Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов

Содержание
  1. Какова вероятность того, что корни этого уравнения будут действительными числами?
  2. Нахождение законов распределения двумерных случайных величин
  3. Как решать квадратные уравнения
  4. Понятие квадратного уравнения
  5. Приведенные и неприведенные квадратные уравнения
  6. Полные и неполные квадратные уравнения
  7. Решение неполных квадратных уравнений
  8. Как решить уравнение ax 2 = 0
  9. Как решить уравнение ax 2 + с = 0
  10. Как решить уравнение ax 2 + bx = 0
  11. Как разложить квадратное уравнение
  12. Дискриминант: формула корней квадратного уравнения
  13. Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней
  14. Примеры решения квадратных уравнений
  15. Формула корней для четных вторых коэффициентов
  16. Формула Виета
  17. Упрощаем вид квадратных уравнений
  18. Связь между корнями и коэффициентами
  19. Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов
  20. 🔍 Видео

Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?

Какова вероятность того, что корни этого уравнения будут действительными числами?

Коэффициенты р и q квадратного уравнения х 2 + рх + q = 0 выбирают наудачу на отрезке [0; 2]. Какова вероятность того, что корни этого уравнения будут действительными числами?

Решение. Обозначим событие: А – корни данного уравнения бу­дут действительными числами. Найдем вероятность события А, применив формулу р(А) = mesD / mes. Пусть коэффициенты р и q квадратного уравнения ‒ наудачу взятые числа. Их воз­можные значения: 0 2 – 4q > 0, откуда следует, что q ≤ р 2 / 4.

Построим границы области, которой принадлежат точки плоскости, удовлетворяющие условиям: Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов

Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов

Граничные прямые р = 0, р = 2, q = 0, q = 2 являются сторонами квадрата, ограничивающего область возможных значений р и q. Граничная кривая q = р 2 /4 представляет собой параболу. Решениями состав­ленной системы неравенств являются координа-ты всех точек плоскости, расположенных на рис. 1.14 заштрихованной области, то есть между граничными линиями р = 0, q = 2, q = р 2 /4 и на самих этих линиях. Точки плоскости, принадлежащие заштрихованной области, характеризуют исхо­ды испытания, благоприятст-вующие событию А. Площадь заштрихованной области равна

Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов

Таким образом, вероятность события А равна р(А) = Sg / SG = 1 / 6.

Видео:Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 класс

Нахождение законов распределения двумерных случайных величин

Найти условный закон распределения случайной величины Х, при условии Y=4, если закон распределения двумерной дискретной случайной величины представлен таблицей 11. Являются ли величины Х и Y независимыми?

Таблица 11 – Закон распределения случайной величины (Х,Y)

уj xi
0,10,20,10,1
0,20,10,20,15
0,30,050,1

Найдём безусловные законы распределения случайных величин Х и Y. Для этого, дополним таблицу 11 столбцом и строкой, в которой будем находить суммы вероятностей соответственно в строках и в столбцах (см. таблицу 5). Получим таблицу 12.

Таблица 12 – Отыскание безусловных вероятностей случайных величин Х и Y по данным задачи 2.6.1

уj xiВероятности значений Х
0,10,20,10,10,40
0,20,10,20,150,45
0,30,050,10,15
Вероятности значений Y0,30,30,30,1

Безусловные законы распределения случайных величин Х и Y оформим в виде таблиц (таблицы 13 и 14 соответственно).

Таблица 13 – Безусловный закон распределения случайной величины Х

Х0,10,20,3
Р(Х)0,400,450,15

Таблица 14 – Безусловный закон распределения случайной величины Y

Y
Р(Y)0,30,30,30,1

Используя обозначения таблиц 5 и 6, а также формулу (39), найдём Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов:

Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов

При этом выполняется Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов

Условный закон распределения случайной величины Х, при условии Y = 4, можно представить таблицей 15.

Таблица 15 – Закон распределения случайной величины Х/(Y = 4) к задаче 2.6.1

Х0,10,20,3
Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов

Сравним вероятности значений случайной величины X в условном (табл. 15) и безусловном (табл. 13) законах распределения. Если бы величины Х и Y были независимы, распределение величины X не зависело бы от условий, а вероятности в обоих законах были бы одними и теми же.

Таким образом, сравнивая законы, можно сделать вывод о наличии зависимости между величинами Х и Y.

Замечание: в случае, если условный закон распределения Х при некотором условии совпадёт с её безусловным законом распределения, вывод о независимости величин Х и Y сделать будет нельзя: потребуется проверка всех остальных условий.

