Определите взаимное расположение прямых l и m задаваемых уравнениями x1 2t

Условие

Определить взаимное расположение двух прямых в пространстве, если даны :
a: x=1+t, y=-2-2t, z=3-2t
b: x=t, y=1-3t, z=1+2t

Решение

(x-1)=(y+2)/(-2)=(z-3)/(-2) — прямая проходит через точку M_(1)(1;-2;3) и

направляющий вектор прямой а:
vector=(1;-2;-2)

b:
x=t ⇒ t=x
y=1–3t ⇒ t=(y-1)/(-3)
z=1+2t ⇒ t=(z-1)/2-прямая проходит через точку M_(2)(0;1;1) и

направляющий вектор прямой b:
vector(1;-3;2)

Направляющие векторы не коллинеарны ⇒ прямые не параллельны и не совпадают

Проверяем принадлежат лежат ли прямые а и b одной плоскости.

[m]begin -1&3&-2\1&-2&-2\1&-3&2end =0[/m], так как первая и вторая строки пропорциональны

Прямые лежат в одной плоскости ⇒ так как они не параллельны, значит пересекаются.

Видео:15. Взаимное расположение прямых в пространствеСкачать

2.3. Типовые задачи

В разделе 1 было получено уравнение плоскости проходящей через точку М0(x0,y0,z0) и с вектором нормали , где A2+B2+C2>0:

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0)=0. (*)

Рассмотрим теперь другие способы задания плоскости в пространстве.

Задача 1. Написать уравнение плоскости π, проходящей через три заданные точки М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2) и М3(x3,y3,z3) (рис. 5).

Решение: Чтобы написать уравнение искомой плоскости, достаточно знать координаты какой-либо точки на плоскости и координаты вектора нормали (уравнение (*). Точкой на плоскости может быть любая из заданных точек М1, М2 или М3, а вектором нормали может быть векторное произведение векторов [].

Поставленную задачу можно решить другим способом. Пусть М(x, y,z) — текущая точка на плоскости π. Тогда векторы =(x-x1,y-y1,z-z1), =(x2-x1,y2-y1,z2-z1) и =(x3-x1,y3-y1,z3-z1) лежат на плоскости π (компланарны). Условие компланарности этих векторов (равенство нулю их смешанного произведения) задает уравнение искомой плоскости π:

. (21)

Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1(1,1,1), М2(3,2,-1) и М3(4,1,0).

Для решения задачи воспользуемся вторым способом. Уравнение плоскости запишем в виде (21)

.

Разложив определитель по первой строке, получим

Или

– уравнение искомой плоскости с .

Заметим, что векторное произведение векторов =(2,1,–2) и =(3,0,–1) коллинеарно вектору нормали .

.

Задача 2. Написать уравнение плоскости π, проходящей через точку М0(x0,y0,z0) и прямую L (рис. 6): , если точка M0 не лежит на прямой L (иначе плоскость однозначно не определена). Точка М1(x1,y1,z1) принадлежит L, вектор – направляющий вектор.

Решение: Заданной точкой в уравнении (*) может быть любая из точек М1 или М0. Вектором нормали может служить векторное произведение векторов и :

=(A, B,C).

Задача 3. Написать уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые.

и

Т. M1 (x1,y1,z1),

Т. M2 (x2,y2,z2) ,

Вектор – направляющий вектор прямых L1,L2 (рис. 7).

Вновь используем уравнение (*).

Точка на плоскости – любая из точек М1 или М2; вектором нормали =(A, B,C) может быть векторное произведение [,].

Задача 4. Доказать, что две прямые L1, L2 лежат в одной плоскости (пересекаются) и составить уравнение этой плоскости.

Решение задачи рассмотрим на примере.

Пусть и .

1. Проверим, лежат ли прямые L1 и L2 в одной плоскости. Для этого убедимся, что векторы , и компланарны.

Запишем параметрически заданную прямую L2 в каноническом виде

,

здесь М2(7,2,1) – точка на прямой L2, – ее направляющий вектор.

На прямой L1: М1(1,-2,5); . Вектор =(6,4,–4) (рис. 8).

Условием компланарности является равенство нулю смешанного произведения

,

Т. к. в полученном определителе две строки совпадают (при вычислении определителя общие множители первой строки и последнего столбца вынесены за знак определителя).

Итак, мы убедились, что прямые L1 и L2 пересекаются.

Точка плоскости π – любая из точек М1, М2 (возьмем, например, точку М1(1,–2,5)).

Вектор нормали =(А, B,C)= []== – 2+16+13.

Уравнение искомой плоскости π:

– 2(x – 1) + 16(y + 2) + 13(z – 5) = 0, или

2x – 16y – 13z + 31 = 0.

Задача 5. Определить взаимное расположение прямой L, заданной как пересечение двух непараллельных плоскостей:

L:

И плоскости π: A3x+B3y+C3z+D3=0.

Решение: Возможны следующие случаи:

А) прямая L и плоскость π не пересекаются (прямая параллельна плоскости и не имеет общих точек с плоскостью);

Б) прямая L пересекается с плоскостью в единственной точке;

В) прямая L лежит в плоскости – бесчисленное множество общих точек.

Эти задачи фактически были рассмотрены в разделе 2, когда прямая задавалась параметрическими или каноническими уравнениями.

Вообще говоря, нет надобности переходить от общего уравнения прямой к каноническому. Алгебраически задача сводится к исследованию и решению (если это возможно) системы уравнений

. (22)

Решение этой системы определяет координаты общих точек прямой и плоскости.

Воспользуемся методом Крамера. Обозначим определитель системы (22)

А определитель Δ1, Δ2, Δ3, полученные из Δ с помощью столбца свободных членов, соответственно:

.

Если определитель , то система (22) имеет единственное решение, и оно определяется по формулам Крамера:

,

Имеет место случай (б).

Если определитель , а хотя бы один из определителей Δ1, Δ2 или Δ3 отличен от нуля, система (22) не имеет решения (не совместна). Геометрически это означает, что прямая и плоскость не имеют общих точек (параллельны) – случай (а).

Если же все определители Δ =Δ1=Δ2=Δ3=0, то система (22) имеет бесчисленное множество решений. Прямая L целиком лежит на плоскости π (случай в)).

Задача 6. Определить точку Q, симметричную точке M0(x0,y0,z0), относительно плоскости

Решение. Запишем алгоритм решения задачи.

1. Составим уравнение прямой L, проходящей через точку M0(x0,y0,z0) и перпендикулярной плоскости π. Направляющим вектором этой прямой послужит вектор нормали

.

2. Найдём точку пересечения M1(x1,y1,z1) прямой L и плоскости π (см. раздел 2).

3. Точка M1 является серединой отрезка M0Q, и координаты точек M0, M1 и Q связаны формулами: x1=,y1=,z1=, откуда найдем координаты точки Q(x0,y0,z0)
(рис. 9):

XQ=2×1 – x0, yQ=2y1 – y0, zQ=2z1 – z0.

Аналогично решается и следующая задача.

Задача 7. Найти точку Q, симметричную точке M0(x0,y0,z0) относительно прямой

.

1. Составим уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0,y0,z0) перпендикулярно прямой L. Вектором нормали к этой плоскости (A, B,C) возьмем направляющий вектор =(l, m,n) прямой L.

π: l(x – x0) + m(y – y0) + n(z – z0)=0.

2. Найдем точку пересечения M1(x1,y1,z1) прямой L и плоскости π (см. раздел 2).

3. Точка M1 – середина отрезка M0Q, координаты точки Q определяются так же, как и в задаче 6.

Видео:Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Уравнение прямой в пространстве Поскольку прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей, то одним из способов аналитического. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемВладимир Шулепин

Похожие презентации

Видео:Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Презентация на тему: » Уравнение прямой в пространстве Поскольку прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей, то одним из способов аналитического.» — Транскрипт:

1 Уравнение прямой в пространстве Поскольку прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей, то одним из способов аналитического задания прямой в пространстве является задание с помощью системы из двух уравнений задающих пару пересекающихся плоскостей.

2 Уравнение прямой в пространстве Прямую, проходящую через точку A 0 (x 0, y 0, z 0 ) с направляющим вектором (a,b,c) можно задавать параметрическими уравнениями В случае, если прямая в пространстве задается двумя точками A 1 (x 1, y 1, z 1 ), A 2 (x 2, y 2, z 2 ), то, выбирая в качестве направляющего вектора вектор (x 2 – x 1, y 2 – y 1, z 2 – z 1 ) и в качестве точки А 0 точку А 1, получим следующие уравнения

3 Угол между двумя прямыми Угол между двумя прямыми в пространстве, заданными параметрическими уравнениями можно найти, используя формулу где – направляющие векторы.

4 Упражнение 1 Какими уравнениями задаются координатные прямые? Ответ: Ось Ox Ось Oy Ось Oz

5 Упражнение 2 Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку А(1, -2, 3) с направляющим вектором, имеющим координаты (2, 3, -1). Ответ:

6 Упражнение 3 Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точки А 1 (-2, 1, -3), А 2 (5, 4, 6). Ответ:

7 Упражнение 4 Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M(1, 2, -3) и перпендикулярную плоскости x + y + z + 1 = 0. Ответ:

8 Упражнение 5 В каком случае параметрические уравнения определяют перпендикулярные прямые? Ответ: Если выполняется равенство a 1 a 2 +b 1 b 2 +c 1 c 2 =0.

9 Упражнение 6 Определите взаимное расположение прямой, задаваемой уравнениями и плоскости, задаваемой уравнением x – 3y + z +1 = 0. Ответ: Перпендикулярны.

10 Упражнение 7 Найдите координаты точки пересечения плоскости 2x – y + z – 3 = 0 и прямой, проходящей через точки A(-1, 0, 2) и B(3, 1, 2). Ответ:

11 Упражнение 8 Определите взаимное расположение прямых, задаваемых уравнениями Ответ: Перпендикулярны.

12 Упражнение 9 Точка движется прямолинейно и равномерно в направлении вектора (1, 2, 3). В начальный момент времени t = 0 она имела координаты (-1, 1, -2). Какие координаты она будет иметь в момент времени t = 4? Ответ: (3, 9, 10).

13 Упражнение 10 Параметрические уравнения движения материальной точки в пространстве имеют вид Найдите скорость. Ответ:

14 Упражнение 11 Точка движется прямолинейно и равномерно. В момент времени t = 2 она имела координаты (3, 4, 0), а в момент времени t = 6 — координаты (2, 1, 3). Какова скорость движения точки? Ответ:

15 Упражнение 12 Прямая в пространстве задана параметрическими уравнениями Напишите параметрические уравнения прямых, симметричных данной относительно координатных плоскостей. Ответ:

🎦 Видео

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

22. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространствеСкачать

Лекция 2. Взаимное расположение прямых линий.Скачать

8 класс, 31 урок, Взаимное расположение прямой и окружностиСкачать

Взаимное расположение прямых на плоскости. 7 класс.Скачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

ВЕКТОРЫ. МЕТОД КООРДИНАТ 2. Уравнение прямой и взаимное расположение прямыхСкачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№5 - Взаимное расположение прямых в пространстве.)Скачать

Взаимное расположение окружности и прямой. 7 класс.Скачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

Взаимное расположение прямых на плоскости. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать