Основная и расширенная матрица систем линейных уравнений

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Определение системы линейных алгебраических уравнений. Решение системы. Классификация систем.

Под системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) подразумевают систему

содержащую $m$ уравнений и $n$ неизвестных ($x_1,x_2,ldots,x_n$). Прилагательное «линейных» означает, что все неизвестные (их еще называют переменными) входят только в первой степени.

Параметры $a_$ ($i=overline$, $j=overline$) называют коэффициентами, а $b_i$ ($i=overline$) – свободными членами СЛАУ. Иногда, чтобы подчеркнуть количество уравнений и неизвестных, говорят так «$mtimes n$ система линейных уравнений», – тем самым указывая, что СЛАУ содержит $m$ уравнений и $n$ неизвестных.

Если все свободные члены $b_i=0$ ($i=overline$), то СЛАУ называют однородной. Если среди свободных членов есть хотя бы один, отличный от нуля, СЛАУ называют неоднородной.

Решением СЛАУ (1) называют всякую упорядоченную совокупность чисел ($alpha_1, alpha_2,ldots,alpha_n$), если элементы этой совокупности, подставленные в заданном порядке вместо неизвестных $x_1,x_2,ldots,x_n$, обращают каждое уравнение СЛАУ в тождество.

Любая однородная СЛАУ имеет хотя бы одно решение: нулевое (в иной терминологии – тривиальное), т.е. $x_1=x_2=ldots=x_n=0$.

Если СЛАУ (1) имеет хотя бы одно решение, ее называют совместной, если же решений нет – несовместной. Если совместная СЛАУ имеет ровно одно решение, её именуют определённой, если бесконечное множество решений – неопределённой.

Имеем систему линейных алгебраических уравнений, содержащую $3$ уравнения и $5$ неизвестных: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$. Можно, сказать, что задана система $3times 5$ линейных уравнений.

Коэффициентами системы (2) есть числа, стоящие перед неизвестными. Например, в первом уравнении эти числа таковы: 3, -4, 1, 7, -1. Свободные члены системы представлены числами 11, -65, 0. Так как среди свободных членов есть хотя бы один, не равный нулю, то СЛАУ (2) является неоднородной.

Упорядоченная совокупность $(4;-11;5;-7;1)$ является решением данной СЛАУ. В этом несложно убедиться, если подставить $x_1=4$, $x_2=-11$, $x_3=5$, $x_4=-7$, $x_5=1$ в уравнения заданной системы:

Естественно, возникает вопрос том, является ли проверенное решение единственным. Вопрос о количестве решений СЛАУ будет затронут в соответствующей теме.

Система (3) является СЛАУ, содержащей $5$ уравнений и $3$ неизвестных: $x_1$, $x_2$, $x_3$. Так как все свободные члены данной системы равны нулю, то СЛАУ (3) является однородной. Несложно проверить, что совокупность $(0;0;0)$ является решением данной СЛАУ. Подставляя $x_1=0$, $x_2=0$, $x_3=0$, например, в первое уравнение системы (3), получим верное равенство:

$$4x_1+2x_2-x_3=4cdot 0+2cdot 0-0=0.$$

Подстановка в иные уравнения делается аналогично.

Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Матричная форма записи систем линейных алгебраических уравнений.

С каждой СЛАУ можно связать несколько матриц; более того – саму СЛАУ можно записать в виде матричного уравнения. Для СЛАУ (1) рассмотрим такие матрицы:

Матрица $A$ называется матрицей системы. Элементы данной матрицы представляют собой коэффициенты заданной СЛАУ.

Матрица-столбец $B$ называется матрицей свободных членов, а матрица-столбец $X$ – матрицей неизвестных.

Используя введённые выше обозначения, СЛАУ (1) можно записать в форме матричного уравнения: $Acdot X=B$.

Матрицы, связанные с системой, можно записать различными способами: всё зависит от порядка следования переменных и уравнений рассматриваемой СЛАУ. Но в любом случае порядок следования неизвестных в каждом уравнении заданной СЛАУ должен быть одинаков (см. пример №4).