Ответ: условный закон распределения случайной величины Х, при условии Y=4, представлен в таблице 15; величины Х и Y зависимы.

Найти плотности распределения величин Х и Y, если известна их совместная плотность распределения (плотность распределения двумерной случайной величины (Х и Y)): Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов

Используя формулы (41) и (42), а также с учётом условий: Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов, получим:

Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов

Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов

Ответ: плотности распределения величин Х и Y соответственно равны Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентови Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1 Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]: учебное пособие / В.Е. Гмурман. — М.: Высшее образование, 2010. — 479 с.

2 Гнеденко, Б.В. Курс теории вероятностей [Текст]: учебное пособие / Б.В.Гнеденко. — М.: Издательская группа URSS, 2001. — 320 с.

3 Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике [Текст]: учебное пособие / В.Е. Гмурман. — М.: Юрайт, 2010. — 404 с

4 Вентцель, Е.С. Задачи и упражнения по теория вероятностей [Текст]: учебное пособие / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. — М.: Кнорус, 2010. — 480 с.

5 Ивашев-Мусатов, О.С. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]: учебное пособие / О.С. Ивашев-Мусатов. — М.: Издательская группа URSS, 2003. — 224 с.

Интернет-ресурсы

Перечень интернет-ресурсов по теории вероятностей и математической статистике [Электронный ресурс] / Режим доступа: http://zyurvas.narod.ru/resursy.html.

Полный курс лекций по Теории вероятностей [Электронный ресурс]/ НГУ, ред. Н.И. Чернова. – Режим доступа: http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv99.html.

Готовый учебник по теории вероятностей на русском и английском языках, подготовлен группой ученых ОФИМ СО РАН, интеракивный режим работы, подсказки. – Режим доступа: http://newasp.omskreg.ru/probability.

Сотникова, Н.Я. Первоапрельский задачник по теории вероятностей для студентов нематематиков [Электронный ресурс]/ Режим доступа: http://www.astro.spbu.ru/staff/nsot/Teaching/tver/zadachi.html.

Манита, А.Д. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс]/ электронная версия учебника. – Режим доступа: http://teorver-online.narod.ru.

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Варианты заданий для контрольной работы

1.1 Известно, что события А и В произошли, а событие С не произошло. Определите, произошло или нет событие Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов.

1.2 На шести карточках написаны буквы «А», «А», «Б», «Б», «Б», «О». Какова вероятность того, что расположенные в ряд наудачу эти карточки составят слово «БАОБАБ»?

1.3 Из урны, в которой находятся десять красных и пять синих шаров, наугад вынимаются три шара. Какой состав шаров по цвету извлечь наиболее вероятно?

1.4 Из интервала [1; 3] наугад выбираются 2 вещественных числа. Найти вероятность того, что их сумма больше 5.

1.5 Известно, что 96% выпускаемых деталей удовлетворяют стандарту. При упрощенном контроле стандартная деталь признается стандартной с вероятностью 98%, а бракованная деталь признается стандартной с вероятностью 5%. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандарту.

1.6 В урне находятся 10 шаров, среди которых половина черных, а остальные белые. 10 раз производится случайная выборка шара из урны с возвратом. Рассчитать вероятность того, что ровно 5 раз был выбран черный шар.

1.7 В партии из 6 деталей имеется 4 стандартные. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа стандартных деталей среди отобранных. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

1.8 Система (X,Y) имеет плотность распределения Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов, если Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентови Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов, в остальных случаях Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов0. Найти функцию распределения Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентови вероятность попадания случайной точки (x, y) в прямоугольник Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов, Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов.

2.1 Докажите, что для событий А и В выполняется равенство Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов.

2.2 На шахматную доску произвольным образом поставили две ладьи. Какова вероятность того, что ладьи находятся под ударом друг друга?

2.3 Восемь команд спортсменов разбиваются случайным образом на две группы по четыре команды в каждой группе. Найти вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся в одной группе.

2.4 Определить вероятность того, что корни квадратного уравнения x 2 +2ax+b = 0 являются вещественными, если коэффициенты a и b выбираются наугад из интервала от 0 до 1.

2.5 В пирамиде 5 винтовок, 3 из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95. Для винтовки без прицела вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведёт один выстрел из наудачу взятой винтовки.

2.6 Вероятность брака равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей не более двух бракованных.

2.7 Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины Х, заданной законом распределения:

Х— 5
Р0,40,30,10,2

2.8 Независимые случайные величины Х и Y равномерно распределены на промежутках Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентови Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентовсоответственно. Найти их плотности распределения Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентови Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов, функции распределения Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентови Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов, совместную плотность распределения Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов.

3.1 Докажите, что для событий А и В выполняется равенство Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов.

3.2 Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 1%. Сколько таких приборов надо испытать, чтобы с вероятностью не менее 90% получить хотя бы один отказ?

3.3 Из колоды карт (52 листа) наудачу извлекаются три карты. Найти вероятность того, что будут вынуты последовательно тройка, семерка и туз.

3.4 В точке С, положение которой на телефонной линии АВ длины L равновозможно, произошёл разрыв. Определить вероятность того, что точка С удалена от точки А на расстояние, не меньшее l (l .

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.

Как решать квадратные уравнения

Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов

О чем эта статья:

Видео:Теория вероятностей | Математика TutorOnlineСкачать

Теория вероятностей | Математика TutorOnline

Понятие квадратного уравнения

Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.

Например, х + 8 = 12 — это уравнение, которое содержит переменную х.

Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.

Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим 5 + 8 = 12. 13 = 12 — противоречие. Значит, х = 5 не является корнем уравнения.

А вот если х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим 4 + 8 = 12. 12 = 12 — верное равенство. Значит, х = 4 является корнем уравнения.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы запомнить месторасположение коэффициентов, давайте потренируемся определять их.

Квадратные уравнения могут иметь два корня, один корень или не иметь корней.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b 2 − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

  • если D 0, есть два различных корня.

С этим разобрались. А сейчас посмотрим подробнее на различные виды квадратных уравнений.

Разобраться в теме еще быстрее с помощью опытного преподавателя можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Видео:Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать

Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnline

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным — все зависит от от значения первого коэффициента.

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.

Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент отличается от единицы.

Давайте-ка на примерах — вот у нас есть два уравнения:

  • x 2 — 2x + 6 = 0
  • x 2 — x — 1/4 = 0

В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x 2 ), а значит уравнение называется приведенным.

  • 2x 2 − 4x — 12 = 0 — первый коэффициент отличен от единицы (2), значит это неприведенное квадратное уравнение.

Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент.

Пример 1. Превратим неприведенное уравнение: 8x 2 + 20x — 9 = 0 — в приведенное.

Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:

Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов

Ответ: равносильное данному приведенное уравнение x 2 + 2,5x — 1,125 = 0.

Видео:34 Задача: Найти корни квадратного уравнения при помощи PythonСкачать

34 Задача: Найти корни квадратного уравнения при помощи Python

Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Оно нужно, чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 было именно квадратным. Если a = 0, то уравнение обретет вид линейного: bx + c = 0.

Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, как по отдельности, так и вместе. В таком случае квадратное уравнение принято называть неполным.

Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.

Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Для самых любопытных объясняем откуда появились такие названия:
  • Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 + 0x+c=0 и оно равносильно ax 2 + c = 0.
  • Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax 2 + bx = 0.
  • Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 = 0.

Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Видео:Быстрый способ решения квадратного уравненияСкачать

Быстрый способ решения квадратного уравнения

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

  • ax 2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
  • ax 2 + c = 0, при b = 0;
  • ax 2 + bx = 0, при c = 0.

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax 2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0.

Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −6x 2 = 0.

  1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x 2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
  2. По шагам решение выглядит так:

Как решить уравнение ax 2 + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0:

  • перенесем c в правую часть: ax 2 = — c,
  • разделим обе части на a: x 2 = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а 2 = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а 0, то корни уравнения x 2 = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а) 2 = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а) 2 = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 равносильно уравнению х 2 = -c/a, которое:

  • не имеет корней при — c/а 0.
В двух словах

Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0.

    Перенесем свободный член в правую часть:

Разделим обе части на 8:

  • В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.
  • Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней.

    Как решить уравнение ax 2 + bx = 0

    Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

    Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:

    Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

    Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

    Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

    Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0

  • Это уравнение равносильно х = 0 и 0,5x + 0,125 = 0.
  • Решить линейное уравнение:

    0,5x = 0,125,
    х = 0,125/0,5

  • Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25.
  • Ответ: х = 0 и х = 0,25.

    Как разложить квадратное уравнение

    С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так:

    Формула разложения квадратного трехчлена

    Если x1 и x2 — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x1) (x − x2).

    Видео:РАЗБИРАЕМ ДИСКРИМИНАНТ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #дискриминантСкачать

    РАЗБИРАЕМ ДИСКРИМИНАНТ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #дискриминант

    Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

    Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

    Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов

    где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

    Эта запись означает:

    Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

    Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

    Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

    В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

    Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

    • вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b 2 −4ac;
    • если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
    • если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = −b/2a;
    • если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов

    Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

    Примеры решения квадратных уравнений

    Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

    Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0.

