Основание логарифма меньше 1 уравнение (2 видео)

Решение логарифмических неравенств с переменным основанием

Решение логарифмических неравенств с переменным основанием.

В этой статье мы поговорим о том, как решать логарифмические неравенства, которые содержат неизвестную величину в основании логарифма.

Как мы помним, при решении логарифмических неравенств, мы сравниваем основание логарифма с единицей. Если в основании логарифма стоит выражение, зависящее от неизвестного, то нам надо рассмотреть два случая: когда это выражение больше единицы, и когда оно принимает значение от нуля до единицы.

Но есть и более простой способ.

Рассмотрим решение логарифмического неравенства с переменным основанием в общем виде.

Пусть неравенство имеет вид

log_

» title=»log_

>log_

«/>

Если основание логарифма больше единицы (p(x)>1), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства сохраняется.

Если основание логарифма больше нуля и меньше единицы (0

Чтобы не рассматривать эти два случае по отдельности, давайте запишем переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма в таком виде:

0″ title=»(p(x)-1)(f(x)-g(x))>0″/>

Знак первого множителя в этом произведении определяет знак второго множителя:

если p(x)>1, то f(x) > g(x) — знак неравенства сохраняется

g(x) — знак неравенства меняется на противоположный.

Тогда, с учетом ОДЗ, исходное неравенство

log_

» title=»log_

>log_

«/>

будет равносильно системе:

0> 0> 0>

0><p(x)1>>>» title=»delim<matrix<0> 0> 0>

0><p(x)1>>>»/>

Последние четыре неравенства системы — ОДЗ исходного неравенства.

Решим, для примера, такое неравенство:

Представим правую часть неравенства в виде логарифма по основанию

Перейдем к равносильной системе неравенств:

0> 0><x^2+3×1>>>» title=»delim<matrix <0><x^2+3×1>>>»/>

Решим каждое неравенство системы по отдельности, на своей координатной прямой.

Сначала преобразуем первое неравенство системы к виду

и решим это неравенство методом интервалов.

Корни квадратного трехчлена в первых скобках:

Корни квадратного трехчлена во вторых скобках:

, .

Нанесем эти корни на координатную прямую и расставим знаки:

Решение второго неравенства системы:

-3″ title=»x>-3″/>

Решение третьего неравенства: 0″ title=»x^2+3x>0″/>

Теперь совместим решение всех неравенств на одной координатной прямой:

Нас интересует промежуток, над которым проходит три стрелки.

Ответ: .

А теперь я предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК, в котором я объясняю решение логарифмического неравенства с переменным основанием и с модулем в выражении, стоящем под знаком логарифма:

0″ title=»log_<<delim>-delim>/>0″/>

Содержание

Алгебра
Уравнения вида logaf(x) = logag(x)
Уравнения, требующие предварительных преобразований
Логарифмические уравнения с заменой переменных
Логарифмирование уравнений
Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим
Логарифмические неравенства
🔍 Видео

Видео:Решение логарифмических уравнений #shortsСкачать

Алгебра

План урока:

Задание. Укажите корень логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

В чуть более сложных случаях под знаком логарифма может стоять не сама переменная х, а выражение с переменной. То есть урав-ние имеет вид

Задание. Найдите решение логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

Получили показательное уравнение. Показатели степеней можно приравнять, если равны их основания:

Видео:Логарифмы с нуля за 20 МИНУТ! Introduction to logarithms.Скачать

Уравнения вида log_af(x) = log_ag(x)

Порою логарифм стоит в обеих частях равенства, то есть и слева, и справа от знака «равно». Если основания логарифмов совпадают, то должны совпадать и аргументы логарифмов.

Задание. Решите урав-ние

Задание. Найдите корень урав-ния

Ситуация несколько усложняется в том случае, когда, под знаком логарифма в обоих частях равенства стоят выражения с переменными, то есть оно имеет вид

С одной стороны, очевидно, что должно выполняться равенство f(x) = g(x). Но этого мало, ведь под знаком логарифма не должно стоять отрицательное число. Поэтому после получения корней следует подставить их в урав-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями.

Задание. Решите урав-ние

Получили квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:

Получили два корня, (– 3) и 4. Однако теперь подставим их в исходное урав-ние и посмотрим, что у нас получится. При х = – 3 имеем:

Это верное равенство, поэтому х = – 3 действительно является корнем урав-ния. Теперь проверяем х = 4:

Хотя выражения и справа, и слева одинаковы, равенство верным считать нельзя, ведь выражение log₃ (– 1) не имеет смысла! Действительно, нельзя вычислять логарифм от отрицательного числа. Поэтому корень х = 4 оказывается посторонним, и у нас остается только один настоящий корень – число (– 3).

Видео:Логарифмы в ЕГЭ🫢 Решишь второй?!Скачать

Уравнения, требующие предварительных преобразований

Естественно, не всегда в обоих частях логарифмических уравнений и неравенств стоят только логарифмы с совпадающими основаниями. Часто требуется выполнить некоторые предварительные преобразования, чтобы привести урав-ние к виду log_af(x) = log_ag(x).

Задание. Решите урав-ние

с помощью которой любой множитель можно внести под знак логарифма. Сделаем это и в нашем случае:

Теперь в обеих частях равенства не стоит ничего, кроме логарифмов с одинаковыми основаниями. Поэтому мы можем приравнять их аргументы:

Задание. Решите урав-ние

Снова проверяем каждый из корней, подставляя его в исходное ур-ние. Прих = –1 получаем

Задание. Решите урав-ние

Решение. В правой части снова стоит сумма, но на этот раз не логарифмов. Однако число 1 можно представить как log₅ 5. Тогда урав-ние можно преобразовать:

Задание. Решите урав-ние

Решение. Данный пример похож на простейшее логарифмическое уравнение, однако переменная находится в основании логарифма, а не в аргументе. По определению логарифма мы можем записать, что

Первый вариант придется отбросить, так как основание логарифма, (а в данном случае это выражение х – 5) не может быть отрицательным числом. Получается, что

Задание. Решите урав-ние

Решение. Здесь ситуация осложняется тем, что основания логарифмов разные. Поэтому один из них необходимо привести к новому основанию. Попробуем привести log₂₅x 4 к основанию 5, используя известную нам формулу

Мы добились того, что у логарифмов одинаковые основания, а потому мы можем приравнять их аргументы:

Видео:Логарифм с нуля до уровня про. Уравнения, неравенства и параметр. Профильный ЕГЭСкачать

Логарифмические уравнения с заменой переменных

Иногда приходится делать некоторые замены, чтобы уравнение приняло более привычный вид.

Задание. Решите уравнение методом замены переменной

Задание. Найдите решение уравнения методом замены переменной

Решение. Для начала напомним, что символ lg означает десятичный логарифм. Отдельно знаменатель дроби в правой части:

Видео:Задание 15. Профильный ЕГЭ математика. Основание логарифма меньше 1Скачать

Логарифмирование уравнений

Ясно, что если от равных величин взять логарифмы по одному и тому же основанию, то тогда эти логарифмы окажутся также равными. Если подобный прием применяют при решении урав-ния, то, говорят, что производится логарифмирование уравнения. Иногда оно позволяет решить некоторые особо сложные примеры.

Задание. Укажите корни урав-ния

Здесь переменная величина находится одновременно и в основании степени, и в ее показателе. Возьмем от правой и левой части урав-ния логарифм по основанию 5:

Возвращаемся от переменной t к переменной х:

Видео:Умножаем логарифмы В УМЕ🧠Скачать

Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим

Рассмотрим график логарифмической функции у = log_ax при условии а > 1. Она является возрастающей функцией. Если на оси Ох отложить два числа tи s так, чтобы t располагалось левее s (то есть t 1). Но это не совсем так. Дело в том, что надо учесть ещё и тот факт, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число. Получается, что от простейшего логарифмического неравенства

Естественно, вместо величин t и s могут стоять как числа, так и выражения с переменными.

Задание. Найдите решение логарифмического неравенства

Ответ можно оставить и в такой форме, однако всё же принято записывать его в виде промежутка. Очевидно, что нерав-во 0 log_as:

Но, снова-таки, мы должны учесть, числа t может быть лишь положительным (тогда s, которое больше t, автоматически также окажется положительным). Получается, что при 0 log_a s можно перейти к двойному нерав-ву 0 2 – 45х + 200 имеет решение

Однако в системе (5) есть ещё два неравенства, х > 0 и 45 >x. Их решениями являются промежутки (0; + ∞) и (– ∞; 45). Чтобы определить решение всей системы, отметим на одной прямой решения каждого отдельного нерав-ва и найдем область их пересечения:

Видно, что решениями нерав-ва будут являться промежутки (0; 5) и (40; 45), на которых справедливы все три нерав-ва, входящих в систему (5).

Видео:Круговорот воды в природе ➜ Решение логарифмических уравнений из ЕГЭ #ShortsСкачать

Логарифмические неравенства

Решая логарифмические неравенства, мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Также мы используем определение логарифма и основные логарифмические формулы.

Давайте повторим, что такое логарифмы:

Логарифм положительного числа по основанию — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .

Основное логарифмическое тождество:

Основные формулы для логарифмов:

(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

(Логарифм частного равен разности логарифмов)

(Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

Алгоритм решения логарифмических неравенств

Можно сказать, что логарифмические неравенства решаются по определенному алгоритму. Нам нужно записать область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Привести неравенство к виду Знак здесь может быть любой: Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились логарифмы по одному и тому же основанию.

И после этого «отбрасываем» логарифмы! При этом, если основание степени , знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что знак неравенства меняется на противоположный.

Конечно, мы не просто «отбрасываем» логарифмы. Мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает, и тогда большему значению х соответствует большее значение выражения .

Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. Большему значению аргумента х будет соответствовать меньшее значение

Важное замечание: лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

Перейдем к практике. Как всегда, начнем с самых простых неравенств.

1. Рассмотрим неравенство log₃x > log₃5.
Поскольку логарифмы определены только для положительных чисел, необходимо, чтобы x был положительным. Условие x > 0 называется областью допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Только при таких x неравенство имеет смысл.

Что делать дальше? Стандартный ответ, который дают школьники, — «Отбросить логарифмы!»

Что ж, эта формулировка лихо звучит и легко запоминается. Но почему мы все-таки можем это сделать?

Мы люди, мы обладаем интеллектом. Наш разум устроен так, что все логичное, понятное, имеющее внутреннюю структуру запоминается и применяется намного лучше, чем случайные и не связанные между собой факты. Вот почему важно не механически вызубрить правила, как дрессированная собачка-математик, а действовать осознанно.

Так почему же мы все-таки «отбрасываем логарифмы»?

Ответ простой: если основание больше единицы (как в нашем случае), логарифмическая функция монотонно возрастает, значит, большему значению x соответствует большее значение y и из неравенства log₃x₁ > log₃x₂ следует, что x₁ > x₂.

Обратите внимание, мы перешли к алгебраическому неравенству, и знак неравенства при этом — сохраняется.

Следующее логарифмическое неравенство тоже простое.

Начнём с области допустимых значений. Логарифмы определены только для положительных чисел, поэтому

Решая эту систему, получим: x > 0.

Теперь от логарифмического неравенства перейдем к алгебраическому — «отбросим» логарифмы. Поскольку основание логарифма больше единицы, знак неравенства при этом сохраняется.

А что же будет, если основание логарифма меньше единицы? Легко догадаться, что в этом случае при переходе к алгебраическому неравенству знак неравенства будет меняться.

Запишем ОДЗ. Выражения, от которых берутся логарифмы, должны быть положительно, то есть

Решая эту систему, получим: x > 4,5.

Поскольку , логарифмическая функция с основанием монотонно убывает. А это значит, что большему значению функции отвечает меньшее значение аргумента:

И если , то
2x − 9 ≤ x.

Получим, что x ≤ 9.

Учитывая, что x > 4,5, запишем ответ:

В следующей задаче показательное неравенство сводится к квадратному. Так что тему «квадратные неравенства» рекомендуем повторить.

Теперь более сложные неравенства:

4. Решите неравенство

5. Решите неравенство

Если , то . Нам повезло! Мы знаем, что основание логарифма больше единицы для всех значений х, входящих в ОДЗ.

Обратите внимание, что сначала мы полностью решаем неравенство относительно новой переменной t. И только после этого возвращаемся к переменной x. Запомните это и не ошибайтесь на экзамене!

Запомним правило: если в уравнении или неравенстве присутствуют корни, дроби или логарифмы — решение надо начинать с области допустимых значений. Поскольку основание логарифма должно быть положительно и не равно единице, получим систему условий:

Упростим эту систему:

Это область допустимых значений неравенства.

Мы видим, что переменная содержится в основании логарифма. Перейдем к постоянному основанию. Напомним, что

В данном случае удобно перейти к основанию 4.

Сделаем замену

Упростим неравенство и решим его методом интервалов:

Вернемся к переменной x:

Мы добавили условие x > 0 (из ОДЗ).

Ответ:

7. Следующая задача тоже решается с помощью метода интервалов

Как всегда, решение логарифмического неравенства начинаем с области допустимых значений. В данном случае

0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cfrac%3C2-3x%3E%3Cx%3E%3E0″ />Это условие обязательно должно выполняться, и к нему мы вернемся. Рассмотрим пока само неравенство. Запишем левую часть как логарифм по основанию 3:

Правую часть тоже можно записать как логарифм по основанию 3, а затем перейти к алгебраическому неравенству:

Видим, что условие 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cfrac%3C2-3x%3E%3Cx%3E%3E0″ /> (то есть ОДЗ) теперь выполняется автоматически. Что ж, это упрощает решение неравенства.

Решаем неравенство методом интервалов:

Ответ:

Получилось? Что же, повышаем уровень сложности:

8. Решите неравенство:

Неравенство равносильно системе:

9. Решите неравенство:

Выражение 5 — x 2 навязчиво повторяется в условии задачи. А это значит, что можно сделать замену:

Поскольку показательная функция принимает только положительные значения, t > 0. Тогда

Неравенство примет вид:

Уже лучше. Найдем область допустимых значений неравенства. Мы уже сказали, что t > 0. Кроме того, ( t − 3) (5 9 · t − 1) > 0

Если это условие выполнено, то и частное будет положительным.

А еще выражение под логарифмом в правой части неравенства должно быть положительно, то есть (625 t − 2) 2 .

Это означает, что 625 t − 2 ≠ 0, то есть

Аккуратно запишем ОДЗ

и решим получившуюся систему, применяя метод интервалов.

Итак,

Ну что ж, полдела сделано — разобрались с ОДЗ. Решаем само неравенство. Сумму логарифмов в левой части представим как логарифм произведения:

«Отбросим» логарифмы. Знак неравенства сохраняется.

Перенесем все в левую часть и разложим по известной формуле разности квадратов:

0;» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(t-3)%5E%3C2%3E-(625t-2)%5E%3C2%3E%3E0;» />
0;» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(t-3-625t+2)(t-3+625t-2)%3E0;» />
0.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(-624t-1)(626t-5)%3E0.» />
Вспомним, что (это ОДЗ неравенства) и найдем пересечение полученных промежутков.

Получим, что

Вернемся к переменной x

Поскольку

9;» src=»https://latex.codecogs.com/gif.latex?x%5E%3C2%3E%3E&space;9;» /> 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(x-3)(x+3)%3E0″ />Ответ:

10. Еще один прием, упрощающий решение логарифмических неравенств, — переход к постоянному основанию. Покажем, как использовать переход к другому основанию и обобщенный метод интервалов.

Воспользуемся формулой и перейдем к основанию 10:

Применим обобщенный метод интервалов. Выражение в левой части неравенства можно записать как функцию

Эта функция может менять знак в точках, где она равна нулю или не существует.

Выражение lg | x − 3| равно нулю, если | x − 3| = 1, то есть x = 4 или x = 2.

Выражение lg (| x| − 2) равно нулю, если | x| = 3, то есть в точках 3 и −3.

Отметим эти точки на числовой прямой, с учетом ОДЗ неравенства.

Найдем знак функции g(x) на каждом из промежутков, на которые эти точки разбивают область допустимых значений. Точно так же мы решали методом интервалов обычные рациональные неравенства.

Ответ:

11. А в следующей задаче спрятаны целых две ловушки для невнимательных абитуриентов.

Запишем ОДЗ:

0\ x+2neq 1\ 36+16x-x^>0\ xneq 18 endright. : : : : : : : : Leftrightarrow : : : : : left <beginx>-2\ xneq -1\ xin (-2;18) endright.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cleft%5C%3C%5Cbegin%3Cmatrix%3E&space;x+2%3E0%5C%5C&space;x+2%5Cneq&space;1%5C%5C&space;36+16x-x%5E%3C2%3E%3E0%5C%5C&space;x%5Cneq&space;18&space;%5Cend%3Cmatrix%3E%5Cright.&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5CLeftrightarrow&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5Cleft%5C%3C%5Cbegin%3Cmatrix%3E&space;x%3E-2%5C%5C&space;x%5Cneq&space;-1%5C%5C&space;x%5Cin&space;(-2;18)&space;%5Cend%3Cmatrix%3E%5Cright.» />
Итак, Это ОДЗ.

Обратите внимание, что .

Это пригодится вам при решении неравенства.

Упростим исходное неравенство:

Теперь главное – не спешить. Мы уже говорили, что задача непростая – в ней расставлены ловушки. В первую вы попадете, если напишете, что Ведь выражение в данном случае не имеет смысла, поскольку x x — 18) 2 =(18 — x) 2 . Тогда:

Вторая ловушка – попроще. Запись означает, что сначала надо вычислить логарифм, а потом возвести полученное выражение в квадрат. Поэтому:

Дальше – всё просто. Сделаем замену

Выражение в левой части этого неравенства не может быть отрицательным, поэтому t = 2. Тогда

— не удовлетворяет ОДЗ;

Мы рассмотрели основные приемы решения логарифмических неравенств — от простейших до сложных, которые решаются с помощью обобщенного метода интервалов. Однако есть еще один интересный метод, помогающий справиться и показательными, и с логарифмическими, и с многими другими видами неравенств. Это метод рационализации (замены множителя). О нем — в следующей статье.