Записать СЛАУ $ left < begin& 2x_1+3x_2-5x_3+x_4=-5;\ & 4x_1-x_3=0;\ & 14x_2+8x_3+x_4=-11. end right. $ в матричной форме и указать расширенную матрицу системы.

Имеем четыре неизвестных, которые в каждом уравнении следуют в таком порядке: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$. Матрица неизвестных будет такой: $left( begin x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 end right)$.

Свободные члены данной системы выражены числами -5, 0, -11, посему матрица свободных членов имеет вид: $B=left( begin -5 \ 0 \ -11 end right)$.

Перейдем к составлению матрицы системы. В первую строку данной матрицы будут занесены коэффициенты первого уравнения: 2, 3, -5, 1.

Во вторую строку запишем коэффициенты второго уравнения: 4, 0, -1, 0. При этом следует учесть, что коэффициенты системы при переменных $x_2$ и $x_4$ во втором уравнении равны нулю (ибо эти переменные во втором уравнении отсутствуют).

В третью строку матрицы системы запишем коэффициенты третьего уравнения: 0, 14, 8, 1. Учитываем при этом равенство нулю коэффициента при переменной $x_1$ (эта переменная отсутствует в третьем уравнении). Матрица системы будет иметь вид:

$$ A=left( begin 2 & 3 & -5 & 1\ 4 & 0 & -1 & 0 \ 0 & 14 & 8 & 1 end right) $$

Чтобы была нагляднее взаимосвязь между матрицей системы и самой системой, я запишу рядом заданную СЛАУ и ее матрицу системы:

В матричной форме заданная СЛАУ будет иметь вид $Acdot X=B$. В развернутой записи:

$$ left( begin 2 & 3 & -5 & 1\ 4 & 0 & -1 & 0 \ 0 & 14 & 8 & 1 end right) cdot left( begin x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 end right) = left( begin -5 \ 0 \ -11 end right) $$

Запишем расширенную матрицу системы. Для этого к матрице системы $ A=left( begin 2 & 3 & -5 & 1\ 4 & 0 & -1 & 0 \ 0 & 14 & 8 & 1 end right) $ допишем столбец свободных членов (т.е. -5, 0, -11). Получим: $widetilde=left( begin 2 & 3 & -5 & 1 & -5 \ 4 & 0 & -1 & 0 & 0\ 0 & 14 & 8 & 1 & -11 end right) $.

Записать СЛАУ $ left <begin& 3y+4a=17;\ & 2a+4y+7c=10;\ & 8c+5y-9a=25; \ & 5a-c=-4. endright.$ в матричной форме и указать расширенную матрицу системы.

Как видите, порядок следования неизвестных в уравнениях данной СЛАУ различен. Например, во втором уравнении порядок таков: $a$, $y$, $c$, однако в третьем уравнении: $c$, $y$, $a$. Перед тем, как записывать СЛАУ в матричной форме, порядок следования переменных во всех уравнениях нужно сделать одинаковым.

Упорядочить переменные в уравнениях заданной СЛАУ можно разными способами (количество способов расставить три переменные составит $3!=6$). Я разберу два способа упорядочивания неизвестных.

Введём такой порядок: $c$, $y$, $a$. Перепишем систему, расставляя неизвестные в необходимом порядке: $left <begin& 3y+4a=17;\ & 7c+4y+2a=10;\ & 8c+5y-9a=25; \ & -c+5a=-4. endright.$

Матрица системы имеет вид: $ A=left( begin 0 & 3 & 4 \ 7 & 4 & 2\ 8 & 5 & -9 \ -1 & 0 & 5 end right) $. Матрица свободных членов: $B=left( begin 17 \ 10 \ 25 \ -4 end right)$. При записи матрицы неизвестных помним о порядке следования неизвестных: $X=left( begin c \ y \ a end right)$. Итак, матричная форма записи заданной СЛАУ такова: $Acdot X=B$. В развёрнутом виде:

$$ left( begin 0 & 3 & 4 \ 7 & 4 & 2\ 8 & 5 & -9 \ -1 & 0 & 5 end right) cdot left( begin c \ y \ a end right) = left( begin 17 \ 10 \ 25 \ -4 end right) $$

Расширенная матрица системы такова: $left( begin 0 & 3 & 4 & 17 \ 7 & 4 & 2 & 10\ 8 & 5 & -9 & 25 \ -1 & 0 & 5 & -4 end right) $.

Введём такой порядок: $a$, $c$, $y$. Перепишем систему, расставляя неизвестные в необходимом порядке: $left < begin& 4a+3y=17;\ & 2a+7c+4y=10;\ & -9a+8c+5y=25; \ & 5a-c=-4. endright.$

Матрица системы имеет вид: $ A=left( begin 4 & 0 & 3 \ 2 & 7 & 4\ -9 & 8 & 5 \ 5 & -1 & 0 end right)$. Матрица свободных членов: $B=left( begin 17 \ 10 \ 25 \ -4 end right)$. При записи матрицы неизвестных помним о порядке следования неизвестных: $X=left( begin a \ c \ y end right)$. Итак, матричная форма записи заданной СЛАУ такова: $Acdot X=B$. В развёрнутом виде:

$$ left( begin 4 & 0 & 3 \ 2 & 7 & 4\ -9 & 8 & 5 \ 5 & -1 & 0 end right) cdot left( begin a \ c \ y end right) = left( begin 17 \ 10 \ 25 \ -4 end right) $$

Расширенная матрица системы такова: $left( begin 4 & 0 & 3 & 17 \ 2 & 7 & 4 & 10\ -9 & 8 & 5 & 25 \ 5 & -1 & 0 & -4 end right) $.

Как видите, изменение порядка следования неизвестных равносильно перестановке столбцов матрицы системы. Но каким бы этот порядок расположения неизвестных ни был, он должен совпадать во всех уравнениях заданной СЛАУ.

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Система линейных алгебраических уравнений

В данной публикации мы рассмотрим определение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), как она выглядит, какие виды бывают, а также как ее представить в матричной форме, в том числе расширенной.

Видео:12. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Часть 1.Скачать

Определение системы линейных уравнений

Система линейных алгебраических уравнений (или сокращенно “СЛАУ”) – это система, которая в общем виде выглядит так:

Индексы коэффициентов ( a_ij ) формируются следующим образом:

• i – номер линейного уравнения;
• j – номер переменной, к которой относится коэффициент.

Решение СЛАУ – такие числа c₁, c₂,…, c_n , при постановке которых вместо x₁, x₂,…, x_n , все уравнения системы превратятся в тождества.

Видео:15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

Виды СЛАУ

1. Однородная – все свободные члены системы равны нулю ( b₁ = b₂ = … = b_m = 0 ).
   

В зависимости от количества решений, СЛАУ может быть:

1. Совместная – имеет хотя бы одно решение. При этом если оно единственное, система называется определенной, если решений несколько – неопределенной.
   
   СЛАУ выше является совместной, т.к. есть хотя бы одно решение: , y = 3 .
2. Несовместная – система не имеет решений.
   
   Правые части уравнений одинаковые, а левые – нет. Таким образом, решений нет.

Видео:Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Матричная форма записи системы

СЛАУ можно представить в матричной форме:

• A – матрица, которая образована коэффициентами при неизвестных:
  
• X – столбец переменных:
  
• B – столбец свободных членов:
  

Пример
Представим систему уравнений ниже в матричном виде:

Пользуясь формами выше, составляем основную матрицу с коэффициентами, столбцы с неизвестными и свободными членами.

Полная запись заданной системы уравнений в матричном виде:

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать

Расширенная матрица СЛАУ

Если к матрице системы A добавить справа столбец свободных членов B , разделив данные вертикальной чертой, то получится расширенная матрица СЛАУ.

Для примера выше получается так:

– обозначение расширенной матрицы.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Системы линейных алгебраических уравнений: основные понятия, виды

Видео:Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Матричный метод.Скачать

Определение СЛАУ

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида:

$$left<begin a_ cdot x_+a_ cdot x_+ldots+a_ cdot x_=b_ \ a_ cdot x_+a_ cdot x_+ldots+a_ cdot x_=b_ \ ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots . . \ a_ cdot x_+a_ cdot x_+ldots+a_ cdot x_=b_ endright.$$

Упорядоченный набор значений $$left<x_^, x_^, ldots, x_^right>$$ называется решением системы, если при подстановке в уравнения все уравнения превращаются в тождество.

Задание. Проверить, является ли набор $$ решением системы $left<begin 3 x-2 y=-6 \ 5 x+y=3 endright.$

Решение. Подставляем в каждое из уравнений системы $x=0$ и $y=3$:

$$5 x+y=3 Rightarrow 5 cdot 0+3=3 Rightarrow 3=3$$

Так как в результате подстановки получили верные равенства, то делаем вывод, что заданный набор является решением указанной СЛАУ.

Ответ. Набор $$ является решением системы $left<begin 3 x-2 y=-6 \ 5 x+y=3 endright.$

Видео:Общее, частное, базисное решение системы линейных уравнений Метод ГауссаСкачать

Виды систем

СЛАУ называется совместной, если она имеет, хотя бы одно решение.

В противном случае система называется несовместной.

Система $left<begin 3 x-2 y=-6 \ 5 x+y=3 endright.$ является совместной, так как она имеет, по крайней мере, одно решение $x=0$, $y=3$

Система $left<begin 5 x+y=-6 \ 5 x+y=3 endright.$ является несовместной, так как выражения, стоящие в левых частях уравнений системы равны, но правые части не равны друг другу. Ни для каких наборов $$ это не выполняется.

Система называется определённой, если она совместна и имеет единственное решение.

В противном случае (т.е. если система совместна и имеет более одного решения) система называется неопределённой.

Система называется однородной, если все правые части уравнений, входящих в нее, равны нулю одновременно.

Система называется квадратной, если количество уравнений равно количеству неизвестных.

Система $left<begin 3 x-2 y=-6 \ 5 x+y=3 endright.$ квадратная, так как неизвестных две и это число равно количеству уравнений системы.

Видео:Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать

Матричная запись систем уравнений

Исходную СЛАУ можно записать в матричном виде:

Задание. Систему $left<begin x-y+z-4 t=0 \ 5 x+y+t=-11 endright.$ записать в матричной форме и выписать все матрицы, которые ей соответствуют.

Решение. Заданную СЛАУ записываем в матричной форме $A. X=B$ , где матрица системы:

$$A=left(begin 1 & -1 & 1 & -4 \ 5 & 1 & 0 & 1 endright)$$

то есть, запись СЛАУ в матричной форме:

$$left(begin 1 & -1 & 1 & -4 \ 5 & 1 & 0 & 1 endright)left(begin x \ y \ z \ t endright)=left(begin 0 \ -11 endright)$$

Видео:Математика Без Ху!ни. Система линейных уравнений. Метод Крамера.Скачать

Расширенная матрица системы

Задание. Записать матрицу и расширенную матрицу системы $left<begin 2 x_+x_-x_=4 \ x_-x_=5 endright.$

Решение. Матрица системы $A=left(begin 2 & 1 & -1 \ 1 & -1 & 0 endright)$ , тогда расширенная матрица $tilde=(A mid B)=left(begin 2 & 1 & -1 & 4 \ 1 & -1 & 0 & 5 endright)$

💥 Видео

10. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.Скачать

Системы линейных уравнений: Теорема Кронекера-КапеллиСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса 4x4Скачать

Решение систем линейных уравнений с помощью матрицСкачать

Решение системы линейных уравнений методом ГауссаСкачать

Исследование систем линейных уравнений на совместностьСкачать

метод Гаусса СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ решение СЛАУСкачать