    1. Найдем дискриминант: D = 28 2 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0
    2. Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень
    3. Найдем корень

    Ответ: единственный корень 3,5.

    Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0.

      Произведем равносильные преобразования. Умножим обе части на −1

    Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

    Ответ: два корня 3 и — 3.

    Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0.

      Преобразуем уравнение так, чтобы появились множители

    Ответ: два корня 0 и 1.

    Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39.

      Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

    Ответ: два корня 7 и −7.

    Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0.

      Найдем дискриминант по формуле

    D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112

  • Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет.
  • Ответ: корней нет.

    В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

    Видео:Корни квадратного уравнения через сумму коэффициентовСкачать

    Корни квадратного уравнения через сумму коэффициентов

    Формула корней для четных вторых коэффициентов

    Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов, где D = b 2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

    Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax 2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) 2 — 4ac = 4n 2 — 4ac = 4(n 2 — ac) и подставим в формулу корней:

    2 + 2nx + c = 0″ height=»705″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png» width=»588″>

    Для удобства вычислений обозначим выражение n 2 -ac как D1. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

    Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов

    где D1 = n 2 — ac.

    Самые внимательные уже заметили, что D = 4D1, или D1= D/4. Проще говоря, D1 — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

    Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

    • вычислить D1= n 2 — ac;
    • если D1 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

    Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов

    Видео:Комплексные корни квадратного уравненияСкачать

    Комплексные корни квадратного уравнения

    Формула Виета

    Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

    Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

    Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

    Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

    Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

    Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

    Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:
    Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов

    Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
    2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

    Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
    2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

    Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
    2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

    Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

    Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:

    Обратная теорема Виета

    Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0.

    Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x1 и x2 равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.

    Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x 2 − 6x + 8 = 0.

      Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

    2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png» width=»117″>

    Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы.

    Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x1 и x2 надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

    Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x1 + x2 = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

    Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов

    Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. p>Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов

    Упрощаем вид квадратных уравнений

    Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

    Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0.

    Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

    Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

    Покажем, как это работает на примере 12x 2 — 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x 2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

    А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

    Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов

    умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0.

    Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x 2 — 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x 2 + 3x — 7 = 0.

    Связь между корнями и коэффициентами

    Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

    Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов

    Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

    Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

    Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x 2 — 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

    Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

    Видео:8 класс, 25 урок, Формула корней квадратного уравненияСкачать

    8 класс, 25 урок, Формула корней квадратного уравнения

    Определить вероятность того что корни квадратного уравнения вещественны если значения коэффициентов

    `TZ`
    Какова вероятность, что корни квадратного уравнения x^2+2*b*x+c=0 будут вещественными и положительными, если коэффициенты b и c выбраны наудачу из промежутка (-1, 1)
    [[/TZ]]
    Я догадываюсь, что начало, скорее всего, такое:
    читать дальше
    условия задачи:

    условие на «вещественность»:

    и условие на «положительность»:

    Я понимаю, что так как с и b выбираются из промежутка (-1,1) (длина интервала равна 2), то b^2 выбираеться наугад из промежутка (0,1) (длина интервала равна 1).

    Но я совершенно не могу понять, что делать дальше

    🔍 Видео

    Квадратное уравнение, дискриминант, формула корнейСкачать

    Квадратное уравнение, дискриминант, формула корней

    Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать

    Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | Математика

    Квадратное уравнение. Как решить? | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

    Квадратное уравнение. Как решить? | Математика ОГЭ 2023 | Умскул

    6.3 Квадратное уравнение. "Поколение Python": курс для начинающих. Курс StepikСкачать

    6.3 Квадратное уравнение. "Поколение Python": курс для начинающих. Курс Stepik

    8 класс. Квадратное уравнение и его корни. Алгебра.Скачать

    8 класс. Квадратное уравнение и его корни. Алгебра.

    Математика без Ху!ни. Теория вероятностей, комбинаторная вероятность.Скачать

    Математика без Ху!ни. Теория вероятностей, комбинаторная вероятность.

    Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

    Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

    Программа, определяющая корни квадратного уравнения. Язык программирования Python.Скачать

    Программа, определяющая корни квадратного уравнения. Язык программирования Python.

    Алгебра 8 класс (Урок№28 - Решение квадратных уравнений вида ax2 + bx + c = 0.Формула корней кв.ур.)Скачать

    Алгебра 8 класс (Урок№28 - Решение квадратных уравнений вида ax2 + bx + c = 0.Формула корней кв.ур.)
    Поделиться или сохранить к себе: