)

Применяя результаты (4.1.44), (4.1.45) и (4.1.46) к уравнениям Максвелла (4.1.31), имеем:

или, окончательно:

(4.1.47)

Из двух последних уравнений (4.1.47) следует, что , что указывает на поперечность электромагнитной волны. Из первого уравнения (4.1.47) ясно, что вектор Н как результат векторного произведения, должен быть перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора и . Аналогично, из второго уравнения (4.1.47) следует, что вектор электрического поля должен быть перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора и . Окончательно получается, что для любой электромагнитной волны вектора , и составляют тройку ортогональных векторов (Рис. 4.1.1).

4.1.3. Шкала электромагнитных волн

В зависимости от частоты ν = ω/2π или длины волны в вакууме λ₀ = с/ν, а также способа излучения и регистрации различают несколько видов электромагнитных волн:

• радиоволны;
• оптическое излучение;
• рентгеновское излучение;
• гамма-излучение.

Радиволнами называются электромагнитные волны, у которых длина волны в вакууме λ₀ > 5·10 -5 м (ν 12 Гц). Весь диапазон радиоволн принято делить на 9 поддиапазонов (Табл. 4.1.1).

Типы радиоволн

Название диапазона радиоволн	Длина волны, м	Частота, Гц
Сверхдлинные	Более 10 4	Менее 3·10 4
Длинные	10 4 ÷ 10 3	3·10 4 ÷ 3·10 5
Средние	10 3 ÷ 10 2	3·10 5 ÷ 3·10 6
Короткие	10 2 ÷ 10	3·10 6 ÷ 3·10 7
Метровые	10 ÷ 1	3·10 7 ÷ 3·10 8
Дециметровые	1 ÷ 0,1	3·10 8 ÷ 3·10 9
Сантиметровые	0,1 ÷ 0,01	3·10 9 ÷ 3·10 10
Миллиметровые	10 -2 ÷ 10 -3	3·10 10 ÷ 3·10 11
Субмиллиметровые	10 -3 ÷ 5·10 -5	3·10 11 ÷ 6·10 12

Оптическим излучением или светом называются электромагнитные волны, у которых длина волны в вакууме лежит в диапазоне 10 нм >λ₀ > 1 мм (границы условны). К оптическому излучению относят инфракрасное, видимое и ультрафиолетовое излучения.

Инфракрасным (ИК) называются электромагнитные волны, испускаемые нагретыми телами, у которых длина волны в вакууме лежит в диапазоне 1 мм > λ₀ > 770 нм.

Видимым излучением (светом) называются электромагнитные волны, у которых длины волны в вакууме лежат в диапазоне 770 нм > λ₀ > 380 нм. Свет способен вызывать зрительные ощущения в человеческом глазе.

Ультрафиолетовым излучением (УФ) называются электромагнитные волны, у которых длины волны в вакууме лежат в диапазоне 380 нм > λ₀ > 10 нм.

Рентгеновским излучением (рентгеновскими лучами) называются электромагнитные волны, которые возникают при взаимодействии заряженных частиц и фотонов с атомами вещества. Оно характеризуется длинами волны в вакууме в диапазоне с условными границами (10-100 нм) > λ₀ > (0,01-1 пм).

Гамма-излучением (γ-лучами) называются электромагнитные волны с длинами волны в вакууме 0,1 нм > λ₀. Это излучение испускается возбужденными атомными ядрами при радиоактивных превращениях и ядерных реакциях, а также возникает при распаде частиц, аннигиляции пар «частица-античастица» и других процессах.

4.1.4. Световая волна

Свет представляет собой сложное явление: в одних случаях он ведет себя как электромагнитная волна, в других — как поток особых частиц (фотонов).

В электромагнитной волне колеблются векторы электрического и магнитного полей. Как показывает опыт, физиологическое, фотохимическое, фотоэлектрическое и другие действия света вызываются наличием колебаний электрического вектора, который называют в этом случае световым вектором . Его изменения в пространстве и времени задаются уравнением плоской волны:

(4.1.48)

Здесь r — расстояние, отсчитываемое вдоль направления распространения волны.

Отношение скорости световой волны в вакууме с к ее фазовой скорости v в некоторой прозрачной среде называется абсолютным показателем преломления этой среды:

(4.1.49)

Показатель преломления связан с относительными диэлектрической и магнитной проницаемостями соотношением:

(4.1.50)

Для подавляющего большинства прозрачных веществ величина μ &#8776 1. Поэтому можно считать, что выполняется:

(4.1.51)

Значения показателя преломления характеризуют оптическую плотность среды. Среда с большим n будет более оптически плотной.

Длины волн видимого света в вакууме заключены в пределах:

(4.1.52)

В веществе длины волн будут другими. В случае колебаний с частотой ν длина волны света в вакууме равна:

(4.1.53)

Используя соотношение (4.1.49), имеем для длины света в веществе формулу:

(4.1.54)

Частоты видимого света лежат в пределах:

(4.1.55)

Модуль среднего по времени потока энергии, переносимого волной, называется интенсивностью света I в данной точке пространства. Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды волны:

I ∼ A 2

(4.1.56)

Световая волна, как и другие электромагнитные волны, является поперечной, т.е. направления колебаний электрического и магнитного векторов перпендикулярны к направлению ее распространения. В естественном свете присутствуют все направления колебаний электрического и магнитного векторов. Если в волне присутствуют колебания электрического вектора только в одной плоскости (а магнитного вектора в перпендикулярной плоскости), такую волну называют плоскополяризованной (линейно поляризованной) . Есть и более сложные случаи поляризации волн — круговая и эллиптическая. В случае круговой поляризации электрический и магнитный векторы вращаются по кругу с частотой изменения волны.

4.1.5. Геометрическая оптика

Длины воспринимаемых глазом световых волн очень малы (∼10 -7 м), поэтому распространение видимого света в первом приближении можно рассматривать, отвлекаясь от его волновой природы и полагая, что свет распространяется вдоль некоторых прямых линий, называемых лучами. В предельном случае, когда длина волны света λ→0, законы оптики можно сформулировать на языке геометрии.

Основу геометрической оптики составляют 4 закона:

1. закон прямолинейного распространения света;
2. закон независимости световых лучей;
3. закон отражения света;
4. закон преломления света.

Закон прямолинейного распространения света утверждает, что в однородной среде свет распространяется прямолинейно . Этот закон является приближенным: при прохождении света через очень малые отверстия, размеры которых сравнимы с диной волны света, наблюдается отклонение от прямолинейности, тем большее, чем меньше отверстие.

Закон независимости световых лучей утверждает, что лучи при пересечении не возмущают друг друга . Это означает, что пересечение лучей не мешает каждому из них распространяться независимо друг от друга. Этот закон справедлив при не слишком больших интенсивностях световых волн.

В основу геометрической оптики был положен принцип Ферма : свет распространяется по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время .

Пусть для прохождения участка ds свету требуется время dt = ds/v, где v — скорость света в данной точке среды. Поскольку v = c/n, то получим:

(4.1.57)

Следовательно, время τ, необходимое для прохождения пути от точки 1 до точки 2 (Рис. 4.1.2), равно:

(4.1.58)

Рис. 4.1.2. К принципу Ферма

Имеющая размерность длины величина

(4.1.59)

называется оптической длиной пути . В однородной среде оптическая длина пути равна произведению геометрической длины пути на показатель преломления:

(4.1.60)

Следовательно,

(4.1.61)

Пропорциональность времени прохождения оптической длине пути дает возможность сформулировать принцип Ферма так: свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого минимальна.

Из принципа Ферма вытекает обратимость световых лучей. Действительно, оптический путь, который минимален при движении света из точки 1 в точку 2, окажется минимальным и в случае распространения света в обратном направлении.

Получим с помощью принципа Ферма законы отражения и преломления света. Пусть свет попадает из точки А в точку В, отразившись от поверхности MN (Рис. 4.1.3).

Рис. 4.1.3. Закон отражения света как следствие принципа Ферма

Прямой путь из А в В прегражден экраном Э. Среда, в которой распространяется луч, однородна, поэтому минимальность оптической длины пути сводится к минимальности геометрической длины пути. Геометрическая длина произвольно взятого пути равна АО’B = A’O’B, поскольку вспомогательная точка A’ является зеркальным отражением точки А, и АО’ = A’O’. Из Рис. 4.1.3 видно, что наименьшей длиной обладает путь луча, отразившегося в точке О, для которой угол отражения равен углу падения. При удалении точки O’ от точки О геометрическая длина пути неограниченно возрастает, что противоречит принципу Ферма. Этот результат можно записать так:

(4.1.62)

Соотношение (4.1.62) выражает закон отражения света : отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью, восстановленной в точке падения; угол отражения равен углу падения.

Найдем точку, в которой должен преломиться луч, распространяясь от А к В, чтобы оптическая длина пути была минимальной (Рис. 4.1.4).

Рис. 4.1.4. К расчету закона преломления света из принципа Ферма

Для произвольного луча оптическая длина пути равна:

(4.1.63)

Чтобы найти минимальное значение оптической длины пути, продифференцируем L по х и приравняем производную к нулю:

(4.1.64)

Множители при n₁ и n₂ равны, соответственно, sinθ и sinθ». Поэтому получаем соотношение:

(4.1.65)

которое выражает закон преломления света. Используя взаимосвязь показателей преломления с фазовыми скоростями распространения света в средах, можно записать соотношение (4.1.65) в виде:

(4.1.66)

Следовательно, закон преломления света гласит: преломленный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью; отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных веществ.

В (4.1.66) n₁₂ — относительный показатель преломления второго вещества по отношению к первому. Из (4.1.65) видно, что при переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную луч удаляется от нормали к поверхности раздела сред. Увеличение угла падения сопровождается более быстрым ростом угла преломления, и при достижении некоторого предельного угла падения угол преломления будет равным 90°:

(4.1.67)

Отсюда:

(4.1.68)

При углах падения, лежащих в пределах от θ_пред пред до 90°, преломленной волны не существует, вся энергия падающей волны переходит в энергию отраженной волны. Это явление называется полным внутренним отражением.

Показатели преломления некоторых веществ при λ=0,589 мкм

Вещество	Показатель преломления	Вещество	Показатель преломления
Воздух	1,0003	Стекло (крон)	1,515
Вода	1,333	Стекло (флинт)	1,752
Спирт (этиловый)	1,362	Алмаз	2,420

Во многих оптических приборах для преломления света используются стеклянные призмы. На Рис. 4.1.5 показан ход луча монохроматического света в призме.

Рис. 4.1.5. Ход лучей в призме

После двукратного преломления луч оказывается отклоненным от первоначального положения на угол δ ( угол отклонения ). Угол θ, заключенный между преломляющими гранями, называется преломляющим углом . Угол δ зависит от преломляющего угла θ и показателя преломления призмы. Эта зависимость может быть легко показана для призмы с малым преломляющим углом θ (тонкой призмы) в случае малого угла падения α. Исходя из закона преломления и принимая значение показателя преломления воздуха равным единице, можно записать:

(4.1.69)

При малых углах α и θ углы α₁, γ и γ₁ также малы. Поэтому вместо (4.1.69) можно приближенно записать:

(4.1.70)

Из четырехугольника BQDE, в котором углы при В и D — прямые, найдем, что угол BED равен 180° — θ. Тогда из четырехугольника BСDE находим:

(4.1.71)

Отсюда

(4.1.72)

Угол δ из треугольника BED равен:

(4.1.73)

Подставляя в (4.1.72) результаты (4.1.73) и (4.1.70), получим окончательно:

(4.1.74)

4.1.6. Преломление в линзе

В практических применениях большое значение имеет преломление света на сферической границе раздела двух сред. Основная деталь оптических приборов — линза — обычно представляет собой стеклянное тело, ограниченное с двух сторон сферическими поверхностями. В частном случае одна из поверхностей линзы может быть плоской. Такую поверхность можно рассматривать как сферическую с бесконечно большим радиусом кривизны.

Линзы могут быть изготовлены не только из стекла, а из любого прозрачного вещества с показателем преломления, превышающим единицу, например, из кварца, каменной соли, пластмасс и других материалов. Поверхности линз могут быть и более сложной формы — цилиндрические, параболические и т.д.

Рассмотрим линзу, ограниченную двумя сферическими преломляющими поверхностями PO₁Q и PO₂Q (Рис. 4.1.6).

Рис. 4.1.6. Тонкая линза

Центр первой преломляющей поверхности PO₁Q лежит в точке С₁, центр второй поверхности PO₂Q — в точке С₂. Будем считать, что расстояние O₁O₂ мало по сравнению с O₁С₁ или O₂С₂. В таком случае точки O₁ и O₂ можно считать практически совпадающими с точкой О — оптического центра линзы. Всякая прямая, проходящая через оптический центр, называется оптической осью линзы. Та из осей, которая проходит через центры обеих преломляющих поверхностей, называется главной оптической осью , остальные — побочными осями .

Луч, идущий по какой-либо оптической оси, проходя через тонкую линзу, не меняет своего направления. Лучи, идущие параллельно главной оптической оси, после преломления в линзе пересекаются в одной точке F, расположенной на главной оптической оси и называемой главным фокусом .

Покажем, что лучи, исходящие под небольшими углами α из некоторой точки А, лежащей на главной оптической оси, собираются линзой в одну точку А₁, расположенную также на этой оптической оси и называемую изображением точки А (Рис. 4.1.7).

Рис. 4.1.7. Преломление в тонкой линзе

Построим плоскости, касательные к поверхностям линзы в точках М и N (в местах падения луча на линзу и его выхода из линзы), и проведем в эти точки радиусы R₁ и R₂ кривизны поверхностей линзы. Тогда луч AMNA₁ можно рассматривать как луч, преломленный в тонкой призме с преломляющим углом θ. Учитывая малость углов α, β, α₁, β₁ и толщины линзы, можно записать:

(4.1.75)

где а и b — расстояния от источника света А и от его изображения А₁ до оптического центра линзы.

Из треугольников АНА₁ и ВЕВ₁ следует, что:

(4.1.76)

Принимая во внимание формулы (4.1.75), получим:

(4.1.77)

Учтено, что для тонкой линзы h₁ ≈ h₂ ≈ h. Поскольку, согласно формуле (4.1.74) для тонкой призмы выполняется: θ = (n-1)δ, то, с помощью (4.1.77) имеем формулу линзы :

(4.1.78)

В эту формулу не входит величина h, что означает, что расстояние b не зависит от от положения точки М. Следовательно, все лучи, исходящие из точки А, соберутся после преломления разными частями линзы в одной точке А₁ .

Если точка А находится бесконечно далеко от линзы (а = ∞), т.е. если лучи падают на линзу параллельно главной оптической оси, то, согласно формуле (4.1.78), имеем:

(4.1.79)

Величина b = f называется фокусным расстоянием линзы :

(4.1.80)

Фокусом линзы называется точка, в которой после преломления собираются все лучи, падающие на линзу параллельно главной оптической оси.

Принимая во внимание (4.1.80), формулу линзы (4.1.78) можно сейчас переписать так:

(4.1.81)

Величина, обратная фокусному расстоянию, называется оптической силой линзы :

(4.1.82)

Оптическая сила выражается в диоптриях (дп). 1 дп — оптическая сила линзы с фокусным расстоянием в 1 м.

4.1.7. Принцип Гюйгенса

В приближении геометрической оптики свет за преградой не должен проникать в область геометрической тени. В действительности световая волна распространяется во всем пространстве за преградой, проникая проникать в область геометрической тени, причем это проникновение будет тем более существенным, чем меньше размеры отверстия. При диаметре отверстия или ширине щели, сравнимых с длиной волны, приближение геометрической оптики становится совершенно неприменимым.

Качественно поведение света за преградой с отверстием может быть объяснено с помощью принципа Гюйгенса . Согласно принципу Гюйгенса каждая точка, до которой доходит волновое движение, служит центром вторичных волн; огибающая этих волн дает положение фронта волны в следующий момент времени. Пусть на плоскую преграду с отверстием падает параллельный ей фронт волны (Рис. 4.1.8).

Рис. 4.1.8. К принципу Гюйгенса

Согласно Гюйгенсу, каждая точка выделяемого отверстием участка волнового фронта служит центром вторичных волн, которые в однородной и изотропной среде будут сферическими. Построив огибающую вторичных волн, можно убедиться в том, что за отверстием волна проникает в область геометрической тени, огибая края преграды.

4.1.8. Интерференция световых волн

Если в среде распространяются одновременно несколько электромагнитных волн, то волны просто накладываются друг на друга, не возмущая одна другую. Это утверждение, подкрепленное опытом, называется принципом суперпозиции.

В случае, когда колебания электрического и магнитного векторов в каждой из волн происходят так, что между соответственными векторами в разных волнах имеется постоянный во времени и в пространстве фазовый сдвиг, такие волны называются когерентными . Очевидно, что условие когерентности может существовать лишь для волн, которые имеют одинаковые частоты и, соответственно, длины волны.

При сложении когерентных волн возникает явление интерференции , заключающееся в том, что электромагнитные волны в одних точках пространства усиливают, а в других ослабляют друг друга.

Пусть две волны одинаковой частоты, распространяющиеся в одном направлении, возбуждают в некоторой точке пространства колебания:

(4.1.83)

Эти векторы можно представить как вращающиеся с частотой ω вокруг общего начала коор-динат. Поскольку сдвиг фаз различен, в какой-либо момент времени эти вектора займут различные положения (Рис. 4.1.9).

Рис. 4.1.9. К расчету интерференции волн

Используя теорему косинусов, получим амплитуду результирующего колебания:

(4.1.84)

Если сдвиг фаз между когерентными колебаниями равен нулю (волны — в фазе), то амплитуда результирующей волны максимальна и равна A = A₁ + A₂. Пусть амплитуды этих волн равны. В этом случае имеем амплитуду результирующей волны:

(4.1.85)

Если сдвиг фаз между когерентными колебаниями равен ±π (волны — в противофазе), то амплитуда результирующей волны минимальна и равна A = A₁ — A₂. Если амплитуды этих волн равны, то в этом случае они гасят друг друга:

(4.1.86)

Когерентные световые волны можно получить, разделив, например, с помощью зеркал волну, излучаемую одним источником, на две. Если заставить эти волны пройти разные пути, а затем наложить их друг на друга, будет наблюдаться интерференция. Пусть такое разделение происходит в точке О (Рис. 4.1.10).

Рис. 4.1.10. Образование когерентных волн

До точки Р первая волна пройдет в среде с показателем преломления n₁ путь S₁, вторая волна пройдет в среде с показателем преломления n₂ путь S₂. Если в точке О фаза колебания была равна ωt, то первая волна возбудит в точке Р колебание

(4.1.87)

а вторая волна — колебание

(4.1.88)

поскольку фазовые скорости волн в средах равны, соответственно: . Следовательно, разность фаз волн в точке Р будет равна:

(4.1.89)

Поскольку выполняется:

(4.1.90)

то, подставляя (4.1.90) в (4.1.8), для сдвига фаз имеем выражение:

(4.1.91)

где

(4.1.92)

есть величина, называемая оптической разностью хода и равная разности оптических длин проходимых волнами путей в средах с различными показателями преломления.

Из (4.1.91) следует, что если оптическая разность хода равна целому числу длин волн в вакууме:

(4.1.93)

то разность фаз оказывается кратной 2π, и колебания, возбуждаемые в точке Р обеими волнами, будут происходить в фазе. Следовательно, (4.1.93) является условием интерференционного максимума.

Если Δ равна полуцелому числу длин волн в вакууме:

(4.1.94)

то разность фаз оказывается равной δ = ±(2m + 1)π, и колебания, возбуждаемые в точке Р обеими волнами, будут происходить в противофазе. Следовательно, (4.1.94) является условием интерференционного минимума.

4.1.9. Дифракция световых волн

Дифракцией называется совокупность явлений, связанных с отклонениями от законов геометрической оптики. В частности, вследствие дифракции происходит огибание световыми волнами препятствий и проникновение света в область геометрической тени.

Между интерференцией и дифракцией нет существенного физического различия.

Свет, идущий от небольшого яркого источника через круглое отверстие (Рис. 4.1.11) должен по правилам геометрической оптики дать на экране резко ограниченный светлый кружок на темном фоне.

Рис. 4.1.11. Дифракция от круглого отверстия

Такая картина наблюдается при обычных условиях опыта. Но если расстояние от отверстия до экрана в несколько тысяч раз превосходит размеры отверстия, то образуется более сложная картина, которая состоит из совокупности светлых и темных концентрических колец.

Интересный случай дифракции осуществляется с помощью дифракционной решетки, которая представляет собой пластинку, на поверхности которой чередуются узкие параллельные прозрачные и непрозрачные полоски. Сумму ширины прозрачной и непрозрачной полосок называют периодом решетки. Пусть на решетку падает монохроматический свет с длиной волны λ (Рис. 4.1.12). Фронт волны параллелен плоскости решетки.

Рис. 4.1.12. Дифракционная решетка

Разности хода лучей, идущих от соответствующих точек отверстий, например от правых краев (точки А, А₁, А₂, . ), или от левых краев (точки В, В₁, В₂, . ) имеют одно и то же значение:

Для того, чтобы все пучки усиливали друг друга, необходимо, чтобы разность хода равнялась целому числу длин волн:

(4.1.95)

где m — целое число.

Это условие позволяет определить те значения углов φ и соответствующие направления, в которых будут наблюдаться максимумы света длины волны λ.

Для данной длины волны может наблюдаться несколько максимумов. Направление, соответствующее m = 0, есть φ = 0. Это — направление первоначального пучка. Соответствущий максимум носит название максимума нулевого порядка. При m = 1 имеем: sinφ₁ = λ/d, при m = –1 имеем: sinφ’₁ = –λ/d, т.е. имеется два максимума первого порядка, расположенных симметрично по обеим сторонам от нулевого максимума. Аналогично располагаются максимумы второго, третьего и т.д. порядков.

Отсюда следует, что для волн разной длины λ положения максимумов нулевого порядка совпадают , а положения максимумов первого, второго и т.д. порядков различны: чем больше λ, тем больше соответствующие углы.

Если на решетку падает белый свет, то в плоскости экрана получается ряд цветных изображений щели. На месте нулевого максимума будет изображение щели в белом свете, а по обе стороны от него развернутся цветные полосы от фиолетового к красному концу.

Чем больше общий размер решетки, т.е. чем больше полосок она содержит, тем выше ее качество: увеличение числа полосок увеличивает количество пропускаемого решеткой света (максимумы становятся ярче), и улучшает разрешение близких волн (максимумы становятся резче).

Зная период дифракционной решетки, ее можно использовать для определения длины световой волны, измерив величину угла φ, определяющего положение максимума данного порядка. В этом случае имеем:

(4.1.96)

Измерение длины световой волны с помощью дифракционной решетки принадлежит к числу наиболее точных методов.

4.1.10. Поляризация световых волн

Поляризованным называется свет, в котором направления колебаний электрического и магнитного векторов упорядочены каким-либо образом. В естественном свете колебания происходят в различных направлениях, быстро и беспорядочно сменяя друг друга.

Различают свет эллиптически поляризованный, поляризованный по кругу, плоскополяризованный. В случае эллиптической или круговой поляризаций электрический и магнитный векторы вращаются в пространстве с частотой, равной частоте волны, причем концы этих векторов описывают либо эллипс, либо круг. Вращение может происходить как по, так и против часовой стрелки. Если вектор вращается в пространстве как правый винт, то поляризацию называют правой, и левой — если вектор вращается в пространстве как левый винт.

Важный частный случай — плоская поляризация. В этом случае вектор электрического поля колеблется в плоскости, проходящей через направление распространения волны и этот вектор. Такую плоскость называют плоскостью колебаний . Вектор магнитного поля колеблется в плоскости, также проходящей через направление распространения волны и этот вектор, но данная плоскость — плоскость поляризации — составляет с плоскостью колебаний прямой угол (Рис. 4.1.13).

Рис. 4.1.13. Структура плоскополяризованной световой волны

Плоскополяризованный свет можно получить из естественного с помощью устройств, которые называются поляризаторами . Эти устройства свободно пропускают волны с колебаниями, плоскость которых совпадает с плоскостью пропускания поляризатора, и задерживают все другие волны.

Пусть на поляризатор падает плоскополяризованный свет амплитуды А₀ и интенсивности I₀. Сквозь устройство пройдет составляющая колебания с амплитудой А_|| = А₀cosφ, где угол φ — угол между плоскостью колебаний падающего света и плоскостью пропускания поляризатора (Рис. 4.1.14).

Рис. 4.1.14. Прохождение плоскополяризованного света через поляризатор

Следовательно, интенсивность прошедшего света определяется выражением:

(4.1.97)

Это соотношение носит название закона Малюса.

Пусть на пути естественного луча стоят два поляризатора, плоскости пропускания которых составляют угол φ. Из первого поляризатора выйдет плоскополяризованный свет, интенсивность которого I0 составит половину интенсивности естественного неполяризованного света I_ест. Используя закон Малюса, получаем:

(4.1.98)

Максимальная интенсивность получается при φ = 0 (плоскости пропускания поляризаторов параллельны). При φ = 90° интенсивность равна нулю — скрещенные поляризаторы не пропускают свет.

4.1.11. Вращение плоскости
поляризации световых волн

Некоторые вещества, называемые оптически активными, обладают способностью вызывать вращение плоскости поляризации проходящего через них плоскополяризованного света. К числу таких веществ относятся кристаллы кварц, киноварь и др, некоторые жидкости (скипидар, никотин), растворы оптически активных веществ в оптически неактивных растворителях (водные растворы сахара, винной кислоты и др.)

Угол поворота плоскости поляризации в твердых веществах пропорционален пути l, пройденному лучом в кристалле:

(4.1.99)

где α — постоянная оптического вращения, различная для разных веществ.

В растворах угол поворота плоскости поляризации пропорционален пути l, пройденному светом в растворе и концентрации с активного вещества:

(4.1.100)

Здесь [α] — удельная постоянная вращения.

В зависимости от направления вращения вещества подразделяются на право- и левовращающие. Существуют правый и левый кварц, правый и левый сахар и т.д. Молекулы или кристаллы одной модификации являются зеркальным отражением молекул или кристаллов другой модификации.

Если между двумя скрещенными поляризаторами поместить оптически активное вещество, то поле зрения просветляется. Чтобы снова затемнить его, надо повернуть один из поляризаторов на угол, определяемый соотношениями (4.1.99) или (4.11.100). Таким методом можно измерить концентрацию активного вещества в растворе, в частности, концентрацию сахара.

© ФГОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет, 2015

Уравнения Максвелла

К середине XIX века ученые открыли целый ряд законов, описывающих электрические и магнитные явления и связи между ними. В частности, были известны:

• закон Кулона, описывающий силу взаимодействия между электрическими зарядами,
• теорема Гаусса, исключающая возможность существования в природе изолированных магнитных зарядов (магнитных монополей),
• закон Био—Савара, описывающий магнитные поля, возбуждаемые движущимися электрическими зарядами (см. такжеЗакон Ампера и Открытие Эрстеда), и
• законы электромагнитной индукции Фарадея, согласно которым изменение магнитного потока порождает электрическое поле и индуцирует ток в проводниках (см. такжеПравило Ленца).

Эти четыре группы законов и были обобщены Джеймсом Клерком Максвеллом, которому удалось объединить их в стройную систему (получившую его имя), состоящую из четырех уравнений и исчерпывающим образом описывающую все измеримые характеристики электромагнитных полей и электрических токов, которая названа его именем. Прежде всего, Максвеллу мы обязаны строгим математическим описанием всех известных законов электромагнетизма (Фарадей, например, вообще формулировал все открытые им законы исключительно в словесной форме). Во-вторых, в сформулированную им систему Максвелл внес немало принципиально новых идей, отсутствовавших в исходных законах. В-третьих, он придал всем электромагнитным явлениям строгое теоретическое обоснование. И, наконец, в-четвертых, на основе составленной им системы уравнений Максвелл сделал ряд важных предсказаний и открытий, включая предсказание существования спектра электромагнитного излучения.

Давайте начнем со второго пункта. Согласно закону Био—Савара, электрический ток, проходящий по проводнику, возбуждает вокруг него магнитное поле. А что если электрический ток протекает не по проводнику, а через плоский конденсатор? Фактически, электроны не перескакивают с одной пластины на другую, однако ток всё равно проходит через конденсатор, поскольку электроны одной пластины взаимодействуют с электронами другой пластины, находясь в непосредственной близости друг от друга, и, в силу взаимного отталкивания, передают друг другу колебания (так называемые осцилляции) переменного тока, обеспечивая, тем самым, протекание тока через, казалось бы, очевидный разрыв в электрической цепи.

Максвелл понял, что закон Ампера в этой ситуации не объясняет прохождение тока. Он также понял, что, хотя заряды с пластины на пластину не переходят, электрическое поле (сила, которая возникла бы, если бы мы поместили между пластинами воображаемый электрический заряд) увеличивается. Исходя из этого он постулировал, что в мире электромагнитных явлений изменяющееся электрическое поле может играть ту же роль в порождении магнитного поля, что и электрический ток. Максвелл ввел принципиально новое понятие тока смещения, добавив его в качестве отдельного слагаемого в обобщенный закон Ампера — первое уравнение Максвелла. И с тех пор наличие токов смещения раз за разом безоговорочно подтверждается экспериментальными данными.

Внеся столь важное дополнение в первое из четырех уравнений, Максвелл на основании составленной им системы уравнений чисто математически вывел фантастическое по тем временам предсказание: в природе должны существовать электромагнитные волны, формирующиеся в результате колебательного взаимодействия электрических и магнитных полей, и скорость их распространения должна быть пропорциональна силе между зарядами или между магнитами. Решив составленное им дифференциальное волновое уравнение, Максвелл с удивлением обнаружил, что скорость распространения электромагнитных колебаний совпадает со скоростью света, к тому времени уже определенной экспериментально. Это означало, что столь знакомое всем явление, как свет, представляет собой электромагнитные волны! Более того, Максвелл предсказал существование электромагнитных волн во всем известном спектре — от радиоволн до гамма-лучей. Таким образом, доскональное теоретическое исследование природы электричества и магнетизма привело к открытию, принесшему человечеству неисчислимые блага — от микроволновых печей до рентгеновских установок в стоматологических клиниках.

Шотландский физик, один из самых выдающихся теоретиков XIX столетия. Родился в Эдинбурге, происходит из старинного дворянского рода. Учился в Эдинбургском и Кембриджском университетах. Первую научную статью (о методе начертания идеального овала) опубликовал в возрасте 14 лет. Максвелл занимал должность профессора кафедры экспериментальной физики Кембриджского университета, когда в 48 лет безвременно скончался от рака.

Первым большим теоретическим исследованием Клерка Максвелла, как его часто именуют, стала работа по теории цвета и цветного зрения. Он первым показал, что вся гамма видимых цветов может быть получена путем смешения трех основных цветов — красного, желтого и синего; объяснил природу дальтонизма (дефекта зрения, приводящего к нарушению восприятия цветовой гаммы) врожденным или приобретенным дефектом рецепторов сетчатки глаза. Он первым изобрел реально работающий цветной фотоаппарат (с использованием тартановой ленты в качестве светочувствительного материала) и продемонстрировал его работу на собрании Лондонского королевского общества в 1861 году. Как бы между делом тщательно рассчитал возможную структуру колец Сатурна и доказал, что они не могут быть жидкими, как ранее считалось, а должны состоять из твердых частиц.

Максвелл внес важный вклад в развитие многих отраслей естествознания. Но, пожалуй, наиважнейшее его достижение состоит в развитии теории электромагнетизма и постановке ее на прочную математическую основу. Заниматься этим вопросом Максвелл начал в середине 1850-х годов. По иронии судьбы Максвелл твердо верил в существование светоносного эфира, и все свои уравнения выводил исходя из того, что эфир существует, и в нем возбуждаются электромагнитные волны, имеющие, как следствие, конечную скорость распространения. До результатов опыта Майкельсона—Морли, опровергающих теорию существования эфира, Максвелл не дожил. (Как не дожил он и до безоговорочного признания своей теории. Окончательно волновая природа света и правильность уравнений Максвелла были подтверждены опытами Герца лишь в 1888 году, а до того времени большинство физиков, включая самого Герца, с недоверием относились к столь смелой теории. — Примечание переводчика.) К счастью для него и для нас, теорию Максвелла этот опыт не отменил, поскольку уравнения Максвелла выполняются независимо от наличия или отсутствия эфира.

Наконец, Максвелл внес огромный вклад в становление статистической механики, найдя распределение молекул газа по скоростям, ставшее краеугольным камнем молекулярно-кинетической теории. Наконец, сам же Максвелл и подметил несовершенство этой теории, сформулировав парадокс, позже получивший название демона Максвелла.

Великолепная математическая модель Максвелла, «вынудившая» Эйнштейна «изобрести» относительность Времени, —
горестно подтверждает вдвоём оксюморон Прудона:
«Заблуждения — ступени науки.»

Поразительно тупо . молчание всех виденных мною учебников про нулевое поле Максвелла между одинаково заряженными плоскостями, — дальнодействующими!

Уравнения Максвелла — формулы и физический смысл

Основная идея

Если в замкнутом контуре меняется магнитный поток, то по нему течёт электрический ток. В итоге возникает электродвижущая сила магнитной индукции. Происходит это из-за изменения магнитного поля. Предположим, имеется магнит, у которого поток с течением времени увеличивается. Если в поле поместить замкнутый проводник кольцевого типа, то по правилу Ленца в нём возникнет индукционный ток, противоположный магнитной силе через контур.

Ток — это направленное движение заряженных частиц. Сила, заставляющая их перемещаться, называется электрическим полем. Появляется она при изменении магнитного потока. Отсюда можно сделать вывод, что электрическое поле существует всегда там, где есть изменяющееся магнитное, при этом оно имеет замкнутую форму. Этот вид силы и называли вихревым полем. Когда вектор магнитной силы возрастает, то увеличивается и вихревое поле, а если убывает, то, соответственно, оно уменьшается.

Джеймс Клерк Максвелл предположил, что если меняющееся магнитное поле порождает электрическое, то этот процесс может быть и обратным. Его идея заключалась в том, что если имеется проводник с током, то вокруг него существует стационарное магнитное поле. На длине этого проводника он выбрал произвольные три точки равноудалённые от него на расстояние r.

В этих точках поле будет одинаковое. Максвелл предположил, что если проводник разорвать, то для того чтобы ток продолжал движение, нужно сохранить заряды. То есть фактически использовать конденсатор. По мнению Максвелла, тогда в точке разрыва поле будет такое же, как и вокруг проводника. Между обкладками возникнет электрическая сила, так как на них происходит сохранение (накопление) зарядов. Учитывая это, физик пришёл к выводу, что изменяющееся электрическое поле приводит к возникновению магнитного потока.

Так как на обкладках имеется заряд, то сила тока будет равняться I = dq / dt. Заряд можно связать с напряжением на обкладках конденсатора и электроёмкостью: q = C * U. Ёмкость же в вакууме определяется как E0 * S/ d, а напряжение — как E * d.

Подставив значения в формулу, Максвелл получил выражение: dq / dt = E0 * S * dE / dt. Так как ток между обкладками не течёт, а перенос происходит полем, физик предложил ввести понятие фиктивный ток смещения. Плотность этого тока можно найти по формуле: j = E0 * dE / dt. Это позволило упростить вычисления магнитной силы. Ток смещения и вихревое поле стали основой для создания системы уравнений.

Физическая суть

Электромагнитное поле представляет собой материю, с помощью которой заряженные элементарные частицы взаимодействуют между собой. В вакууме явление характеризуется напряжённостью E и магнитной индукцией B. Эти параметры определяют силы, воздействующие на подвижные и неподвижные заряды. Кроме них, значение электромагнитного поля определяется скалярным и векторным потенциалами и двумя дополнительными величинами: индукцией D и напряжённостью магнитных линий H.

Открытие в 1831 году Фарадеем закона электромагнитной индукции, устанавливающего зависимость между зарядом и намагниченностью у токоведущих тел, помогло Максвеллу сформулировать ряд уравнений, после названных его именем. Главное его исследование заключалось в исследовании тока смещения, равного по магнитному действию электрическому току.

Сформулировав свою систему, физик смог связать электрическое и магнитное поле с зарядом и током. Физический смысл уравнений Максвелла заключается в том, что электромагнитное поле рассматривалось им как самостоятельный объект, в котором передача энергии происходит колебанием от точки к точке с конечной скоростью. При этом в вакууме она определяется скоростью света.

С точки зрения математики, для описания процессов учёный использовал векторный анализ, выраженный через инвариантную форму, использующую кватернионы Гамильтона. Написанные им уравнения неохотно принимались учёным советом Лондонского Королевского общества. Это происходило из-за того, что они не были похожи ни на одно из описаний известных ранее.

Тем не менее система Максвелла получила признание и стала фундаментальной в области электродинамики. При этом её справедливость получила подтверждение не только в микромире, ни и в области квантовой физики.

Основным следствием открытия стало понятие о скорости распространения электромагнитных волн и создании теории света. По сути, эта система теории волн в науке об электромагнетизме играет роль сопоставимую с законами Ньютона в области механики или с теоремами в электродинамике.

Дифференциальная запись

Открытие в проводящих телах тока смещения позволило Максвеллу вывести четыре уравнения, на основе которых была создана теория электромагнитных явлений. Обычно в физике математическая запись процессов не зависит от системы единиц, но в термодинамике это не так. Всё дело в том, что при записи в различных системах изменяются коэффициенты (постоянные).

Например, в системе единиц, используемой в описании квантовой теории поля, скорость света и электромагнитная константа равна единице. Поэтому уравнения не будут иметь ни одной постоянной. Для записи используют две системы: СГС — симметричная гауссова, и СИ — Международная система единиц.

В этих двух стандартах система уравнений Максвелла может быть описана словесно и математически следующим образом:

1. В качестве источника электрической индукции выступает заряженная частица. В СГС: ∇ * D = 4*p* ρ; в СИ: ∇ * D = 4* ρ.
2. В электромагнитном поле магнитных зарядов нет. В обеих системах формула выглядит одинакового: ∇ * B = 0.
3. При изменении величины магнитной индукции возникает электрическое вихревое поле. В СГС: ∇ * E = — δ B / c * δ t; в СИ: ∇ * E = — δ B / δ t.
4. Вихревое магнитное поле появляется из-за изменений электрической индукции и тока. В СГС: ∇ * H = 4 pj / c + δ D / c * δ t; в СИ: ∇ * H = j + δ D / δ t.

Это классические четыре закона описывающие природу и условия возникновения электромагнитного поля. Первая гипотеза связывает напряжённость с индукцией и является выражением теоремы электромагнитной индукции. Вторая доказывает отсутствие объектов, генерирующих магнитное поле. Третья устанавливает зависимость между током смещения и проводимостью, создающейся в магнитном поле. Четвёртая объясняет, что источником вектора электрической индукции служит сторонний заряд.

Указанные уравнения представляют собой запись в дифференциальной форме. При этом каждое из них эквивалентно скалярным уравнениям. В этой форме они имеют следующий вид:

1. (δEy / δx) — (δEx / δy) = — δBx / δt;
2. (δBx / δx) — (δEy / δy) + (δBz / δz) = 0;
3. (δHy / δx) — (δHx / δy) = jz + δDx / δt;
4. (δDx / δx) — (δDy / δy) + (δDz / δz) = ρ.

Для того чтобы воспользоваться этими постулатами для расчёта полей, нужно уравнения дополнить граничными правилами объединяющим электрическую индукцию (D), плотность электрического тока (j), напряжённость (E). Эти положения имеют вид: D = e0*e*E; B = m0*m*H; j = δ*E. Совокупность этих соотношений позволяет сделать вывод об основе электродинамики сред, находящихся в спокойном состоянии.

Интегральная форма

Запись уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной форме позволяет рассчитать электромагнитное поле в любой среде. Первые два уравнения, включающие интегралы, получаются путём преобразования дифференциальных форм по произвольной поверхности и применения теоремы Стокса, ограничивающей поверхность. Вторые же два путём интегрирования по произвольному объёму с дальнейшим их упрощением по теореме Остроградского — Гаусса, по ограниченной поверхности в замкнутом объёме.

Выглядят они следующим образом:

1. ∫ D * ds = 4 pQ. Это закон Гаусса устанавливающий, что поток электрической индукции сквозь ограниченную поверхность зависит от величины свободного заряда, существующего в объёме формирующимся этой поверхностью.
2. ∫ B * ds = 0. Теорема для магнитного поля сообщающая, что сила линий магнитной индукции через ограниченную поверхность равна нулю.
3. ∫ E * dl = — d / dt*c ∫ B * ds. Свойство Фарадея обозначающее, что поток магнитной индукции, проходя через замкнутую поверхность пропорционален вращению электрического поля в контуре ограничивающим поверхность.
4. ∫ H * dl = 4pI / c + (d / dt) ∫ D * ds. Правило циркуляции магнитного поля. Электрический ток свободных частиц и колебания электромагнитной индукции зависят от размера и движения магнитного потока, ограниченного контуром l.

В этих уравнениях буквой S обозначается замкнутое пространство двухмерной поверхности определяющей границы объёма V или контура l. При этом Q является электрическим зарядом, находящимся в замкнутом объёме площадью S и равным: Q = ∫p * dV, а I — электрическим током, протекающим сквозь S и определяющимся из уравнения: I = ∫j * ds.

Нужно отметить, что вектор потока по ограниченной поверхности считается направленным из объёма. Вращение же находится согласно правилу правого винта по незамкнутой площади. В уравнениях величины E, B, D и H являются равнозначными значениями, определяющимися в результате решения системы.

Значение уравнений

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля объясняет все электромагнитные явления. Её применяют при полном анализе полей при известных распределениях токов и заряженных частиц. Часто уравнения называют материальными, подчёркивая индивидуальные свойства занимающей пространство среды: D = e * e0 * E, B = m * m0 * H, J = E .

Формулы физика подтверждают существование электромагнитных волн. Иначе говоря, предпологают возможность электрического поля излучать энергию вне зависимости от присутствия электрических зарядов и токов. Из всего многообразия применения уравнений можно выделить основные четыре:

1. Нахождение характеристик электрического и магнитного поля по известному распределению заряженных частиц и токов. То есть это теория электромагнитного поля (ЭМП) примирительная к любой системе зарядов и токов. Она обобщает электрические и магнитные явления.
2. Изучение макроскопических полей. Уравнения Максвелла применимы к макрозарядам и макротокам. Их можно использовать в среде, где расстояния от источника излучения до зафиксированной точки намного превышает периоды внутренних явлений.
3. Теоремы Максвелла раскрывают внутренний механизм процессов в среде, описываемых тремя фундаментальными характеристиками: ε, μ и σ.
4. Используя теорию, являющуюся близкодейственной, можно описать электрические и магнитные взаимодействия, возникающие в электромагнитном поле распространяющимся с ограниченной скоростью.

Система включает в себя все основные законы электрического и магнитного поля с учётом такого важного параметра, как электромагнитная индукция. Теоретическое исследование физика позволило утверждать, что свет представляет собой электромагнитные волны и существования токов смещения в магнитном поле. То есть изменение ЭМП без движения электрических зарядов. Благодаря этому стало возможным находить полный ток.

Максвеллом было найдено четыре важных закономерности, заключающиеся в том, что электрический заряд образует электрическое поле, колебания магнитных волн порождает электрические вихри, магнитных зарядов быть не может, изменение индукции приводит к появлению вихревого магнитного потока. Эти теоретические суждения после были подтверждены экспериментально и позволили получить картину распространения свободной энергии электромагнитной волны в пространстве.

📽️ Видео